專題20 不等式恒成立之分離參數(shù)、分離函數(shù)、放縮法（解析版）

專題20不等式恒成立之分離參數(shù)、分離函數(shù)、放縮法一、單選題1．（2021·浙江·高三月考）已知函數(shù)，不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】問(wèn)題等價(jià)于對(duì)任意恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求出的最小值，即可求出m的取值范圍.【詳解】由題可得對(duì)任意恒成立，等價(jià)于對(duì)任意恒成立，令，則，令，則，在單調(diào)遞增，，存在唯一零點(diǎn)，且，使得，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，，即，令，顯然在單調(diào)遞增，則，即，則，.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的恒成立問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是分離參數(shù)，將題目轉(zhuǎn)化為求解的最小值.2．（2021·浙江·紹興市教育教學(xué)研究院高二期末）對(duì)任意的，不等式（其中e是自然對(duì)數(shù)的底）恒成立，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】問(wèn)題首先轉(zhuǎn)化為恒成立，取自然對(duì)數(shù)只需恒成立，分離參數(shù)只需恒成立，構(gòu)造，只要求得的最小值即可。這可利用導(dǎo)數(shù)求得，當(dāng)然由于函數(shù)較復(fù)雜，可能要一次次地求導(dǎo)（對(duì)函數(shù)式中不易確定正負(fù)的部分設(shè)為新函數(shù)）來(lái)研究函數(shù)（導(dǎo)函數(shù)）的單調(diào)性。【詳解】對(duì)任意的N，不等式（其中e是自然對(duì)數(shù)的底）恒成立，只需恒成立，只需恒成立，只需恒成立，構(gòu)造，.下證，再構(gòu)造函數(shù)，設(shè)，令，，在時(shí)，，單調(diào)遞減，即，所以遞減，，即，所以遞減，并且，所以有，所以，所以在上遞減，所以最小值為.∴，即的最大值為。故選：B?！军c(diǎn)睛】本題考查不等式恒成立問(wèn)題，解題時(shí)首先要對(duì)不等式進(jìn)行變形，目的是分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的最值。本題中函數(shù)的最小值求導(dǎo)還不能確定，需多次求導(dǎo)，這考驗(yàn)學(xué)生的耐心與細(xì)心，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，難度很大。3．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍A． B． C． D．【答案】D【分析】本題首先可以將“不等式對(duì)任意恒成立”轉(zhuǎn)化為“對(duì)恒成立”，然后求出方程，的最小值即可得出結(jié)果．【詳解】題意即為對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，從而求，的最小值，而故即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，方程在內(nèi)有根，故，所以，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的相關(guān)性質(zhì)，在利用不等式求參數(shù)的取值范圍時(shí)，可以先將參數(shù)提取到單獨(dú)的一側(cè)，然后通過(guò)求解函數(shù)的最值來(lái)求解參數(shù)的取值范圍，考查函數(shù)方程思想，考查計(jì)算能力，是難題．4．（2021·江西·臨川一中高三月考（理））不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍（）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用參變分離法，然后求函數(shù)最值即可.【詳解】由得，對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，從而求，的最小值，設(shè)，則，令得，∴，∴，即恒成立所以故即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，方程在內(nèi)有根，故，所以。故選：C．5．（2021·四川省資中縣第二中學(xué)高二月考（理））關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立，則的取值范圍是（）．A． B． C． D．【答案】A【分析】分離變量，轉(zhuǎn)化為函數(shù)得最值問(wèn)題，再利用即可求解.【詳解】即，即對(duì)任意恒成立（根據(jù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）即當(dāng)，取等號(hào)而函數(shù)在單調(diào)遞增，，所以方程在上有解，等號(hào)能夠成立故，即故選：A6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式在恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】將條件變形為，然后由的單調(diào)性可得，然后可得，然后利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可.【詳解】由得即，構(gòu)造，即因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以所以，令，則所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以，所以，即又，即所以的取值范圍是故選：B7．（2021·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，設(shè)，則，原不等式可化為，轉(zhuǎn)化成求的最小值．【詳解】因?yàn)?，所以，設(shè)，則且原不等式可化為，只需．設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．所以，所以．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題．解題方法是用分離參數(shù)法把不等式進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，解題關(guān)鍵是式子的變換，然后用換元法使得函數(shù)簡(jiǎn)單化．8．（2021·江西·模擬預(yù)測(cè)（理））已知關(guān)于x的不等式對(duì)任意的都成立，則實(shí)數(shù)k的最大值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】將給定不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，再利用導(dǎo)數(shù)中常用不等式結(jié)論即可作答.【詳解】令，則，于是有時(shí)時(shí)，則在上遞減，在上遞增，，即(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取“=”)，因，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，而，，于是有，從而得，又時(shí)，，解得，所以實(shí)數(shù)k的最大值為.故選：C9．（2021·江蘇·揚(yáng)州市江都區(qū)大橋高級(jí)中學(xué)高二月考）已知函數(shù)，若時(shí)，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】采用參數(shù)分離法，若，則在上恒成立，然后令，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最大值，只需使在上成立即可.【詳解】當(dāng)，時(shí)，有在上恒成立，令，則令，則在上恒成立，由，所以在上有一根，設(shè)，即，則在上成立，在上成立，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，故，又由可得，即，則，所以，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，難度較大，解答的一般方法如下：

（1）直接構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，使最值符合相應(yīng)的不等式，解得參數(shù)的取值范圍；（2）利用參數(shù)分離法，將原式轉(zhuǎn)化，若恒成立，只需使成立；若恒成立，只需使成立，然后利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的最值即可.10．（2021·全國(guó)全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（文））已知對(duì)任意正數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A． B．1 C．2 D．【答案】C【分析】分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值.【詳解】由對(duì)任意正數(shù)恒成立，得，令，則，由得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào).）所以，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以的最大值為2.故選：C．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：分離參數(shù)是解決含參不等式的常用方法，解決本題的關(guān)鍵是在分離參數(shù)后能對(duì)式子進(jìn)行正確等價(jià)變換，然后利用不等式求解的最小值．11．（2021·安徽省蚌埠第三中學(xué)高二月考（理））已知不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題先參變分離得到，再換元法得到，令，并求出，利用導(dǎo)函數(shù)求出，最后得到答案.【詳解】解：由得，令，則，于是等價(jià)轉(zhuǎn)化為對(duì)于一切實(shí)數(shù)恒成立，設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究不等式的恒成立問(wèn)題，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的最值，是偏難題.二、填空題12．（2021·河北冀州中學(xué)高三期中（理））已知函數(shù)，若對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.【答案】【分析】,令，利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值，從而可得結(jié)果.【詳解】,令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，的最大值為，則，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為,【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值以及不等式恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．不等式恒成立問(wèn)題常見(jiàn)方法：①分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；②數(shù)形結(jié)合(圖象在上方即可)；③討論最值或恒成立；④討論參數(shù)，排除不合題意的參數(shù)范圍，篩選出符合題意的參數(shù)范.13．（2021·浙江·高二期中）已知不等式對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為_(kāi)_________．【答案】1【分析】將不等式變形為，再利用恒成立即可解出．【詳解】原不等式變形為，設(shè)，，由可知，函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．設(shè)，顯然函數(shù)為增函數(shù)，，，所以存在唯一的，使得．因?yàn)椴坏仁綄?duì)任意的恒成立，所以，即，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，所以．故的取值范圍為，即?shí)數(shù)a的最大值為1．故答案為：1.【點(diǎn)睛】對(duì)于不等式恒成立問(wèn)題，常用解法是分離參數(shù)求最值，本題也可以這樣考慮，但是求導(dǎo)判斷單調(diào)性過(guò)程較繁，所以選擇同構(gòu)的基本思想，利用常見(jiàn)的切線不等式，將不等式變形為，即可順利求出．14．（2021·內(nèi)蒙古·開(kāi)魯縣第一中學(xué)高二期中（文））關(guān)于的不等式恒成立，實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【分析】根據(jù)不等式恒成立，分離參數(shù)并構(gòu)造函數(shù)，求得導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)性質(zhì)可判斷的單調(diào)區(qū)間與最小值，即可求得的取值范圍.【詳解】在恒成立，即恒成立，即，令，則，當(dāng)，即，解得，當(dāng)，即，解得所以在上為減函數(shù)，在上增函數(shù)，所以，所以故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了分離參數(shù)與構(gòu)造函數(shù)法的應(yīng)用，由導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的最值及參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，若關(guān)于的不等式恒成立，則的最大值為_(kāi)______．【答案】【分析】已知不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為恒成立，在a=0時(shí)易得ab=0;當(dāng)a≠0時(shí)，設(shè)函數(shù),函數(shù)圖象在直線下方時(shí)，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得相切時(shí)a,b滿足的條件，進(jìn)而得到當(dāng)函數(shù)圖象在直線下方時(shí)，，得到,記,利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性求得最大值，即得所求.【詳解】原不等式等價(jià)于：恒成立，由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，易知，當(dāng)時(shí)不等式為對(duì)于x>0恒成立，需要，此時(shí),當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù),當(dāng)直線與函數(shù)圖象相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,則,∴,即所以當(dāng)函數(shù)圖象在直線下方時(shí)，，∴,記,則,令，解得當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，∴,綜上，的最大值為：，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題，求最值問(wèn)題，關(guān)鍵是將已知不等式分離為兩個(gè)易于處理的函數(shù)之間的不等關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合方法求得a,b滿足的條件，得到后，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最大值.16．（2021·湖北·武漢市第一中學(xué)二模）已知函數(shù)，存在實(shí)數(shù)，使的圖象與的圖象無(wú)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為_(kāi)_________．【答案】【分析】因?yàn)榈膱D象與的圖象無(wú)公共點(diǎn)等價(jià)于或恒成立，利用參變分離法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值即可求解.【詳解】解：因?yàn)榈膱D象與的圖象無(wú)公共點(diǎn)等價(jià)于或恒成立，即或恒成立，即或恒成立，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值同時(shí)也是最小值，設(shè)，易知在上為減函數(shù)，則的最大值為，故的最小值，①若，則；②若恒成立，則不成立，綜上，．故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將的圖象與的圖象無(wú)公共點(diǎn)等價(jià)轉(zhuǎn)化為或恒成立，然后再利用參變分離法，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是本題解題的關(guān)鍵.17．（2021·浙江浙江·高二期末）若x，y是實(shí)數(shù)，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，，則________．【答案】5【分析】令，利用導(dǎo)數(shù)可證，不等式化為，令，利用導(dǎo)數(shù)可得，即，則可得出方程組求解.【詳解】令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；，即，，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則，即，，又，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，解得，.故答案為：5.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是結(jié)合經(jīng)典不等式和，考慮其等號(hào)成立條件即可求解.18．（2021·安徽省舒城中學(xué)高二月考（理））若對(duì)一切正實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【分析】利用隱零點(diǎn)法求出函數(shù)的最小值為，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為恒成立，再利用基本不等式，即可得到答案；【詳解】設(shè)，則恒成立，由，令，則恒成立，所以為增函數(shù)，令得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；所以在遞減，在遞增，故在處取得最小值，故最小值，因?yàn)?，則所以恒成立，得，又因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）；所以即.故答案為：.19．（2021·遼寧沈陽(yáng)·高三月考）若（且）恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______.【答案】【分析】討論，結(jié)合圖象可得不可能恒成立；時(shí)，運(yùn)用換底公式原不等式化為，令，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性、最大值，可得的范圍.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，由和的圖象可得，此時(shí)兩個(gè)函數(shù)圖象有一個(gè)交點(diǎn)，不等式不可能恒成立；當(dāng)時(shí)，，不等式可化為，由，令，，當(dāng)時(shí)，，遞增，當(dāng)時(shí)，，遞減，則，則，可得，故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式或解決不等式恒成立問(wèn)題,關(guān)鍵是把不等式變形后構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，然后用導(dǎo)數(shù)判斷該函數(shù)的單調(diào)性或求出最值，達(dá)到證明不等式的目的；2、利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問(wèn)題，應(yīng)特別注意區(qū)間端點(diǎn)是否取得到；3、學(xué)會(huì)觀察不等式與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)會(huì)變主元構(gòu)造函數(shù)再利用