河北省衡水中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)第一次聯(lián)合考試試題文(含解析)

河北省衡水中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)第一次聯(lián)合考試試題文（含解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的..已知集合AxN|x6,Byy2x,xA，則AIB中元素的個(gè)數(shù)是（ ）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】用列舉法依次表示出集合A,B,再求出交集，再判斷元素個(gè)數(shù).【詳解】解：AxNx6,A0,1,2,3,4,5,—一 一x_又Byy2,xA,B1,2,4,8,16,32,AIB1,2,4,有3個(gè)元素，故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查用列舉法表示集合，考查集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題..已知復(fù)數(shù)z滿足z（1+i）=1+3i,其中i是虛數(shù)單位，設(shè)乞是z的共軻復(fù)數(shù)，則z的虛部是（ ）A.i B.1 C.-i D.-1【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算求出 z,再根據(jù)共軻復(fù)數(shù)的定義寫出z,從而得出z的虛部.【詳解】解：?「z1i13i,3i13i1i42iz 2i,1i1i1i2

z2i，則z虛部為1,故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算， 考查共輔復(fù)數(shù)的定義及復(fù)數(shù)的虛部， 屬于易錯(cuò)題.3.等差數(shù)列｛an｝中，S為｛3.等差數(shù)列｛an｝中，S為｛an｝的前n項(xiàng)a4是關(guān)于元二次方程的兩個(gè)根，則&=( ) ,Bka44,,用等差數(shù)列的.即可得出結(jié)■ ■【詳解】解：a2,a4是關(guān)于■的一元二次方，x24x20的兩個(gè)，LJA.5【解析】【分析】由韋達(dá)定理得a2,旦

47^由韋達(dá)定理得a? ad由等差數(shù)列的性質(zhì)得,2x-4x+2=0D.15???S544210,故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)與前 n項(xiàng)和的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.4.若f(x)=ex+aex是定義在R上的奇函數(shù)，則曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程是( )A.y=一x B.y=x C.y=-2x D.y=2x【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)得f(0) 0,求出函數(shù)f(x)的解析式，再求出f'(x),從而可求出切線方程.【詳解】解：?.?函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

f(0)1a0,得a1,f(x)exex,f'(x)exex,f(0)0,f'(0) 2,???曲線yf(x)在點(diǎn)0,f(0)處的切線方程為y2x,故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查奇函數(shù)的定義及性質(zhì),考查利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求曲線在某點(diǎn)處的切線方【點(diǎn)睛】本題主要考查奇函數(shù)的定義及性質(zhì),考查利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求曲線在某點(diǎn)處的切線方程，屬于基礎(chǔ)題.5.已知。O的半徑為1,A,B為圓上兩點(diǎn),且劣弧5.已知。O的半徑為1,A,B為圓上兩點(diǎn),且劣弧AB的長(zhǎng)為1,則弦AB與劣弧AB所圍成圖形的面積為( )11sin12211cos122 2【答案】A1 1--C0S12211sinl22 2D.由題意先求出圓心角，再求出扇形的面積和△OAB的面積，從而得出結(jié)論.【詳解】解：設(shè)eO的半徑為r,劣弧所對(duì)的圓心角為 ，弧長(zhǎng)為l,Ll1由弧長(zhǎng)公式lr得-11,r1TOC\o"1-5"\h\z1 1 1 1，弦AB與劣弧AB所圍成圖形的面積S -lr —r2sin — —sin1 ,2 2 2 2故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查扇形的弧長(zhǎng)公式與面積公式，考查三角形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題.

6.某校為提高學(xué)生的身體素質(zhì)，實(shí)施“每天一節(jié)體育課”，并定期對(duì)學(xué)生進(jìn)行體能測(cè)驗(yàn)在一次體能測(cè)驗(yàn)中，某班甲、乙、丙三位同學(xué)的成績(jī)（單位：分）及班內(nèi)排名如表（假定成績(jī)均為整數(shù)）現(xiàn)從該班測(cè)驗(yàn)成績(jī)?yōu)?4和95的同學(xué)中隨機(jī)抽取兩位，這兩位同學(xué)成績(jī)相同的概率是（ ）A.0.2B.0.4C.0.5D.0.6A.0.2B.0.4C.0.5D.0.6成績(jī)/分班內(nèi)排名甲959乙9411丙9314【分析】由題意可得出成績(jī)?yōu)?5分的有2人，94分的有3人，本題是古典概型，求出事件包含的基本事件數(shù)以及基本事件的總數(shù)，從而求出答案.【詳解】解：由表格可知，該班成績(jī)?yōu)?95分的有2人，94分的有3人,，從這5名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)，c54基本事件總數(shù)為C；5■左10,TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"5 2_2 _2這兩位同學(xué)成績(jī)相同包含的基本事件數(shù)是 C；C2134,\o"CurrentDocument"4 2??.這兩位同學(xué)成績(jī)相同的概率 p—20.4,105故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率計(jì)算，考查排列、組合問題，屬于基礎(chǔ)題.2 27.已知雙曲線C:、與1a0,b0的左，右焦點(diǎn)分別為Fi,F2,若以F1F2為直徑的ab圓和曲線C在第一象限交于點(diǎn)P,且4POF1恰好為正三角形，則雙曲線C的離心率為（ ）

B.1 31.5B.1 31.5【答案】C【解析】【分析】先設(shè)IF1F2I2c,由題意知^FiF2P是直角三角形，利用且 POF2恰好為正三角形，求出|PEI、IPF21,根據(jù)雙曲線的定義求得a,c之間的關(guān)系，則雙曲線的離心率可得.【詳解】解：連接PF1,設(shè)|F1F2|2c,則由題意可得PF1F2是直角三角形,由POF2恰好為正三角形得， PF2F160,|PF21c,???IPF11J4C2—crJ3c,IPF1I|PF21點(diǎn)cc2a,a31故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì).考查數(shù)形結(jié)合的思想的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題..某校高一組織五個(gè)班的學(xué)生參加學(xué)農(nóng)活動(dòng)， 每班從“農(nóng)耕”“采摘““釀酒”野炊”“飼養(yǎng)”五項(xiàng)活動(dòng)中選擇一項(xiàng)進(jìn)行實(shí)踐，且各班的選擇互不相同.已知1班不選“農(nóng)耕”“采摘”；2班不選“農(nóng)耕”“釀酒”；如果1班不選“釀酒”，那么4班不選“農(nóng)耕”；3班既不選“野炊”，也不選“農(nóng)耕”； 5班選擇“采摘”或“釀酒”則選擇“飼養(yǎng)”的班級(jí)是2班3班42班3班4班5班【答案】B【解析】【分析】本題的關(guān)鍵是找出1,2,3,5班都不選農(nóng)耕，則只有4班選農(nóng)耕，再根據(jù)逆否命題的真假性，可得1班選釀酒，所以5班只有選采摘，逐一選擇可得出結(jié)果.【詳解】解：由題意，1,2,3,5班都不選農(nóng)耕，則只有4班選農(nóng)耕，根據(jù)逆否命題，1班選釀酒，所以5班只有選采摘，只剩下“野炊”和“飼養(yǎng)”，因3班既不選“野炊”，故選擇“飼養(yǎng)”的班級(jí)是3班.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查合情推理能力，以及逆否命題的真假性的判斷能力，屬于基礎(chǔ)題..下列關(guān)于函數(shù)fx2cos2x點(diǎn)sin2x1的說法，正確的是( )x一是函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)3f(x)在區(qū)間［0,-］上是增函數(shù)5C.函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,支)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)——12D.函數(shù)f(x)的圖象可由函數(shù)y=2sin2x的圖象向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到12【答案】D【解析】【分析】先化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，然后再逐一判斷選項(xiàng)即可.【詳解】解：函數(shù)f(x)2cos2x 3sin2x1cos2x3sin2x2sin(2x—)6當(dāng)x當(dāng)x—時(shí),

32sin(2x—)一所以x—不是函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，所以A不正確;6 2 3當(dāng)x一時(shí),

當(dāng)x一時(shí),

6函數(shù)f(x)取得最大值，所以函數(shù)在區(qū)間［0,一］上不是增函數(shù)，所以B不正確;2由2sin(2x一)0由2sin(2x一)0得2x—k,kZ,則x6 6k——一,kZ,所以在區(qū)間(0,)上2 1211,所以C不正確;有兩個(gè)零點(diǎn)八、12' 1211,所以C不正確;有兩個(gè)零點(diǎn)由函數(shù)y2sin2x的圖象向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)2sin(2(x—))2sin(2x—),所12 12 6以D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)以及三角函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.10.瑞士數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)任一凸多面體(即多面體內(nèi)任意兩點(diǎn)的連線都被完全包含在該多面體中，直觀上講是指沒有凹陷或孔洞的多面體)的頂點(diǎn)數(shù) M棱數(shù)E及面數(shù)F滿足等式V-E+F=2,這個(gè)等式稱為歐拉多面體公式，被認(rèn)為是數(shù)學(xué)領(lǐng)域最漂亮、簡(jiǎn)潔的公式之一，現(xiàn)實(shí)生活中存在很多奇妙的幾何體， 現(xiàn)代足球的外觀即取自一種不完全正多面體， 它是由12塊黑色正五邊形面料和20塊白色正六邊形面料構(gòu)成的. 20世紀(jì)80年代，化學(xué)家們成功地以碳原子為頂點(diǎn)組成了該種結(jié)構(gòu)， 排列出全世界最小的一顆“足球”， 稱為“巴克球A.180B.120C.60D.A.180B.120C.60D.30【答案】C【解析】【分析】設(shè)巴克球頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E及面數(shù)F,計(jì)算出面數(shù)和棱數(shù)即可求出頂點(diǎn)數(shù).【詳解】解：依題意，設(shè)巴克球頂點(diǎn)數(shù) V、棱數(shù)E及面數(shù)F,貝UF201232, 512620每條棱被兩個(gè)面公用，故棱數(shù) E 90,2 ，所以由VEF2得：V90322,解得V60.故選：C.【點(diǎn)睛】本題為閱讀型題目，計(jì)算出棱數(shù)是解決問題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.11.已知正方體ABCDABGD,E,F是線段AC上的點(diǎn)，且AE=EF=FC,分別過點(diǎn)E,F作與直線AC垂直的平面a,B,則正方體夾在平面a與§之間的部分占整個(gè)正方體體積的

A.B.-C.A.B.-C.23D.【答案】【解析】【分析】構(gòu)造平面ABD,平面CB-D-,設(shè)正方體邊長(zhǎng)為1,根據(jù)等體積法計(jì)算A到平面A-BD的距離h看，從而可得出E,F分別為AC-與平面ABD和平面CBiDi的交點(diǎn)，計(jì)算中間幾何3體的體積得出答案.【詳解】解:D1D1構(gòu)造平面ABD,平面CB1D1,則AC1平面ABD,AC1平面CB1D1,設(shè)正方體邊長(zhǎng)為1,則ABADBDJ2,AC1J3, AEEFFC1—3TOC\o"1-5"\h\z1- -VAiABDVCB1C1D1 3 216，設(shè)A到平面ABD的距離為h,則VAabr1g^3af2)2gh：,解得h-y,E平面ABD,同理可得F平面CB1D1,1 2正方體夾在平面 與之間的部分體積為112<,\o"CurrentDocument"6 3八、一2體積之比是一，3故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的體積的求法， 考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.2 212.已知橢圓C：x_匕1的左、右焦點(diǎn)分別為Fi,F2,點(diǎn)P在橢圓上且異于長(zhǎng)軸端點(diǎn).點(diǎn)1612uuirumu uuuuuuuMN在^PFFz所圍區(qū)域之外，且始終滿足 MPMF10，NPNF20，則IMN的最大值為（ ）A.6 B.8 C.12 D.14【答案】A【解析】【分析】設(shè)PF1，PF2的中點(diǎn)分別為C,D,則M,N在分另iJ以C,D為圓心的圓上，直線CD與兩圓的交點(diǎn)（△PF1F2所圍區(qū)域之外）分別為M,N時(shí)，IMN|的最大，可得|MN|的PFPF最大值為 1 2CDac即可.2【詳解】解：設(shè)PF1,PF2的中點(diǎn)分別為C,D,uuiruuuu uuiruuuuQMPgMF10,NPgNF20,則M,N在分另U以C,D為圓心的圓上，???直線CD與兩圓的交點(diǎn)（△PF1F2所圍區(qū)域之外）分別為M,N時(shí)，|MN|最大,|MN|的最大值為PF12PF2CDac426,故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

rrrrv.已知非零向量a,b滿足|a||b|,a【答案】120rrrrv.已知非零向量a,b滿足|a||b|,a【答案】120【解析】vv v由題息，v2 b2 2vb 3b2,得v2vv2bcosa,b所以夾角是120r,r，一，則2與b的夾角為v2 『rrb,所以cos/a,b.某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為【答案】4.【解析】【分析】由四棱錐的三視圖得到該四棱錐是四棱錐 PABCD,其中，PO底面ABCD,ABCD是正方形，邊長(zhǎng)為3,PO2,由此能求出該四棱錐中最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng).【詳解】解：由題意幾何體的直觀圖如圖,其中，PO底面ABCD,ABCD是正方形，一，-— 1邊長(zhǎng)為3,PO2,AO-AC,2所以PC，4(2揚(yáng)2 4,PBPD。2222123，所以最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為4,故答案為：4.屬于基【點(diǎn)睛】本題主要考查由三視圖還原幾何體的直觀圖， 考查四棱錐中最長(zhǎng)棱的求法,礎(chǔ)題.屬于基.已知在銳角三角形ABC中，角A,BC的對(duì)邊分別為a,b,c,若a=4,且a 2 22a-bcosBbc,貝Ub+c的取值氾圍為.2【答案】(42,)【解析】【分析】根據(jù)已知等式和余弦定理，可推出 cosBcosC，即BC,bc,又知a4,所以bc4；因?yàn)槿切蜛BC是銳角三角形，所以角A為銳角，cosA(0,1);由a2b2c22bccosA,設(shè)bcx,用cosA表示出x，并求出x的取值范圍，進(jìn)而得bc2x的取值范圍.a 9 9【詳解】解：Qa4,且2a(萬bcosB)bc,2 2 2 2.2 2a2abcosBbc,即abc2abcosB,又Q由余弦定理可得a2b2c22abcosC,可得2abcosB2abcosC,即cosBcosC,BC,bc,又A為銳角，cosA(0,1),Qa4,bc4,設(shè)bcx,由余弦定理知a2b2c22bccosA,2~2 2.2x2xcosA2xg(1cosA),x2-8T8，x2亞，2x472，1cosA故bc472,故答案為：(4夜，).【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理的靈活應(yīng)用和函數(shù)思想，轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.16.已知曲線y=| lnx|與直線y=m有兩個(gè)不同的交點(diǎn) Pi (xi, yO , P2 (x2, y2)(xi〈X2),設(shè)直線1i,12分別是曲線y=|lnx|在點(diǎn)Pi,P2處的切線，且1i,l2分別與y軸相交于點(diǎn)AB.AP2AB為等邊三角形，則實(shí)數(shù)m的值為.【答案】ln.3【解析】【分析】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得x1x21,0為1%,分別求得ylnx和y lnx的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切線的方程，以及A,B的坐標(biāo)，可得等邊三角形的邊長(zhǎng)，可得x2,進(jìn)而得到m的值.【詳解】解：由曲線y11nxi與直線ym有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，可得-1nxi=lnx2,即有x〔x2 1,0x11x2,TOC\o"1-5"\h\z1 1由y lnx的導(dǎo)數(shù)為y-，可得切線11的斜率為一，切線的萬程為\o"CurrentDocument"x X，，、 1，y(ln%) —(xx1)，x令x0得y1ln”，即A(0,11nxJ,1 1由ylnx的導(dǎo)數(shù)為y—,可得切線12的斜率為一X,切線的萬程為x x2y1nx2x《xx2),令x0得ylnx2. Inx11,即B(0,In為1),則|AB|2,3由aP2AB為等邊三角形，可得x2—g2J3,2則m|Inx2|1nJ3,故答案為：in33-【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，考查直線方程的運(yùn)用，屬于中檔題.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第 17?21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第 22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答 .(一)必考題：共60分.17.端午節(jié)是中國傳統(tǒng)節(jié)日之一節(jié)日期間，各大商場(chǎng)各種品牌的“粽子戰(zhàn)”便悄然打響.某記者走訪市場(chǎng)發(fā)現(xiàn)，各大商場(chǎng)粽子種類繁多， 價(jià)格不一根據(jù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析， 得到了某商場(chǎng)不同種類的粽子銷售價(jià)格(單位：元/千克)的頻數(shù)分布表，如表一所示.

價(jià)格/（元/千克）[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)種類數(shù)4121662在調(diào)查中，記者還發(fā)現(xiàn)，各大品牌在餡料方面還做足了功課，滿足了市民多樣化的需求除了蜜棗、豆沙等傳統(tǒng)餡料粽，很多品牌還推出了鮮肉、巧克力、海鮮等特色餡料粽在該商場(chǎng)內(nèi)，記者隨機(jī)對(duì)100名顧客的年齡和粽子口味偏好進(jìn)行了調(diào)查，結(jié)果如表二.表二：喜歡傳統(tǒng)餡料粽喜歡特色餡料粽總計(jì)40歲以下30154540歲及以上50555總計(jì)8020100（1）根據(jù)表一估計(jì)該商場(chǎng)粽子的平均銷售價(jià)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）2nadbcabcdacbd（2）根據(jù)表二信息能否有95%2nadbcabcdacbdP(K2>kc)0.0500.0100.001kc3.8416.63510.828參考公式和數(shù)據(jù)：K2,（其中nabcd為樣本容量）【答案】（1）該商場(chǎng)粽子的平均銷售價(jià)為 21.25元/千克（2）有95%勺把握認(rèn)為顧客的粽子口味偏好與年齡有關(guān)【解析】【分析】（1）根據(jù)表一的數(shù)據(jù)計(jì)算平均數(shù)即可；（2）根據(jù)表二信息計(jì)算觀測(cè)值，對(duì)照臨界值即可得出結(jié)論.【詳解】解：（1）根據(jù)表一的數(shù)據(jù)，1x一(12.5417.51222.51627.5632.52)21.2540 '估計(jì)該商場(chǎng)粽子的平均銷售價(jià)為21.25;(2)根據(jù)表二信息,―2100(3055015)2K 802045551009.0913.841,11所以有95%的把握認(rèn)為顧客的粽子口味偏好與年齡有關(guān).【點(diǎn)睛】本題主要考查平均數(shù)的計(jì)算問題、列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)問題，屬于基礎(chǔ)題.1 118.已知｛an｝是等比數(shù)列，a3—,且a1,a2—，a3成等差數(shù)列.8 16(1)求數(shù)列估計(jì)該商場(chǎng)粽子的平均銷售價(jià)為21.25;(2)根據(jù)表二信息,―2100(3055015)2K 802045551009.0913.841,11所以有95%的把握認(rèn)為顧客的粽子口味偏好與年齡有關(guān).【點(diǎn)睛】本題主要考查平均數(shù)的計(jì)算問題、列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)問題，屬于基礎(chǔ)題.1 118.已知｛an｝是等比數(shù)列，a3—,且a1,a2—，a3成等差數(shù)列.8 16(1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；bn⑵設(shè)lOg1a2n12, ,求數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和Tn.log1a2n12(1),1、an=(一)2(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為q,運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，可得首項(xiàng)和公比q的方程，解方程可得首項(xiàng)和公比，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式;(2)求得bn(2n1)(2n1)2n12n1,再由數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和.【詳解】解:(1)設(shè)｛an｝是公比為q的等比數(shù)歹U,一 1 ，一…,且胡，出石通3成等差數(shù)列,可得2a〔q,a〔 a32(a21 2—),即研a1q162(a1q解得a1則ann1a〔q(2)bn(log1a2n1)(log1%n1)12n1 12n1log1(-) gog1(-)22 22(2n1)(2n1)2n12n1'???Tn11133512n12n 1 2n12n12n1【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，考查數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和,以及化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題.19.如圖，四棱錐P-ABCDJL底面ABCO邊長(zhǎng)為2的菱形，/ABC=60°,AC與BD^于

點(diǎn)QPCL平面ABCDE為CD勺中點(diǎn)連接AE交BDTG,點(diǎn)F在側(cè)棱PD上，且DF-1PD.3（1）求證：（1）求證：PB//平面AEF，⑵若cos⑵若cos2 BPA 求三棱錐E-PAD勺體積.4【答案】（1）【答案】（1）證明見解析（2)叵6（1）以。為原點(diǎn),OB為x軸，OC為y軸，OP為z（1）以。為原點(diǎn),量法證明PB//平面AEF;., 2(v3,0,a),由., 2(v3,0,a),由cosBPA一，求出PO41,三棱錐(2)求出PA(0,1,a),PBEPAD的體積VEPADVPADE,由此能求出結(jié)果.【詳解】（1）證明：四棱錐PABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，ABC60,AC與BD交于點(diǎn)O,PO平面ABCD,1E為CD的中點(diǎn)連接AE交BD于G,點(diǎn)F在側(cè)棱PD上，且DF-PD,3以。為原點(diǎn)，OB為x軸，OC為y軸，OP為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，A(0,1,0)設(shè)POa,則P(0,0,a),B(V3,0,0),C(0,1,0),D(73,0,0)E(31—，一,0),ULUl -PB(3,0,a)uurAE330T,2,0)UUTAF設(shè)平面AEF的法向量(x,y,z)rn則rnuuivAEuuivAF3—x22.3 x332yiz0n(v3,1,—),auuurQPBgn3PB平面AEFPB//平面AEFuur(2)解：PA(0,1,uur_a),PB (73,0,a)，QcosBPA—4uuuuuu

|PAgPBI

uniuur

|PAgPB|a21g.3a2PO三棱錐EPAD的體積:1VEPADVPADE-SADEPO31八 八一CDAEAO21 ——2-；416【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的證明， 考查三棱錐的體積的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.20.已知函數(shù)f(x)aexxa(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))(1)求函數(shù)f(x)的極值;(2)問：是否存在實(shí)數(shù)a,使得f(x)有兩個(gè)相異零點(diǎn)？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)①當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)無極值.②當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)有極小值為f(lna)lnaa1,無極大值；(2)存在，a(0,1)U(1,)【解析】【分析】(1)對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，根據(jù)a的不同取值范圍，進(jìn)行分類討論，求出函數(shù)f(x)的極值；(1)中的結(jié)(2)根據(jù)a的不同取值范圍，進(jìn)行分類討論，結(jié)合f(0) 0(1)中的結(jié)論，最后求出a的取值范圍.【詳解】解：⑴因?yàn)閒(x)aexxa,所以f(x)aex1.①當(dāng)a0時(shí)，f(x)aex10,所以x(,)時(shí)，f(x) 0,所以函數(shù)f(x)在(，)上單調(diào)遞減.此時(shí)，函數(shù)f(x)無極值.②當(dāng)a0時(shí),令f(x)aex10,得xlna,lna)上單調(diào)遞減;當(dāng)x( ,Ina)時(shí)，f(x)0,所以函數(shù)f(x)(lna)上單調(diào)遞減;)上單調(diào)遞增當(dāng)x(Ina,)時(shí)，f(x)0,所以函數(shù)f(x)在(Ina,)上單調(diào)遞增此時(shí)，函數(shù)f(x)有極小值為f(lna)Inaa1,無極大值.(2)存在實(shí)數(shù)a,使彳導(dǎo)f(x)有兩個(gè)相異零點(diǎn).由(1)知：①當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)在(，)上單調(diào)遞減；又f(0) 0,所以此時(shí)函數(shù)f(x)僅有一個(gè)零點(diǎn);②當(dāng)0a1時(shí)，lna0因?yàn)閒(0)0,則由(1)知f(lna)0；什-一1_什-一1_取f(2lna)2lnaa(0a，、人，、1?a1),令g(a)-2lnaa,

a易得g(a)(a1)易得g(a)(a1)22a0,所以g(a)在(0,1)單調(diào)遞減,21naa0.所以g(a)g(1)0,所以f(21na)21naa0.a此時(shí),函數(shù)f(x)在(1na,21na)上也有一個(gè)零點(diǎn).所以，當(dāng)0a1時(shí)，函數(shù)f(x)有兩個(gè)相異零點(diǎn).③當(dāng)a1時(shí)，1na0,f(x)f(0)0,此時(shí)函數(shù)f(x)僅有一個(gè)零點(diǎn).④當(dāng)a1時(shí)，1na0,因?yàn)閒(0) 0,則由(1)知￡(1na)0;1令函數(shù)h(a)a1na(a1),易得h(a)1—0(a1),a所以h(a)h(1)0所以a1na,即a1na.又f(a)aea0,所以函數(shù)f(x)在(a,1na)上也有一個(gè)零點(diǎn)，所以，當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)f(x)有兩個(gè)相異零點(diǎn).綜上所述，當(dāng)a(0,1)U(1,)時(shí)，函數(shù)f(x)有兩個(gè)相異零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、零點(diǎn)問題，考查了分類討論思想.21.已知拋物線C：x2=2py(p>0),直線1交C于A,B兩點(diǎn)，且AB兩點(diǎn)與原點(diǎn)不重合，點(diǎn)M(1,2)為線段AB的中點(diǎn).(1)若直線1的斜率為1,求拋物線C的方程；(2)分別過AB兩點(diǎn)作拋物線C的切線，若兩條切線交于點(diǎn)S,證明點(diǎn)S在一條定直線上.【答案】(1)x2=2y(2)證明見解析【解析】【分析】(1)設(shè)直線1方程為yxt,代入拋物線方程，消去y,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),運(yùn)用韋達(dá)定理，以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得P,即可得到所求拋物線方程；x2(2)求得y——的導(dǎo)數(shù)，可得拋物線在A,B處的切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程和點(diǎn)A,B2p滿足拋物線方程，可得在A,B處的切線方程，聯(lián)立兩切線方程，相加，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可得到所求點(diǎn)S所在的定直線方程.【詳解】解：(1)設(shè)直線1的方程為yxt,代入拋物線C:x22py(p0),可得x22px2Pt0,設(shè)A(xi,y1)，B(X2,y2),則xiX22p,點(diǎn)M(1,2)為線段AB的中點(diǎn)，可得2P2,即p1,則拋物線的方程為x22y;(2)證明：設(shè)A(xi,yi),B%"2),點(diǎn)M(1,2)為線段AB的中點(diǎn)，可得xix2 2,%y24,2由y'的導(dǎo)數(shù)為y-,可得拋物線在A處的切線斜率為上，切線方程為2p P Pxi/ 、yyi—(xxi),p由x22pyi,可得xxp(y%),①同理可得x?xp(yV2),②①②可得(xx2)xp(2yyiy?),即為2xp(2y4),IPxpy2p0.可得交點(diǎn)S在一條定直線xpy2p。上.