2020年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)三角形課件

四三角形第16課時

幾何圖形初步、相交線與平行線四三角形1課時目標(biāo)1.了解直線、射線、線段、角的概念及性質(zhì)；會比較線段的長短，理解線段的和、差及線段中點的意義；會計算角的和、差，會對度、分、秒進行簡單的換算．2.了解余角、補角、對頂角、垂線、垂線段、點到直線的距離的概念，理解等角(或同角)的余角(或補角)相等，理解垂線的性質(zhì)．3.能識別同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，理解平行線的性質(zhì)和判定，會運用相關(guān)知識進行作圖、計算及推理．4.了解平行于同一條直線的兩條直線平行．5.掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理、角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理．6.通過具體實例，了解定義、命題、定理、推論的意義．7.結(jié)合具體實例，會區(qū)分命題的條件和結(jié)論，了解原命題及其逆命題的概念；會識別兩個互逆的命題，知道原命題成立，其逆命題不一定成立.課時目標(biāo)2

一條一條線段相等

一條一條線段相等3知識點2角的有關(guān)概念及性質(zhì)概念定義1有公共端點的兩條________組成的圖形叫做角定義2一條________繞著它的端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形叫做角度、分、秒轉(zhuǎn)換1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″，角的度、分、秒是60進制的—角的表示∠1

∠B

∠ABC

—分類(1)若0°<α<90°，則α為銳角；(2)若90°<α<180°，則α為鈍角；(3)若α＝90°，則α為直角；(4)若α＝180°，則α為平角；(5)若α＝360°，則α為周角∠BOD、∠COD為銳角；∠COA＝∠COB＝90°，為直角；∠AOB＝180°，為平角；∠AOD為鈍角射線射線知識點2角的有關(guān)概念及性質(zhì)概念定義1有公共端點的兩條__4余角定義如果兩個角的和等于________，那么這兩個角互余∠1＋∠2＝90°性質(zhì)同角(或等角)的余角________補角定義如果兩個角的和等于________，那么這兩個角互補∠1＋∠2＝180°性質(zhì)同角(或等角)的補角________角平分線定義一般地，從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的平分線OC平分∠AOB，則∠AOC＝∠COB；若PM⊥AO，PN⊥OB，則PM＝PN性質(zhì)角平分線上的點到角的兩邊的距離________判定在角的內(nèi)部，到角的兩邊的距離相等的點在____________上90°相等180°相等相等角的平分線余角定義如果兩個角的和等于________，那么這兩個角5知識點3相交線1.三線八角對頂角性質(zhì)：對頂角相等舉例：∠1與∠3，∠2與∠4，∠5與∠7，∠6與________鄰補角性質(zhì)：互為鄰補角的兩個角之和等于180°舉例：∠1與∠2，∠4；∠2與∠1，∠3；∠8與∠5，∠7；∠7與∠6，∠8同旁內(nèi)角舉例：∠2與∠5，∠3與________同位角舉例：∠1與________，∠2與∠6，∠4與∠8，∠3與∠7內(nèi)錯角舉例：∠2與________，∠3與∠5∠8∠8∠5∠8知識點3相交線對頂角性質(zhì)：對頂角相等鄰補角性質(zhì)：互為鄰補角62.垂線：(1)概念：當(dāng)兩條直線相交所構(gòu)成的四個角中，有一個角是___________時，我們

就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線．(2)性質(zhì)：①過一點____________________與已知直線垂直；②連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，________最短；③點到直線的距離：直線外一點到這條直線的______________，叫做點到直線

的距離．直角(90°)有且只有一條直線垂線段垂線段的長度PA＝AB垂直平分線2.垂線：直角(90°)有且只有一條直線垂線段垂線段的長度7知識點4平行線的性質(zhì)與判定平行線的概念在同一平面內(nèi)，________的兩條直線叫做平行線平行公理經(jīng)過直線外一點有且只有________條直線與這條直線平行平行公理的推論如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相________平行線的判定同位角相等，兩直線平行內(nèi)錯角相等，兩直線平行同旁內(nèi)角互補，兩直線平行平行線的性質(zhì)兩直線平行，同位角相等兩直線平行，內(nèi)錯角相等兩直線平行，同旁內(nèi)角互補平行線間的距離定義過平行線上的一點作另一條平行線的垂線，________的長度叫做這兩條平行線間的距離性質(zhì)兩條平行線間的距離處處________不相交一平行垂線段相等知識點4平行線的性質(zhì)與判定平行線在同一平面內(nèi)，______8知識點5命題1.命題：判斷一件事件的語句，叫做命題．命題分為________和結(jié)論兩部分．2.真命題：如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做真命題．3.假命題：如果題設(shè)成立，不能保證結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做假命題．4.互逆命題：在兩個命題中，如果第一個命題的題設(shè)是第二個命題的結(jié)論，而

第一個命題的結(jié)論是第二個命題的題設(shè)，那么這兩個命題稱為互逆命題．5.定理：判定其他命題真假的依據(jù)的真命題，叫做定理題設(shè)知識點5命題題設(shè)9考點一與角有關(guān)的概念和計算例1(2019·梧州中考)如圖，鐘表上10點整時，時針與分針?biāo)傻慕鞘?

)A.30° B.60°C.90° D.120°例1圖∵鐘表分成12個大格，每格的度數(shù)為30°，∴鐘表上10點整時，時針與分針?biāo)傻慕鞘?0°.故選B.

B考點一與角有關(guān)的概念和計算∵鐘表分成12個大格，每格的度10例2(2019·淄博中考)如圖，小明從點A處沿北偏東40°方向行走至點B處，又

從點B處沿東偏南20°方向行走至點C處，則∠ABC的度數(shù)為(

)A.130° B.120°C.110° D.100°

例2圖[思路點撥]根據(jù)方向角的定義可知∠DAB，∠CBF的度數(shù)．根據(jù)平行線的性質(zhì)可知∠ABE的度數(shù)，從而利用角的和差關(guān)系求解．∵小明從點A處沿北偏東40°方向行走至點B處，又從點B處沿東偏南20°方向行走至點C處，∴∠DAB＝40°，∠CBF＝20°.∵向北方向線是平行的，即AD∥BE，∴∠ABE＝∠DAB＝40°.∵∠EBF＝90°，∴∠EBC＝90°－20°＝70°.∴∠ABC＝∠ABE＋∠EBC＝40°＋70°＝110°.故選C.[方法歸納]物體運動的方向與正北、正南方向所夾的銳角稱為方向角，理解方向角的定義是解題的前提，同時利用平行線的性質(zhì)及角的和差關(guān)系實現(xiàn)角的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．C例2(2019·淄博中考)如圖，小明從點A處沿北偏東40°11考點二平行線的判定與性質(zhì)例3(2018·郴州中考)如圖，直線a，b被直線c所截，下列條件中，不能判定

a∥b的是(

)A.∠2＝∠4 B.∠1＋∠4＝180°C.∠5＝∠4 D.∠1＝∠3[誤區(qū)警示]在運用同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角判定直線是否平行時，一定要搞清楚這一對角是由哪兩條直線被哪一條直線所截而成的，從而才能進行判斷．∵∠2，∠4是同位角，∠2＝∠4，∴根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”，得a∥b.∵∠1，∠4是同旁內(nèi)角，∠1＋∠4＝180°，∴根據(jù)“同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”，得a∥b.∵∠4，∠5是內(nèi)錯角，∠4＝∠5，∴根據(jù)“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”，得a∥b.∵∠1，∠3是對頂角，∴無法得到a∥b.故選D.D例3圖考點二平行線的判定與性質(zhì)∵∠2，∠4是同位角，∠2＝∠412例4(2019·南通中考)如圖，AB∥CD，AE平分∠CAB，交CD于點E.若∠C＝70°，

則∠AED的度數(shù)為(

)A.110° B.125°C.135° D.140°

例4圖[思路點撥]根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠CAB的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出∠BAE的度數(shù)，最后根據(jù)“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”求出∠AED的度數(shù)．

[方法歸納]本題考查了平行線的性質(zhì)與角平分線的性質(zhì)，本質(zhì)上就是兩次由兩直線平行得到角的關(guān)系，本題還可以利用三角形外角的性質(zhì)∠AED＝∠C＋∠CAE求解．B例4(2019·南通中考)如圖，AB∥CD，AE平分∠CA13考點三構(gòu)造平行線解題例5(2019·泰安中考)如圖，直線l1∥l2，∠1＝30°，則∠2＋∠3的度數(shù)為

(

)A.150°B.180°C.210°D.240°例5圖[思路點撥]如圖，過點E作EF∥l1.由l1∥l2，得EF∥l1∥l2，繼而得到∠1＝∠AEF，∠FEC＋∠3＝180°.又由∠2＝∠AEF＋∠FEC，可得答案．過點E作EF∥l1.∵l1∥l2，∴EF∥l1∥l2.∴∠1＝∠AEF＝30°，∠FEC＋∠3＝180°.∴∠2＋∠3＝∠AEF＋∠FEC＋∠3＝30°＋180°＝210°.故選C.[方法歸納]有關(guān)平行線的題目，一般需要先運用平行線的性質(zhì)實現(xiàn)角的轉(zhuǎn)化，再結(jié)合題目中的其他條件進行求解，如果不是“三線八角”，可添加輔助線，變成“三線八角”再求解．如本題作EF∥l1.C考點三構(gòu)造平行線解題過點E作EF∥l1.∵l1∥l2，∴14考點四平行線與三角尺的綜合運用例6(2019·日照中考)如圖，將一塊三角尺的直角頂點放在直尺的一邊上，當(dāng)

∠1＝35°時，∠2的度數(shù)為(

)A.35°B.45°C.55°D.65°例6圖∵直尺的兩邊互相平行，∠1＝35°，∴∠3＝35°.∵∠2＋∠3＝90°，∴∠2＝55°.故選C.[方法歸納]三角尺是常見的教具，與三角尺有關(guān)的平行線問題一直是中考的熱點，解題時我們需要意識到三角尺就是一個條件：它的三個內(nèi)角都是特殊角，再結(jié)合平行線的性質(zhì)解決問題．C考點四平行線與三角尺的綜合運用∵直尺的兩邊互相平行，∠115例7(2019·張家界中考)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，DC＝AD，BD平分

∠ABC，則點D到AB的距離為(

)A.4 B.3C.2 D.1 例7圖[思路點撥]如圖，過點D作DE⊥AB于點E.由角平分線的性質(zhì)，可知DE＝DC.由AC＝8，DC＝AD，可得DC的長，從而得出答案．考點五角平分線的性質(zhì)

[方法歸納]角平分線上的點到角兩邊的距離相等，因此當(dāng)遇到求角平分線上的點到一邊的距離時，要作出它到另一邊的垂線，從而得出等邊，為解決其他問題打下基礎(chǔ)．C例7(2019·張家界中考)如圖，在△ABC中，∠C＝9016考點六線段垂直平分線的性質(zhì)例8(2019·梧州中考)如圖，DE是△ABC的邊AB的垂直平分線，D為垂足，DE交AC

于點E，且AC＝8，BC＝5，則△BEC的周長是(

)A.12 B.13C.14 D.15例8圖[思路點撥]根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得AE＝BE，從而將△BEC的周長轉(zhuǎn)化為AC＋BC的長．∵DE是△ABC的邊AB的垂直平分線，∴AE＝BE.∵AC＝8，BC＝5，∴△BEC的周長是BE＋EC＋BC＝AE＋EC＋BC＝AC＋BC＝13.故選B.[方法歸納]根據(jù)線段的垂直平分線，往往可以得到長度相等的線段，從而將三角形的兩邊之和轉(zhuǎn)化到一條線段(大三角形的一條已知邊)上，最終發(fā)現(xiàn)已知和所求之間的聯(lián)系．B考點六線段垂直平分線的性質(zhì)∵DE是△ABC的邊AB的垂直17考點七命題例9(2019·百色中考)下列四個命題：①兩直線平行，內(nèi)錯角相等；②對頂角

相等；③等腰三角形的兩個底角相等；④菱形的對角線互相垂直．其中逆

命題是真命題的是(

)A.①②③④ B.①③④C.①③ D.①[思路點撥]先根據(jù)所給命題得出各自的逆命題，再判斷正確性即可．①兩直線平行，內(nèi)錯角相等，其逆命題：內(nèi)錯角相等，兩直線平行是真命題；②對頂角相等，其逆命題：相等的角是對頂角是假命題；③等腰三角形的兩個底角相等，其逆命題：有兩個角相等的三角形是等腰三角形是真命題；④菱形的對角線互相垂直，其逆命題：對角線互相垂直的四邊形是菱形是假命題．故選C.[方法歸納]命題是由題設(shè)與結(jié)論組成的判別某一事情的語句，當(dāng)命題的題設(shè)與結(jié)論交換位置后就變成它的逆命題，命題有真假命題，逆命題也有真假命題．判斷真假命題的一般方法是掌握定義、定理及法則.C考點七命題①兩直線平行，內(nèi)錯角相等，其逆命題：內(nèi)錯角相等181.(2019·玉林中考)若α＝29°45′，則α的余角的度數(shù)為(

)A.60°55′ B.60°15′C.150°55′ D.150°15′2.(2019·白銀中考)下列四個幾何體中，是三棱柱的為(

)

A B C D3.(2018·河北中考)如圖，快艇從點P處向正北航行到點A處，再向左轉(zhuǎn)50°航行

到點B處，然后向右轉(zhuǎn)80°繼續(xù)航行，此時的航行方向為(

)A.北偏東30°

B.北偏東80°C.北偏西30°

D.北偏西50°

4.(2019·河池中考)如圖，∠1＝120°，要使a∥b，則∠2的度數(shù)是(

)A.60° B.80°C.100° D.120°BCAD1.(2019·玉林中考)若α＝29°45′，則α的余角的19

CCD

CCD208.(2019·湖州中考)如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝

6，BC＝9，CD＝4，則四邊形ABCD的面積是(

)A.24 B.30C.36 D.42第8題9.(2019·日照中考)如圖，AB＝8cm，BD＝3cm，C為AB的中點，則線段CD的長

為________cm.

第9題10.(2018·昆明中考)如圖，過直線AB上一點O作射線OC，∠BOC＝29°18′，則

∠AOC的度數(shù)為________．第10題B1150°42′8.(2019·湖州中考)如圖，在四邊形ABCD中，∠BC2111.(2019·南京中考)用符號語言表示定理“同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”的推

理形式：如圖，∵____________，∴a∥b.第11題第12題12.(2019·菏澤中考)如圖，AD∥CE，∠ABC＝100°，則∠2－∠1＝________．13.(2018·南充中考)如圖，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分線交BC于

點E，交AC于點D，∠B＝70°，∠FAE＝19°，則∠C＝________．

第13題14.(2019·武漢中考)如圖，點A，B，C，D在一條直線上，CE與BF交于點G，∠A

＝∠1，CE∥DF.求證：∠E＝∠F.

第14題∵CE∥DF，∴∠ACE＝∠D.∵∠A＝∠1，∴180°－∠ACE－∠A＝180°－∠D－∠1，即∠E＝∠F∠1＋∠3＝180°80°24°11.(2019·南京中考)用符號語言表示定理“同旁內(nèi)角互22第17課時三角形與多邊形第17課時三角形與多邊形23課時目標(biāo)1.理解三角形及其內(nèi)角、外角、中線、高線、角平分線等概念及性質(zhì)，了解三角形的穩(wěn)定性；會畫任意三角形的角平分線、中線、高．2.探索并證明三角形的三邊關(guān)系、三角形的內(nèi)角和定理及外角性質(zhì)，并會對三角形進行分類，會進行有關(guān)證明和計算．3.了解多邊形的定義，多邊形的頂點、邊、內(nèi)角、外角、對角線等概念；探索并掌握多邊形內(nèi)角和與外角和的相關(guān)知識.課時目標(biāo)24知識點1三角形的概念及其分類概念：由______________直線上的三條線段首尾依次連接組成的圖形叫做三

角形，一個三角形有三條邊、三個頂點、三個內(nèi)角．2.分類：不在同一條知識點1三角形的概念及其分類不在同一條25知識點2三角形的邊角關(guān)系三角形三邊關(guān)系：三角形的任意兩邊之和________第三邊，任意兩邊之差________第三邊．2.三角形內(nèi)角和定理及其推論：(1)三角形的內(nèi)角和等于________；(2)三角形的一個外角等于與它________的兩個內(nèi)角的________；(3)三角形的一個外角________與它________的任何一個內(nèi)角．大于小于180°不相鄰和大于不相鄰知識點2三角形的邊角關(guān)系大于小于180°不相鄰和大于不相鄰26知識點3三角形中的三條重要線段重要線段交點位置三角形的中線在三角形中，連接一個頂點和它的對邊________的線段叫做三角形的中線，三角形的三條中線的交點在三角形的內(nèi)部重要線段交點位置三角形的角平分線在三角形中，一個內(nèi)角的________和這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線，三角形的三條角平分線的交點在三角形的內(nèi)部三角形的高從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作________，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高．銳角三角形的三條高的交點在三角形的________；直角三角形的三條高的交點是直角的________；鈍角三角形的三條高所在直線的交點在三角形的________溫馨提示：1.常過角平分線上的點作兩條鄰邊的垂線，構(gòu)造全等三角形解題；2.三角形的中線平分三角形的面積．中點平分線垂線內(nèi)部直角頂點外部知識點3三角形中的三條重要線段重要線段交點位置三角形在三角27知識點4多邊形多邊形的定義在同一平面內(nèi)，不在同一條直線上的一些線段________順次相接組成的圖形叫做多邊形多邊形的性質(zhì)內(nèi)角和n邊形內(nèi)角和為______________外角和任意多邊形的外角和為360°對角線正多邊形定義各個角________，各條邊________的多邊形叫做正多邊形對稱性正多邊形都是________對稱圖形，邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形是中心對稱圖形首尾(n－2)×180°相等相等軸知識點4多邊形多邊形的定義在同一平面內(nèi)，不在同一條直線上的28考點一三角形中三邊的關(guān)系例1(2019·徐州中考)下列長度的三條線段，能組成三角形的是(

)A.2，2，4 B.5，6，12C.5，7，2 D.6，8，10∵2＋2＝4，∴2，2，4不能組成三角形．故A錯誤．∵5＋6＜12，∴5，6，12不能組成三角形．故B錯誤．∵5＋2＝7，∴5，7，2不能組成三角形．故C錯誤．∵6＋8＞10，∴6，8，10能組成三角形．故D正確．故選D.[方法歸納]判斷三條邊(a，b，c，a≤b≤c)能否構(gòu)成三角形，只需比較兩條短邊a，b的和與第三邊c的大小，若a＋b＞c，則能構(gòu)成三角形；反之，則不能構(gòu)成三角形．D考點一三角形中三邊的關(guān)系∵2＋2＝4，∴2，2，4不能29例2(2019·廣安中考)等腰三角形的兩邊長分別為6cm，13cm，其周長為

________cm.[思路點撥]題目給出等腰三角形有兩條邊長為6cm和13cm，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗證能否構(gòu)成三角形．由題意，知應(yīng)分兩種情況：(1)當(dāng)腰長為6cm時，三角形的三邊長為6cm，6cm，13cm，6＋6＜13，不能構(gòu)成三角形；(2)當(dāng)腰長為13cm時，三角形的三邊長為6cm，13cm，13cm，能構(gòu)成三角形，周長為2×13＋6＝32(cm)．[方法歸納]當(dāng)已知等腰三角形的兩條邊長時，若沒有明確邊的類型，要分已知邊是底邊和腰兩種情況進行討論，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系(三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊)進行判斷．32例2(2019·廣安中考)等腰三角形的兩邊長分別為6cm30考點二三角形內(nèi)角和定理例3(2019·赤峰中考)如圖，點D在BC的延長線上，DE⊥AB于點E，交AC于點F.

若∠A＝35°，∠D＝15°，則∠ACB的度數(shù)為(

)A.65° B.70°C.75° D.85°例3圖[思路點撥]已知DE⊥AB，可得∠DEB＝90°.結(jié)合∠D的度數(shù)及三角形內(nèi)角和定理可得∠B的度數(shù)，再結(jié)合∠A的度數(shù)得出答案．∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°.∵∠D＝15°，∴∠B＝90°－∠D＝90°－15°＝75°.又∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，∴∠ACB＝180°－75°－35°＝70°.故選B.[方法歸納]在一個三角形中已知任意兩個角的度數(shù)便可求出第三個角的度數(shù)，或在一個三角形中已知兩角的度數(shù)和也可求出第三個角的度數(shù)．B考點二三角形內(nèi)角和定理∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°31考點三三角形的外角性質(zhì)例4(2018·南通中考)如圖，∠AOB＝40°，OP平分∠AOB，C為射線OP上一點，

作CD⊥OA于點D，在∠POB的內(nèi)部作CE∥OB，則∠DCE＝________°.

例4圖[思路點撥]由角平分線可求得∠AOP與∠POB的度數(shù)，再根據(jù)外角性質(zhì)得∠DCP＝∠AOP＋∠ODC，從而求得∠DCP的度數(shù)，此時只需利用平行線的性質(zhì)求得∠PCE的度數(shù)便可解決問題．∵∠AOB＝40°，OP平分∠AOB，∴∠AOP＝∠POB＝20°.∵CD⊥OA，∴∠ODC＝90°.∴∠DCP＝∠ODC＋∠AOP＝110°.∵CE∥OB，∴∠PCE＝∠POB＝20°.∴∠DCE＝∠DCP＋∠PCE＝130°.[方法歸納]在解決求角度相關(guān)問題時，常常要用到三角形內(nèi)角和等于180°及三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，這些是解決求角度相關(guān)問題的重要工具．130°考點三三角形的外角性質(zhì)∵∠AOB＝40°，OP平分∠A32考點四多邊形的內(nèi)角和與外角和例5(2018·南通中考)若一個多邊形的內(nèi)角和為720°，則這個多邊形的邊數(shù)為

(

)A.4 B.5C.6 D.7設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n.由多邊形的內(nèi)角和公式，得(n－2)·180°＝720°，解得n＝6.故選C.[方法歸納]求多邊形的邊數(shù)問題，常見以下幾類：(1)已知內(nèi)角和，求邊數(shù)，此時可直接利用多邊形內(nèi)角和公式求解；(2)已知多邊形的每個內(nèi)角相等，且等于a°，此時可利用多邊形內(nèi)角和的兩種不同計算方法得出方程(n－2)·180＝n·a；(3)已知多邊形的每個外角相等，且等于b°，則多邊形的邊數(shù)為.C考點四多邊形的內(nèi)角和與外角和設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n.由多邊33例6(2018·山西中考)圖①是我國古代建筑中的一種窗格，其中冰裂紋圖案象征

著堅冰出現(xiàn)裂紋并開始消融，形狀無一定規(guī)則，代表一種自然和諧美．圖②

是從圖①冰裂紋窗格圖案中提取的由五條線段組成的圖形，則∠1＋∠2＋

∠3＋∠4＋∠5＝________°.

①

②例6圖[思路點撥]觀察圖形易知，∠1，∠2，∠3，∠4，∠5為五邊形的外角，根據(jù)多邊形的外角和等于360°解答即可．

由多邊形的外角和等于360°，可知∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝360°.360°例6(2018·山西中考)圖①是我國古代建筑中的一種窗格，34

BBD

BBD354.(2019·天水中考)一把直尺和一把三角尺ABC(含30°角)按如圖所示的方式擺

放，直尺的一邊與三角尺的兩直角邊分別交于點D和點E，另一邊與三角尺的兩

直角邊分別交于點F和點A，且∠CED＝50°，那么∠BFA的度數(shù)為(

)A.145° B.140°C.135° D.130° 第4題5.(2019·大慶中考)如圖，在△ABC中，BE是∠ABC的平分線，CE是外角∠ACM的

平分線，BE與CE相交于點E.若∠A＝60°，則∠BEC的度數(shù)為(

)A.15° B.30°C.45° D.60° 第5題6.(2019·遼陽中考)已知正多邊形的一個外角是72°，則這個正多邊形的邊數(shù)是

________．7.(2018·撫順中考)將兩張三角形紙片如圖擺放，量得∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝

220°，則∠5＝________．第7題BB540°4.(2019·天水中考)一把直尺和一把三角尺ABC(含3368.(2018·宜昌中考)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的

外角∠CBD的平分線BE交AC的延長線于點E.(1)求∠CBE的度數(shù)；(2)過點D作DF∥BE，交AC的延長線于點F，求∠F的度數(shù)．

第8題

8.(2018·宜昌中考)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB379.如圖，AD，AE分別是△ABC的角平分線和高線．(1)若∠B＝50°，∠C＝60°，求∠DAE的度數(shù)；(2)若∠C＞∠B，猜想∠DAE與∠C－∠B之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．第9題

9.如圖，AD，AE分別是△ABC的角平分線和高線．

38第18課時全等三角形第18課時全等三角形39課時目標(biāo)1.通過畫圖和實驗了解全等三角形的概念；能識別全等三角形中的對應(yīng)邊、對應(yīng)角．掌握全等三角形的性質(zhì)，能利用全等三角形的性質(zhì)進行計算或推理．2.能靈活運用“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”來判定兩個三角形全等．3.能運用全等三角形的性質(zhì)與判定和等腰三角形的性質(zhì)與判定進行證明和計算.課時目標(biāo)40知識點1全等三角形及其性質(zhì)1.全等三角形：能夠__________的兩個三角形叫全等三角形．2.全等三角形的性質(zhì)：(1)全等三角形的________相等；(2)全等三角形的________相等；(3)全等三角形的對應(yīng)線段(角平分線、中線、高等)________，周長

________，面積________．完全重合對應(yīng)角對應(yīng)邊相等相等相等知識點1全等三角形及其性質(zhì)完全重合對應(yīng)角對應(yīng)邊相等相等相等41知識點2全等三角形的判定1.三角形全等的判定：對應(yīng)元素三角形是否全等一般三角形兩邊一角兩邊及其________全等(SAS)兩邊及其中一邊的________不一定全等兩角一邊兩角及其夾邊全等(ASA)兩角及其中一角的________全等(AAS)三角不一定全等三邊全等(SSS)直角三角形斜邊、直角邊全等(HL)溫馨提示：在判定三角形全等時，還要注意的問題：(1)根據(jù)已知條件與結(jié)論認(rèn)真分析圖形；(2)準(zhǔn)確無誤地確定每個三角形的六個元素；(3)根據(jù)條件，確定對應(yīng)元素，即找出相等的角或邊；(4)對照判定方法，看看還需什么條件兩個三角形就全等；(5)想辦法找出所需條件．夾角對角對邊知識點2全等三角形的判定對應(yīng)元素三角形一般三角形兩邊兩邊及422.判定三角形全等的技巧：已知對應(yīng)相等的兩個元素尋找第三個對應(yīng)相等的元素判定方法的選擇溫馨提示兩角任意一邊“ASA”或“AAS”不能找第三個角對應(yīng)相等已知對應(yīng)相等的兩個元素尋找第三個對應(yīng)相等的元素判定方法的選擇溫馨提示兩邊兩邊的夾角或第三邊“SAS”或“SSS”不能找已對應(yīng)相等的邊的對角對應(yīng)相等一角及其對邊任意一角“AAS”不能再找邊對應(yīng)相等一角及其一鄰邊任意一角或另一鄰邊“AAS”或“ASA”或“SAS”不能找已對應(yīng)相等的角的對邊對應(yīng)相等直角及直角邊斜邊“HL”只適合直角三角形2.判定三角形全等的技巧：已知對應(yīng)相等的兩個元素尋找第三個433.全等三角形常見模型：(1)平移型：如圖，它們可看成由對應(yīng)邊在一直線上移動所構(gòu)成的，故該對應(yīng)

邊的相等關(guān)系一般可由同一直線上的線段和差得到．

(2)對稱型：如圖，它們的特征是可沿某一直線對折，直線兩旁的部分能完全

重合(軸對稱圖形)，重合的頂點就是全等三角形的對應(yīng)頂點．

(3)旋轉(zhuǎn)型：如圖，它們可看成是以三角形的某一頂點為中心旋轉(zhuǎn)所構(gòu)成的，

故一般有一對相等的角隱含在對頂角中或某些角的和差中．3.全等三角形常見模型：44考點一全等三角形的性質(zhì)例1如圖，△ABE≌△ACD，∠A＝60°，∠B＝25°，則∠DOE的度數(shù)為(

)A.85°

B.95°C.110°D.120°例1圖∵△ABE≌△ACD，∴∠B＝∠C＝25°.∵∠A＝60°，∠C＝25°，∴∠BDO＝∠A＋∠C＝85°.∴∠DOE＝∠B＋∠BDO＝25°＋85°＝110°.故選C.

[誤區(qū)警示]全等三角形的性質(zhì)是全等三角形的對應(yīng)角、對應(yīng)邊相等，運用全等三角形的性質(zhì)的關(guān)鍵是“對應(yīng)”．C考點一全等三角形的性質(zhì)∵△ABE≌△ACD，∴∠B＝∠45考點二全等三角形的判定例2(2019·安順中考)如圖，點B，F(xiàn)，C，E在一條直線上，AB∥ED，AC∥FD，那

么添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC≌△DEF的是(

)A.∠A＝∠D B.AC＝DFC.AB＝DE D.BF＝EC[思路點撥]全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS，根據(jù)判定方法逐個判斷即可．添加∠A＝∠D不能判定△ABC≌△DEF，故A符合題意；添加AC＝DF可用AAS進行判定，故B不符合題意；添加AB＝DE可用AAS進行判定，故C不符合題意；添加BF＝EC可得出BC＝EF，然后可用ASA進行判定，故D不符合題意．故選A.[方法歸納](1)要證三角形全等，至少要有一組“邊”的條件，因此一般情況下，我們先找對應(yīng)邊．(2)在有一組對應(yīng)邊相等的前提下，我們通常找任意兩組對應(yīng)角相等即可；在有兩組對應(yīng)邊分別相等的前提下，可以找第三組對應(yīng)邊相等，或者找兩組對應(yīng)邊的夾角相等，注意必須是夾角；若有三組對應(yīng)邊分別相等，則可以直接根據(jù)邊邊邊(SSS)求解．(3)要證直角三角形全等，通常先考慮斜邊、直角邊定理(HL)．A例2圖考點二全等三角形的判定添加∠A＝∠D不能判定△ABC≌△D46考點三全等三角形的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用例3(2019·宜昌中考)如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點，AB＝DB，BE平分

∠ABC，交AC邊于點E，連接DE.(1)求證：△ABE≌△DBE；(2)若∠A＝100°，∠C＝50°，求∠AEB的度數(shù)．

例3圖[思路點撥](1)由角平分線性質(zhì)得出∠ABE＝∠DBE，由SAS證明△ABE≌△DBE即可．(2)由△ABE≌△DBE，可得∠A＝∠BDE，∠AEB＝∠DEB，再結(jié)合外角性質(zhì)可解決問題．

[方法歸納]證明三角形全等主要去找邊和角，根據(jù)已知條件得出兩個三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等，用AAS，SAS，ASA，SSS來證明兩個三角形全等，另外證明全等之后可根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出相應(yīng)邊、角的等量關(guān)系．考點三全等三角形的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用

[方法歸納]證明47考點四等腰三角形、全等三角形的綜合應(yīng)用例4(2018·濱州中考)已知在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D為BC的中點．(1)如圖①，若E，F(xiàn)分別為AB，AC上的點，且DE⊥DF，求證：BE＝AF.(2)如圖②，若E，F(xiàn)分別為AB，CA延長線上的點，且DE⊥DF，則BE＝AF嗎？

請說明理由．例4圖[思路點撥](1)連接AD，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”可得出AD＝BD，∠EBD＝∠FAD，再根據(jù)同角的余角相等可得∠BDE＝∠ADF，從而可證△BDE≌△ADF(ASA)，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出BE＝AF.(2)連接AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及等角的補角相等可得出∠EBD＝∠FAD，BD＝AD，根據(jù)同角的余角相等可得出∠EDB＝∠FDA，由此證出△EDB≌△FDA(ASA)，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出BE＝AF.考點四等腰三角形、全等三角形的綜合應(yīng)用48

[方法歸納]本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形、補角及余角，解題的關(guān)鍵是(1)根據(jù)全等三角形的判定定理ASA證出△BDE≌△ADF；(2)根據(jù)全等三角形的判定定理ASA證出△EDB≌△FDA.例4圖

[方法歸納]本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三49如圖，△ABC≌△A′B′C，點B′在邊AB上，線段A′B′與AC交于點D.若∠A

＝40°，∠B＝60°，則∠A′CB的度數(shù)為(

)A.100° B.120°C.135° D.140° 第1題2.(2018·黔西南州中考)下列各圖中的a，b，c為三角形的邊長，則甲、乙、丙

三個三角形和左側(cè)△ABC全等的是(

)A.甲和乙

B.乙和丙C.甲和丙

D.只有丙

第2題3.(2019·襄陽中考)如圖，∠ABC＝∠DCB，添加下列條件中的一個：①∠A＝

∠D；②AC＝DB；③AB＝DC.其中不能確定△ABC≌△DCB的是________(填序

號)．第3題DB②如圖，△ABC≌△A′B′C，點B′在邊AB上，線段A′B′504.如圖，AB⊥CD，且AB＝CD，E，F(xiàn)是AD上的兩點，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE＝5，

BF＝4，EF＝3，則AD的長為________．第4題5.(2019·南通中考)如圖，有一池塘，要測池塘兩端A，B的距離，可先在平

地上取一點C，從點C不經(jīng)過池塘可以直接到達點A和B.連接AC并延長到點D，

使CD＝CA.連接BC并延長到點E，使CE＝CB.連接DE，那么量出DE的長就是A，

B的距離．為什么？

第5題在△ABC和△DEC中，CA＝CD，∠ACB＝∠DCE，CB＝CE，∴△ABC≌△DEC.∴AB＝DE 64.如圖，AB⊥CD，且AB＝CD，E，F(xiàn)是AD上的兩點，516.(2019·溫州中考)如圖，在△ABC中，AD是邊BC上的中線，E是邊AB上一點，

過點C作CF∥AB交ED的延長線于點F.

(1)求證：△BDE≌△CDF；(2)當(dāng)AD⊥BC，AE＝1，CF＝2時，求AC的長．

第6題(1)∵CF∥AB，∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F.∵AD是邊BC上的中線，∴BD＝CD.∴△BDE≌△CDF

(2)∵△BDE≌△CDF，∴BE＝CF＝2.∴AB＝AE＋BE＝1＋2＝3.∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AC＝AB＝36.(2019·溫州中考)如圖，在△ABC中，AD是邊BC52第19課時等腰三角形與直角三角形第19課時等腰三角形與直角三角形53課時目標(biāo)1.了解等腰三角形的概念，探索并證明等腰三角形的性質(zhì)定理與判定定理；探索等邊三角形的性質(zhì)定理與判定定理，并會進行有關(guān)證明和計算．2.了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性質(zhì)與判定定理．3.探索勾股定理及其逆定理，并能運用它們解決一些簡單的實際問題.課時目標(biāo)54知識點1等腰三角形的概念與性質(zhì)定義有________相等的三角形叫做等腰三角形．相等的兩邊叫腰，第三邊為底性質(zhì)軸對稱性：等腰三角形是軸對稱圖形，有________條對稱軸定理1：等腰三角形的兩個底角相等(簡稱為____________)定理2：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合，簡稱___________常見結(jié)論(1)等腰三角形兩腰上的高相等；(2)等腰三角形兩腰上的中線相等；(3)等腰三角形兩底角的平分線相等；(4)等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半；(5)等腰三角形頂角的外角平分線與底邊平行兩邊1等邊及對等角三線合一知識點1等腰三角形的概念與性質(zhì)定義有________相等55知識點2等腰三角形的判定1.有兩條邊相等的三角形是等腰三角形．2.在一個三角形中，如果有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊________，簡稱____________．知識點3等邊三角形的性質(zhì)與判定定義三邊相等的三角形是等邊三角形性質(zhì)等邊三角形的各角都________，并且每一個角都等于_______；等邊三角形是軸對稱圖形，有________條對稱軸判定三條邊都________的三角形是等邊三角形；有一個角等于________的等腰三角形是等邊三角形相等等角對等邊相等3相等60°60°知識點2等腰三角形的判定定義三邊相等的三角形是等邊三角形56知識點4直角三角形的概念、性質(zhì)與判定定義有一個角是________的三角形叫做直角三角形性質(zhì)直角三角形的兩個銳角________；在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的________；在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的________判定兩個內(nèi)角________的三角形是直角三角形；一邊上的中線等于這條邊的一半的三角形是直角三角形常見結(jié)論直角互余一半一半互余知識點4直角三角形的概念、性質(zhì)與判定定義有一個角是___57知識點5勾股定理及逆定理勾股定理直角三角形兩直角邊長a，b的平方和等于斜邊長c的平方，即___________勾股定理的逆定理如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是___________勾股數(shù)滿足關(guān)系式a2＋b2＝c2的3個正整數(shù)a，b，c稱為勾股數(shù)a2＋b2＝c2直角三角形知識點5勾股定理及逆定理勾股定理直角三角形兩直角邊長a，b58考點一等腰三角形的性質(zhì)與判定例1(2019·寧夏中考)如圖，在△ABC中，AC＝BC，點D，E分別在AB，AC上，且AD

＝AE，連接DE，過點A的直線GH與DE平行．若∠C＝40°，則∠GAD的度數(shù)為

(

)A.40° B.45°C.55° D.70°[思路點撥]利用等邊對等角及∠C的度數(shù)求∠CAB的度數(shù)，從而得出∠ADE的度數(shù)，然后利用平行線的性質(zhì)求出∠GAD的度數(shù)．[方法歸納]解答等腰三角形已知邊求角的問題，經(jīng)常利用等邊對等角及三角形內(nèi)角和或外角性質(zhì)來解決．

C例1圖考點一等腰三角形的性質(zhì)與判定

C例1圖59例2(2019·無錫中考)如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D，E分別在AB，AC上，BD

＝CE，BE，CD相交于點O.求證：(1)△DBC≌△ECB；(2)OB＝OC.

例2圖[思路點撥](1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DBC＝∠ECB，再結(jié)合題中條件及全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論．(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠DCB＝∠EBC，再根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到OB＝OC.∵AB＝AC，∴∠DBC＝∠ECB.在△DBC和△ECB中，BD=CE,∠DBC=∠ECB,BC=CB

∴△DBC≌△ECB.(2)由(1)，知△DBC≌△ECB，∴∠DCB＝∠EBC.∴OB＝OC.[方法歸納]要證明三角形是等腰三角形必須得到兩邊相等，而得到兩邊相等的方法主要有：(1)通過等角對等邊得到兩邊相等；(2)通過三角形全等得到兩邊相等；(3)利用垂直平分線的性質(zhì)得到兩邊相等．例2(2019·無錫中考)如圖，在△ABC中，AB＝AC，60考點二等邊三角形的性質(zhì)與判定例3(2019·哈爾濱中考)如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，

E為邊AD上一點，連接BD，CE，CE與BD交于點F，且CE∥AB.若AB＝8，CE＝6，

則BC的長為________．例3圖[思路點撥]如圖，連接AC交BD于點O.由題意可證AC垂直平分BD，△ABD是等邊三角形，可得∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝8，BO＝OD＝4，通過證明△EDF是等邊三角形，可得DE＝EF＝DF＝2，由勾股定理可求OC，BC的長．

考點二等邊三角形的性質(zhì)與判定

61

[方法歸納]本題考查了垂直平分線的判定、等邊三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理，熟練運用等邊三角形的判定以及進行邊角的轉(zhuǎn)化是解答本題的關(guān)鍵．同時等邊三角形是一個極其特殊的圖形，應(yīng)重點關(guān)注它的邊和角．

[方法歸納]本題考查了垂直平分線的判定、等邊三角形的性質(zhì)62

∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB，MN∥BC，且MN平分∠AMC，∴∠AMN＝∠NMC＝∠B，∠NCM＝∠BCM＝∠NMC.∴∠ACB＝2∠B，NC＝NM.∴易得∠B＝30°.∴∠AMN＝30°.∵AN＝1，∴NM＝2.∴AC＝AN＋NC＝AN＋NM＝3.∴BC＝6.故選B.[方法歸納]含30°角的直角三角形的性質(zhì)主要用來計算線段長度，或證明線段的倍數(shù)關(guān)系，當(dāng)直角三角形出現(xiàn)30°或60°角時應(yīng)該聯(lián)想此性質(zhì)來解決問題．B

∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB，MN∥BC，且M63考點四勾股定理及其應(yīng)用例5(2019·南通中考)小明學(xué)了在數(shù)軸上畫出表示無理數(shù)的點的方法后，進行練

習(xí)：首先畫數(shù)軸，原點為O，在數(shù)軸上找到表示數(shù)2的點A，然后過點A作

AB⊥OA，使AB＝3(如圖)．以O(shè)為圓心，OB的長為半徑作弧，交數(shù)軸正半軸于

點P，則點P所表示的數(shù)介于(

)

A.1和2之間

B.2和3之間C.3和4之間

D.4和5之間

例5圖[思路點撥]根據(jù)勾股定理求出OB的長，即OP的長，從而判斷出點P所表示的數(shù)的范圍．

[方法歸納]在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方和一定等于斜邊長的平方，遇到直角三角形及求其邊長時便應(yīng)考慮勾股定理．C考點四勾股定理及其應(yīng)用

[方法歸納]在任何一個直角三角形64例6(2019·南京中考)無蓋圓柱形杯子的展開圖如圖所示．將一根長為20cm的

細(xì)木筷斜放在該杯子內(nèi)，木筷露在杯子外面的部分至少有________cm.例6圖[思路點撥]根據(jù)題意直接利用勾股定理得出杯子內(nèi)的木筷的最長長度，進而得出答案．

[誤區(qū)警示]本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，構(gòu)造出直角邊長為12和9的直角三角形是解題關(guān)鍵，需要一定的空間想象能力.5例6(2019·南京中考)無蓋圓柱形杯子的展開圖如圖所示．651.(2018·南通中考)下列長度的三條線段能組成直角三角形的是(

)A.3，4，5 B.2，3，4C.4，6，7 D.5，11，122.(2019·山西中考)如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直線a∥b，頂點C在

直線b上，直線a交AB于點D，交AC于點E.若∠1＝145°，則∠2的度數(shù)是(

)A.30°B.35°C.40°D.45°3.(2019·畢節(jié)中考)如圖，以△ABC的頂點B為圓心，BA的長為半徑畫弧，交邊BC

于點D，連接AD.若∠B＝40°，∠C＝36°，則∠DAC的度數(shù)為________．第2題第3題AC34°1.(2018·南通中考)下列長度的三條線段能組成直角三角664.(2019·大連中考)如圖，△ABC是等邊三角形，延長BC到點D，使CD＝AC，連

接AD.若AB＝2，則AD的長為________．5.(2019·河北中考)勘測隊按實際需要構(gòu)建了平面直角坐標(biāo)系，并標(biāo)示了A，B，

C三地的坐標(biāo)，數(shù)據(jù)如圖(單位：km)．筆直鐵路經(jīng)過A，B兩地．

(1)A，B兩地間的距離為________km；(2)計劃修一條從C到鐵路AB的最短公路l，并在l上建一個維修站D，使D到A，

C的距離相等，則C，D間的距離為________km.第4題第5題

20134.(2019·大連中考)如圖，△ABC是等邊三角形，延長676.(2019·攀枝花中考)如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的高，BE是AC邊上的中線，

且BD＝CE.求證：(1)點D在BE的垂直平分線上；(2)∠BEC＝3∠ABE.

第6題(1)如圖，連接DE.∵CD是AB邊上的高，∴∠ADC＝∠BDC＝90°.∵BE是AC邊上的中線，∴DE＝CE＝AE.∵BD＝CE，∴BD＝DE.∴點D在BE的垂直平分線上(2)∵DE＝AE，∴∠ADE＝∠A.∵BD＝DE，∴∠DBE＝∠DEB.∴∠A＝∠ADE＝∠DBE＋∠DEB＝2∠ABE.∵∠BEC＝∠A＋∠ABE，∴∠BEC＝3∠ABE6.(2019·攀枝花中考)如圖，在△ABC中，CD是AB68第20課時相似三角形第20課時相似三角形69課時目標(biāo)1.了解比例的基本性質(zhì)、線段的比、成比例的線段；通過建筑、藝術(shù)上的實例了解黃金分割．2.通過具體實例認(rèn)識圖形的相似，了解相似多邊形和相似比．3.了解相似三角形的判定定理與性質(zhì)定理，并利用它們進行計算或推理．4.了解圖形的位似，知道利用位似可以將一個圖形放大或縮小．5.會利用圖形的相似解決一些簡單的實際問題.課時目標(biāo)70

長度比比例中項bc

成比例

長度比比例中項bc

成比例71知識點2相似三角形概念：對應(yīng)角________，對應(yīng)邊成________的兩個三角形叫做相似三角形．相

似三角形對應(yīng)邊的比叫做________．2.相似三角形的性質(zhì)：(1)性質(zhì)1:相似三角形的對應(yīng)角______________，對應(yīng)邊________．(2)性質(zhì)2：相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比與對應(yīng)角平分線的比等于_

__________．(3)性質(zhì)3：相似三角形的周長之比等于______，面積之比等于___________．3.相似三角形的判定方法：(1)一般三角形：①兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似；②兩邊對應(yīng)成比例，且________相等，兩個三角形相似；③三邊對應(yīng)________，兩個三角形相似．(2)直角三角形：①一組________對應(yīng)相等，兩直角三角形相似；②兩組直角邊對應(yīng)成比例，兩直角三角形相似.相等比例相似比相等成比例相似比相似比相似比的平方夾角成比例銳角知識點2相似三角形概念：對應(yīng)角________，對應(yīng)邊成_72已知條件

可供選擇的判定方法常見的基本類型有平行線截線用平行線的性質(zhì)找等角（1）“平行線型”△ABC∽△ADE（2）“斜交型”（需滿足∠1＝∠2）若∠1＝∠2，則△ADE∽△ABC（3）“垂直型”（有時需利用“同角的余角相等”找等角，其中圖①②需滿足∠1＝∠2）△ADE∽△ABC△ABC∽△DCE

△ABC∽△BDE△ACB∽△ADC有一對等角另一對等角或角兩邊對應(yīng)成比例

有兩邊對應(yīng)成比例夾角相等或第三邊也對應(yīng)成比例

直角三角形一對銳角相等或兩組直角邊對應(yīng)成比例等腰三角形頂角相等或一對底角相等已知條件

可供選擇的判定方法常見的基本類型有平行用平行線的性73知識點3相似多邊形及其性質(zhì)定義：兩個邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的對應(yīng)角________，對應(yīng)邊_______，那么這兩個多邊形叫做相似多邊形．相似多邊形________的比叫做相似

比．2.性質(zhì)：

(1)相似多邊形的對應(yīng)角________，對應(yīng)邊________；(2)相似多邊形對應(yīng)邊的比、周長的比等于________，面積的比等于________________．相等成比例對應(yīng)邊相等成比例相似比相似比的平方知識點3相似多邊形及其性質(zhì)相等成比例對應(yīng)邊相等成比例相似比74

[方法歸納]本題考查了平行線分線段成比例定理，運用此定理時，要看清平行線組，找準(zhǔn)被平行線組截得的對應(yīng)線段．為了便于記憶，可用口訣“上對上，下對下，全對全”．4

[方法歸納]本題考查了平行線分線段成比例定理，運用此定75

[方法歸納]相似三角形的判定，關(guān)鍵要抓住兩點：(1)判定兩個三角形相似的常規(guī)思路：①__先找兩組對應(yīng)角相等；②__若只能找到一組對應(yīng)角相等，則判斷夾相等角的兩邊是否對應(yīng)成比例；③__若找不到角相等，則判斷三邊是否對應(yīng)成比例，否則可考慮相似三角形的“傳遞性”等．(2)借助圖形找三角形相似：①有平行線的可圍繞平行線找相似；②有公共角或相等角的可再找其他相等的角或成比例的對應(yīng)邊(夾相等角的兩邊)；③有公共邊的可將圖形旋轉(zhuǎn)或翻折，觀察其特征，找出相等的角或成比例的對應(yīng)邊．C

[方法歸納]相似三角形的判定，關(guān)鍵要抓住兩點：(1)76考點三相似三角形的性質(zhì)例3(2019·沈陽中考)已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它們的對應(yīng)中

線．若AD＝10，A′D′＝6，則△ABC與△A′B′C′的周長比是(

)A.3∶5B.9∶25C.5∶3D.25∶9[思路點撥]根據(jù)相似三角形對應(yīng)中線的比、周長的比等于相似比即可得出答案．∵△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它們的對應(yīng)中線，AD＝10，A′D′＝6，∴△ABC與△A′B′C′的周長比＝AD∶A′D′＝10∶6＝5∶3.故選C.[誤區(qū)警示]本題是相似三角形性質(zhì)的直接應(yīng)用，要注意找準(zhǔn)相似三角形的對應(yīng)邊，避免找錯對應(yīng)邊而導(dǎo)致結(jié)果錯誤．C考點三相似三角形的性質(zhì)∵△ABC∽△A′B′C′，AD和77

B

B78∵AD⊥AB，DE⊥AD，∴∠BAD＝∠ADE＝90°.∴DE∥AB.∴△EDC∽△ABC.∵DE＝1，AB＝2，即DE∶AB＝1∶2，∴S△EDC∶S△ABC＝1∶4.∴S四邊形ABDE∶S△ABC＝3∶4.∵S四邊形ABDE＝S△ABD＋S△ADE＝×2×2＋×2×1＝3，∴S△ABC＝4.故選B.[方法歸納]相似三角形的面積之比等于相似比的平方，由面積關(guān)系得出線段的數(shù)量關(guān)系，反過來，知道兩個相似三角形的對應(yīng)線段的數(shù)量關(guān)系也就知道了它們的面積關(guān)系．∵AD⊥AB，DE⊥AD，∴∠BAD＝∠ADE＝90°.79

80

[方法歸納]在判定兩個三角形相似時，當(dāng)給出的兩個三角形中的已知條件以角為主時，我們應(yīng)首先考慮使用“兩角對應(yīng)相等”的判定方法；另外一些基本圖形是我們解決問題的重要基礎(chǔ)，像本題中的“垂直型”基本圖形，給我們帶來判定兩個三角形相似的靈感．

[方法歸納]在判定兩個三角形相似時，當(dāng)給出的兩個三角形中81考點五相似的應(yīng)用例6

(2019·荊門中考)如圖，為了測量一棟樓的高度OE，小明先在操場上點A處

放一面鏡子，向后退到點B處，恰好在鏡子中看到樓的頂部E；再將鏡子放

到點C處，然后后退到點D處，恰好再次在鏡子中看到樓的頂部E(點O，A，B，

C，D在同一條直線上)，測得AC＝2m，BD＝2.1m．如果小明眼睛距地面的

高度BF，DG為1.6m，試確定樓的高度OE.[思路點撥]設(shè)點E關(guān)于點O的對稱點為M，由光的反射知，延長GC，F(xiàn)A相交于點M，連接GF并延長，交OE于點H.根據(jù)FH∥AO，GF∥AC得到△AOM∽△FHM，△MAC∽△MFG，利用相似三角形對應(yīng)邊的比相等列式計算即可．考點五相似的應(yīng)用82

[方法歸納]

利用相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)是求線段長的重要方法，運用相似求線段的長時首先要根據(jù)相似三角形的判定條件找出相似三角形，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)建立比例式，通過比例式搭建已知線段與要求線段之間的關(guān)系．

[方法歸納]利用相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)是求線段長83例7

(2019·南京建鄴區(qū)一模)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是BC的中點，

以AC為直徑的⊙O與邊AB交于點D，連接DE，CD.(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)若CD＝6cm，DE＝5cm，求⊙O的直徑．例7圖[思路點撥](1)如圖，連接DO，由直徑所對的圓周角是直角，得∠ADC＝90°，則∠BDC＝90°，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，得DE＝CE，由等邊對等角，得∠EDC＝∠ECD，∠ODC＝∠O