專題一：等腰三角形的存在性問(wèn)題

-.z.專題訓(xùn)練一等腰三角形的存在性問(wèn)題專題攻略如果△ABC是等腰三角形，則存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三種情況。腰長(zhǎng)〔兩定一動(dòng)〕：分別以兩腰的頂點(diǎn)為圓心，腰長(zhǎng)為半徑畫圓；底邊〔兩定一動(dòng)：〕畫底邊的垂直平分線。解等腰三角形的存在性問(wèn)題，有幾何法和代數(shù)法，把幾何法和代數(shù)法相結(jié)合，可以使得解題又好又快。幾何法一般分三步：分類、畫圖、計(jì)算。代數(shù)法一般也分三步：羅列三邊長(zhǎng)，分類列方程，解方程并檢驗(yàn)。針對(duì)訓(xùn)練1、如圖，在平面直角坐標(biāo)系*Oy中，點(diǎn)D在坐標(biāo)為(3，4)，點(diǎn)P是*軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果△DOP是等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。2、如圖，直線y=3*+3交*軸于A點(diǎn)，交y軸于B點(diǎn),過(guò)A、B兩點(diǎn)的拋物線交*軸于另一點(diǎn)C〔3,0).

(1)、求A、B的坐標(biāo);

(2)、求拋物線的解析式;

(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q,使△ABQ是等腰三角形"假設(shè)存在,求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；假設(shè)不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.3、如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，動(dòng)點(diǎn)P以2個(gè)單位/秒的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q以1個(gè)單位/秒的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B移動(dòng)，當(dāng)P、Q兩點(diǎn)中其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)則停頓運(yùn)動(dòng)。在P、Q兩點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)△PQC為等腰三角形時(shí)，求t的值。4、如圖，直線y＝2*＋2與*軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P是*軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線PQ與直線AB垂直，交y軸于點(diǎn)Q，如果△APQ是等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．ABCDPABCDPE使△PCB為等腰三角形的點(diǎn)E的位置共有〔〕個(gè)。A、2B、3C、4D、56、如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，DE＝4．動(dòng)線段DE〔端點(diǎn)D從點(diǎn)B開(kāi)場(chǎng)〕沿BC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)端點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)運(yùn)動(dòng)停頓．過(guò)點(diǎn)E作EF//AC交AB于點(diǎn)F〔當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，EF與CA重合〕，聯(lián)結(jié)DF，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒〔t≥0〕．〔1〕直接寫出用含t的代數(shù)式表示線段BE、EF的長(zhǎng)；〔2〕在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△DEF能否為等腰三角形？假設(shè)能，請(qǐng)求出t的值；假設(shè)不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；〔3〕設(shè)M、N分別是DF、EF的中點(diǎn)，求整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，MN所掃過(guò)的面積．7、如圖，點(diǎn)A在*軸上，OA＝4，將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置．〔1〕求點(diǎn)B的坐標(biāo)；〔2〕求經(jīng)過(guò)A、O、B的拋物線的解析式；〔3〕在此拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？假設(shè)存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．5．〔11湖州24〕如圖1，正方形OABC的邊長(zhǎng)為2，頂點(diǎn)A、C分別在*、y軸的正半軸上，M是BC的中點(diǎn)．P(0,m)是線段OC上一動(dòng)點(diǎn)〔C點(diǎn)除外〕，直線PM交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．〔1〕求點(diǎn)D的坐標(biāo)〔用含m的代數(shù)式表示〕；〔2〕當(dāng)△APD是等腰三角形時(shí)，求m的值；〔3〕設(shè)過(guò)P、M、B三點(diǎn)的拋物線與*軸正半軸交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)O作直線ME的垂線，垂足為H〔如圖2〕．當(dāng)點(diǎn)P從O向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)H也隨之運(yùn)動(dòng)．請(qǐng)直接寫出點(diǎn)H所經(jīng)過(guò)的路長(zhǎng)〔不必寫解答過(guò)程〕．圖1圖26．〔10南通27〕如圖，在矩形ABCD中，AB＝m〔m是大于0的常數(shù)〕，BC＝8，E為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)〔不與B、C重合〕．連結(jié)DE，作EF⊥DE，EF與射線BA交于點(diǎn)F，設(shè)CE=*，BF＝y(tǒng)．〔1〕求y關(guān)于*的函數(shù)關(guān)系式；〔2〕假設(shè)m＝8，求*為何值時(shí)，y的值最大，最大值是多少？〔3〕假設(shè)，要使△DEF為等腰三角形，m的值應(yīng)為多少？?jī)赡昴M7．〔2012年福州市初中畢業(yè)班質(zhì)量檢查第21題〕如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，DE＝4．動(dòng)線段DE〔端點(diǎn)D從點(diǎn)B開(kāi)場(chǎng)〕沿BC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)端點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)運(yùn)動(dòng)停頓．過(guò)點(diǎn)E作EF//AC交AB于點(diǎn)F〔當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，EF與CA重合〕，聯(lián)結(jié)DF，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒〔t≥0〕．〔1〕直接寫出用含t的代數(shù)式表示線段BE、EF的長(zhǎng)；〔2〕在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△DEF能否為等腰三角形？假設(shè)能，請(qǐng)求出t的值；假設(shè)不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；〔3〕設(shè)M、N分別是DF、EF的中點(diǎn)，求整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，MN所掃過(guò)的面積．8．〔寧波七中2012屆保送生推薦考試第26題〕如圖，在平面直角坐標(biāo)系*oy中，矩形ABCD的邊AB在*軸上，且AB＝3，BC＝，直線y＝經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)G．〔1〕點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別是C〔〕，D〔〕；〔2〕求頂點(diǎn)在直線y＝上且經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、D的拋物線的解析式；〔3〕將〔2〕中的拋物線沿直線y＝平移，平移后的拋物線交y軸于點(diǎn)F，頂點(diǎn)為點(diǎn)E〔頂點(diǎn)在y軸右側(cè)〕．平移后是否存在這樣的拋物線，使△EFG為等腰三角形？假設(shè)存在，請(qǐng)求出此時(shí)拋物線的解析式；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．自編原創(chuàng)9．如圖，△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在AC邊上，∠ADE＝∠B．設(shè)BD的長(zhǎng)為*，CE的長(zhǎng)為y．〔1〕當(dāng)D為BC的中點(diǎn)時(shí)，求CE的長(zhǎng)；〔2〕求y關(guān)于*的函數(shù)關(guān)系式，并寫出*的取值范圍；〔3〕如果△ADE為等腰三角形，求*的值．備用圖備用圖參考答案:1．因?yàn)镈〔3，4〕，所以O(shè)D＝5，．①如圖1，當(dāng)PD＝PO時(shí)，作PE⊥OD于E．在Rt△OPE中，，，所以．此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．②如圖2，當(dāng)OP＝OD＝5時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5，0)．③如圖3，當(dāng)DO＝DP時(shí)，點(diǎn)D在OP的垂直平分線上，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6，0)．第1題圖1第1題圖2第1題圖32．在Rt△ABC中，.因此.在△PQC中，CQ＝t，CP＝10－2t.第2題圖1第2題圖2第2題圖3①如圖1，當(dāng)時(shí)，，解得(秒).②如圖2，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥AC于M，則CM＝.在Rt△QMC中，，解得(秒).③如圖3，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥BC于N，則CN＝.在Rt△PNC中，，解得(秒).綜上所述，當(dāng)t為時(shí)，△PQC為等腰三角形.3．由y＝2*＋2得，A(－1，0)，B(0，2)．所以O(shè)A＝1，OB＝2．如圖，由△AOB∽△QOP得，OP∶OQ＝OB∶OA＝2∶1．設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0，m)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2m，0)．因此AP2＝(2m＋1)2，AQ2＝m2＋1，PQ2＝m2＋(2m)2＝5m2．①當(dāng)AP＝AQ時(shí)，AP2＝AQ2，解方程(2m＋1)2＝m2＋1，得或．所以符合條件的點(diǎn)P不存在．②當(dāng)PA＝PQ時(shí)，PA2＝PQ2，解方程(2m＋1)2＝5m2，得．所以．③當(dāng)QA＝QP時(shí)，QA2＝QP2，解方程m2＋1＝5m2，得．所以．第3題圖4．〔12臨沂26〕〔1〕如圖，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥y軸，垂足為C．在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，．所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為．〔2〕因?yàn)閽佄锞€與*軸交于O、A(4,0)，設(shè)拋物線的解析式為y＝a*(*－4)，代入點(diǎn)B，．解得．所以拋物線的解析式為．〔3〕拋物線的對(duì)稱軸是直線*＝2，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,y)．①當(dāng)OP＝OB＝4時(shí)，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得．當(dāng)P在時(shí)，B、O、P三點(diǎn)共線．②當(dāng)BP＝BO＝4時(shí)，BP2＝16．所以．解得．③當(dāng)PB＝PO時(shí)，PB2＝PO2．所以．解得．綜合①、②、③，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．第4題圖5．〔11湖州24〕〔1〕因?yàn)镻C//DB，所以．因此PM＝DM，CP＝BD＝2－m．所以AD＝4－m．于是得到點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，4－m)．〔2〕在△APD中，，，．①當(dāng)AP＝AD時(shí)，．解得〔如圖1〕．②當(dāng)PA＝PD時(shí)，．解得〔如圖2〕或〔不合題意，舍去〕．③當(dāng)DA＝DP時(shí)，．解得〔如圖3〕或〔不合題意，舍去〕．綜上所述，當(dāng)△APD為等腰三角形時(shí)，m的值為，或．第5題圖1第5題圖2第5題圖3[另解]第〔2〕題解等腰三角形的問(wèn)題，其中①、②用幾何說(shuō)理的方法，計(jì)算更簡(jiǎn)單：①如圖1，當(dāng)AP＝AD時(shí)，AM垂直平分PD，則△PCM∽△MBA．所以．因此，．②如圖2，當(dāng)PA＝PD時(shí)，P在AD的垂直平分線上．所以DA＝2PO．因此．解得．〔3〕點(diǎn)H所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為．思路是這樣的：如圖4，在Rt△OHM中，斜邊OM為定值，因此以O(shè)M為直徑的⊙G經(jīng)過(guò)點(diǎn)H，也就是說(shuō)點(diǎn)H在圓弧上運(yùn)動(dòng)．運(yùn)動(dòng)過(guò)的圓心角怎么確定呢？如圖5，P與O重合時(shí)，是點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)，∠COH＝45°，∠CGH＝90°．第5題圖4第5題圖6．〔10南通27〕(1)因?yàn)椤螮DC與∠FEB都是∠DEC的余角，所以∠EDC＝∠FEB．又因?yàn)椤螩＝∠B＝90°，所以△DCE∽△EBF．因此，即．整理，得y關(guān)于*的函數(shù)關(guān)系為．(2)如圖1，當(dāng)m＝8時(shí)，．因此當(dāng)*＝4時(shí)，y取得最大值為2．(3)假設(shè)，則．整理，得．解得*＝2或*＝6．要使△DEF為等腰三角形，只存在ED＝EF的情況．因?yàn)椤鱀CE∽△EBF，所以CE＝BF，即*＝y(tǒng)．將*＝y(tǒng)＝2代入，得m＝6〔如圖2〕；將*＝y(tǒng)＝6代入，得m＝2〔如圖3〕．第6題圖1第6題圖2第6題圖37．〔1〕，．〔2〕△DEF中，∠DEF＝∠C是確定的．①如圖1，當(dāng)DE＝DF時(shí)，，即．解得．②如圖2，當(dāng)ED＝EF時(shí)，．解得．③如圖3，當(dāng)FD＝FE時(shí)，，即．解得，即D與B重合．第7題圖1第7題圖2第7題圖3〔3〕MN是△FDE的中位線，MN//DE，MN＝2，MN掃過(guò)的形狀是平行四邊形．如圖4，運(yùn)動(dòng)完畢，N在AC的中點(diǎn)，N到BC的距離為3；如圖5，運(yùn)動(dòng)開(kāi)場(chǎng)，D與B重合，M到BC的距離為．所以平行四邊形的高為，面積為．第7題圖4第7題圖58．〔1〕，．〔2〕頂點(diǎn)E在AB的垂直平分線上，橫坐標(biāo)為，代入直線y＝，得．設(shè)拋物線的解析式為，代入點(diǎn)，可得．所以物線的解析式為．〔3〕由頂點(diǎn)E在直線y＝上，可知點(diǎn)G的坐標(biāo)為，直線與y軸正半軸的夾角為30°，即∠EGF＝30°．設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為，則EG＝2m，平移后的拋物線為．所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為．①如圖1，當(dāng)GE＝GF時(shí)，yF－yG＝GE＝2m，所以．解得m＝0或．m＝0時(shí)頂點(diǎn)/