無(wú)網(wǎng)格法大作業(yè)

二、利用伽遼金無(wú)網(wǎng)格法實(shí)現(xiàn)懸臂梁彎曲問(wèn)題算例描述：懸臂梁自由度受集中力作用如圖1所示，編寫(xiě)2DFEGM程序計(jì)算位移、應(yīng)變、應(yīng)力。梁的尺寸：L=42m,D=12m,厚度默認(rèn)為1m;彈性常數(shù)：E=30MPa,v=0.3;不考慮梁的自重，在自由端施加的集中載荷為P=-1000N;圖1自由端受集中力作用的懸臂梁彈性力學(xué)解析解TOC\o"1-5"\h\zPy D2 Dx方向位移：u(x,y)=一——[(6L-3x)x+(2+v)(y2+——)-D(y+一]6EI 4 2P D2xy方向位移：v(x,y)=6ei[3vy2(L-x)+(4+5V)^—+(3L-x)x2]梁截面的法向應(yīng)力：。(x,y)=xxy方向正應(yīng)力：。=0梁截面剪應(yīng)力:yy.應(yīng)變能：e=—』etD&d。氏4.45Q1、節(jié)點(diǎn)間距收斂性分析為研究節(jié)點(diǎn)間距對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，考慮如下5種等間距節(jié)點(diǎn)分布情況：3X3(軸向X豎向)、6X3、11X3、11X5、11X7。依次增加軸向和豎向的節(jié)點(diǎn)數(shù)，考察應(yīng)變能殘量和懸臂梁中心軸y=0的計(jì)算位移的收斂性，以及某一梁截面(x=23.667)的計(jì)算應(yīng)力收斂性。此部分程序與相應(yīng)結(jié)果見(jiàn)附錄1。0.20.1.987.65/3

ooooooO數(shù)范差誤量能10 20 30 40 50 60 70 80場(chǎng)節(jié)點(diǎn)數(shù)目不同節(jié)點(diǎn)網(wǎng)格數(shù)目對(duì)能量誤差范數(shù)的影響xxxx不同節(jié)點(diǎn)數(shù)目計(jì)算得到中心軸y=0的梁的位移與解析解比較-1500-6150010005000-500-1000-4-22460y,XXXLbserLS040020-2001,XXXLbserLS040020-2001021不同節(jié)點(diǎn)數(shù)目計(jì)算得到x=23.667的截面法向應(yīng)力與解析解比較3X3場(chǎng)節(jié)點(diǎn)6X3場(chǎng)節(jié)點(diǎn)11X3場(chǎng)節(jié)點(diǎn)114場(chǎng)節(jié)點(diǎn)11X7場(chǎng)節(jié)點(diǎn)解析解-6 -4 -2 0 2 4 6y不同節(jié)點(diǎn)數(shù)目計(jì)算得到x=23.667的截面剪應(yīng)力與解析解比較從上述結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加，F(xiàn)EGM計(jì)算收斂于解析解?？紤]應(yīng)變

能和位移以及應(yīng)力的收斂性可以發(fā)現(xiàn)，節(jié)點(diǎn)數(shù)從3X3增加至6X3,應(yīng)變能殘量迅速減小，中心軸位移迅速向解析解逼近，截面正應(yīng)力始終非常接近于解析解，而截面剪應(yīng)力則不然，雖然有向解析解逼近的趨勢(shì)，但是與解析解相距仍甚遠(yuǎn)。節(jié)點(diǎn)數(shù)進(jìn)一步增加至11X3,發(fā)現(xiàn)不管是應(yīng)變能殘量還是截面應(yīng)力都沒(méi)有明顯進(jìn)一步收斂至解析解，究其原因是僅增加軸向節(jié)點(diǎn)數(shù)，導(dǎo)致不能進(jìn)一步精確的描述截面剪應(yīng)力。當(dāng)增加豎向節(jié)點(diǎn)數(shù)后，可以發(fā)現(xiàn)截面剪應(yīng)力迅速逼近解析解，從而應(yīng)變能殘量隨之減小，再進(jìn)一步增加豎向節(jié)點(diǎn)數(shù)，不管是位移還是應(yīng)力已基本沒(méi)有太大變化，且與解析解吻合很好。2、高斯積分點(diǎn)數(shù)的影響為了探討不同高斯積分點(diǎn)對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，分別進(jìn)行2、3、4、5、6積分點(diǎn)的高斯積分與解析解比較，此時(shí)固定場(chǎng)節(jié)點(diǎn)為11X5。計(jì)算的實(shí)現(xiàn)通過(guò)調(diào)整子程序pguass的參數(shù)。此部分程序與相應(yīng)結(jié)果見(jiàn)附錄1。不同高斯積分點(diǎn)數(shù)目對(duì)能量誤差范數(shù)的影響

不同高斯積分點(diǎn)數(shù)目計(jì)算的梁中心軸的位移與解析解間的關(guān)系不同高斯積分點(diǎn)數(shù)目計(jì)算的梁x=24不同高斯積分點(diǎn)數(shù)目計(jì)算的梁x=24截面法向應(yīng)力與解析解間的關(guān)系\lyVAISQavrtR--senxMy不同高斯積分點(diǎn)數(shù)目計(jì)算的梁x=24截面法向應(yīng)力與解析解間的關(guān)系通過(guò)改變高斯積分點(diǎn)數(shù)目的計(jì)算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，高斯積分點(diǎn)數(shù)為2、3、4、5、6的計(jì)算結(jié)果差異很小，且與解析解吻合很好。說(shuō)明當(dāng)高斯積分點(diǎn)數(shù)不小與2時(shí)，增加高斯積分點(diǎn)數(shù)對(duì)自由端受集中載荷懸臂梁計(jì)算問(wèn)題影響甚小，2點(diǎn)高斯積分已足夠精確。3、使用罰函數(shù)方式施加邊界條件，并于原拉氏乘子法比較罰函數(shù)法介紹將位移邊界條件引入伽遼金弱形式8n（u）=J（一beto+8utf）d。+J8urtdr=0Q rt8n（u）=8n（u）+aj8ut（u一u）d1=0r式中a為罰系數(shù)，一般取為103E~107E,E為彈性模量。則得系統(tǒng)總體的離散方程：（K+K）d=P+Pp pK=ajNTNdrruP=ajNTudrru根據(jù)上述理論修改原主程序（見(jiàn)附錄1gbmm2Dpf），此時(shí)仍保持場(chǎng)節(jié)點(diǎn)數(shù)位11X4,四點(diǎn)高斯積分，罰系數(shù)a取103E。此部分程序與結(jié)果見(jiàn)附錄1。

拉氏乘子法和罰函數(shù)法計(jì)算的中心軸位移與解析解的比較拉氏乘子法和罰函數(shù)法計(jì)算的x=24梁截面法向應(yīng)力與解析解的比較

y拉氏乘子法和罰函數(shù)法計(jì)算的x=24梁截面剪應(yīng)力與解析解的比較同時(shí)計(jì)算兩種方法的能量誤差范數(shù)分別為0.0289