線性代數(shù)系列三-線代第三章習(xí)題課

2實上就是矩陣的加法一.

向量組的線性相關(guān)性1.

向量間的線性運算：加法、數(shù)乘。把向量理解為列矩陣或行矩陣和數(shù)乘。注意:

(1)同維向量做加減。(2)零向量參與運算時，維數(shù)與其它向量維數(shù)相同。,m線性表示的常用方法

km1

02.

線性組合、線性表示(1)

判斷向量

可由向量組1

,2

,方法1：

k11

k22

kmm只要證出km1

0,就可得出12mkkkm1m1m1

k1

k2

km3方法2：證下列線性方程組有解21

122m

ma12

x2a1m

xma22

x2anm

xm

b1a11

x1ax

a

x

b

bnan1

x1其中ian2

x2

a1i

b1

a

b

2

2i

,

a

b

ni

n

方法3：利用矩陣的初等行變換(1

,2

,

,m

,

)

行最簡形矩陣4(2)

在判斷或證明中，常用到的兩個重要結(jié)論結(jié)論1：向量

可由向量組1

,2

,

,m

線性表示

r(1

,2

,

,m

)

r(1

,2

,

,m

,

),m

線性無關(guān)，結(jié)論2：若向量組1

,2

,而向量組

1

,2

,

,m

,

線性相關(guān)，線性表示，,m則向量

必能由向量組1

,2

,且表示式唯一。(2)

利用常用結(jié)論：1個零向量線性相關(guān)；一個非零向量線性無關(guān)。對應(yīng)分量成比例3.

線性相關(guān)性的判別方法(1)

一般方法：設(shè)數(shù)k1

,k2

,,

km使得

k11

k22

kmm

0

成立轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組是否有非零解的問題。2個非零向量線性相關(guān)n＋1個n維向量線性相關(guān)。部分相關(guān)

整體相關(guān)；整體無關(guān)

部分無關(guān)。原向量組無關(guān)，維數(shù)增加后得到的新向量組依然無關(guān)；原向量組相關(guān)，維數(shù)減少后得到的新向量組5

依然相關(guān)。(3)

利用向量組的秩判斷：設(shè)向量組1

,2

,,m

的秩為r當(dāng)

r

m

時，1

,2

,當(dāng)

時，r

m1

2

,

,,m

線性相關(guān)；,m

線性無關(guān)。4.

極大無關(guān)組的選取或證明(1)

初等變換法（最常用）初等行變換將列向量組寫成矩陣

行階梯或行最簡形矩陣?yán)纾呵笙蛄拷M1

(1,

1,

2,4),2

(0,

3,1,

2),3

(3,0,7,14),4

(1,1,2,0),5

(2,1,5,6)的一個極大無關(guān)組，并把其余向量用該極大無關(guān)組線性表示。67解：1

,2

,4是一個極大無關(guān)組并且3

31

25

11

12

考慮：還有那些極大無關(guān)組？1

,2

,51

,3

,41

,3

,5初等行變換24A

8(2)

極大無關(guān)組的證明,r線性無關(guān)；方法1：利用定義

1

,2

,其它向量都可由1

,2

,,r

線性表示。方法2：已知1

,2

,（即向量組中任意r+1個向量都線性相關(guān)）,r

是向量組A的一個極大無關(guān)組，又A中部分組

l

,l

,1

2,lr與1

,2

,,r

等價，r則

l

,l

,

,l1

2也是A的一個極大無關(guān)組。例如：設(shè)

1

,2

,3是向量組A的極大無關(guān)組，且1

1

2

3

,

2

1

2

23

,3

1

22

33

.證明1

,2

,3

也是A的極大無關(guān)組。證明：（往證1

,2

,3與1

,2

,3

等價）1

1

2

3

,2

1

2

23

,3

1

22

33

.向量組1

,2

,3

可由向量組1

,2

,3

線性表示。又1

1

2

3

,2

1

22

3

,3

1

2向量組

1

,2

,3

可由向量組1

,2

,3線性表示。兩個向量組等價1

,2

,3

也是極大無關(guān)組。910二.

矩陣的秩、向量組的秩的求法初等變換后，看非零行的行數(shù)。三.

關(guān)于向量組的秩、矩陣的秩的證明關(guān)于向量組的秩的兩個重要定理：t（1）若向量組1

,2,,

s

可以由向量組

,

,線性表示，則r(1

,2

,1

2

,

,

s

)

r(1

,

2

, ,

t

),

t（2）若向量組1

,2,

,

s

可以由向量組

1

,

2

,線性表示，并且

1

,2

,

,

s

線性無關(guān)，那么s

t1.

向量組秩的不等式的證明例1：設(shè)向量組A

:1

,2

,向量組B

:1

,2

,,

s

的秩為r1,t

的秩為r2向量組

C

:1

,2

,

,

s

,

1

,

2

,,t

的秩為r3證明：maxr1

,r2

r3

r1

r2（書p104/3.11）證：（比較向量組秩的大小，通常從各自的極大無關(guān)組考慮）當(dāng)r1

0或r2

0時，結(jié)論顯然成立。當(dāng)r1

0,r2

0

時，不失一般性，12設(shè)向量組A的極大無關(guān)組是1

,2

,,r設(shè)向量組B的極大無關(guān)組是1

,2

,,r設(shè)向量組C的極大無關(guān)組是1

,

2

,,

r13112312顯然

1

,

2

, ,

r

可由1

,2

,

,r

1

,

2

, ,

r線性表示，3又1

,

2

,,

r線性無關(guān)，

r3

r1

r213線性表示，1,r可由

1

,

2

, ,

r線性無關(guān)，又1

,2

,

,r而1

,2

,

r1

r3同理，1

,2

,3,r

可由1

,

2

,,

r線性表示，2線性無關(guān)，2而

1

,

2

, ,

r

r2

r3maxr1

,

r2

r3綜上，有maxr1

,r2

r3

r1

r2有關(guān)矩陣秩的重要結(jié)論：(1) 0

r(

Amn

)

minm,

n(2)設(shè)矩陣Amn

,若r(A)

s則存在可逆矩陣P,Q使得o

Es

o

PAQ

o

Es

o

即矩陣A可以經(jīng)過初等變換化為

oo

形式。(3)

若P,Q

都可逆，則r(

A)

r(

PA)

r(

AQ)

r(

PAQ)132.

矩陣秩的不等式的證明例2：證明

(1)

r(

A

B)

r(

A)

r(B)(2)

r(

AB)

minr(

A),

r(B)書p104/3.12,

s,

t證：

（1）設(shè)

Amn

,

Bmn

把它么用列向量組表示設(shè)

A

(1

,2

,

,n

)設(shè)A的列向量組的極大無關(guān)組為1

,2

,則r(A)

s設(shè)

B

(1

,

2

, ,

n

)設(shè)A的列向量組的極大無關(guān)組為1

,2

,則r(B)

t14則A

B

(1

1

,2

2

,,n

n

)可知A

B

中任一列向量都可由向量組1

,2

,,

s

,

1

,

2

, ,

t

r(

A

B)

r(1

,2

,

,

s

,

1

,

2

,線性表示，,

t

)

s

t

r(

A)又r(

B)

r(B)

r(

A

B)

r(

A

(

B))

r(

A)

r(

B)

r(

A)綜上，r

(A

B)

r(A)

r(B)15（2）設(shè)Ams

,

Bsn把A用列向量組表示，111221221nsbbbbb

b

b

b2n

,

),

B

b

s1

s

2sn

設(shè)A

(1

,2

,則21sbbbbb1n

b11

b12

b22,

)AB

(1

,2

,2n

b

s1

s

2sn

(b111

b212

bs1

s

,,b1n1

b2n2

bsn

s

)線性表示，即AB的列向量組可由1

,2

,,

s即可由矩陣A的列向量組線性表示，1617

r(

AB)

r(

A)又(

AB)T

BT

AT

r(

AB)

r

(

AB)T

r(BT

AT

)

r(BT)

r(B)綜上r(

AB)

minr(

A),

r(B)18例3：已知Amn

,Bn

p證明：r(AB)

r(A)

r(B)

n當(dāng)AB

0

時，r(A)

r(B)

n書p104/3.13證：設(shè)r(A)

s,則存在可逆矩陣P,Q使得

Es

0

Pmm

AmnQnn

0 0

)Q1B又PAB

Bnn n

p0

Q1

Es

0

0）（令C

Q1B

Es

0

Cn

p

0 0

）（令C

C1

C

2

190C

Es

0

2

0

C1

S行n-S行

C1

0

P

可逆

0

1

r(

AB)

r(PAB)

r

C1

r(C

)（Q可逆）

r(C

)

r(C2

)

r(C

)

(n

s)

r(Q1B)

n

s

r(B)

n

r(

A)

r(

AB)

r(

A)

r(B)

n20例4：證明r

A0

r(

A)

r(B)

0

B

證：設(shè)r(A)

s,r(B)

t則經(jīng)過初等變換，有A

Es0,

B

Et

0

0 0

0 0

s

t

Es

00

0

E

A

0

0

Et

0

0

0

B

0

0

0

r

A0

s

t

r(

A)

r(B)

0

B

213.

矩陣秩的等式的證明（1）證r(A)

r(B).思路r(

A)

r(B)r(B)

r(

A)（2）證r(A)

r思路

AB

0,

A

B

kE,則r(A)

r(B)

n則r(A)

r(B)

n例5：設(shè)A,B

為n

階矩陣，ABA

B1

,E

為n階單位矩陣。證明：r(E

AB)

r(E

AB)

n證：(E

AB

E

AB

AB

AB

AB

E

(

E

B1B

E

E

0

r(

E

AB)

r(

E

AB)

n(

E

AB)

(

E

AB)

2E

r(

E

AB)

r(

E

AB)

n綜上，r(E

AB)

r(E

AB)

n2223證：設(shè)

A

(1

,2

,

,

s

),

B

(1

,

2

, ,

r

)則B

AK

.

Ksr

r(

K

)

r又B

AK

,

r(B)

r(AK

)

r(K

)由1

,2

,,r

線性無關(guān)，得r(B)

r,

r(K

)

r綜上，r(K

)

r例6：設(shè)向量組B

:1

,2

,線性表示為(1

,2

,,

r

能由向量組

A

:1

,2

,

,

s,

r

)

(1

,2

,

,

s

)K

,其中K

為s

r

矩陣，且1

,2

,

,

s

線性無關(guān)。證明：1

,2

,,r

線性無關(guān)的充分必要條件是r(K

)

r書p105/3.1424（反證法）若1

,2

,,r

線性無關(guān)，則存在不全為零的數(shù)k1

,k2

,,

kr使得

k11

k2

2

kr

r

0

成立，r即(1

,2

,

k1

k

,

)

2

0

k

又B

AK

,s有(1

,2

,

r

k1

k

,

)K

2

0

kr

（思路：1

,2

,,

s

無關(guān)）找，推相關(guān)。25又已知

r(K

)

r,

k1

k

而2

0

k

k1

0

k

0

2

K

sr

k

r

r1

r

否則，若＝0，則K的列向量組線性相關(guān)，則r（K）<r，

。設(shè)K

0

s1

l1

k1

l

k

2

2

sr

l

k

r

r1s

s1不全為零，1

2s則

l

,

l

, ,

l26s由(1

,2

,

l1

l

,

)

2

0

l

s

ls

s

0即l11

l22

得1

,2

,

,

s線性相關(guān)，與已知，所以假設(shè)不成立。

1

,

2

, ,

r線性無關(guān)。274.

用矩陣k階子式定義證明矩陣秩(1)

A

有r階子式不為0所有r+1階子式全為0

r(

A)

r(2)

An