2020屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 4.1 立體幾何學(xué)案

專題四：立體幾何【備考策略】根據(jù)近幾年高考命題特點和規(guī)律，復(fù)習(xí)本專題時要注意以下幾方面：全面掌握空間幾何體的概念及性質(zhì)，特別是常見幾何體如正方體、長方體、棱柱、棱錐、球的概念和性質(zhì)，這是進行計算和證明的基礎(chǔ)。2?多面體畫圖、分析圖，用自己的語言描述圖，提高借助圖形分析問題的能力，培養(yǎng)空間觀念。3注重三視圖與直觀圖的相互轉(zhuǎn)化及等積轉(zhuǎn)化的思想。特別關(guān)注空間三種角落計算問題以及涉及到探究點的位置的問題。第一講空間幾何體【最新考綱透析】認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)。能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，能識別上述三視圖所表示的立體模型，會用斜二測法畫出它們的直觀圖。3會用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式。會畫某些建筑物的三視圖與直觀圖（在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上，尺寸、線條等不作嚴(yán)格要求）。了解球、棱柱、棱錐的表面積和體積的計算公式（不要求記憶公式）?！竞诵囊c突破】要點考向1空間幾何體的三視圖考情聚焦：1.三視圖是新課標(biāo)教材的新增內(nèi)容，是高考中新的增加點及亮點。常與表面積、體積計算綜合出現(xiàn)，多以選擇題或解答題的形式呈現(xiàn)，屬較容易的題。考向鏈接：1.解答此類問題，首先由三視圖想象出原幾何體的形狀，并由相關(guān)數(shù)據(jù)得出幾何體中的量。2.掌握三視圖是正確解決這類問題的關(guān)鍵，同時也體現(xiàn)了知識間的內(nèi)在聯(lián)系，是高考的新動向。例1：（2020?陜西高考理科?T7）若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）(C)1(D)2左視圄(C)1(D)2左視圄傭視圈【命題立意】本題考查三視圖的概念及空間想象能力，屬中等題?！舅悸伏c撥】三視圖幾何體是直三棱柱該幾何體的體積【規(guī)范解答】選C由該幾何體的三視圖可知，該幾何體是直三棱柱，且棱柱的底面是兩直角邊長分別為邁和1的直角三角形，棱柱的高為＜2，所以該幾何體的體積V（丄邁1）邁1.2要點考向2：幾何體的表面積與體積考情聚焦：1.幾何體的表面積與體積一直是高考的熱點內(nèi)容，應(yīng)引起重視。2.多以選擇題、填空題的形式考查，有時也以解答題的形式考查，屬較容易題?？枷蜴溄樱?.求幾何體的表面積及體積問題，可以多角度、多方位地考慮，熟記公式是關(guān)鍵所在。求三棱錐的體積，等積轉(zhuǎn)化法是常用的方法，轉(zhuǎn)換原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上。2.求不規(guī)則幾何體的體積，常用分割或補形的思想，將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以易于求解。例2：（2020?上海高考文科?T20）如圖所示，為了制作一個圓柱形燈籠，先要制作4個全等的矩形骨架，總計耗用9.6米鐵絲，再用S平方米塑料片制成圓柱的側(cè)面和下底面（不安裝上底面）.1rik111■7?pj2（1）當(dāng)圓柱底面半徑r取何值時，S取得最大值？并求出該最大值（結(jié)果精確到0.01平方米）；（2）若要制作一個如圖放置的，底面半徑為0.3米的燈籠，請作出用于燈籠的三視圖（作圖時，不需考慮骨架等因素）.【命題立意】本題是個應(yīng)用題，主要考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力，涉及函數(shù)求最值、幾何體的三視圖等相關(guān)知識.【思路點撥】（1）建立S關(guān)于r的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值；（2）確定幾何體的有關(guān)數(shù)據(jù)后，按三視圖的要求畫圖.【規(guī)范解答】（1）設(shè)圓柱形燈籠的高為h，則4（4r2h）9.6,所以h1.22r所以SSSr22rhr22r（.22r）2.4r3r2（0r0.6）底側(cè)

所以’當(dāng)r=一27^）=0.4叭有最大值.最大值為2?4冗x0.4-3n（0.4）2?1.51（平方米）（2）由（1）r二0.3時，h二0.6其正視圖與側(cè)視圖均為邊長是0.6的正方形，俯視圖是半徑為0.6的圓.如圖：要點考向3：球鞋與空間幾何體的接、切問題考情聚焦：1.有關(guān)球的知識的考查也是高考中常出現(xiàn)的問題，特別是球與多面體、旋轉(zhuǎn)體等組合的接、切問題。多以客觀題的形式呈現(xiàn)，屬中檔題目。例3：一個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同一個球鞋面上，且該六棱柱的高為+3，底面周長為3那么這個球的體積為思路分析：確定球與正六棱柱的關(guān)系一求球的半徑一求得體積。解析：由已知正六棱柱的底面邊長為1，而外接球的直徑恰好為最長的體對角線長。設(shè)，-44球的半徑為R,則（2R）2=1+（\：3）2=4,「.R=I,.，.V=—兀R3=—兀球334答案：3兀注：（1）涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點或線作截面，把空間問題化歸為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系。（2）若球面上四點P、A、B、C構(gòu)成的線段PA、PB、PC兩兩垂直，且卩止=9PB=HPC=則1尺=圧+歩+匸'，把有關(guān)元素“補形”成為一個球內(nèi)接長方體（或其他圖形），從而顯示出球的數(shù)量特征，這種方法是一種常用的好方法?！靖呖颊骖}探究】（2020?遼寧高考文科?Til）已知SABC是球0表面上的點，SA丄平面ABC,AB丄BC,SA=AB=1BC="'2，則球0的表面積等于（）

(A)4兀(B)3兀(A)4兀(B)3兀(C)2兀(D)?！久}立意】本題考查了空間是兩點間距離公式和球的表面積公式?！舅悸伏c撥】【規(guī)范解答】選A。?【規(guī)范解答】選A。???SA丄平面ABC，AB，ACu平面ABC，?:SA丄AB，SA丄AC，故可以A為原點，故可以A為原點，AC所在的直線為y軸，AS所在的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則A(0，0，0),B(斗,￥，°),C(°山3，°),S設(shè)球心O坐標(biāo)為(x0，y0，z坐標(biāo)為(x0，y0，z°)，則點O到各頂點SABC的距離相等,+(z-0)2=R20(X0(X-0)2+(y-J3)2+(z-0)2=R2000(X-0)2+(y-0)2+(z-1)2=R2J000+(yo-V31解得x0=0,y0=亍,z0=2,R2=二球的表面積為4兀R2=4兀X1=4兀。故選A。【方法技巧】1、選用球心到各頂點的距離都相等來確定球心，才能求出半徑，2、也可用另外的方法找到球心，因為ZABC是直角，所以AC是過A、B、C三點的小圓的直徑，所以球心在過AC和平面ABC垂直的平面上，可知球心在平面SAC中，又因為球心到點SAC的距離都相等，且△SAC是直角三角形，所以球心就是斜邊SC的中點，球的半徑為SC的一半，3、再一種方法是將三棱錐S-ABC補成一個長方體。2.(2020?遼寧高考理科?T12)有四根長都為2的直鐵條，若再選兩根長都為a的直鐵條,使這六根鐵條端點處相連能夠焊接成一個三棱錐形的鐵架，則a的取值范圍是()(0,2)(B)(1,2\2)(C)(-\2,)(D)(0,2\2)【命題立意】以三棱錐為背景考查三角形中的三邊關(guān)系考查空間想象能力和運算能力?！舅悸伏c撥】分兩種情況，一種是邊長為a的棱在一個三角形中，另一種情況時長度為a的33棱不在一個三角形中，分別討論。棱不在一個三角形中，分別討論。對于第一種情況，取BC的中點D連結(jié)PD、AD,則PD=l3,AD=￡a2—1,在三角形PAD中,PA<AD+PD2<丫a2—1+3PA<AD+PDPD<PA+AD有<AD<PA+PD即<Ja2—1<2+\/3^[6-^,[2<a<^[6+PD<PA+AD3<2+pa2—1對于第二種情況同理可以得到0<a<2^2綜合兩種情況，及0<a<4，所以a的取值范圍是（0,^6+邁）。3.（2020?浙江高考文科?T8）若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則此幾何體的體積是（）(A)cm33(B)224(C)體積是（）(A)cm33(B)224(C)cm33(D)320cm33160cm3【命題立意】本題主要考察了對三視圖所表達示的空間幾何體的識別以及幾何體體積的計算，屬容易題?！舅悸伏c撥】解答本題要先由三視圖，想象出直觀圖，再求體積?！疽?guī)范解答】選B。此幾何體上方為正四棱柱、下方為正四棱錐。所以其體積為320cm3320cm3。3V=42x2+2x*(42+82+4x8)=【方法技巧】對于不規(guī)則幾何體求體積時可分幾部分規(guī)則的幾何體，再求體積和。4.（2020?北京高考理科?T3）—個長方體去掉一個小長方體，所得幾何體的正（主）視圖與側(cè)（左）視圖分別如右圖所示，則該幾何體的俯視圖為（）命題立意】本題考查三視圖知識，考查同學(xué)們的空間想象能力。思路點撥】結(jié)合正、側(cè)視圖，想象直觀圖。【規(guī)范解答】選C。由主、左視圖可知直觀圖如圖所示:CC1CC1因此，俯視圖是（C）。5.（2020?北京高考文科?T8）如圖，正方體ABCD-ABCD的棱長為2,動1111點E、F在棱AB上。點Q是CD的中點，動點P在棱AD上,若EF=l,DP=x,AE=y（x,y111大于零），則三棱錐P-EFQ的體積：（）（A）與x，y都有關(guān)；（B）與x，y都無關(guān)；（C）與x有關(guān)，與y無關(guān);（D）與y有關(guān)，與x無關(guān);命題立意】本題考查幾何體體積的相關(guān)知識，關(guān)鍵是找到易求面積的底面與高?！舅悸伏c撥】把EFQ看作底面，點P到對角面A!BCD的距離即為對應(yīng)的高?！疽?guī)范解答】選c。SA【規(guī)范解答】選c。SAEFQ二2已尸2邁-'■'2，點P到平面EFQ的距離為乎xVP-EFQTOC\o"1-5"\h\z112x—_S?h—_x\2xx—。3AEFQ3236.(2020?海南寧夏高考?理科T10)設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長都為a，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為()(A)兀a2(A)兀a27(B)—兀a2311(C)亍a2(D)5兀a2命題立意】本小題主要考查了幾何體的外接球問題.思路點撥】找出球與棱柱的相對關(guān)系，找出球的半徑與三棱柱棱長之間的關(guān)系.【規(guī)范解答】選B.設(shè)球心為O，設(shè)正三棱柱上底面為AABC，中心為0'，因為三棱柱所有棱的長都為a，則可知00=2，OA=a，又由球的相關(guān)性質(zhì)可知，球的半徑TOC\o"1-5"\h\zJ2]7R=\002+OA2—a，所以球的表面積為4兀R2=兀a2,故選B.63【跟蹤模擬訓(xùn)練】一、選擇題(每小題6分，共36分)下列結(jié)論正確的是()各個面都是三角形的幾何體是三棱錐以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則該棱錐可能是六棱錐圓錐的頂點與底面圓周上的任意一點的連線都是母線已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4,體積為16，則這個球的表面積是()(A)16n(B)20n(C)24n(D)32n(2020江南模擬)已知四面體ABCD中，DA—DB—DC—1，且DA、DB、DC兩兩互相垂直,在該四面體表面上與點A距離是手的點形成一條曲線’這條曲線的長度是（）TOC\o"1-5"\h\zA.上彳兀B.、乳C.^3兀D.」兀263表面積為4^3的正四面體的各個頂點都在同一個球面上，則此球的體積為（）4.62€66A.兀B.兀C.、：6兀D.兀3327如右圖為一個幾何體的三視圖，尺寸如圖所示，則該幾何體的表面積為）.（不考慮接觸點）A.6+朽+兀B.18+<3+4兀C.32C.32+兀D.18+2、［3+n6?某幾何體的一條棱長為歷，在該幾何體的主視圖中，這條棱的投影是長為揖的線段，在該幾何體的左視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為a和b的線段，則a+b的最大值為.二、填空題（每小題6分，共18分）7.如圖所示兩組立體圖形都是由相同的小正方體拼成的。

第二組:第二組:⑴圖⑴的正(主)視圖與圖⑵的相同.(2)圖(3)的圖與圖(4)的圖不同.&一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積等于如圖1,一個正四棱柱形的密閉容器水平放置，其底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實心裝飾塊,容器內(nèi)盛有a升水時，水面恰好經(jīng)過正四棱錐的頂點P.如果將容器倒置，水面也恰好過點P(圖2).有下列四個命題：(A)正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半;將容器側(cè)面水平放置時，水面也恰好過點P;任意擺放該容器，當(dāng)水面靜止時，水面都恰好經(jīng)過點P；若往容器內(nèi)再注入a升水，則容器恰好能裝滿.其中真命題的代號是：(寫出所有真命題的代號)?三、解答題(10、11題每題15分，12題16分，共46分)，求棱錐C如圖所示，長方體ABCD—A，BzC'D'中，用截面截下一個棱錐C—Az—A'DD'，求棱錐C如圖所示，半徑為R如圖所示，半徑為R的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑AB所在直線為軸，旋轉(zhuǎn)體，求該幾何體的表面積(其中ZBAC=30°).周得到一幾何(探究創(chuàng)新題)一個空間幾何體的三視圖及部分數(shù)據(jù)如圖所示A\場(G以A\場(G以5正(主*視圖側(cè)(左)規(guī)圖/?i請畫出該幾何體的直觀圖，并求它的體積;證明:A1C丄平面AB1C1；(3)若D是棱CC1的中點，在棱AB上取中點E，判斷DE是否平行于平面AB1C1，并證明你的結(jié)論.

參考答案1【解析】選D.A錯誤，如圖1是由兩個結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體,各面都是三角形，但它不是棱錐.團1B錯誤，如圖2,若厶ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊,所得的幾何體都不是圓錐.C錯誤，若六棱錐的所有棱長都相等，則底面多邊形是正六邊形.由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長必然要大于底面邊長.D正確，由頂點、底面圓周上一點及底面圓的圓心可得到旋轉(zhuǎn)的直角三角形f(2R)2=16-(-.2^'I?4—i甘2【解析】選C.設(shè)正四棱柱的底面邊長為a，球半徑為R,則解得a=2,???球的表面積S=4nr2=24n.3【解析】選A.4【解析】選C.因為表面積為4空3，所以棱長為2,所以外接球的半徑為所以球的體積為兀。5【解析】選D.該幾何體由正三棱柱和球組成，正三棱柱的表面積為18+2脣3，球的表面積

為兀，所以該幾何體的表面積為18+2J3+兀。6【解析】如圖，把幾何體放到長方體中，使得長方體的對角線剛好為幾何體的已知棱，設(shè)長方體的對角線AC=亡7，則它的正視圖投影長為AB=丁6，側(cè)視圖投影長為AD=a，111俯視圖投影長為AC=b，則a2+b2+（^6）2二2-（門）2，即a2+b2=8，又11Ia+b'a2+b2,,”-<-,???a+b<4，所以選C。22答案：47【解析】對于第一組的兩個立體圖形，圖（1）的正（主）視圖與圖（2）的俯視圖相同.對于第二組的兩個立體圖形，圖（3）的正（主）視圖與圖（4）的正（主）視圖不同，而側(cè)（左）視圖和俯視圖都是相同的.答案：（1）俯視圖（2）正（主）視正（主）視8.［解擁】由三<圖知援兄何怵為一個X方體A上底而一g…球手涇再i?則眞體積為：于丨合—r=出卜］九9【解析】由題意可知顯然選項D正確?如果擺放的容器不是水平的，則選項C不正確.設(shè)正四棱柱的底面邊長為m,高為n,正四棱錐的高為h,則由九』口亠九』口亠“?解得h=.小it正叫賤錐的依稍Vi=￡ni?311n=~^~rrr?i?jl㈣按拄的依楓￥=憫.譏'剜苦拉頊H剜苦拉頊HSsVsF.+{V-Vi）=,nin_mn>=-T?n:甩TOC\o"1-5"\h\z2MOS99亠39江~a~~rn?n~—m*——mh.33：）AV,<=y（V-V,3.41選項E；正珮.J編上?應(yīng)選KI）.

10【解析】設(shè)長方體的三條棱長分別為AB=a,AD=b,AA'=c,則V長方體=abc，=XX&XcXa=+abc.—abc—abc

abc—]abc啟三棧錐〔：A'DD"的滋和與購余部分的條積比為1:丘11.【解析】作Ch_AB于D+則BC=R,]-AC=;3R.CDR故Hi求哀面朿\制=f工?R「?上吧jiR12【解析】(1)幾何體的直觀圖如圖.BBic：￡：是疑彫?BBi=CCi=J3-BC二］.AA.GC是邊擔(dān)為M的正方形?且垂立于底曲BB,GC.人其體枳V=yXIX/3X=(2)TZACB=90°,.??BC丄AC.???三棱柱ABC—A1B1C1為直三棱柱，

.??BC丄CC].?.?Acncci=c,ABC丄平面ACC1A1,ABC丄AiC.TB]Ci〃BC,AB1C1丄A]C.???四邊形ACC1A1為正方形，AA1C丄AC].?B]C]nAC]=C].AA1C丄平面AB]C1.H1-B：當(dāng)E為棱AB的中點時，DE〃平面AB1C1.證明：如圖，取BB1的中點F,連結(jié)EF,FD，DE,D,E,F分別為CC],AB,BB]的中點，AEF#AB1.ABi二平面AB]C1,EF二'平面AB]Ci，AEF〃平面AB1C1.VFD#B1C1,AFD〃面AB]C],又EFnFD=F,??.面DEF〃面AB1C1.而DE二面DEF,DE〃面AB1C1.

【備課資源】I.在半輕為10cm的球面上有A.B.C九且AB=8Acm.ZACB-加■則球心。斜平血A^C的跆漓為()(A)2cth(I刃Icm(「山?(【))蠱tm【解冊】iic設(shè)過A、EC的裁面圖圄心為“-半徑為口則AAABC中.AE=S-：3mi/ACE='i：)'??AE*..,…■廠「，Wr+」廣?訂cm.siri^ij二OOf=OA-OA=1O'-S?=(v.：\仙果-個兒何休的[覘團爼圏所小艸L位氏廊"沁?則吐幾何休的找面積是(>：\(I)>(IS+2冷］rmi【解析】選「?右三覘囲知該幾何體為三機柱?上、下底向面枳之命為2扭XTFXyX?=4(cm5).側(cè)面積為：■]X22HiX2屁=12+6^(cnrXJ表面積為:12卡6也+I=]6亠&J2(cn/).

下罔蜃個化何體的一視帕’根據(jù)圖中故據(jù)?可得諛兒何體前休枳為（>側(cè)（左》視圖<o^-(l)Mn側(cè)（左》視圖<o^-(l)Mn【解析】選B.由三視圖知該幾何體為半個圓柱且高為2,底面半徑為1.1???體積V二亠XnX12X2=nL如果…個兒何體的-覘圖如圖所示（AP-ft心m則眈兒何休的體積足{）(09cm(09cm(B)]?rm

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