2015考研強化班高數(shù)講義

2010考研強化班高等數(shù)學(xué)講義考研強化班高等數(shù)學(xué)講義(一至三章)第一章函數(shù)、極限、連續(xù)數(shù)(甲) 內(nèi)容要點ー、函數(shù)的概念.函數(shù)的定義 2,分段函數(shù) 3.反函數(shù)4.隱函數(shù)二、基本初等函數(shù)的概念、性質(zhì)和圖象三、復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)四、考研數(shù)學(xué)中常出現(xiàn)的非初等函數(shù).用極限表示的函數(shù)J=limfn(x),例/(x)=lim|X\\-xX(sintゝsinr-sinxsinx丿.用變上、下限積分表示的函數(shù)y=「ア。)カ 其中y。)連續(xù),則生=/(x)J" dxy=ff(t)dt 其中g(shù)(x),め(x)可導(dǎo)，/(r)連續(xù)，則孚=ハジ2(初ジ；(幻ー，3(x)w;(x)dx五、函數(shù)的幾種性質(zhì)

.有界性:設(shè)函數(shù)y=/(x)在X內(nèi)有定義,若存在正數(shù)M,使えeX都有|/(x)Km,則稱/(x)在X上是有界的。.奇偶性:設(shè)區(qū)間X關(guān)于原點對稱,若對xeX,都有/(―x)=-/(x),則稱/(x)在X上是奇函數(shù)。0 ,當(dāng)/7為奇函數(shù)2(/は)厶,當(dāng)/1為偶函數(shù)若對xeX,都0 ,當(dāng)/7為奇函數(shù)2(/は)厶,當(dāng)/1為偶函數(shù)點對稱;偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱。重要公式「f(x)dx=J-a.単調(diào)性:設(shè)/(x)在X上有定義,若對任意陽eX,x2eX,<x2都有/(x})<f(x2)［/(陽)>/(尤2)】則稱/は)在X上是單調(diào)增加的［單調(diào)減少的］;若對任意xgX,x2eX,X］<々都有/(xj</(ム)"(ム)2/區(qū))］,則稱/(X)在X上是單調(diào)不減［單調(diào)不增］(注意：有些書上把這里單調(diào)增加稱為嚴(yán)格單調(diào)增加;把這里單調(diào)不減稱為單調(diào)增加。)牡六,ハ1,r(x)>。,貝曠(無)單調(diào)增加若在(a,b)內(nèi), ? ?/'(幻<0,則/(幻單調(diào)減少.周期性;設(shè)/(x)在X上有定義，如果存在常數(shù)アxO,使得任意xeX,x+TeX,都有/(x+T)=/(%),則稱ノは)是周期函數(shù),稱T為/(x)的周期。由此可見,周期函數(shù)有無窮多個周期,一般我們把其中最小iE周期稱為周期。例fは)=sinAx(A>〇常數(shù))周期T=(乙)典型例題ー、定義域與值域例1設(shè)f(x)的定義域為［-6T,。］(Q>0)求/(X2-1)的定義域解:要求一。エズユ-14。,貝リ1ー。エX?V1+。,當(dāng)。と1時,*.*1-a<0,/.x2<1+a,貝リW《5/1+〃當(dāng)〇<Q<1時,1—a>0, y/\—~Q4兇く。1+。也即a/1—aVxVVF+?；颉獃/X+aVxV—y/l—a

3ーギ,x<—2例2求y=/(x)=,5-x,-2<x<2的值域,并求它的反函數(shù)。1—(X—2)",x>2解:x<-2,y>3+8=11,x=43-y,-2<x<2,3<y=5-x<7,x=5-y,x>2,y=1-(x-2)2<1,x=2+Jl-y,所以y=/(x)的值域為(-co,1)u[3,7]u(ll,+〇〇)2+yJ\-y,y<1反函數(shù)ズ=<5-y,3<y<7、曲-y,y>ll二、求復(fù)合函數(shù)有關(guān)表達(dá)式X例1設(shè)“幻=フ=マ，求，"(…/(切]=<(X)5+匸 〃重復(fù)合解:f2W解:f2W=f[f(x)]=若XVl+2x2ん+i(尤)ん。)=x/L+ザ=x

g"(x)y1}+kx2V\+kx2qi+伏ん+i(尤)根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法可知,對正整數(shù)〃,fn(x)=-j-V1+HX2例2已知:己、)=xe-*,且，(1)=0,求『(x)解:令優(yōu)=r,x=\nt,因此ア'(グ)=/?)=乎，rainr1 0x1/W-/(l)=fi-dt=-\n2ti=-\n2x?.?川)=0, /(x)=1ln2x三、有關(guān)四種性質(zhì)例1設(shè)ド’(X)=f(x),則下列結(jié)論正確的是(A)若/(幻為奇函數(shù),則ド(x)為偶函數(shù)(B)若/(x)為偶函數(shù),則ド(x)為奇函數(shù)(C)若/(尤)為周期函數(shù)，則ド(x)為周期函數(shù)(D)若，は)為單調(diào)函數(shù)，則ド(x)為單調(diào)函數(shù)例2求/=J'x[x5+(ex-e-x)ln(x+y/x2+1)]dx解か(ス)="ーズ”是奇函數(shù)，???fx(-x)=e^x-ex=-fx(x)f2(x)=ln(x+Jx2+1)是奇函數(shù),*/f2(-x)=ln(-x4-\lx2+1)=In /ヽX+y1X~+1=Ini-ln(x+イデ+1)=-f2(x)因此ス("ーダ")1。(。+厶2+D是奇函數(shù)于是z=fx6dx4-0=2fx6dx=—TOC\o"1-5"\h\zj-i Jo7例3設(shè)f(x),g(x)是恒大于零的可導(dǎo)函數(shù),且例(x)g(x)-)(x)g'(x)<0,則當(dāng)a<x<b時,下列結(jié)論成立的是 [](A)，(x)g(b)>f(b)g(x) (B)/(x)g(a)>/(a)g(x)(C)/(x)g(x)>/S)g(b) (D)/(x)g(x)>/(a)g(a)思考題:兩個周期函數(shù)之和是否為周期函數(shù)Y X例1./(x)=sin—4-cos—例2./(x)=sin7TX4-sin2x四、函數(shù)方程例1.設(shè)/(X)在〔0,+〇〇)上可導(dǎo)，/(0)=0,反函數(shù)為g(尤)，且「ス⑺ヵ=ドグ，求f(x)〇解:兩邊對x求導(dǎo)得g"(x)]，'(x)=2xe*+x2e”,于是ザ'(x)=x(2+x)e*,故/'(x)=(x+2)げ,/(x)=(x+l)e，+C,由/(0)=0,得。=一1,則〃x)=(x+l)e，-1。例2設(shè)ル）滿足3寸（めー軻宿x）ハ,求ル）解:令g（x）=sinf（x）,則g（x）一;g（；x）=x,1,1、1/1、IFg(FX)一§7g(，?x)=ク2m-1)x，各式相加,得g(x)-('?x)=xU+[+…+，ゴv|g(x)|<l,lirn^g(^x)=OTOC\o"1-5"\h\zrl1 1n1 9hm[l+—+???+——-1= =-…i9 9"t .181—

9因此g(x)=—x,于是89 - 9 ム/(%)=arcsin—x+2え乃或(2k+1)乃一。セsin—x(k為整數(shù))思考題設(shè)わ〉。均為常數(shù),求方程sin(x+/?)ln[(x+b)+&x+b)2+1]-sin(x+a)ln[(x+a)+^/(x-l-a)^+1]=0的ー個解。§1.2極限（甲）內(nèi)容要點ー、極限的概念與基本性質(zhì).極限的概念(1)數(shù)列的極限limx“=An—>oo(2)函數(shù)的極限lim/(x)=A；Jimf(x)=A；lim/(x)=Alimf(x)=A；limf(x)=A；limf(x)=A.極限的基本性質(zhì)定理1 (極限的唯一性)設(shè)lim/(x)=A,limf(x)=B,貝リA=B定理2(極限的不等式性質(zhì))設(shè)lim〃x)=A,limg(x)=B若x變化一定以后,總有/(無)Ngは),則AN8反之,A>B,則x變化一定以后,有人x)>g(x)(注:當(dāng)g(x)三〇,8=0情形也稱為極限的保號性)定理3 (極限的局部有界性)設(shè)lim”x)=A則當(dāng)無變化一定以后,/(x)是有界的。定理4設(shè)lim/(x)=A,limg(x)=B則(1)lim[/(x)+g(x)]=A+Blim[/(x)-g(x)]=A-Blim[/(x)?g(x)]=A-Blim^^=-(BhO)g(x)Blim"(x)『")=Ab(A>0)二、無窮小量.無窮小量定義:若lim/(x)=0,則稱/(x)為無窮小(注:無窮小與x的變化過程有關(guān)，lim丄=0,當(dāng)x->〇〇時丄為無窮小，而xfX。或其它時，丄不是無窮小)XTSX X X.無窮大量定義：任給M>0,當(dāng)x變化一定以后,總有|/(x)|>M,則稱/(x)為無窮大,記以lim/(X)=〇〇〇

.無窮小量與無窮大量的關(guān)系:在x的同一個變化過程中,若/(幻為無窮大量,則丄為無窮小量,“X)若/(x)為無窮小量，且/(x)xO，則ー丄ー為無窮大量。/(x).無窮小量與極限的關(guān)系:lim/(尤)=A<=>f(x)=A+a(x),其中l(wèi)ima(x)=0.兩個無窮小量的比較設(shè)lim/(x)=O,limg(x)=0,且lim=Ig(x)1=0,稱/(x)是比g(x)高階的無窮小量，記以/(x)=o[g(x)]稱g(x)是比/(無)低階的無窮小量，ナ〇,稱/(x)與g(x)是同階無窮小量。1=1,稱/(x)與g(x)是等階無窮小量，記以，(x)?g(x).常見的等價無窮小量,當(dāng)xf0時.1。sinx~x,tanx~x,arcsinx~x,arctanx~x,1—cosx~—x,e'—I-x,2ln(l+x)~x,(l+x)“-l?ax。.無窮小量的重要性質(zhì)有界變量乘無窮小量仍是無窮小量。三、求極限的方法1.2.3.利用極1.2.3.準(zhǔn)則1：單調(diào)有界數(shù)列極限一定存在(1)若X"M4x"(〃為正整數(shù))又x“>m(〃為正整數(shù))，則limx“=A存在，且ANmrt—⑵若x〃+|Nx“(〃為正整數(shù))又X,, (〃為正整數(shù))，則limx“=A存在，且ASM準(zhǔn)則2：夾逼定理設(shè)g(x)W/(x)W/i(x)。若!img(x)=A,limA(x)=A,則lim/(x)=A兩個重要公式ハー,sinx公式1：hm =1XTOx公式2：lim(l+-)"=e；lim(l+-)u=e；lim(l+v).用無窮小量重要性質(zhì)和等價無窮小量代換.用泰勒公式(比用等價無窮小量更深刻)x X當(dāng)x->0時,靖=l+x+—+??-+—+o(x")2! nlx2 r3 ,ex-1 -+o(x)例:lim ノ^=lim——— 3!"6.x3x5.ハ“

sinx=x +—+???(-1)3!5!x2n+\

(2/2+1)!+o(x2n+l)cosx=l-—+- +(-1)"2!4!(2〃)!+。(バ")ln(l+x)=x——+— (―1),,+| \?〇(xn)2 3 nv3 v5 工2〃+】arctanx=x F +(-l)w \-o(x2n+,)3 5 2n+lハ 、a1a(a-l)(1+X)=1+CtXd 2!2 a(a—1)…[a—(〃ー1)]nnx+???+- -x+o(x)n\6.洛必達(dá)法則第一層次,直接用洛必達(dá)法則法則1：(°型)設(shè)(1)lim/(x)=0,limg(x)=O(2)x變化過程中,f'(x),g'(x)皆存在(3)limヽ(*)=A(或〇〇)

g'(x)則lim/G2=A(或〇〇)

g(x)(注:如果limエ史不存在且不是無窮大量情形,則不能得出!im/単不存在且不是無窮S(幻 g(x)大量情形)法則2：(—型)設(shè)(1)lim/(x)=oo,limg(x)=ooX變化過程中,/'(x),g'(x)皆存在lim"め=A(或〇〇)g'(x)則lim/^=A(或〇〇)

g(x)第二層次,間接用洛必達(dá)法則"0?0〇”型和"8-8”型例limxInx和lim( )…〇? …〇xex第三層次:間接再間接用洛必達(dá)法則"ピ"型、"0〇"型、"〇〇。"型lim[/(x)lgW=limグ"*：&(か"").利用導(dǎo)數(shù)定義求極限基本公式:limハニ+人「ー/(/)=/(%)[如果存在].利用定積分定義求極限基本公式lim丄ナハエ)=['f(x)dx【如果存在]力n771nノ°.其它綜合方法.求極限的反問題有關(guān)方法例：已知lim~ター=3,求。和b上旬sin(x-1)(乙)典型例題ー、有關(guān)無窮小量ギ+ゼ+1例1.lim; :~~~(sinx+cosx)=XT*302*+X例2.設(shè)當(dāng)スf0時,(1一cosx)ln(l+x2)是比xsinx"高階的無窮小量,而えsinx"又是比(げ2-1)高階的無窮小量,則〃等于()(A)1 (B)2 (C)3 (D)4二、通過各種基本技巧化簡后直接求出極限例1設(shè)。用エ〇,2。0,求lim-'一ぜ，???。ぜ+。0-クd〃+2ーピ日+…ムス+%解.Hm%ノ+4加バ +…4]?丫+4()^00hnxn+6〃_1ス〃t+???+ムx+%xm-n[am+am,x-'+---+a.x'~m+&尸]

bn+bn_xxAH 1?仇x+%廠"0,b.當(dāng)〃7V〃時,當(dāng)〃?二〃時〇〇,當(dāng)初>〃時例2設(shè)〃エ〇,レI<1,求lim(a+ar+…+aア〃T)1_rn解:lim(a+ar Far解:lim(a+ar Far“f°01-r 1-r特例（1）求lim——”一>82解:例2解:例2中取a=—3可知原式=―支テ(2)lim(2)lim+…(2)"2~32解:分子、分母用3"除之,3-(-r原式=lim———=3〃+1（注:主要用當(dāng)吋<1時,limr"=0）例4設(shè)ノ是正整數(shù),求lim>〃ー*k(k+l)解:ソ——-111k(k+l)Ikk+ln+lk(k+1)l\_2n+lTOC\o"1-5"\h\z因此原式=—(14 1 1--)I2I特例:(1)lim> =1Z8金乂女+i)(2)lim> =-(1+-)=- (/=2)…伏+2)2 2 4用兩個重要公式解:XX X求limcos—cos cos——2n當(dāng)ズ=0,原式=1當(dāng)xwO時,原式=lim2"sin二

2"cos—cos 解:XX X求limcos—cos cos——2n當(dāng)ズ=0,原式=1當(dāng)xwO時,原式=lim2"sin二

2"cos—cos cos—2 42"sin—T2nT~-lim——COS—COS COS——r2 4 2”t2"sin上

2”.X?sm——-

2n~],?sinxrsinx=lim =lim ?X-X2sin2n求lim(一)“

XT8X+12ハ.x

sinrsinx解ー:lim()A=lim(x-l)/x

(x+l)/x=lim(1ー丄ジ(1+ルeX解二:x—1lim(—)xXT8X+1=lim1+(-2爭ぎ2=e~2COSX Ilim(cosx)81r=lim(l-sin2x)x^O x^Oュイバx=lirn[llim(cosx)81r=lim(l-sin2x)x^O x^O四、用夾逼定理求極限例1.求limに」?己解:令x=一,一,—?n2462n-l2/22/2—12/?2/z則〇（ム<yn,2/2+112n+l由夾逼定理可知:limx；=0,于是原極限為〇例2求limX—^—〃T8狙〃ノ+n+k行1+2+…+/2ぐ^k1+2+…+/2解:ラ <X- <—— /224-/24-/2 啓/2~+/2+攵 /2-+/2+1,,.l+2+,,.l+2+???+/2而lim 〃T8 /2-4-2/2=lim丄〃(〃+1)./2(/24-2) 2「1+2「1+2+…+/2lim—— =lim-4-/24-11 , ハ—n(/24-1)]n24-/24-1 2山夾逼定理可知lim山夾逼定理可知limA=lガ+〃+攵例3求lim解:??1|sint\dt=￡Tsintdt=2解:設(shè)〃萬<x<(〃+1)乃,則2/2=/卜int\lt<Jjsint\dt<匸!sint\dt=2(/24-1)于是,2n(/24-l)7V-ルsinイカ,〇v2(〃+1)

nTtVlim—2 1.2(/24-1) 2=—,lim =—nT0°(/2+l)17T〃t0°n7T71由夾逼定理可知,lim-flsindJr=—xJoI1冗五、用定積分定義求數(shù)列的極限例1.求limf——-

"廿k=\分析:如果還想用夾逼定理中的方法來考慮n2<±n<n2n2+n2~ttn2+k2-n2+12〃2 1..n2而hm- =—,lim-=1+n2?->??-+12由此可見,無法再用夾逼定理,因此我們改用定積分定義來考慮解:limV- -=lim—V 18y〃.+k 18〃芻]+(ち2ridxridxーL1+x714714=arctanx0nSin求lim1nSin求lim1—卜

1J〃+—k例2kTT1ぐ,セ萬ぐsin k乃解:?.? ヽsin—<y 7-<->sin—〃+員川nk=] 1n皿nfin 而lim丄七sin包=fsinバム=2..1ぐ.んだ「/〃、/e?kiヽ2lim /sin——=lim()(—>sin——)=一ハメ0〃+1念n〃-〃+1 〃セnn.k兀〃sin——2由夾逼定理可知,lirnV 9=—"T"七 ,1 71I〃+一六、用洛必達(dá)法則求極限.ユ型和——型0〇〇

-sin例1.求lim丄——f”->8 . 31sin一n解:離散型不能直接用洛必達(dá)法則,故考慮[.x-sinx^/ヘエ內(nèi),小31?スーsinxhm —等價無窮小代換hm——--?iosinx 一°x

..1—cosx..sinx1=lim =lim =一3x—06x6:,原式二丄61e小例2.求lim—-4 1"0" （ゴ?eア（不好辦了,分母x的次解:若直接用ヱ型洛必達(dá)法則1,則得lim工_—=lim—0 K10x9（不好辦了,分母x的次數(shù)反而增加）為了避免分子求導(dǎo)數(shù)的復(fù)雜性,我們先用變量替換,令う=X1于是lim， =lim二?二lim一（ 型）xtOス川I+00廣うtf曲ゼ qq5パ 5,=lim—=?<?=lim—=0r—>+aoピ ,t+oo/例3設(shè)函數(shù)f（x）連續(xù),/（0）#0,求lim- ー。xJ；/（xT）df解:原式=lim解:原式=lim（分母作變量替換スーf=〃=lim\f(t)dt=lim\f(t)dt+xf(x)-xf(x)-- (用洛必達(dá)法則,分子、￡7(?)jw+vw分母各求導(dǎo)數(shù)）（用積分中值定理）lim(ず??0)lim(ず??0)ザゼ）ガ（4）+ガ（尤）（自在〇和x之間）/(〇)J

/(0)+/(0)-2

解:ガ原式=lim解:ガ原式=lim—一sirrxcosx2?2

xsinx2 1?2cx——sin2xr4=hm XT。ズ4.2x—sin2えcos2ス=lim い。 4x314/x——sin4%=lim ー。2バl(wèi)-cos4x=lim ——106尸=lim=limx-?04sin4x12x例2設(shè)a〉〇,b>0常數(shù)。求limx(レーい)丄［今I涼一bxくーつa'-b'"0"解:原式=limJ』 』limセ」?(ン型)X用洛必達(dá)法則=Ina-b1Inb)1o+=Ina—\nb=ln-b3.“ピ”型,“〇〇”型和“0co?型這類都是limげ(x)ド")形式可化為而limg(x)皿，(x)］都是“。?〇〇”型,按2的情形處理例1求limx血リ解:令y=x'"x,Iny=sin2xlnxlimIny=limsin2xlnx=O

:.limy=e°=1x->0+例2設(shè)a〉〇,b>0常數(shù),求lim（栃+栃）”\_丄ax+か解:先考慮lim（ド它是“ド”型9丄丄ax-\-bx - -令y=( 尸,Iny=x[ln(ax+/?x)-ln2]丄丄 ス>[“〇”ン型）0... ..ln(a，+か)-ln2、ス’「“〇”ン型）0hmIny=lim ==hm a'\na-^-b1\nh1z,,ハIr-r=lim =—(Ina4-In/?)=In7ab〃'+が2丄丄dX+/?” / 因此,lim( y=ylah12ヽ 2ギ日爪+栃ゝ〃 rr于是,lim( )=Nab28 2七、求分段函數(shù)的極限丄例求lim（るく+孫）1。士1x11+ダ丄/2+e*sinxx一1,解:hm( 屋+ )=2-1=1XT。ー- (-X)l+ex4 3..,2ex+exsinズ、ハ,，hm(：+)=0+1=1IO---IXex+1丄「/2+e*sinx、1..lim( r+ )=1ハ。ク!xl\+exハ、用導(dǎo)數(shù)定義求極限例1設(shè)f\x0)=2,求lim"キ+3パ)7aL29- Ax解:原式=lim"(%+3弱ー/(がー"は。ー2Am)]んto Axai./(x0+3Ax)-/(x0) /(x0-2Ax)-/(x0)=Jlim rzlim a—o 3Ax んー。(-2Ax)=3/(x°)+2八x°)=5r(Xo)=lO例2設(shè)曲線y=/(x)與y=sinx在原點相切,求limザ(一)解:由題設(shè)可知/(0)=0,ハ0)=(SinX)'レ0=12 /(-)-/(〇)于是limガ(一)=lim2?—よ =2/70)=2Zハ 0n九、遞推數(shù)列的極限例1設(shè)〇<X]<3,xn+1=Jxn(3-xn),證明〃〃x“存在,并求其值。解：,/x,>0,3-X|>0,/.0<x2= (3-X,)<X|+(3-X|)=-(幾何平均值〈算術(shù)平均值)用數(shù)學(xué)歸納法可知〃>1時，〇<x“くヨ,二｛x“｝有界。2又當(dāng)〃>1時，xn+l-x?=ylxn(3-xn)-Xn=爲(wèi)"(杷"一區(qū))向3_2x“)

=/- 7=^0。ーX.+:.xB+1>xn,則｛x.｝單調(diào)增加。根據(jù)準(zhǔn)則1, limx”=/存在把X用=Jム(3ーム)兩邊取極限，得，=，(3-/)? ■ 3 3I2=3/-Z2,1=0(舍去)得，ニー,工limx?=-2 …M2思考題設(shè)/=2,ム=24 , , Xn=24 ,王ス求limx”十、求極限的反問題例1設(shè)lim*+プ+”=3,求a和bIsin(f-1)解:由題設(shè)可知lim(x2+ax+b)=0,,l+a+b=0,再由洛必達(dá)法則得「x2 +b..2x+a2+。-TOC\o"1-5"\h\zlim =lim = =3スー】sin(x~-1)xf2xcos(x-1) 2a=4,/?=-5例2設(shè)，(x)在(0,+8)內(nèi)可導(dǎo),/(x)>0,lim/(x)=l,且滿足lim[/如史0]ス=>,18 ル->0 于(X)求/(X)。.? rf(x+hx)^ lim1[ln/(x+*x)-ln/(x)]解:hm[厶 -]h=eh^hxf(x)"ノEか""""宀"刈=e川""刈’因此,x[lnf(x)]'=-,[In/(x)T=4-,ln/(x)=--+crX X^ X/(x)=cer?由lim/(x)=l,可知c=l1則/(x)=e'續(xù)(甲) 內(nèi)容要點ー、函數(shù)連續(xù)的概念.函數(shù)在一點連續(xù)的概念定義1若lim/(x)=/(無〇),則稱/(x)在點與處連續(xù)。ス。定義2設(shè)函數(shù)y=/(x),如果limf(x)=/(%),則稱函數(shù)/(x)在點/處左連續(xù):如果!imf(x)=/(x0).則稱函數(shù)f(x)在點/處右連續(xù)。如果函數(shù)y=/(x)在點七處連續(xù),則/(x)在モ處既是左連續(xù),又是右連續(xù)。.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)(上)連續(xù)的定義如果函數(shù)y=/(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一點都連續(xù),則稱/(x)在(a,切內(nèi)連續(xù)。如果y=/(x)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù),在區(qū)間端點。右連續(xù),在區(qū)間端點ル左連續(xù),則稱/(尤)在閉區(qū)間［スい］上連續(xù)。二、函數(shù)的間斷點及其分類.函數(shù)的間斷點的定義如果函數(shù)y=/(x)在點ム處不連續(xù),則稱ム)為/(x)的間斷點。.函數(shù)的間斷點分為兩類:(1)第一類間斷點設(shè)%是函數(shù)y=/(x)的間斷點,如果/(x)在間斷點與處的左、右極限都存在,則稱X。是/(X)的第一類間斷點。第一類間斷點包括可去間斷點和跳躍間斷點。(2)第二類間斷點第一類間斷點以外的其他間斷點統(tǒng)稱為第二類間斷點。常見的第二類間斷點有無窮間斷點和振蕩間斷點。例如:x=0是バx)=2史的可去間斷點，是/(x)=區(qū)的跳躍間斷點,是/(x)=-X X X的無窮間斷點，是/(x)=sin—的振蕩間斷點。三、初等函數(shù)的連續(xù)性.在區(qū)間I連續(xù)的函數(shù)的和、差、積及商(分母不為零),在區(qū)間I仍是連續(xù)的。.由連續(xù)函數(shù)經(jīng)有限次復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)仍是連續(xù)函數(shù)。.在區(qū)間I連續(xù)且單調(diào)的函數(shù)的反函數(shù)，在對應(yīng)區(qū)間仍連續(xù)且單調(diào)。.基本初等函數(shù)在它的定義域內(nèi)是連續(xù)的。.初等函數(shù)在它的定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的。四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)間カ］上連續(xù)的函數(shù)/は)，有以下幾個基本性質(zhì)，這些性質(zhì)以后都要用到。定理1(有界定理)如果函數(shù)ズx)在閉區(qū)間［a,カ上連續(xù)，則ズズ)必在［aカ上有界。定理2(最大值和最小值定理)如果函數(shù)ズめ在閉區(qū)間口,切上連續(xù),則在這個區(qū)間上一定存在最大值M和最小值m.其中最大值M和最小值m的定義如下:定義設(shè)y(ム)=知是區(qū)間［ス回上某點/處的函數(shù)值,如果對于區(qū)間［スわ］上的任一點尤,總有人ブく〃,則稱M為函數(shù)"X)在切上的最大值。同樣可以定義最小值機.定理3(介值定理)如果函數(shù)"X)在閉區(qū)間