2022年秋高中數(shù)學(xué)第三章圓錐曲線的方程培優(yōu)課橢圓的綜合問題及應(yīng)用課件新人教A版選擇性必修第一冊

培優(yōu)課橢圓的綜合問題及應(yīng)用第三章內(nèi)容索引01重難探究?能力素養(yǎng)全提升02學(xué)以致用?隨堂檢測全達(dá)標(biāo)重難探究?能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一橢圓的中點(diǎn)弦問題【例1】

已知橢圓

=1的弦AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,1),求直線AB的方程.解

(方法1)易知直線AB的斜率k存在.設(shè)所求直線的方程為y-1=k(x-2),Δ=[-8(2k2-k)]2-4(4k2+1)[4(2k-1)2-16]=16(12k2+4k+3)>0,解得k∈R.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1,x2是上述方程的兩根,故所求直線的方程為x+2y-4=0.(方法2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).∵M(jìn)(2,1)為AB的中點(diǎn),∴x1+x2=4,y1+y2=2.又A,B兩點(diǎn)在橢圓上,(方法3)設(shè)所求直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為A(x,y),由于AB的中點(diǎn)為M(2,1),則另一個(gè)交點(diǎn)為B(4-x,2-y).∵A,B兩點(diǎn)都在橢圓上,①-②,得x+2y-4=0.顯然點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足這個(gè)方程.代入驗(yàn)證可知點(diǎn)B的坐標(biāo)也滿足這個(gè)方程,而過A,B的直線只有一條,故所求直線的方程為x+2y-4=0.規(guī)律方法

處理橢圓的中點(diǎn)弦問題的三種途徑(1)根與系數(shù)的關(guān)系法:聯(lián)立直線方程與橢圓方程構(gòu)成方程組,消掉其中的一個(gè)未知數(shù),得到一個(gè)一元二次方程,利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解.(2)點(diǎn)差法:設(shè)出弦的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo),代入橢圓方程,兩式相減即得弦的中點(diǎn)與斜率的關(guān)系.即“設(shè)而不求”思想,這也是此類問題最常用的方法.(3)中點(diǎn)轉(zhuǎn)移法:先設(shè)出弦的一個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo),結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)得出弦的另一個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo),分別代入橢圓方程作差即得.變式訓(xùn)練1已知橢圓

=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0),過點(diǎn)F的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),若線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1),則橢圓的方程為

.

探究點(diǎn)二直線與橢圓的位置關(guān)系規(guī)律方法

直線與橢圓位置關(guān)系的判斷方法

變式訓(xùn)練2已知橢圓C的焦點(diǎn)分別為F1(-2,0),F2(2,0),長軸長為6,設(shè)直線y=x+2交橢圓C于A,B兩點(diǎn).(1)求線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo);(2)求△OAB的面積.探究點(diǎn)三橢圓中的最值與范圍問題【例3】

如圖,點(diǎn)A,B分別是橢圓

=1長軸的左、右端點(diǎn),點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓上,且位于x軸上方,PA⊥PF.(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo);(2)設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點(diǎn),M到直線AP的距離等于|MB|,求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值.規(guī)律方法

解決與橢圓有關(guān)的最大(小)值或范圍問題的方法(1)定義法:利用橢圓定義轉(zhuǎn)化為幾何問題處理.(2)數(shù)形結(jié)合法:利用數(shù)與形的結(jié)合,挖掘幾何特征,尋找最大(小)值點(diǎn)(或臨界點(diǎn)),進(jìn)而求解.(3)函數(shù)法:選擇恰當(dāng)?shù)淖宰兞?構(gòu)建目標(biāo)函數(shù),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大(小)值或范圍.變式訓(xùn)練3已知橢圓C:4x2+y2=1.(1)P(m,n)是橢圓C上一點(diǎn),求m2+n2的取值范圍;(2)設(shè)直線y=x+m與橢圓C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),求△AOB面積的最大值及△AOB面積最大時(shí)的直線方程.解

(1)m2+n2表示原點(diǎn)O到橢圓C上點(diǎn)P的距離的平方,又∵P(m,n)是橢圓C上的一點(diǎn),探究點(diǎn)四橢圓中的定點(diǎn)、定值問題O(0,0),△OAB的面積為1.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)P是橢圓C上異于點(diǎn)A,B的一點(diǎn),直線PA與y軸交于點(diǎn)M,直線PB與x軸交于點(diǎn)N,求證:|AN|·|BM|為定值.當(dāng)x0=0時(shí),y0=-1,|BM|=2,|AN|=2.所以|AN|·|BM|=4.綜上知,|AN|·|BM|為定值.規(guī)律方法

定點(diǎn)、定值問題的求法定點(diǎn)、定值是在變化過程中不變的量,解決這類問題的基本思想是函數(shù)思想.具體處理方法有以下兩種:(1)從特殊關(guān)系入手,求出定點(diǎn)(定值),再證明這個(gè)定點(diǎn)(定值)與變量無關(guān).(2)直接推理、計(jì)算,并在計(jì)算過程中消去變量.(1)解

設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F1,則OM為△AFF1的中位線.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)實(shí)際生活中的橢圓問題;(2)直線與橢圓的位置關(guān)系;(3)中點(diǎn)弦的求法.2.方法歸納:分類討論法、點(diǎn)差法.3.常見誤區(qū):容易忽略直線中斜率不存在的情況.學(xué)以致用?隨堂檢測全達(dá)標(biāo)答案C

2.若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓

+y2=1的中心和左焦點(diǎn),P為橢圓上的任意一點(diǎn),則|OP|2+|PF|2的最小值為(

)A.1 B.2 C.3 D.4答案B

解析

依題意可得F(-1,0),設(shè)P(x,y),則|OP|2+|PF|2=x2+y2+(x+1)2+y2=2x2+2x+1+2y2.因?yàn)?/p>

+y2=1,所以|OP|2+|PF|2=x2+2x+3=(x+1)2+2,故當(dāng)x=-1時(shí),|OP|2+|PF|2的最小值等于2.答案

10解析設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F2,如圖所示.因?yàn)閨PF|+|PF2|=2a=8,所以|PF|=8-|PF2|,所以|PA|+|PF|=|PA|-|PF2|+8,當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P1的位置時(shí),此時(shí)A,F2,P1三點(diǎn)共線,|PA|-|PF2|取得最大值為|AF2|==2.所以|PA|+|PF|=|PA|-|PF2|+8≤2+8=10.|PA|+|PF|的最大值為10.4.橢圓4x2+9y2=144內(nèi)有一點(diǎn)P(3,2),過點(diǎn)P的弦恰好以P為中點(diǎn),則這條弦所在的直線方程為

.

答案

2x+3y-12=0解析

設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),弦所在直線的斜率為k.∵P(3,2)為AB的中點(diǎn),∴x1+x2=6,y1+y2=4.∵點(diǎn)A,B都在橢圓上,5.萬眾矚目的北京冬奧會(huì)于2022年2月4日正式開幕,繼2008年北京奧運(yùn)會(huì)之后,國家體育場(又名鳥巢)再次承辦奧運(yùn)會(huì)開幕式.在手工課上,王老師帶領(lǐng)同學(xué)們一起制作了一個(gè)近似鳥巢的金屬