2.1-平面向量的實際背景及基本概念-教學(xué)設(shè)計-教案

教學(xué)準(zhǔn)備1.

教學(xué)目標(biāo)1、知識與技能：了解向量的實際背景，理解平面向量的概念和向量的幾何表示；掌握向量的模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等概念；并會區(qū)分平行向量、相等向量和共線向量。2、過程與方法：通過對向量的學(xué)習(xí)，使學(xué)生初步認(rèn)識現(xiàn)實生活中的向量和數(shù)量的本質(zhì)區(qū)別。3、情感態(tài)度與價值觀：通過學(xué)生對向量與數(shù)量的識別能力的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識客觀事物的數(shù)學(xué)本質(zhì)的能力。2.

教學(xué)重點/難點教學(xué)重點:理解并掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量的概念,會表示向量.教學(xué)難點:平行向量、相等向量和共線向量的區(qū)別和聯(lián)系.3.

教學(xué)用具多媒體4.

標(biāo)簽平面向量的實際背景及基本概念

教學(xué)過程（一）導(dǎo)入新課

思路1.(情境導(dǎo)入)如圖1,在同一時刻,老鼠由A向西北方向的C處逃竄,貓在B處向正東方向的D處追去,貓能否追到老鼠呢？學(xué)生馬上得出結(jié)論:追不上,貓的速度再快也沒用,因為方向錯了.教師適時設(shè)問:如何從數(shù)學(xué)的角度來揭示這個問題的本質(zhì)？由此展開新課.（二）推進(jìn)新課、新知探究、提出問題①在物理課中,我們學(xué)過力的概念.請回顧一下力的三要素是什么？還有哪些量和力具有同樣特征呢?這些量的共同特征是什么？怎樣利用你所學(xué)的數(shù)學(xué)中的知識抽象這些具有共同特征的量呢？②新的概念是對這些具有共同特征的量的描述,應(yīng)怎樣定義這樣的量呢？③數(shù)量與向量的區(qū)別在哪里？

活動:教師指導(dǎo)學(xué)生閱讀教材,思考討論并解決上述問題,學(xué)生討論列舉與位移一樣的一些量.物體受到的重力是豎直向下的,物體的質(zhì)量越大,它受到的重力越大；物體在液體中受到的浮力是豎直向上的,物體浸在液體中的體積越大它受到的浮力就越大；速度與加速度都是既有大小,又有方向的量；物理中的動量與沖量都有方向,且有大小；物理學(xué)中存在著許多既有大小,又有方向的量.

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察思考這些量的共同特征,我們能否在數(shù)學(xué)學(xué)科中對這些量加以抽象,形成一種新的量.至此時機成熟,引入向量,并把那些只有大小,沒有方向的量,如年齡、身高、長度、面積、體積、質(zhì)量等稱為數(shù)量,物理學(xué)上稱為標(biāo)量.顯然數(shù)量和向量的區(qū)別就在于方向問題.討論結(jié)果:①略.②我們把既有大小,又有方向的量叫做向量.物理中稱為矢量.③略.提出問題①如何表示向量?②有向線段和線段有何區(qū)別和聯(lián)系？分別可以表示向量的什么?③長度為零的向量叫什么向量？長度為1的向量叫什么向量?④滿足什么條件的兩個向量是相等向量？單位向量是相等向量嗎?⑤有一組向量,它們的方向相同或相反,這組向量有什么關(guān)系？怎樣定義平行向量?⑥如果把一組平行向量的起點全部移到一點O,它們是不是平行向量？這時各向量的終點之間有什么關(guān)系?⑦數(shù)量與向量有什么區(qū)別?⑧數(shù)學(xué)中的向量與物理中的力有什么區(qū)別?

活動:教師指導(dǎo)學(xué)生閱讀教材,通過閱讀教材思考討論以上問題.特別是有向線段,是學(xué)習(xí)向量的關(guān)鍵.但不能說“向量就是有向線段,有向線段就是向量”,有向線段只是向量的一種幾何表示,二者有本質(zhì)的區(qū)別.向量只由方向和大小決定,而與向量的起點的位置無關(guān),但有向線段不僅與方向、長度有關(guān),也與起點的位置有關(guān).如圖2,在線段AB的兩個端點中,規(guī)定一個順序,假設(shè)A為起點、B為終點,我們就說線段AB具有方向,具有方向的線段叫做有向線段,通常在有向線段的終點處畫上箭頭表示它的方向.以A為起點、B為終點的有向線段記作.起點要寫在終點的前面.

已知,線段AB的長度也叫做有向線段的長度,記作.有向線段包含三個要素:起點、方向、長度.

知道了有向線段的起點、方向和長度,它的終點就唯一確定.用有向線段表示向量的方法是:1°起點是A,終點是B的有向線段,對應(yīng)的向量記作:.這里要提醒學(xué)生注意的方向是由點A指向點B,點A是向量的起點.2°用字母a,b,c,…表示.(一定要學(xué)生規(guī)范書寫:印刷用黑體a,書寫用)3°向量(或a)的大小,就是向量(或a)的長度(或稱模),記作||(或|a|).教師要注意引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)量與向量的模進(jìn)行比較,數(shù)量有大小而沒有方向,其大小有正、負(fù)和0之分,可進(jìn)行運算,并可比較大小;向量的模是正數(shù)或0,也可以比較大小.由于方向不能比較大小,像a＞b就沒有意義,而|a|>|b|有意義.討論結(jié)果:①向量也可用字母a,b,c,…表示(印刷用粗黑體表示),手寫用來表示,或用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示,如、.注意:手寫體上面的箭頭一定不能漏寫.②有向線段:具有方向的線段就叫做有向線段,其有三個要素:起點、方向、長度.向量與有向線段的區(qū)別:向量只有大小和方向兩個要素,與起點無關(guān),只要大小和方向相同,則這兩個向量就是相同的向量；有向線段有起點、大小和方向三個要素,起點不同,盡管大小和方向相同,也是不同的有向線段.

圖3③長度為0的向量叫零向量,長度為1個單位長度的向量,叫單位向量.但要注意,零向量、單位向量的定義都只是限制了大小.長度為0的向量叫做零向量,記作0,規(guī)定零向量的方向是任意的.長度等于1個單位的向量,叫做單位向量.④長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.⑤對平行向量定義的理解:第一,方向相同或相反的非零向量叫平行向量;第二,我們規(guī)定0與任一向量平行即0∥a.綜合第一、第二才是平行向量的完整定義；向量a,b,c平行,記作a∥b∥c.如圖3.

圖4

又如圖4,a,b,c是一組平行向量,任作一條與a所在直線0平行的直線l,在l上任取一點O,則可在l上分別作出＝a,=b,=c.這就是說,任一組平行向量都可以移動到同一直線上,因此,平行向量也叫做共線向量.

說明:平行向量可以在同一直線上,要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系.⑥是共線向量,也就是平行向量.但要注意,平行向量就是共線向量,這是因為任一組平行向量都可移到同一直線上(與有向線段的起點無關(guān)).平行向量可以在同一直線上,要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；共線向量可以相互平行,要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.⑦數(shù)量只有大小,是一個代數(shù)量,可以進(jìn)行代數(shù)運算、比較大?。幌蛄坑蟹较?、大小雙重性質(zhì),不能比較大小.⑧力有大小、方向、作用點三個要素,而數(shù)學(xué)中的向量是由物理中的力抽象出來的,只有大小與方向兩個要素,與起點的位置無關(guān).（三）應(yīng)用示例例1

如圖5,試根據(jù)圖中的比例尺以及三地的位置,在圖中分別用有向線段表示A地至B、C兩地的位移.(精確到1

km)分析:本例是一個簡單的實際問題,要求畫出有向線段表示位移,目的在于鞏固向量概念及其幾何表示.解:表示A地至B地的位移,且||≈232

km;(AB長度×8

000

000÷100

000)表示A地至C地的位移,且||≈296

km.(AC長度×8

000

000÷100

000)點評:位置是幾何學(xué)研究的重要內(nèi)容之一,幾何中常用點表示位置,研究如何由一點的位置確定另外一點的位置.如圖5,由A點確定B點、C點的位置.例2

判斷下列命題是否正確,若不正確,請簡述理由.(1)ABCD中,與是共線向量;(2)單位向量都相等.

活動:教師引導(dǎo)學(xué)生畫出平行四邊形,如圖7.

因為AB//CD,所以∥.由于上面已經(jīng)明確,單位向量只限制了大小,方向不確定,所以單位向量不一定相等,即單位向量模均相等且為1,但方向不確定.解:(1)正確;(2)不正確.

課堂小結(jié)本節(jié)課從平面向量的物理背景和幾何背景入手,利用類比的方法,介紹了向量的兩種表示方法:幾何表示和字母表示,幾何表示為用向量處理幾何問題打下了基礎(chǔ),字母表示則利于向量的運算；然后又介紹了向量的模、平行向量、共線向量、相等向量等重要概念,這些概念是進(jìn)一步學(xué)習(xí)后續(xù)課程的基礎(chǔ),必須要在理解的基礎(chǔ)上把握好.

課后習(xí)題1.判斷:(1)平行向量是否一定方向相同？(不一定)(2)不相等的向量是否一定不平行？(不一定)(3)與零向量相等的向量必定是什么向量？(零向量)(4)與任意向量都平行的向量是什么