專題七：導(dǎo)數(shù) 高考考點(diǎn)總結(jié)講義（解析）2023屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

專題七導(dǎo)數(shù)規(guī)律小結(jié)縱觀近幾年高考對(duì)導(dǎo)數(shù)的考查，試題設(shè)計(jì)一般是包含一大一小(全國(guó)Ⅱ卷一般只有大題)，理科對(duì)導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及切線考查的頻率較高，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值是引導(dǎo)教學(xué)的常規(guī)要求.文科對(duì)切線、單調(diào)性和零點(diǎn)考查的頻次較高，導(dǎo)數(shù)研究不等式的要求相對(duì)理科要低許多.導(dǎo)數(shù)研究不等式、零點(diǎn)等則是導(dǎo)數(shù)綜合運(yùn)用的最好載體，從思想方法上看，函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論是重點(diǎn)考查的內(nèi)容，從關(guān)鍵能力上看，側(cè)重對(duì)邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新能力的考查，從學(xué)科素養(yǎng)上看，突出理性思維和數(shù)學(xué)探索.命題基本上是強(qiáng)調(diào)導(dǎo)數(shù)的工具性作用，不涉及導(dǎo)數(shù)本身過多的理論.3.考點(diǎn)頻度高頻考點(diǎn)：含參函數(shù)的參數(shù)對(duì)函數(shù)性質(zhì)的影響；用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值；導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求曲線切線的方程；函數(shù)的零點(diǎn)討論；函數(shù)的圖像與函數(shù)的奇偶性.中頻考點(diǎn)：用函數(shù)的單調(diào)性比較大??；利用函數(shù)證明不等式或求不等式的解；求參數(shù)的取值范圍；函數(shù)模型的應(yīng)用.低頻考點(diǎn)：反函數(shù)、定積分.4.備考策略預(yù)計(jì)2022年的高考難度會(huì)有所降低，但變化不大，保持穩(wěn)定是主基調(diào)，小題一般是基礎(chǔ)題，大題突出綜合性，作為載體的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)應(yīng)該引起足夠的重視.(1)2022年高考仍然重點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)的切線、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值問題，難度不定，題目可能為簡(jiǎn)單題，也可能為難題，題型為選擇題、填空題或解答題.(2)2022年高考在導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用的命題方面，理科仍將以選擇、填空壓軸題或解答題壓軸題形式考查不等式恒(能)成立問題與探索性問題、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)或方程解問題，重點(diǎn)考查分類整合思想、分析解決問題的能力.文科仍將以解答題壓軸題形式考查零點(diǎn)、極值、最值、簡(jiǎn)單不等式恒(能)成立問題與探索性問題、利用導(dǎo)數(shù)解證與不等式有關(guān)的問題，一般難度不會(huì)太高.新高考的考查內(nèi)容會(huì)與理科類似，難度可能會(huì)略低一些.考向(一)導(dǎo)數(shù)的概念、幾何意義及基本運(yùn)算1.(2019全國(guó)Ⅱ,文10)曲線y=2sinx+cosx在點(diǎn)(π,-1)處的切線方程為()A.x-y-π-1=0B.2x-y-2π-1=0C.2x+y-2π+1=0D.x+y-π+1=0[試題情境]本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以三角函數(shù)為載體，考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程.[必備知識(shí)]本題考查的知識(shí)是導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、曲線的切線方程公式y(tǒng)-y?=k(x-x?).[能力素養(yǎng)]本題考查運(yùn)算求解能力和空間想象能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)探索.本題目標(biāo)是求曲線在某點(diǎn)處切線，需要建立切線的斜率與此點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值的聯(lián)系，理解兩者之間的數(shù)量關(guān)系，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的魅力，最終經(jīng)計(jì)算得到結(jié)果.[解題思路]采取導(dǎo)數(shù)法，利用函數(shù)與方程思想解題.當(dāng)x=π時(shí),y=2sinπ+cosπ=-1,即點(diǎn)(π,-1)在曲線y=2sinx+cosx上.設(shè)f(x)=2sinx+cosx,∵f(x)=2cosx-sinx,∴f'(x)=2cosπ-sinπ=-2.∴曲線y=2sinx+cosx在點(diǎn)(π,-1)處的切線方程為y-(-1)=-2(x-π),即2x+y-2π+1=0.故選C.[答案]C2.(2019全國(guó)Ⅲ,理6、文7)已知曲線y=aer+xlnx在點(diǎn)(1,ae)處的切線方程為y=2x+b,則()A.a=e,b=-1B.a=e,b=1C.a=e?1,b=1D.a=e?1,b=-1[試題情境]本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以函數(shù)為載體，考查運(yùn)用曲線的切線方程求參數(shù)問題.[必備知識(shí)]本題考查的知識(shí)是導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、曲線的切線方程公式y(tǒng)-y?=k(x-x?).[能力素養(yǎng)]本題考查運(yùn)算求解能力和空間想象能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)探索.本題解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)幾何意義和點(diǎn)在曲線上得到方程.通過求導(dǎo)數(shù)，得到切線斜率的表達(dá)式，求得a，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程，求得b.[解題思路]設(shè)f(x)=ae*+xlnx,∵f'(x)=ae?+lnx+1,∴k=f'(1)=ae+1=2,∴ae=1,a=e?1.將點(diǎn)(1,1)代入y=2x+b,得2+b=1,∴b=-1.[答案]D3.(2021全國(guó)甲,理13)曲線y=2x?1x+2在點(diǎn)(-1,-3)處的切線方程為[試題情境]本題屬于課程學(xué)習(xí)情境，本題以分式函數(shù)為載體，考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程.[必備知識(shí)]本題考查的知識(shí)是導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、曲線的切線方程公式y(tǒng)-y?=k(x-x?).

[能力素養(yǎng)]本題考查運(yùn)算求解能力和空間想象能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)探索.本題目標(biāo)是求曲線在某點(diǎn)處切線，需要建立切線的斜率與此點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值的聯(lián)系，理解兩者之間的數(shù)量關(guān)系，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的魅力，最終經(jīng)計(jì)算得到結(jié)果.[解題思路]采取導(dǎo)數(shù)法，利用函數(shù)與方程思想解題.由y=2x?1x+2,得[答案]5x-y+2=04.(2020全國(guó)Ⅰ,文15)曲線y=lnx+x+1的一條切線的斜率為2,則該切線的方程為.[試題情境]本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以函數(shù)為載體，考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程.[必備知識(shí)]本題考查的知識(shí)是曲線的切線方程公式y(tǒng)-y?=k(x-x?)和導(dǎo)數(shù)的概念及其意義.[能力素養(yǎng)]本題考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)是數(shù)學(xué)探索.首先計(jì)算導(dǎo)函數(shù)，再借助導(dǎo)函數(shù)函數(shù)值與切線斜率相等的關(guān)系建立方程，解方程求得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而得到其縱坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式方程求得切線.[解題思路]設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x?,y?).對(duì)y=lnx+x+1求導(dǎo)可得y'=1x+1.由題意得，1x0+1=2,解得[答案]y=2x[失分剖析]本題失分點(diǎn)是不能利用導(dǎo)函數(shù)函數(shù)值與切線斜率相等來解決題目.5.(2020全國(guó)Ⅲ,文15)設(shè)函數(shù)fx=exx+a.[試題情境]本題屬于課程學(xué)習(xí)情境.本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算.[必備知識(shí)]本題考查的知識(shí)是導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則.[能力素養(yǎng)]本題考查運(yùn)算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)是數(shù)學(xué)探索.從給定的函數(shù)解析式出發(fā)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的除法運(yùn)算法則求導(dǎo)函數(shù)，利用f'1[解題思路]首先計(jì)算原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與具體導(dǎo)數(shù)值相等建立方程，解方程求得參數(shù)數(shù)值即可.對(duì)函數(shù)fx=exx+a求導(dǎo)得f[答案]1考向(二)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用1.(2021全國(guó)乙,理10、文12)設(shè)a≠0,若x=a為函數(shù)jf(x)=a(x-a)2(x-b)的極大值,則()A.aB.a>bC.abD.ab>a2[試題情境]本題屬于探索創(chuàng)新情境.本題以三次函數(shù)為載體，考查利用導(dǎo)數(shù)判斷參數(shù)的大小.[必備知識(shí)]本題考查的知識(shí)是導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、函數(shù)的單調(diào)性與極值問題.[能力素養(yǎng)]本題考查運(yùn)算求解能力和空間想象能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)探索.思路1.采用分類與整合的方法，首先寫出三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，通過對(duì)a>0，a<0兩種情況進(jìn)行運(yùn)算、討論、分析，分別得到a2的結(jié)論，再整合到一起，得到最終結(jié)論.思路2.此題用數(shù)形結(jié)合法解題較為簡(jiǎn)便，利用平時(shí)所學(xué)知識(shí)，可以作出a>0，a<0兩種情況下對(duì)應(yīng)三次函數(shù)的簡(jiǎn)圖，結(jié)合圖像和題目已知條件可以輕松得到結(jié)論.[解題思路]思路1.因?yàn)閒(x)=a(x-a)2(x-b),所以f'(x)=2a(x-a)(x-b)+a(x-a)2=a(x-a)[(2x-2b)+(x-a)]=a(x-a)·3x?由f'(x)=0,解得x=a或x=若a<0，則由x=a為函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)，可得a+2b3<a,此時(shí)在區(qū)間?∞a+2b3和(a,+∞)內(nèi),f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;在區(qū)間a+2b3a此時(shí)a(a-b)<0,即a2若a>0，則由x=a為函數(shù)的極大值點(diǎn)可得a<a+2b3此時(shí)在區(qū)間(-∞,a)和a+2b3+∞內(nèi),f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;在區(qū)間a此時(shí)a(a-b)<0,即a2綜上可得a2思路2.若a>0,其圖像如圖(1),此時(shí)0綜上,ab>a2.[答案]D2.(2021新高考全國(guó)Ⅰ,7)若過點(diǎn)(a,b)可以作曲線y=e2的兩條切線,則()A.e?B.e?C.0D.0[試題情境]本題屬于探索創(chuàng)新情境.本題以指數(shù)函數(shù)為載體，考查運(yùn)用曲線的切線方程判斷參數(shù)的取值范圍.[必備知識(shí)]本題考查的知識(shí)是導(dǎo)數(shù)的幾何意義、曲線的切線方程公式y(tǒng)-y?=k(x-x?).[能力素養(yǎng)]本題考查運(yùn)算求解能力和邏輯思維能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)探索.本題對(duì)函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想和數(shù)形結(jié)合思想有較高要求.[解題思路]設(shè)切點(diǎn)(x?,y?),因?yàn)閥'=e?,所以切線的斜率k=則切線方程為y?因?yàn)榍芯€過點(diǎn)(a，b)，所以b?ex0=ex設(shè)g(x)=e2(a-x+1)-b,則g'(x)=e2(a-x)=0,解得x=a,所以g(x)在區(qū)間(-∞,a)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(a,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.由g(a)>0,得e?>b.若(a，b)在x軸下方，即b<0時(shí)，點(diǎn)(a，b)與曲線上x<0的點(diǎn)的連線與x軸正方向夾角大于π2[答案]D3.(2021新高考全國(guó)Ⅱ,16)已知函數(shù)f(x)=|e?-1|,x?<0,x?>0,函數(shù)f(x)的圖像在點(diǎn)A(x?,f(x?))和點(diǎn)B(x?,f(x?))處的兩條切線互相垂直,且分別交y軸于M,N兩點(diǎn),則|AM||BN|的取值范圍是[試題情境]本題屬于探索創(chuàng)新情境.本題以絕對(duì)值函數(shù)為載體，考查運(yùn)用曲線的切線方程判斷參數(shù)的取值范圍.[必備知識(shí)]本題考查的知識(shí)是導(dǎo)數(shù)的幾何意義、曲線的切線方程公式、兩點(diǎn)間的距離公式以及函數(shù)的單調(diào)性.[能力素養(yǎng)]本題考查考生的運(yùn)算求解能力和邏輯思維能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)探索.試題選取考生熟悉的指數(shù)函數(shù)作為研究對(duì)象，求該函數(shù)對(duì)應(yīng)的曲線在一點(diǎn)處的切線的斜率，以此考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，要求考生能正確理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.求出曲線的切線方程，進(jìn)而求出M，N的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式表示|AM||BN|,[解題思路]思路1.當(dāng)x<0時(shí),f(x)=1-e2,f'(x)=-e2,.f(x),在點(diǎn)A處的切線斜率為k當(dāng)x>0時(shí),f(x)=e?-1,f'(x)=e?,f(x).在點(diǎn)B處的切線斜率為k由題意可得k1k2=?思路2.由題f思路2.由題fx=ex?1,x>0,?ex+1,x<0,得f'x=ex,x>0,?e|AE||BF|=[答案](0,1)4.(2021全國(guó)甲,理21)已知a>0且a≠1,函數(shù)f(1)當(dāng)a=2時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若曲線y=f(x)與直線y=1有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍.[試題情境]本題屬于探索創(chuàng)新情境.本題以指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.[必備知識(shí)]本題考查的知識(shí)是導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則、函數(shù)單調(diào)性、極值、零點(diǎn)等.[能力素養(yǎng)]本題考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)探索.[解題思路]解(1)當(dāng)a=2時(shí),ff當(dāng)x∈02ln2當(dāng)x∈2ln故f(x)在區(qū)間02ln2上單調(diào)遞增，在區(qū)間(2)思路1.由題知方程f(x)=1在(0,+∞)上有兩個(gè)不相等的根.由f(x)=1得x?=a?,即alnx=xlna,即ln令gx又x→0時(shí),時(shí),gx→0.∴0<又x→0時(shí),時(shí),g即a>1且a≠e.思路2.由f(x)=1,可得xlna-alnx=0,記g(x)=xlna-alnx,有g(shù)若0若a>1,則g(x)在0alna上單調(diào)遞減，在依題意可知g記?a=aln由1-lnh(a)<0,則有h(a)>e,∴a≠e.

(Ⅰ)若1g又a<aln(Ⅱ)若a>e,g(1)=lna>0,g(a)=0,又1<aln5.(2021全國(guó)甲,文20)設(shè)函數(shù)f(x)=a2x2+ax-3lnx+1,其中a>0.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)若y=f(x)的圖像與x軸沒有公共點(diǎn)，求a的取值范圍.[試題情境]本題屬于探索創(chuàng)新情境.本題以對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.[必備知識(shí)]本題考查的知識(shí)是導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則、函數(shù)單調(diào)性、最值等.[能力素養(yǎng)]本題考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)探索.[解題思路]解(1)∵f(x)=a2x2+ax-3lnx+1,x∈(0,+∞),∴∵a>0,x>0,∴2ax+3x>0,∴當(dāng)當(dāng)x∈1a+∞時(shí),f'(x)>0,∴函數(shù)f(x)在01a(2)∵y=f(x)的圖像與x軸沒有公共點(diǎn),∴函數(shù)f(x)在(0,+∞)上沒有零點(diǎn),由(1)可得函數(shù)f(x)在01a上單調(diào)遞減，在1∴a>1e,6.(2021全國(guó)乙,理20)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(a-x),已知x=0是函數(shù)y=xf(x)的極值點(diǎn).(1)求a;(2)設(shè)函gx=[試題情境]本題屬于探索創(chuàng)新情境.本題以對(duì)數(shù)函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.[必備知識(shí)]本題考查的知識(shí)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問題，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題.[能力素養(yǎng)]本題考查邏輯思維能力與運(yùn)算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)深索.(1)確定函數(shù)f(x)的定義域,令p(x)=xf(x),由極值的定義得到p'(x)=0,求出a的，然后進(jìn)行證明，即可得到a的值；(2)思路1.將問題轉(zhuǎn)化為證明x+ln1?xxln1?x<1,

等價(jià)于證x1?x[解題思路](1)解由題意,f(x)的定義域?yàn)?-∞,a).令p(x)=xf(x),則p(x)=xln(a-x),x∈(-∞,a),p因?yàn)閤=0是函數(shù)y=xf(x)的極值點(diǎn),則有p'(0)=0,即lna=0,所以a=1.當(dāng)a=1時(shí),p'x當(dāng)x<0時(shí),p'(x)>0,當(dāng)0所以當(dāng)a=1時(shí),x=0是函數(shù)y=xf(x)的一個(gè)極大值點(diǎn).(2)證明思路1.由(1)可知,xf(x)=xln(1-x),要證x+fxxfx<1,因?yàn)楫?dāng)x∈(-∞,0)時(shí),xln(1-x)<0,當(dāng)x∈(0,1)時(shí),xln(1-x)<0,所以需證明x+ln(1-x)>xln(1-x),即x+(1-x)ln(1-x)>0.令h(x)=x+(1-x)ln(1-x),x<1,則?'當(dāng)x∈(0,1)時(shí),h'(x)>0,所以x=0為h(x)的唯一極小值點(diǎn),也是最小值點(diǎn),所以當(dāng)x∈(-∞,0)∪(0,1)時(shí),h(x)>h(0)=0,即x+ln(1-x)>xln(1-x),所以x+ln1?xxln思路2.由(1)可知f(x)=ln(1-x),且p(x)≤p(0)=0.則要證x+fxxf等價(jià)于證x1?x+fx>0,x<1,且x≠0.記?x=則有h(x)≥h(0)=0,所以x1?x+f7.(2021全國(guó)乙,文21)已知函數(shù)f(x)=x3-x2+ax+1.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)求曲線y=f(x)過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線y=f(x)的公共點(diǎn)的坐標(biāo).[試題情境]本題屬于探索創(chuàng)新情境.本題以冪函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.[必備知識(shí)]本題考查的知識(shí)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、曲線的切線方程公式y(tǒng)-y?=k(x-x?).[能力素養(yǎng)]本題考查運(yùn)算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)探索.[解題思路]解(1)函數(shù)f(x)=x3-x2+ax+1的定義域?yàn)镽，其導(dǎo)數(shù)為f'(x)=3x2-2x+a.①當(dāng)a≥1

②當(dāng)a<13時(shí),若f'(x)=0,則3x2-2x+a=0,此時(shí)方程3x2-2x+a=0有兩根，即f'(x)<0,故f(x)在區(qū)間(-∞,x?)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(x?,x?)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(x?,+∞).上單調(diào)遞增.故當(dāng)a≥1當(dāng)a<13時(shí),f(x)在區(qū)間?∞1?1?3a3上單調(diào)遞增，在區(qū)間1?1?3a3(2)記曲線y=f(x)過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線為l，切點(diǎn)為Px0x03因?yàn)榍芯€l過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以2x由x3-x2+ax+1=(1+a)x,得x3-x2-x+1=0,解得x=1或x=-1.故曲線y=f(x)過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線y=f(x)的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1+a),(-1,-1-a).8.(2021新高考全國(guó)Ⅰ,22)已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx).(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)設(shè)a,b為兩個(gè)不相等的正數(shù),且blna-alnb=a-b,證明:2<[試題情境]本題屬于探索創(chuàng)新情境.本題以對(duì)數(shù)型函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.[必備知識(shí)]本題考查的知識(shí)是導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則、函數(shù)單調(diào)性、零點(diǎn)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì).[能力素養(yǎng)]本題綜合考查考生的邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)探索.[解題思路](1)解由條件知，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f'(x)=-lnx.當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.即在區(qū)間(0,1)上,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;在區(qū)間(1,+∞)上,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.(2)證明由blna-alnb=a-b,得1令x1=1a結(jié)合(1)中的f(x)的單調(diào)性,待證結(jié)論2<下面證明x?+x?>2.令g(x)=f(x)-f(2-x),x∈(0,1),則g'(x)=-ln(x(2-x))>0,所以g(x)在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞增，所以0=g(1)>g(x?)=f(x?)-f(2-x?),即f(2-x?)>f(x?)=f(x?).又f(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減,即x?+x?>2.思路1.不妨設(shè)x?=tx?,則t>1,由x?(1-lnx?)=x?(1-lnx?)可得x?(1-lnx?)=tx?(1-lntx?),化簡(jiǎn)得ln要證x?+x?即證(1+t)x?<e,即證lnx?<1-ln(1+t),即證即證ln1+tt<ln即證即證ln設(shè)?令t=1?1t?ln所以φ'(t)<0,所以φ(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,所以φ(t)<φ(1)=0,所以h'(t)<0,所以h(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,所以h(t+1)ln故2<思路2.當(dāng)x?≤e-1時(shí),結(jié)論顯然成立;當(dāng)x?∈(e-1,e)時(shí),令h(x)=f(x)-f(e-x),x∈(e-1,e),h'(x)=-ln(x(e-x)),則h(x)在區(qū)間(e-1,e)內(nèi)先單調(diào)遞減后單調(diào)遞增,故h(x)<0.因?yàn)閤?∈(e-1,e),所以h(x?)<0,即f(x?)故f(x?)結(jié)合當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f(x)單調(diào)遞增,有x即x?+x?思路3.f(x)在點(diǎn)(e,0)處的切線φ(x)=e-x,令F(x)=f(x)-φ(x)=2x-xlnx-e,x∈(0,e),F'(x)=1-lnx>0,所以F(x)在區(qū)間(0,e)上單調(diào)遞增,即F(x)所以當(dāng)x∈(0,e)時(shí),f(x)<φ(x).令t=f(x?)=f(x?),則t=f(x?)<φ(x?)=e-x??t+x?又t=f(x?)=x?(1-lnx?),x?∈(0,1),所以t=x?(1-lnx?)>x?即x?+x?故2<1a9.(2021新高考全國(guó)Ⅱ,22)已知函數(shù)f(x)=(x-1)e?-ax2+b.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：f(x)有一個(gè)零點(diǎn)：10<a<[試題情境]本題屬于探索創(chuàng)新情境.本題以指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.[必備知識(shí)]本題考查的知識(shí)是利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法、函數(shù)零點(diǎn)和極值的概念以及導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則.[能力素養(yǎng)]本題考查邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力以及分類討論的思想，考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)探索.[解題思路]解(1)f'(x)=xe?-2ax=x(e?-2a),①當(dāng)a≤0時(shí),令f'(x)=0?x=0,且當(dāng)x<0時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>0時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;②當(dāng)0<a<12且當(dāng)x當(dāng)x>0時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;③當(dāng)a=12④當(dāng)a>1當(dāng)x>ln2a時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.(2)若選①,則由(1)知f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增,(0,ln2a)上單調(diào)遞減,(ln2a,十∞)上單調(diào)遞增.注意到f?b當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f(x)≥f(ln(2a))=[ln(2a)-1]2a-a[ln(2a)]2+b=aln(2a)·[2-ln(2a)]+b-2a>aln(2a)·[2-ln(2a)].∵1綜上，f(x)在R上僅有一個(gè)零點(diǎn)x?，且x若選②，因?yàn)閒(x)=(x-1)e?-ax2+b,則f(0)=b-1<0,又f2b?2=2?ba?1+2b?2>22?b+∞)上單調(diào)遞增，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理知f(x)在(0，+∞)上有唯一零點(diǎn).由(1)知,當(dāng)0<a<12時(shí),f(x)在(-∞,ln(2a))上單調(diào)遞增,在(ln(2a),0)上單調(diào)遞減,所以當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),f(x)≤f(ln(2a))=aln(2a)[2-ln(2a)]+b-2a,因?yàn)?0.(2020全國(guó)Ⅰ,理21)已知函數(shù)f(x)=e2+ax2-x.(1)當(dāng)a=1時(shí),討論f(x)的單調(diào)性;(2)當(dāng)x≥0時(shí),fx≥[試題情境]本題屬于探索創(chuàng)新情境.本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.[必備知識(shí)]本題考查的知識(shí)是導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用和函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等.[能力素養(yǎng)]本題考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)探索.[解題思路]解(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=e?+x2-x,f'(x)=e?+2x-1,f"(x)=e2+2>0,故f'(x)單調(diào)遞增,令f'(x)=0,可得當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f'(x)>0.所以f(x)在(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞減,在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.(2)思路1.fx≥12令g則g'x①若2a+1≤0,即a≤?12所以g(x)在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞增,而g(0)=1,故當(dāng)x∈(0,2)時(shí),g(x)>1,不合題意.②若0<2a+1<2,?12<a<12,所以g(x)在(0,2a+1),(2,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,在(2a+1,2)內(nèi)單調(diào)遞增.由于g(0)=1,所以g(x)≤1當(dāng)且僅當(dāng)g(2)=(7-4a)e?2≤1,即a≥所以當(dāng)7?e③若2a+1≥2,即a≥12,由于0∈7?e2412,故由②可得綜上，a的取值范圍是7?思路2.①當(dāng)x=0時(shí),a∈R;②當(dāng)x>0時(shí)，即等價(jià)于a≥12gx=12設(shè)函數(shù)?x=2?xex由于h'(0)=0,故h'(ln3)>0,且h'(2)=5-e2<0,所以存在x?∈(ln3,2),使得h'(x?)=0,所以h(x)在(0,x?)內(nèi)單調(diào)遞增,在(x?,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.由于h(0)=0,h(2)=0,故h(x?)>0.所以當(dāng)0<2時(shí),h(x)>2時(shí),h(x)<0,即g'(x)<0,故g(x)在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞增,在(2,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,所以即a≥7?e2即a≥綜上，a∈[失分剖析]對(duì)a值進(jìn)行分類討論時(shí)，易找不到分類的標(biāo)準(zhǔn).11.(2020全國(guó)Ⅰ,文20)已知函數(shù)f(x)=e?-a(x+2).(1)當(dāng)a=1時(shí),討論f(x)的單調(diào)性;(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.[試題情境]本題屬于探索創(chuàng)新情境.本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.[必備知識(shí)]本題考查的知識(shí)是導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用、函數(shù)單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì).[能力素養(yǎng)]本題考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)探索.[解題思路]解(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=e?-x-2,則f'(x)=e?-1.當(dāng)x<0時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x>0時(shí),f'(x)>0.所以f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增.(2)因?yàn)閒'(x)=e?-a.當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,故f(x)至多存在1個(gè)零點(diǎn)，不合題意.當(dāng)a>0時(shí),由f'(x)=0可得x=lna.當(dāng)x∈(-∞,lna)時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x∈(lna,+∞)時(shí)f'(x)>0.所以f(x)在(-∞,lna)上單調(diào)遞減,在(lna,+∞)上單調(diào)遞增,故當(dāng)x=lna時(shí),f(x)取得最小值,最小值為f(lna)=-a(1+lna).①若0<a≤1e②若a>1e由于f(-2)=e?2>0,所以f(x)在(-∞,lna)上存在唯一零點(diǎn).由(1)知,當(dāng)x>2時(shí),e?-x-2>0,.所以當(dāng)x>4且x>2ln(2a)時(shí),fx=e從而f(x)在(-∞,+∞)上有兩個(gè)零點(diǎn).綜上，a的取值范圍是1[失分剖析]合理地分類討論是解決這類題目的關(guān)鍵，考生易找不到分類的標(biāo)準(zhǔn)，導(dǎo)致失分.12.(2020全國(guó)Ⅱ,理21)已知函數(shù)f(x)=sin2xsin2x.(1)討論f(x)在區(qū)間(0,π)的單調(diào)性;(2)證明:|f(3)設(shè)n∈N?,[試題情境]本題屬于探索創(chuàng)新情境.本題以復(fù)合函數(shù)為載體，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性以及證明不等式.[必備知識(shí)]本題考查的知識(shí)是導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用和函數(shù)的單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì).[能力素養(yǎng)]本題考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)探索.[解題思路](1)解f'(x)=cosx(sinxsin2x)+sinx(sinxsin2x)'=2sinxcosxsin2x+2sin2xcos2x=2sinxsin3x.當(dāng)x∈0π3∪2π3π時(shí),所以f(x)在區(qū)間0π3∪2π3π(2)證明因?yàn)閒(0)=f(π)=0,由(1)知,f(x)在區(qū)間[0,π]的最大值為fπ3=338,(3)證明由于cl(3)證明由于cl=|sinx||所以sin所以sin=|s[失分剖析]求導(dǎo)錯(cuò)誤，不能確定函數(shù)的周期.13.(2020全國(guó)Ⅱ,文21)已知函數(shù)f(x)=2lnx+1.(1)若f(x)≤2x+c,求c的取值范圍;(2)設(shè)a>0,討論函數(shù)gx=[試題情境]本題屬于探索創(chuàng)新情境，本題以對(duì)數(shù)型函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.[必備知識(shí)]本題考查的知識(shí)是導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用、函數(shù)單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì).[能力素養(yǎng)]本題考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)探索.本題考查導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則及利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法.[解題思路]解設(shè)h(x)=f(x)-2x-c,則h(x)=2lnx-2x+1-c,其定義域?yàn)?(1)當(dāng)0<1時(shí),h'(x)>(1,+∞)上單調(diào)遞減.從而當(dāng)x=1時(shí),h(x)取得最大值,最大值為h(1)=-1-c.故當(dāng)且僅當(dāng)-1-c≤0,即c≥-1時(shí),f(x)≤2x+c.所以c的取值范圍為[-1,+∞).2第一部分試題分析取c=-1得h(x)=2lnx-2x+2,h(1)=0,則由(1)知,當(dāng)x≠1時(shí),h(x)<0,即1-x+lnx<0.故當(dāng)x∈(0,a)∪(a,+∞)時(shí),1?ax所以g(x)在區(qū)間(0,a),(a,+∞)上單調(diào)遞減.[失分剖析]無(wú)法正確地分類討論.14.(2020全國(guó)Ⅲ,理21)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+bx+c,曲線y=f(x)在點(diǎn)12f(1)求b;(2)若f(x)有一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，證明：f(x)所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1.[試題情境]本題屬于探索創(chuàng)新情境.本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.[必備知識(shí)]本題考查的知識(shí)是導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用和函數(shù)的零點(diǎn)、單調(diào)性等.[能力素養(yǎng)]本題考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)探索.[解題思路](1)解f'(x)=3x2+b,依題意得f'12=0,即34(2)證明由(1)知f令f'(x)=0,解得x=?12或f'(x)與f(x)隨x的變化情況為:x-1/?1/2(1/?,+∞)f'(x)+0—0+f(x)c+1/?Ac-1/4因?yàn)閒1=f?12=c+1因?yàn)閒?1=f12=c?14由題設(shè)可知?當(dāng)c=?14時(shí)，f(x)只有兩個(gè)零點(diǎn)?12和1.當(dāng)c=1當(dāng)?14<c<14時(shí),f(x)有三個(gè)零點(diǎn)x?,x?,x?,且[失分剖析]考生無(wú)法正確地分類討論，易導(dǎo)致失分.15.(2020全國(guó)Ⅲ,文20)已知函數(shù)f(x)=x3-kx+k2.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)若f(x)有三個(gè)零點(diǎn)，求k的取值范圍.[試題情境]本題屬于探索創(chuàng)新情境.本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.[必備知識(shí)]本題考查的知識(shí)是導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)等.[能力素養(yǎng)]本題考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)探索.[解題思路]解(1)f'(x)=3x2-k.當(dāng)k=0時(shí),f(x)=x3,故f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)k<0時(shí),f'(x)=3x2-k>0,故f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增.當(dāng)k>0時(shí),令f'(x)=0,得x=±當(dāng)x∈?∞當(dāng)時(shí),f'(x)<0;當(dāng)時(shí),f'(x)<0;當(dāng)時(shí),f'(x)>0.當(dāng)時(shí),f'(x)>0.故f(x)在?∞?3k3,3k3+∞(2)由(1)知,當(dāng)k≤0時(shí),f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,f(x)不可能有三個(gè)零點(diǎn).當(dāng)k>0時(shí),x=?3k3為f(x)的極大值點(diǎn)，此時(shí)，?k?1<?3k3<3k3根據(jù)f(x)的單調(diào)性，當(dāng)且僅當(dāng)即k2?根據(jù)f(x)的單調(diào)性，當(dāng)且僅當(dāng)即k時(shí)，f(x)有三個(gè)零點(diǎn)，解得k<427.因此k的取值范圍為16.(2020新高考全國(guó)Ⅰ,21;2020新高考全國(guó)Ⅱ,22)已知函數(shù)f(x)=ae??1-lnx+lna.(1)當(dāng)a=e時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；(2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.[試題情境]本題屬于探索創(chuàng)新情境.本題以指數(shù)型函數(shù)和對(duì)數(shù)型函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.[必備知識(shí)]本題考查的知識(shí)是曲線的切線方程、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用、函數(shù)的單調(diào)性等基本性質(zhì).[能力素養(yǎng)]本題考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)探索.[解題思路]解f(x)的定義域?yàn)?(1)當(dāng)a=e時(shí),f(x)=e?-lnx+1,f(1)=e+1,f'(1)=e-1,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y-(e+1)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+2.直線y=(e-1)x+2在x軸，y軸上的截距分別為?2e?1,2.因此所求三角形的面積為(2)思路1.(分類討論)由題意a>0,當(dāng)0(方法1)當(dāng)a=1時(shí),f當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f'(x)>0.所以當(dāng)x=1時(shí),f(x)取得最小值,最小值為f(1)=1,從而f(x)≥1.當(dāng)a>1時(shí),f(x)=ae??1-lnx+lna≥e2?1-lnx≥1.綜上,a的取值范圍是[1,+∞).(方法2)直接求導(dǎo)當(dāng)a≥1時(shí),f(x)≥e??1-lnx,.令g(x)=e??1-lnx,則g'x=e當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g'(x)>0.所以g(x)≥g(1)=1,所以f(x)≥1.綜上,a的取值范圍是[1,+∞).(方法3)放縮法當(dāng)a≥1時(shí),f(x)≥e??1-lnx,∵e??1≥x,lnx≤x-1,∴e??1-lnx≥x-(x-1)=1,∴f(x)≥1.綜上,a的取值范圍是[1,+∞).思路2.同構(gòu)變形(方法1)a+(方法1)a+lnx=e1??+lnx.令g(x)=e?+x,g'(x)=e?+1>0,g(x)單調(diào)遞增，則x?1+∵lnx≤x-1,∴l(xiāng)nx+1-x≤0,∴l(xiāng)na≥0,即a≥1.(方法2)e令g(x)=xe?,可得g(x)單調(diào)遞增,則g∵lnx≤x-1,∴l(xiāng)nx-x+1≤0,∴l(xiāng)na≥0,∴a≥1.思路3.虛設(shè)零點(diǎn)f顯然f'(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x→0時(shí),f'(x)→?∞;x→+∞時(shí),f'(x)→+∞;?∴l(xiāng)na=-lnx?-x?+1.(方法1)f令gx=∴當(dāng)x?∈(0,1]時(shí),-lnx?+1-x?≥0.∴l(xiāng)na≥0,∴a≥1.(方法2)分離參數(shù)由上述條件可得，a而x0+1x0∴l(xiāng)na≥0,a≥1.[失分剖析]導(dǎo)數(shù)的題目要求寫出原函數(shù)的定義域，避免因僅求導(dǎo)導(dǎo)致的扣分.分類討論，對(duì)一些特殊邊界取值討論正確.17.(2020浙江,22)已知f(x)=e?-x-a,其中e=2.71828·是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)證明:函數(shù)y=f(x)在(0,+∞)上有唯一零點(diǎn);(2)記x?為函數(shù)y=f(x)在(0,+∞)上的零點(diǎn),證明:a?1x[試題情境]本題屬于探索創(chuàng)新情境.本題以指數(shù)型函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.[必備知識(shí)]本題考查的知識(shí)是導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用.[能力素養(yǎng)]本題考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)探索.本題考查導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則及利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法，以及結(jié)合零點(diǎn)的性質(zhì)來解決不等式的證明問題.含參問題運(yùn)用分類討論和等價(jià)化歸思想，構(gòu)建導(dǎo)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)值間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.證明問題用到了邏輯推理，放縮的恰當(dāng)與否以及零點(diǎn)存在定理中合適的點(diǎn)的正確選取非常重要.[解題思路]證明(1)因?yàn)閒(0)=1-a<0,f(2)=e2-2-a≥e2-4>0,所以y=f(x)在(0,+∞)上存在零點(diǎn).因?yàn)閒'(x)=e2-1,所以當(dāng)x>0時(shí),f'(x)>0,故函數(shù)f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,所以函數(shù)y=f(x)在(0,+∞)上有唯一零點(diǎn).(2)①令gx=ex由g2a?1≥0,得f2令h(x)=e2-x2-x-1(0≤x≤1),h'(x)=e2-2x-1,令h?(x)=e?-2x-1(0≤x≤1),h?'(x)=e2-2,所以當(dāng)x變化時(shí),h?'(x),h?(x)的變化情況如下表.x0ln2(ln2,1)1h?'(x)-1—0+e-2h?(x)0A1-2ln2e-3h'(x)<0,所以h(x)在[0,1]單調(diào)遞減,因此當(dāng)0≤x≤1時(shí),h(x)≤h(0)=0.由?a?1≤0,得因?yàn)閒(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,故a?1綜上a?1②令u(x)=e?-(e-1)x-1,u'(x)=e2-(e-1),所以當(dāng)x>1時(shí),u'(x)>0,故函數(shù)u(x)在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增,因此u(x)≥u(1)=0.思路1.由ex0x由x0≥a?1,(e?-(e?-1)x2?·+a=(e-1)(a-1)a.[失分剖析]放縮時(shí)分寸需拿捏好，同時(shí)不等式的性質(zhì)對(duì)放縮很關(guān)鍵，每一步放縮要有依據(jù).18.(2020天津,20)已知函數(shù)f(x)=x3+klnx(k∈R),f'(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).(1)當(dāng)k=6時(shí),①求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;②求函數(shù)gx=f(2)當(dāng)k≥-3時(shí),求證:對(duì)任意的x?,x?∈[1,+∞),且x?>x?,有f'x[試題情境]本題屬于探索創(chuàng)新情境.本題以對(duì)數(shù)型函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.[必備知識(shí)]本題考查的知識(shí)是導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用、曲線的切線方程，函數(shù)的單調(diào)性、極值等.[能力素養(yǎng)]本題考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)探索.本題考查導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則及利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，分類討論分類標(biāo)準(zhǔn)的確定.(1)①求導(dǎo)易得切線方程故(1)①求導(dǎo)易得切線方程故g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,有極小值g(1)=1,無(wú)極大值.(2)整理待證不等式，引入新的參數(shù)t進(jìn)行說明.含參數(shù)問題采用分類討論和等價(jià)化歸思想，構(gòu)建導(dǎo)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)值間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.證明問題用到了邏輯推理，把恒成立問題轉(zhuǎn)為函數(shù)的最值問題解決.雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題來處理.[解題思路](1)解①當(dāng)k=6時(shí),f(x)=x3+6lnx,故f可得f(1)=1,f'(1)=9,所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y-1=9(x-1),即y=9x-8.②依題意，gx=x3?3x2+6lnx+3x當(dāng)x變化時(shí),g'(x),g(x)的變化情況如下表.x(0,1)1(1,+∞)g(x)—0+g(x)A極小值所以，函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1，+∞)；g(x)的極小值為g(1)=1,無(wú)極大值.(2)證明由f(x)=x3+klnx,得f對(duì)任意的x?,x?∈[1,+∞),且x?>x?,令x則(x?-x?)[f'(x?)+f'(x?)]-2[f(x?)-f(x?)]==x2令?當(dāng)x>1時(shí),?由此可得h(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)t>1時(shí),h(t)>h(1),即t?

因?yàn)閤?≥1,t3-3t2+3t-1=(t-1)3>0,k≥-3,所以所以3t2由(1)②可知,當(dāng)t>1時(shí),g(t)>g(1),即tt3?3t由①②③式可得(x?-x?)[f'(x?)+f'(x?)]-2[f(x?)-f(x?)]>0.所以,當(dāng)k≥-3時(shí),對(duì)任意的x?,x?∈[1,+∞),且x?>x?,有f'x[失分剖析]構(gòu)造新函數(shù)要保證同構(gòu)變形，一定要注明新函數(shù)自變量的取值范圍.19.(2020江蘇,19)已知關(guān)于x的函數(shù)y=f(x),y=g(x)與h(x)=kx+b(k,b∈R)在區(qū)間D上恒有.f(x)≥h(x)≥g(x).(1)若f(x)=x2+2x,g(x)=-x2+2x,D=(-∞,+∞),求h(x)的表達(dá)式;(2)若f(x)=x2-x+1,g(x)=klnx,h(x)=kx-k,D=(0,+∞),求k的取值范圍;(3)若f(x=x4?2x2[試題情境]本題屬于探索創(chuàng)新情境.本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.[必備知識(shí)]本題考查的知識(shí)是導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用.[能力素養(yǎng)]本題考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)探索.本題考查導(dǎo)數(shù)遠(yuǎn)算法則及利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法.含參數(shù)問題采用分類討論和等價(jià)化歸思想，進(jìn)而構(gòu)建了導(dǎo)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)值間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.[解題思路](1)解由條件f(x)≥h(x)≥g(x),得x2+2x≥kx+b≥-x2+2x,取x=0,得0≥b≥0,所以b=0.由x2+2x≥kx,得x2+(2-k)x≥0,此式對(duì)一切x∈(-∞,+∞)恒成立，所以(2-k)2≤0,則k=2,此時(shí)2x≥-x2+2x恒成立,所以h(x)=2x.(2)解h(x)-g(x)=k(x-1-lnx),x∈(0,+∞).令u(x)=x-1-lnx,則u'x當(dāng)x變化時(shí)，u'(x)和u(x)的變化情況如下表.x(0,1)1(1,+∞)u(x)—0+u(x)極小值所以u(píng)xmin所以當(dāng)且僅當(dāng)k≥0時(shí),h(x)≥g(x)恒成立.另一方面,f(x)≥h(x)恒成立,即x2-x+1≥kx-k恒成立，也即x2-(1+k)x+1+k≥0恒成立.因?yàn)閗≥0，對(duì)稱軸為直線x=所以(1+k)2-4(1+k)≤0,解得-1≤k≤3.因此,k的取值范圍是[0,3].(3)證明①當(dāng)1≤t≤2由g(x)≤h(x),得4x2-8≤4(t3-t)x-3t?+2t2,整理得x令△=(t3-t)2-(3t?-2t2-8),則△=t?-5t?+3t2+8.記t則φ'(t)=6t?-20t3+6t=2t(3t2-1)(t2-3)<0恒成立，所以φ(t)在12上單調(diào)遞減，則2所以不等式(*)有解，設(shè)解為x?≤x≤x?,因此因此②f(-1)-h(-1)=3t?+4t3-2t2-4t-1.設(shè).v(t)=3t?+4t3-2t2-4t-1,v'(t)=12t3+12t2-4t-4=4(t+1)(3t2-1),令w'(t)=0,得t=當(dāng)t∈03當(dāng)t∈33v(0)=-1,v(1)=0,則當(dāng)0(或證:v(t)=(t+1)2(3t+1)(t-1)<0.)則f(-1)-h(-1)<0,因此-1?(m,n).因?yàn)閙n??2③當(dāng)?2≤t<0時(shí),因?yàn)閒(x),g(x)均為偶函數(shù),因此綜上所述，n?m≤20.(2019全國(guó)Ⅱ,理20)已知函數(shù)f(1)討論f(x)的單調(diào)性，并證明f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；(2)設(shè)x?是f(x)的一個(gè)零點(diǎn),證明曲線y=lnx在點(diǎn)A(x?,lnx?)處的切線也是曲線y=e?的切線.[試題情境]本題屬于探索創(chuàng)新情境.本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.[必備知識(shí)]本題考查的知識(shí)是導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用和函數(shù)的零點(diǎn)、單調(diào)性及曲線的切線方程等.

[能力素養(yǎng)]本題考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)探索.考生從已知的函數(shù)解析式出發(fā)，借助導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理研究函數(shù)的零點(diǎn)分布情況；涉及曲線的公切線，解題思路比較程序化，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)值等于直線的斜率，探究確定直線位置關(guān)系的幾何要素，判斷兩條直線是否重合，在關(guān)聯(lián)的情境中，發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學(xué)問題，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言予以表達(dá).[解題思路](1)解f(x)的定義域?yàn)?0,1)∪(1,+∞).因?yàn)閒'x因?yàn)閒e=1?e+1e?1<0,fe2=2?e2+1e2?1(2)證明1x0=e?lnx0由題設(shè)知f(x?)=0,即lnx0曲線y=e?在點(diǎn)B?lnx01x0[失分剖析]本題主要失分原因在于是否能夠區(qū)分開題目中是求過點(diǎn)的切線問題還是在點(diǎn)的切線問題.21.(2019全國(guó)Ⅱ,文21)已知函數(shù)f(x)=(x-1)lnx-x-1.證明:(1)f(x)存在唯一的極值點(diǎn);(2)f(x)=0有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù).[試題情境]本題屬于探索創(chuàng)新情境.本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.[必備知識(shí)]本題考查的知識(shí)是導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用和函數(shù)的極值點(diǎn)、單調(diào)性等.[能力素養(yǎng)]本題考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，考查的學(xué)科素養(yǎng)是理性思維和數(shù)學(xué)探索.(1)先對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，得到存在唯使得f'(x?)=0,進(jìn)而探索.(1)先對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，得到存在唯使得f'(x?)=0,進(jìn)而判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，即可確定其極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，證明出結(jié)論成立；(2)先由(1)的結(jié)果，得到f(x?)<0,f(e2)=e2-3>0得到f(x)=0在區(qū)間(x?,+∞)內(nèi)存在唯一實(shí)根,記作x=α，再求出f1a[解題思路]證明(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞).f'x=x?1x+單調(diào)遞增.又f'1又當(dāng)f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>x?時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.因此，f(x)存在唯一的極值點(diǎn).(2)由(1)知f(x?)f(e2)=e2-3>0,所以f(x)=0在區(qū)間(x?,+∞)內(nèi)