線面平行證明的常用方法

湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）200812線面平行證明的常用方法摘要：立體幾何在高考解答題中每年是必考內(nèi)容，線面平行的證明經(jīng)常出現(xiàn),很多同學(xué)總覺(jué)得證明方法很多很繁,在這里給大家用作輔助線的常用方法及空間坐標(biāo)系的方法進(jìn)行闡述。關(guān)鍵詞：找平行線；找第三個(gè)點(diǎn)；作平行平面；建立空間坐標(biāo)系立體幾何在高考解答題中每年是必考內(nèi)容，必有一個(gè)證明題；證明的內(nèi)容包括以下內(nèi)容：平行與垂直（線線平行、線面平行、面面平行、線線垂直、線面垂直、面面垂直等），我們現(xiàn)在對(duì)線面平行這一方面作如下探討：在線面平行這節(jié)里有三個(gè)重要的定理：直線與平面平行的判定性定理：如果不在一個(gè)平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。直線與平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和這個(gè)交線平行。平面與平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面是平行，那么在其中一個(gè)平面內(nèi)的直線和另一個(gè)平面平行。從前面兩個(gè)定理不難發(fā)現(xiàn)：要證線面平行(那么這條直線一定是平行于這個(gè)平面的),由性質(zhì)定理可以得到這樣一個(gè)結(jié)論：只要過(guò)這條直線作一個(gè)與平面相交的平面，那這個(gè)直線一定是與交線平行得。這樣我們就可以找到與平面內(nèi)的直線平行的直線。那么關(guān)鍵是怎樣作一個(gè)平面與已知平面相交且過(guò)直線的平面。下面給大家介紹方法一：兩平行線能確定一個(gè)平面，過(guò)已知直線的兩個(gè)端點(diǎn)作兩條平行線使它們與已知平面相交，關(guān)鍵：找平行線，使得所作平面與已知平面的交線。（08浙江卷）如圖,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2。求證：AE//平面DCF.EBEBADCGF與平面DCF的交線，那么只要證明AE//DG即可。證明：過(guò)點(diǎn)作交于，連結(jié)，可得四邊形為矩形，又為矩形，所以，從而四邊形為平行四邊形，故．因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面．方法二：直線與直線外一點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面，關(guān)鍵：找第三個(gè)點(diǎn),使得所作平面與已知平面的交線。（06北京卷）如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐中，，平面，且，點(diǎn)是的中點(diǎn).求證：平面.分析：由D、P、B三點(diǎn)的平面與已知平面AEC的交線最易找，第三個(gè)點(diǎn)選其它的點(diǎn)均不好找交線.證明：連接BD，與AC相交于O，連接EO.PEDPEDCBOA∴O是BD的中點(diǎn)又E是PD的中點(diǎn)∴EO∥PB.又PB平面AEC，EO平面AEC，∴PB∥平面AEC.方法三：兩個(gè)平面是平行,其中一個(gè)平面內(nèi)的直線和另一個(gè)平面平行,關(guān)鍵：作平行平面，使得過(guò)所證直線作與已知平面平行的平面_M_D_C_N_A_B_OE（０８安徽卷）如圖，在四棱錐中，底面四邊長(zhǎng)為1的菱形，,,,為_(kāi)M_D_C_N_A_B_OE分析：為的中點(diǎn),找OA(或AD)中點(diǎn),再連線。證明：取OB中點(diǎn)E，連接ME，NE又方法四：（向量法）所證直線與已知平面的法向量垂直，關(guān)鍵：建立空間坐標(biāo)系（或找空間一組基底）及平面的法向量。（07全國(guó)Ⅱ?理）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)棱底面分別為的中點(diǎn)．證明平面；分析：因?yàn)閭?cè)棱底面ABCD，底面ABCD是正方形，所以很容易建立空間直角坐標(biāo)系及相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)。證明：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則FyCFyCBE