2021考研數(shù)學(xué)三真題及答案解析

數(shù)學(xué)（三）試題及解析第數(shù)學(xué)（三）試題及解析第9頁（共12頁）13.設(shè)平面區(qū)域。由曲線y=J7sin心（0冬1）與x軸圍成，則。繞x軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積 .【答案】74【解析】利用旋轉(zhuǎn)體體積計(jì)算公式得7Lrsin^xdx=—7Lrsin^xdx=—414.差分方程或。的通解乂= t【答案】h=；”-1）+C.【解析】先解齊次差分方程yl+l-y,=0,y,=C再設(shè)非齊次的解為，代入差分方程?+l）［4）+4（t+l）］T（&+&）整理得4）+2J,/+=t對(duì)比系數(shù)后得得通解H=a（i）+c

15.多項(xiàng)式/(%)=21x215.多項(xiàng)式/(%)=21x2-112x；中的J項(xiàng)的系數(shù)為【解析】￥項(xiàng)為（一1廣”4》3+（_1）誓=_5》3,因此y項(xiàng)系數(shù)為一5甲乙兩個(gè)盒子中各裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，先從甲盒中任取一球，觀察顏色后放入乙盒中，再從乙盒中任取一球，令分別表示從甲盒和乙盒中取到的紅球個(gè)數(shù)，則的相關(guān)系數(shù)為 L【答案】-5【解析】EXY=—EX=-EY=-TOC\o"1-5"\h\z10 2 2DX=EX2-(EX)2=-,DY=EY2-(EY)2=-4 4p丄152三、解答題：17?22小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（本題滿分10分）已知limx—0【解析】limlO"aarctan—+(1+x)x=—a+e,

x 2limx-?0"已知limx—0【解析】limlO"aarctan—+(1+x)x=—a+e,

x 2limx-?0"aarctan—由于limx->0aarctan—；。+|亦存在，得頒+e=_扣-得日（本題滿分12分）求函數(shù)/（》,》）=2In|同+（xT）~+T的極值.2x~

I解而I解而g）宀心事地=2+胃一些yz=o,XX X以"片哉=§=°，得尸0、代入廣（&）.）二2|匸1（XT）?二2胃+胃7_》2+火_1=2x2+x-\二（2x-1）（x+1）=°,八，Xx?得x=S，x=_l.故得坐標(biāo)成小號(hào)號(hào)號(hào)3士峰也竺4（P）=-李以（"）=宀在點(diǎn)-,012丿處，得A=24;B=0;C=4,AC-B2=96>0.A>0,取極小值牛,。=頊4項(xiàng)在點(diǎn)（—1,0）處，得A=3;B=0;C=lfAC-B2=3>0.A>0,在點(diǎn)-,012丿（本題滿分12分）設(shè)有界區(qū)域。是圓x2+/=l和直線*=x以及x軸在第一象限圍成的部分，計(jì)算二重積分JJe^（x2-/）dxdj,D【解析】JJ（X2-y2^xdy=jjd可""5瑚r3cos26tlr=Jjd可：e戶海2OdrD廣宀函標(biāo)=!_[%2產(chǎn)_e%/=f-e2^-M04Jo 8 04=!￡汕J?e"廣宀函標(biāo)=!_[%2產(chǎn)_e%/=f-e2^-M04Jo 8 04=E?（本題滿分12分）

設(shè)〃為正整數(shù)，y=yn（x）是微分方程個(gè)'-（〃+1）*=0滿足條件丹⑴=〃（〃+］）的解.⑴求2）.8（2）求級(jí)數(shù)Z*，，（x）的收斂域及和函數(shù).n=l【解析】（1）由微分方程xy,-（n+\）y=0得K（x）=C-e^=Cv^1代入片⑴二點(diǎn)‘得“湍習(xí)，故兒（少沽if”'(2)p=lim〃一>8=1』=丄=i,當(dāng)x=±i時(shí)，￡j(2)p=lim〃一>8P n=\S(》)=￡n(x)=「丄[\廣,"[-1，1],則有，〃(》)=￡廣=土，得n=l +1丿 忡 1—XS'(x)=j>〃(g+S，(O)=J；a/+O=-ln(lf),5(x)=￡，5,(/)d/+5(0)=￡V-ln(1-/>1/+0=(1-x)ln(1-x)+x.21.設(shè)矩陣4=21.設(shè)矩陣4=僅有兩不同的特征值,若4相似于對(duì)角矩陣，求。0的值，并求可逆矩陣P，使P'AP^J對(duì)角矩陣.【解析】2-2-1-12-22-2-1-12-2-1-a\XE-A\=00X-b=32)0—2)2—1]=(A-Z>)(22-42+3)=(2-W-l)(2-3)=0.

當(dāng)b=\時(shí)，。=1,W=3,&=%=1,P=1-1J0-1當(dāng)b=3時(shí)，白=一1,4=%=3,石=1,P-1-II22.（本題滿分12分）在區(qū)間（0,2）上隨機(jī)取一點(diǎn)，將該區(qū)間分成兩段，較短一段的長度記為X，較長一段的長Y度記為V,令Z=—.A（1） 求X的概率密度；（2） 求Z的概率密度：(X\⑶求E—.【解析】（1）由題意得，X?U（O,l）,/（x）=10<x<l,0其他(2)Z=—X2-X2當(dāng)z<l時(shí),尤