倒立擺實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書(shū)

第一章背景介紹倒立擺裝置被公認(rèn)為自動(dòng)控制理論中的典型試驗(yàn)設(shè)備，也是控制理論教學(xué)和科研中不可多得的典型物理模型。它深刻揭示了自然界一種基本規(guī)律，即一個(gè)自然不穩(wěn)定的被控對(duì)象，運(yùn)用控制手段可使之具有良好的穩(wěn)定性。通過(guò)對(duì)倒立擺系統(tǒng)的研究，不僅可以解決控制中的理論問(wèn)題，還能將控制理論所涉及的三個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科：力學(xué)、數(shù)學(xué)和電學(xué)（含計(jì)算機(jī)）有機(jī)的結(jié)合起來(lái)在倒立擺系統(tǒng)中進(jìn)行綜合應(yīng)用。在多種控制理論與方法的研究和應(yīng)用中，特別是在工程實(shí)踐中，也存在一種可行性的試驗(yàn)問(wèn)題，將其理論和方法得到有效的經(jīng)驗(yàn)，倒立擺為此提供一個(gè)從控制理論通往實(shí)踐的橋梁?？刂评碚撛诋?dāng)前的工程技術(shù)界，主要是如何面向工程實(shí)際、面向工程應(yīng)用的問(wèn)題。一項(xiàng)工程的實(shí)施也存在一種可行性的試驗(yàn)問(wèn)題，用一套較好的、較完備的試驗(yàn)設(shè)備，將其理論及方法進(jìn)行有效的檢驗(yàn)，倒立擺可為此提供一個(gè)從控制理論通往實(shí)踐的橋梁。在教學(xué)過(guò)程中，不但使學(xué)生具有扎實(shí)的理論基礎(chǔ)，還應(yīng)掌握如何把理論知識(shí)應(yīng)用到一個(gè)復(fù)雜的實(shí)際系統(tǒng)中，進(jìn)一步達(dá)到提高教學(xué)質(zhì)量的目的。在穩(wěn)定性控制問(wèn)題上，倒立擺既具有普遍性又具有典型性。倒立擺系統(tǒng)作為一個(gè)控制裝置，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、價(jià)格低廉，便于模擬和數(shù)字實(shí)現(xiàn)多種不同的控制方法，作為一個(gè)被控對(duì)象，它是一個(gè)高階次、不穩(wěn)定、多變量、非線性、強(qiáng)耦合的快速系統(tǒng)，只有采用行之有效的控制策略，才能使其穩(wěn)定。倒立擺系統(tǒng)可以用多種理論和方法來(lái)實(shí)現(xiàn)其穩(wěn)定控制，如PID、自適應(yīng)、狀態(tài)反饋、智能控制、模糊控制及人工神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)等多種理論和方法，都能在倒立擺系統(tǒng)控制上得到實(shí)現(xiàn)，而且當(dāng)一種新的控制理論和方法提出以后，在不能用理論加以嚴(yán)格證明時(shí)，可以考慮通過(guò)倒立擺裝置來(lái)驗(yàn)證其正確性和實(shí)用性。用狀態(tài)反饋的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)倒立擺系統(tǒng)的控制，就是設(shè)法調(diào)整閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)分布，以構(gòu)成閉環(huán)穩(wěn)定的倒立擺系統(tǒng)，它的局限性式顯而易見(jiàn)的。只要偏離平衡位置較遠(yuǎn)，系統(tǒng)就成了非線性系統(tǒng)，狀態(tài)反饋就難以控制。實(shí)際上，用線性化模型進(jìn)行極點(diǎn)配置求得的狀態(tài)反饋陣，不一定能使倒立擺穩(wěn)定豎起來(lái)，能使倒立擺豎立起來(lái)的狀態(tài)反饋陣是實(shí)際調(diào)出來(lái)的，這個(gè)調(diào)出來(lái)的狀態(tài)反饋陣肯定滿足極點(diǎn)配置。這就是說(shuō)，滿足穩(wěn)定極點(diǎn)配置的狀態(tài)反饋陣很多，而能使倒立擺穩(wěn)定豎立的狀態(tài)反饋陣只有很少的一個(gè)范圍，這個(gè)范圍要花大量的時(shí)間去尋找。第二章預(yù)備知識(shí)一級(jí)倒立擺動(dòng)力學(xué)方程的建立由于狀態(tài)反饋要求被控系統(tǒng)是一個(gè)線性系統(tǒng)，而倒立擺系統(tǒng)本身是一個(gè)非線性的系統(tǒng)，因此用狀態(tài)反饋來(lái)控制倒立擺系統(tǒng)首先要將這個(gè)非線性系統(tǒng)近似成為一個(gè)線性系統(tǒng)。在忽略了空氣流動(dòng)和各種摩擦之后，可將倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，如下圖所示。圖一M 小車質(zhì)量m 擺桿質(zhì)量b 小車摩擦系數(shù)l 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度I 擺桿慣量F 加在小車上的力x 小車位置0 擺桿與垂直向上方向的夾角（逆時(shí)針為正）0 擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下，順時(shí)針為正）下圖是系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖。其中，N和P為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直分析的分量。

bXbX圖二應(yīng)用Newton方法來(lái)建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程過(guò)程如下:分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程：Mx"=F-bx-N由擺桿水平方向所受的合力，可以得到以下方程：d2N=m(x+1sin0)dt2合并可得：(M+m)x"+bx'+ml[0〃cos0—(0合并可得：(M+m)x"+bx'+ml[0〃cos0—(0')2sin0]=F②為了推出系統(tǒng)的第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程，我們對(duì)擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行分析，可以得到下面方程：d2P—mg=m (1cos0)dt2P—mg=—m1[0"sin0+(0')2cos0]合并得到力矩平衡方程如下：—Plsin0—N1cos0=I0" ③方程中0=兀+?，當(dāng)$與1(單位是弧度)相比很小時(shí)，可以進(jìn)行近似處理:cos0=-1、sin0=-$、(四)2=0，用U來(lái)代替被控對(duì)象的輸入力F，線性dt化兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程(即將上述等式帶入②和③)如下：「(M+m)x""+bx"—ml?""=u〈 ④1(I+ml2)?〃—mgl?=mlx"

1.傳遞函數(shù)對(duì)方程組④進(jìn)行拉普拉斯變換，得到:(M+m)X(s)s2+bX(s)s-m顧(s)s2=U(s)(I+m/2)Q(s)s2-mg虞(s)=mlX(s)s2注意：推導(dǎo)傳遞函數(shù)時(shí)假設(shè)初始條件為0。由于輸出為角度4，求解方程組⑤的第二個(gè)方程，可以得到:X(s)=[(1*節(jié)-尋]中(s)把上式帶入方程組⑤的第二個(gè)方程，得到輸入到輸出-擺桿角度的傳遞函數(shù):ml——sTOC\o"1-5"\h\z0(s)_ qU(s) 3*b(I+ml2)2(M+m)mgl bmglq q q進(jìn)而得到輸入到輸出-小車位置的傳遞函數(shù)：(I+ml2) mglX(s)= qq U(s) b(I+ml2) (M+m)mgl bmgls4+ s3 s2 sq qq其中q=[(M+m)(I+ml2)-(ml)2]2.狀態(tài)空間方程設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為JX'=AX+Bu[j=CX+Du方程組④對(duì)V和礦求解代數(shù)方程，得到解如下:p=I(M+m)+Mml2x〃=-('+p=I(M+m)+Mml254'=4',?-mlb,mgl(M+m)【ml4= x+ 4+——u、P P P整理后得系統(tǒng)狀態(tài)空間方程：

x'x〃妒0x'x〃妒00001-(I+ml2)bP0-mlbP0m2gl2P0

mgl(M+m)P-100rn0xI+ml-，x+P18003」mlPx'其中p=I(M+m)+Mml2用lqr方法計(jì)算反饋系數(shù)在現(xiàn)代控制理論中，基于二次型性能指標(biāo)進(jìn)行最優(yōu)設(shè)計(jì)的問(wèn)題已成為最優(yōu)控制理論中的一個(gè)重要問(wèn)題。而利用變分法建立起來(lái)的無(wú)約束最優(yōu)控制原理，對(duì)于尋求二次型性能指標(biāo)線性系統(tǒng)的最優(yōu)控制是很適用的。給定一個(gè)n階線性控制對(duì)象，其狀態(tài)方程是X(t)=A(t)X(t)+B(t)u(t)，X(t)=X (3—3)0 0尋求最優(yōu)控制u(t)，使性能指標(biāo)1 七 ，一.、J=-XT(tf)SX(tf)+i[XT(t)Q(t)X(t)+UT(t)R(t)u(t)]dt(3—4)t0達(dá)到極小值。這是二次型指標(biāo)泛函，要求S、Q(t)、R(t)使對(duì)稱矩陣，并S和Q(t)應(yīng)是非負(fù)定的或正定的，R(t)應(yīng)是正定的。式(3—4)右端第一項(xiàng)是末值項(xiàng)，實(shí)際上它是對(duì)終端狀態(tài)提出一個(gè)符合需要的要求，表示在給定的控制終端時(shí)刻七到來(lái)時(shí)，系統(tǒng)的終態(tài)X(t「接近預(yù)定終態(tài)的程度。式(3—4)右側(cè)的積分項(xiàng)是一項(xiàng)綜合指標(biāo)。積分中的第一項(xiàng)表示對(duì)于一切的te[t0,七]，對(duì)狀態(tài)X(t)的要求。用它來(lái)衡量整個(gè)控制期間系統(tǒng)的實(shí)際狀態(tài)與給定狀態(tài)之間的綜合誤差，類似于經(jīng)典控制理論中給定參考輸入與被控制量之間的誤差的平方積分。這一積分項(xiàng)愈小，說(shuō)明控制的性能愈好。積分的第二項(xiàng)是對(duì)控制總能量的限制。如果僅要求控制誤差盡量小，則可能造成求得的控制向Su(t)過(guò)大，控制能量消耗過(guò)大，甚至在實(shí)際上難以實(shí)現(xiàn)。實(shí)際上，上述兩個(gè)積分項(xiàng)是相互制約的，要求控制狀態(tài)的誤差平方積分減小，必然導(dǎo)致控制能量的消耗增大；反之，為了節(jié)省控制能量，就不得不降低對(duì)控制性能的要求。求兩者之和的極小值，實(shí)質(zhì)上是求取在某種最優(yōu)意義下的折衷，這種折衷側(cè)重哪一方面，取決于加權(quán)矩陣Q(t)及R(t)的選取。如果重視控制的準(zhǔn)確性，則應(yīng)增大加權(quán)矩陣Q(t)的各元，反之則應(yīng)增大加權(quán)矩陣R(t)的各元。Q(t)中的各元體現(xiàn)了對(duì)X(t)中各分量的重視程度，如果Q(t)中有些元素等于零，則說(shuō)明對(duì)中對(duì)應(yīng)的狀態(tài)分量沒(méi)有任何要求，這些狀態(tài)分量往往對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的控制性能影響較微小。由此也能說(shuō)明加權(quán)矩陣Q(t)為什么可以是正定或非負(fù)定對(duì)稱矩陣。因?yàn)閷?duì)任一控制分量所消耗的能量都應(yīng)限制，又因?yàn)橛?jì)算中需要用到矩陣R(t)的逆矩陣，所以R(t)必須是正定對(duì)稱矩陣。常見(jiàn)的二次型性能指標(biāo)最優(yōu)控制分兩類，即線性調(diào)節(jié)器和線性伺服器，它們已在實(shí)際中得到了廣泛的應(yīng)用。由于二次型性能指標(biāo)最優(yōu)控制的突出特點(diǎn)是其線性的控制規(guī)律，即其反饋控制作用可以做到與系統(tǒng)狀態(tài)的變化成比例，即u(t)=-KX(t)(實(shí)際上，它是采用狀態(tài)反饋的閉環(huán)控制系統(tǒng))，因此這類控制易于實(shí)現(xiàn)，也易于駕馭，是很引人注意的一個(gè)課題。如果施加于控制系統(tǒng)的參考輸入不變，當(dāng)被控對(duì)象的狀態(tài)受到外界干擾或受到其他因素影響而偏離給定的平衡狀態(tài)時(shí)，就要對(duì)它加以控制，使其恢復(fù)到平衡狀態(tài)，這類問(wèn)題稱為調(diào)節(jié)器問(wèn)題。由此可見(jiàn)，本課題中的倒立擺系統(tǒng)屬于線性調(diào)節(jié)器問(wèn)題。詳見(jiàn)《自動(dòng)控制原理》下12.8節(jié)第三章認(rèn)識(shí)單軸倒立擺實(shí)驗(yàn)設(shè)備簡(jiǎn)介本實(shí)驗(yàn)的硬件平臺(tái)為從固高科技（深圳）有限公司購(gòu)買的單級(jí)倒立擺。這套系統(tǒng)不僅有倒立擺的物理實(shí)體和相應(yīng)的控制設(shè)備及觀測(cè)器，而且還提供了與PC機(jī)的軟件接口，以動(dòng)態(tài)鏈接庫(kù)的方式，方便用戶在DOS和WINDOWS下進(jìn)行高一層次的開(kāi)發(fā)。單軸倒立擺的組成框圖如下圖所示。系統(tǒng)包括計(jì)算機(jī)、運(yùn)動(dòng)控制卡、伺服機(jī)構(gòu)、倒立擺本體和光電碼盤幾大部分，組成了一個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)。光電碼盤1將小車的位移、速度信號(hào)反饋給伺服驅(qū)動(dòng)器和運(yùn)動(dòng)控制卡，擺桿的位置、速度信號(hào)由光電碼盤2反饋回控制卡。計(jì)算機(jī)從運(yùn)動(dòng)控制卡中讀取實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)，確定控制決策（小車向哪個(gè)方向移動(dòng)、移動(dòng)速度、加速度等），并由運(yùn)動(dòng)控制卡來(lái)實(shí)現(xiàn)該控制決策，產(chǎn)生相應(yīng)的控制量，使電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)，帶動(dòng)小車運(yùn)動(dòng)，保持?jǐn)[桿平衡。本實(shí)驗(yàn)所用的軟件是配套的教學(xué)軟件Pend。具體的使用說(shuō)明見(jiàn)下文。實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備及注意事項(xiàng)為了安全起見(jiàn)，在進(jìn)行系統(tǒng)連線、拆卸與安裝前，必須關(guān)閉系統(tǒng)所有電源。為了避免設(shè)備失控時(shí)造成人身傷害，操作時(shí)人員應(yīng)該與設(shè)備保持安全距離，不要站在擺的兩端。注意倒立擺系統(tǒng)可能會(huì)因高速撞擊兩端導(dǎo)致螺絲松動(dòng)，請(qǐng)與實(shí)驗(yàn)管理人員聯(lián)系，使用六角螺絲刀將螺絲上緊后在運(yùn)行系統(tǒng)。如果發(fā)生異常，按下空格鍵，系統(tǒng)會(huì)提示“急停按鈕被觸發(fā)，無(wú)法繼續(xù)控制系統(tǒng)，按任意鍵退出程序?！毙≤嚦贂r(shí)，系統(tǒng)會(huì)自動(dòng)關(guān)閉伺服電機(jī)，并出現(xiàn)“小車失速，系統(tǒng)被終止，按任意鍵退出程序。”

上、斷電次序必須按：先開(kāi)弱電（微機(jī)）進(jìn)入WINDOWS環(huán)境，后開(kāi)強(qiáng)電（電控箱）；先關(guān)強(qiáng)電，后關(guān)弱電。系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)禁止將于或身體的其他部位伸入小車運(yùn)行軌道之間。教學(xué)程序操作將小車推到正中位置，使擺桿處于自由下垂的靜止?fàn)顟B(tài)，將電腦與電控箱上電，進(jìn)入演示和實(shí)驗(yàn)軟件的安裝目錄，鍵入Pend啟動(dòng)程序，鍵入S時(shí)會(huì)出現(xiàn)一個(gè)提示對(duì)話框，如下圖所示：請(qǐng)您確認(rèn)小車停在中間擺桿靜止下垂確認(rèn)取消如果沒(méi)有問(wèn)題，按TAB鍵將選中“確認(rèn)”按鈕，然后按回車打開(kāi)伺服，否則直接按回車或ESC鍵取消操作請(qǐng)您確認(rèn)小車停在中間擺桿靜止下垂確認(rèn)取消鍵入1開(kāi)始起擺；進(jìn)入平衡位置后，按一或一左右移動(dòng)小車，按T停止伺服，按ALT+X退出程序，關(guān)閉電腦與控制箱電源。注意：1.系統(tǒng)操作時(shí)，請(qǐng)嚴(yán)格按照上述操作步驟進(jìn)行，任何不正確的操作步驟，都可能導(dǎo)致倒立擺不能正確起擺和平衡，并有可能導(dǎo)致小車撞擊兩端。如果小車撞擊了擺的的兩端，而且不能自己回到中間位置，請(qǐng)關(guān)閉電控箱電源，退出程序到Windows狀態(tài)。然后把擺推到中間位置，重新給電控箱上電，最后鍵入Pend，重新開(kāi)始操作。第四章一階倒立擺實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)一建立單軸倒立擺的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶W(xué)習(xí)建立單軸倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行Matlab仿真和用實(shí)際系統(tǒng)進(jìn)行驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)要求寫出系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程，得出傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間方程。用Matlab進(jìn)行脈沖輸入仿真。理論分析見(jiàn)“第二章一預(yù)備知識(shí)：一級(jí)倒立擺動(dòng)力學(xué)方程的建立”。實(shí)驗(yàn)步驟實(shí)際系統(tǒng)參數(shù)如下：M 小車質(zhì)量 1.096Kgm 擺桿質(zhì)量 0.109Kgb 小車摩擦系數(shù) 0.1N/m/secl 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度 0.25mI 擺桿慣量 0.0034kgm2F 加在小車上的力x 小車位置_擺桿與垂直向下方向的夾角T 采樣時(shí)間 0.005sec將數(shù)據(jù)帶入公式，求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)；將數(shù)據(jù)帶入公式，求出系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程；將實(shí)際系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程轉(zhuǎn)化為傳遞函數(shù)，與1進(jìn)行比較；求出傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和狀態(tài)方程A的特征值，進(jìn)行比較；進(jìn)行系統(tǒng)開(kāi)環(huán)脈沖響應(yīng)和階越響應(yīng)的Matlab仿真。注意：在進(jìn)行Matlab仿真的時(shí)候，請(qǐng)確保安裝了ControlSystemToolBoxo在進(jìn)行實(shí)驗(yàn)步驟4時(shí)既可以編程實(shí)現(xiàn)，也可以使用Matlab提供的Simulink工具進(jìn)行仿真。實(shí)驗(yàn)報(bào)告要求打印出你的Matlab源程序以及Simulink仿真結(jié)構(gòu)圖;給出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和狀態(tài)方程；給出傳遞函數(shù)極點(diǎn)和A的特征值；給出系統(tǒng)開(kāi)環(huán)脈沖響應(yīng)和階越響應(yīng)的曲線。思考題由狀態(tài)空間方程轉(zhuǎn)化為傳遞函數(shù)，是否與直接計(jì)算傳遞函數(shù)相等？通過(guò)仿真表明開(kāi)環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定？請(qǐng)通過(guò)極點(diǎn)(特征值)理論來(lái)分析。傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和狀態(tài)方程的特征值的個(gè)數(shù)、大小是否相等？如果不相等，請(qǐng)解釋其原因。參考Matlab程序給出完成本實(shí)驗(yàn)的參考程序，將程序?qū)懗梢粋€(gè)或多個(gè)m文件并執(zhí)行。%實(shí)際系統(tǒng)參數(shù)M=;m=;b=;l=0;I=;g=;T=;%求傳遞函數(shù)gs(輸出為擺桿角度)和gspo(輸出為小車位置)q=(M+m)*(I+m*「2)-(m*l)"2;num=[m*l/q0];den=[1b*(I+m*「2)/q-(M+m)*m*g*l/q-b*m*g*l/q];gs=tf(num,den);numpo=[(I+m*「2)/q0-m*g*l/q];denpo=[1b*(I+m*「2)/q-(M+m)*m*g*l/q-b*m*g*l/q0];gspo=tf(numpo,denpo);%求狀態(tài)空間sys(A,B,C,D)p=I*(M+m)+M*m*「2;A=[0100;0-(I+m*「2)*b/pm"2*g*「2/p0;0001;0-m*b*l/pm*g*l*(M+m)/p0];B=[0;(I+m*「2)/p;0;m*l/p];C=[1000;0010];D=0;sys=ss(A,B,C,D);%通過(guò)傳遞函數(shù)求系統(tǒng)(擺桿角度和小車位置)的開(kāi)環(huán)脈沖響應(yīng)t=0:T:5;y1=impulse(gs,t);y2=impulse(gspo,t);figure(1);plot(t,y2,'b',t,y1,'r');axis([02080]);legend('CarPosition','PendulumAngle');%將狀態(tài)空間方程sys轉(zhuǎn)化為傳遞函數(shù)gs0gs0=tf(sys);%通過(guò)狀態(tài)方程求系統(tǒng)(擺桿角度和小車位置)的開(kāi)環(huán)脈沖響應(yīng)t=0:T:5;y=impulse(sys,t);figure(2);plot(t,y(:,1),t,y(:,2),'r');axis([02080]);legend('CarPosition','PendulumAngle');%通過(guò)傳遞函數(shù)求系統(tǒng)(擺桿角度和小車位置)的開(kāi)環(huán)階越響應(yīng)t=0:T:5;y1=step(gs,t);y2=step(gspo,t);figure(3);plot(t,y2,'b',t,y1,'r');axis([02.5080]);legend('CarPosition','PendulumAngle');%通過(guò)狀態(tài)方程求系統(tǒng)(擺桿角度和小車位置)的開(kāi)環(huán)階越響應(yīng)t=0:T:5;y=step(sys,t);figure(4);plot(t,y(:,1),t,y(:,2),'r');axis([02.5080]);legend('CarPosition','PendulumAngle');%求傳遞函數(shù)極點(diǎn)P=pole(gs);Po=pole(gspo);%求A的特征值E=eig(A);實(shí)驗(yàn)二倒立擺系統(tǒng)控制算法的狀態(tài)空間法設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶W(xué)習(xí)如何使用狀態(tài)空間法設(shè)計(jì)系統(tǒng)的控制算法。實(shí)驗(yàn)要求用狀態(tài)空間法設(shè)計(jì)控制器，使得當(dāng)在小車上施加0.2m的階越信號(hào)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)指標(biāo)為：1、 桿角度6和小車位移x的穩(wěn)定時(shí)間小于5秒2、 x的上升時(shí)間小于1秒3、 6的超調(diào)量小于20度（0.35弧度）4、 穩(wěn)態(tài)誤差小于4%理論分析參考“第二章一預(yù)備知識(shí)：用lqr方法計(jì)算反饋系數(shù)”。在這個(gè)實(shí)驗(yàn)中我們將設(shè)計(jì)一個(gè)對(duì)擺桿位置和小車位移進(jìn)行控制的控制器。在實(shí)驗(yàn)一中，我們已經(jīng)得到了系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程，因此，這個(gè)控制問(wèn)題完全可以使用狀態(tài)反饋來(lái)解決。如第二章所述，可以得到最優(yōu)控制器對(duì)應(yīng)的狀態(tài)反饋向量K。在Matlab中對(duì)應(yīng)有l(wèi)qr函數(shù)，允許選擇兩個(gè)參數(shù)R和Q，這兩個(gè)參數(shù)用來(lái)平衡輸入量和狀態(tài)量的權(quán)重。最簡(jiǎn)單的情況是假設(shè)R=1，Q取除對(duì)角元外均為零的非負(fù)定陣，即Q的對(duì)角元均大于等于零。其中Q的對(duì)角元分別代表了四個(gè)狀態(tài)量的權(quán)重，而輸入權(quán)重R是1?？梢酝ㄟ^(guò)改變Q陣中的非零元素來(lái)調(diào)節(jié)控制器以得到期望的響應(yīng)，但是在滿足控制要求的前提下，Q陣中的非零元素應(yīng)該足夠小。如果權(quán)重太大，系統(tǒng)對(duì)于狀態(tài)過(guò)于靈敏，可能出現(xiàn)在穩(wěn)定位置抖動(dòng)的情況，同時(shí)將影響系統(tǒng)的魯棒性，即當(dāng)參數(shù)稍有改變（比如小車摩擦系數(shù)發(fā)生變化），系統(tǒng)就會(huì)出現(xiàn)不穩(wěn)定。求得反饋向量K之后，如果直接對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真，會(huì)發(fā)現(xiàn)存在著穩(wěn)態(tài)誤差，這是因?yàn)樵谇懊娴脑O(shè)計(jì)方法中，是把輸出（狀態(tài)中的一部分）信號(hào)反饋回來(lái)乘以一個(gè)系數(shù)矩陣K，然后與輸入量相減得到控制信號(hào)，這就使得輸入與反饋的量綱不一致。因此，為了使使輸入與反饋的量綱互相配合，輸入還要乘以增益N，如下圖所示。這里不加推導(dǎo)的給出如下結(jié)論：N與K向量中與小車位置x對(duì)應(yīng)的那一項(xiàng)相等。實(shí)驗(yàn)步驟系統(tǒng)實(shí)際參數(shù)請(qǐng)參考實(shí)驗(yàn)一。利用Matlab計(jì)算出狀態(tài)反饋向量K；求出整個(gè)狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程（Ac,Bc,C,D）；對(duì)狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)進(jìn)行0.2m的階越響應(yīng)仿真，反復(fù)調(diào)整Q和R,得到不同的K,直到系統(tǒng)響應(yīng)滿足控制要求，記此時(shí)的K值為K；打開(kāi)教學(xué)程序，然后按“s”使系統(tǒng)處于準(zhǔn)備狀態(tài);。擾動(dòng)信號(hào)設(shè)置為0（初試狀態(tài)），按“上方向鍵”使倒立擺起擺并最終穩(wěn)定，記錄小車的穩(wěn)定位置P1和擺桿的穩(wěn)定角度Pend1；在“擾動(dòng)”菜單中選擇“擾動(dòng)信號(hào)”，設(shè)定波形為2（階越信號(hào)），頻率為0，幅度為0.2,確認(rèn)后觀察系統(tǒng)對(duì)擾動(dòng)信號(hào)的響應(yīng)；在“擾動(dòng)”菜單中選擇擺桿響應(yīng)和小車響應(yīng)，觀察擺桿和小車的響應(yīng)曲線是否滿足控制要求；記錄小車的穩(wěn)定位置P2和擺桿的穩(wěn)定角度Pend2；在“擾動(dòng)”菜單中選擇擺桿響應(yīng)和小車響應(yīng)，輸入保存響應(yīng)曲線的路徑和文件名稱，保存；將擾動(dòng)幅值、頻率均設(shè)為0，使擺桿回到原點(diǎn)；待擺桿穩(wěn)定后，將計(jì)算得到的反饋向量K輸入教學(xué)程序Pend；重復(fù)步驟6-9,在此過(guò)程中應(yīng)反復(fù)調(diào)整反饋向量K使系統(tǒng)滿足控制要求后再進(jìn)行記錄，記最后滿足要求的K為K；看看K與K是否相等；按“T”鍵停止倒立擺，或“Alot+x”退出程序；在Matlab中畫(huà)出剛才保存的實(shí)際系統(tǒng)的響應(yīng)曲線，并通過(guò)數(shù)據(jù)分析系統(tǒng)是否滿足控制要求。操作切記：倒立擺運(yùn)行時(shí)，不可從教學(xué)程序中切換回Windows桌面;要回到桌面進(jìn)行其它操作，一定要使用教學(xué)程序停止倒立擺。注1：在進(jìn)行Matlab仿真的時(shí)候，請(qǐng)確保安裝了ControlSystemToolBox。在進(jìn)行實(shí)驗(yàn)步驟3時(shí)，既可以編程實(shí)現(xiàn)，也可以使用Matlab提供的Simulink工具進(jìn)行仿真。注2：系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程擺桿角度單位為弧度，而教學(xué)程序記錄和使用的擺桿角度單位是度。注3：由于測(cè)量誤差和啟動(dòng)時(shí)的影響，系統(tǒng)無(wú)擾動(dòng)穩(wěn)定的零位置P1可能不是在0附近，因此當(dāng)設(shè)定0.2階越輸入時(shí)，穩(wěn)態(tài)位置實(shí)際是P2—P1。注4：為保證倒立擺的安全性，倒立擺起擺時(shí)的反饋系數(shù)K使用教學(xué)程序的默認(rèn)值。實(shí)驗(yàn)報(bào)告要求打印出你的Matlab源程序以及Simulink仿真結(jié)構(gòu)圖；給出Matlab程序的執(zhí)行結(jié)果和仿真圖形（確定K和反饋后的響應(yīng)曲線）；給出無(wú)擾動(dòng)時(shí)兩次不同K值下，小車的穩(wěn)定位置P1和擺桿的穩(wěn)定角度Pend1；給出階越輸入時(shí)兩次不同K值下，小車的穩(wěn)定位置P2和擺桿的穩(wěn)定角度Pend2；給出兩次不同K值下，實(shí)際系統(tǒng)的響應(yīng)曲線，并計(jì)算實(shí)驗(yàn)要求中的四項(xiàng)響應(yīng)指標(biāo)。注1：為統(tǒng)一敘述，在此規(guī)定上升時(shí)間為系統(tǒng)響應(yīng)第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值90%的時(shí)間；其余響應(yīng)指標(biāo)的概念請(qǐng)參考《自動(dòng)控制原理》。注2：在計(jì)算響應(yīng)指標(biāo)時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)位置及穩(wěn)態(tài)誤差可在線讀出，也可利用保存的實(shí)際系統(tǒng)的響應(yīng)數(shù)據(jù)計(jì)算得出。注3：由于系統(tǒng)有微小延遲，因此計(jì)算出來(lái)的上升時(shí)間要比實(shí)際的上升時(shí)間大一些。思考題計(jì)算Ac的特征值。通過(guò)仿真分析Q1和Q33的大小對(duì)控制效果的影響:固定Q33，改變Q1/3固定Q；；，改變Q：：參考Matlab程序%求反饋向量KR=1;Q1=;Q3=;Q=[Q1000;0000;00Q30;0000];K=lqr(A,B,Q,R);%求狀態(tài)反饋后的系統(tǒng)sysstateAc=A-B*K;Bc=B*K(1);%輸入變換使輸入與反饋的量綱匹配sysstate=ss(Ac,Bc,C,D);%對(duì)lqr控制系統(tǒng)進(jìn)行仿真t=0:T:5;U=0.2*ones(size(t));y=lsim(sysstate,U,t);plot(t,y(:,1),t,y(:,2),'r');legend('CarPosition','PendulumAngle');%小車位置響應(yīng)指標(biāo)%分析教學(xué)程序保存的5秒實(shí)際響應(yīng)數(shù)據(jù)(文件名car)load('car');t1=T:T:5;plot(t1,car);%繪制小車位置實(shí)際響應(yīng)曲線%4.9s達(dá)到穩(wěn)態(tài)(后20個(gè)數(shù)據(jù)均已進(jìn)入穩(wěn)態(tài))%計(jì)算最大穩(wěn)態(tài)誤差error及相對(duì)穩(wěn)態(tài)誤差errorlerror=car(981:1000)-car(1)+0.2;%穩(wěn)態(tài)位置為0.2教學(xué)程序表示為-0.2error=max(abs(error));error1=error/0.2;%計(jì)算上升時(shí)間trcar1=car-car(1);stab90=-0.2*0.9;n=find((abs(car1)>=abs(stab90))&(car1*stab90>=0));n=min(n);tr=n*T;%擺桿角度響應(yīng)指標(biāo)%分析教學(xué)程序保存的5秒實(shí)際響應(yīng)數(shù)據(jù)(文件名pend)load('pend');t1=T:T:5;plot(t1,pend);%繪制擺桿實(shí)際響應(yīng)曲線%4.9s達(dá)到穩(wěn)態(tài)(后20個(gè)數(shù)據(jù)均已進(jìn)入穩(wěn)態(tài))%計(jì)算最大絕對(duì)穩(wěn)態(tài)誤差error及相對(duì)穩(wěn)態(tài)誤差error1errorpend=pend(981:1000)+360;%Pend1和Pend2在180度附近，則教學(xué)程序?qū)⒎€(wěn)態(tài)位置設(shè)定為0度%Pend1和Pend2在-180度附近，則教學(xué)程序?qū)⒎€(wěn)態(tài)位置設(shè)定為360度errorpend=max(abs(errorpend));error1pend=errorpend/360;%計(jì)算超調(diào)Chaoerror=abs(pend+360);Chaoerror=max(Chaoerror);實(shí)驗(yàn)三觀察擾動(dòng)對(duì)倒立擺系統(tǒng)的影響實(shí)驗(yàn)?zāi)康挠^察有擾動(dòng)時(shí)倒立擺的運(yùn)動(dòng)情況，加深對(duì)狀態(tài)空間和狀態(tài)反饋的理解。實(shí)驗(yàn)要求在平衡位置，分別加入下列三種擾動(dòng)，記錄倒立擺的運(yùn)動(dòng)情況:.方波信號(hào)：頻率0.5Hz,幅值0.1m；.正弦波信號(hào)：參數(shù)同上；鋸齒波信號(hào)：參數(shù)同上。實(shí)驗(yàn)步驟系統(tǒng)實(shí)際參數(shù)請(qǐng)參考實(shí)驗(yàn)一。編制Matlab程序?qū)顟B(tài)反饋控制系統(tǒng)進(jìn)行輸入擾動(dòng)仿真，輸入擾動(dòng)按實(shí)驗(yàn)要求，同時(shí)狀態(tài)反饋向量K由實(shí)驗(yàn)二得到；記錄前5秒的過(guò)渡過(guò)程；啟動(dòng)教學(xué)程序“Pend”，使用教學(xué)程序的默認(rèn)K值，不設(shè)任何擾動(dòng)，使倒立擺起擺并穩(wěn)定在平衡位置；待擺桿穩(wěn)定后，將K值設(shè)定為實(shí)驗(yàn)二中得到的，使閉環(huán)系統(tǒng)滿足控制要求的反饋系數(shù)值K；在“擾動(dòng)分菜單中選擇“擾動(dòng)信號(hào)”，按實(shí)驗(yàn)要求輸入擾動(dòng)信號(hào)，波形代碼如下：0 無(wú)波形，1 脈沖信號(hào)，2 階越信號(hào)，3 方波信號(hào)，4 正弦波信號(hào)，5 鋸齒波信號(hào)；3.1、 輸入波形代碼3、頻率0.5和幅值0.1，代表幅值0.1、頻率0.5Hz的方波，按“確認(rèn)”，觀察倒立擺的運(yùn)動(dòng)情況。在“擾動(dòng)”菜單中選擇小車響應(yīng)和擺桿響應(yīng)并保存；3.2、 將波形代碼置為0，等待倒立擺穩(wěn)定；3.3、 輸入波形代碼4、頻率0.5和幅值0.1，代表幅值0.1、頻率0.5Hz的正弦波，按“確認(rèn)”，觀察倒立擺的運(yùn)動(dòng)情況。在“擾動(dòng)”菜單中選擇小車響應(yīng)和擺桿響應(yīng)并保存；3.4、 將波形代碼置為0，等待倒立擺穩(wěn)定；3.5、 輸入波形代碼5、頻率0.5和幅值0.1，代表幅值0.1、頻率0.5Hz的鋸齒波，按“確認(rèn)”，觀察倒立擺的運(yùn)動(dòng)情況。在“擾動(dòng)”菜單中選擇小車響應(yīng)和擺桿響應(yīng)并保存；按“T”鍵停止倒立擺，或“Alt+x”退出程序。注1：在輸入擾動(dòng)信號(hào)之前，一定要等待倒立擺進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)。注2：擾動(dòng)信號(hào)頻率不可過(guò)大，幅值不可超過(guò)倒立擺橫軸的限制長(zhǎng)度。實(shí)驗(yàn)報(bào)告要求打印出你的Matlab源程序以及Simulink仿真結(jié)構(gòu)圖;給出Matlab的仿真圖形(三種擾動(dòng)下的響應(yīng)曲線)；給出實(shí)際系統(tǒng)的響應(yīng)曲線。思考題仿真曲線和實(shí)際響應(yīng)曲線是否大致相同？請(qǐng)說(shuō)明原系統(tǒng)是否完全可控？參考Matlab程序%生成方波t=[0:T:5];d=[0.5:1:5];U=0.2*pulstran(t-0.25,d,'rectpuls',0.5)-0.1;%生成正弦波t=[0:T:5];U=0.1*sin(2*pi*t);%生成鋸齒波t=[0:T:5];d=[0:1:5];U=0.2*pulstran(t,d,'tripuls',1,-1)-0.1;%其它程序參考實(shí)驗(yàn)二第四章二階倒立擺實(shí)驗(yàn)第1節(jié) 建立兩軸倒立擺的數(shù)學(xué)模型一.實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶W(xué)習(xí)建立兩軸倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行Matlab仿真。二.實(shí)驗(yàn)要求寫出系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程，得出傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間方程。用Matlab進(jìn)行脈沖輸入仿真，并且用實(shí)際系統(tǒng)對(duì)模型進(jìn)行驗(yàn)證。理論分析在忽略了空氣流動(dòng)，各種摩擦之后，可將倒立擺系統(tǒng)抽象成小車、勻質(zhì)桿和擺桿1質(zhì)量0.04Kgl:1擺桿1在忽略了空氣流動(dòng)，各種摩擦之后，可將倒立擺系統(tǒng)抽象成小車、勻質(zhì)桿和擺桿1質(zhì)量0.04Kgl:1擺桿1轉(zhuǎn)動(dòng)中心到桿質(zhì)心的距離0.09m擺桿2質(zhì)量0.132Kg擺桿2轉(zhuǎn)動(dòng)中心到桿質(zhì)心的距離0.27m質(zhì)量塊的質(zhì)量0.208Kg作用在系統(tǒng)上的外力9:

29:

2利用拉格朗日方程推導(dǎo)倒立擺運(yùn)動(dòng)學(xué)方程擺桿1與垂直向上方向的夾角擺桿2與垂直向上方向的夾角拉格朗日方程為L(zhǎng)拉格朗日方程為L(zhǎng)(q,q)=T(q,q)-V(q,q)其中，L為拉格朗日算子，q為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，T為系統(tǒng)的動(dòng)能，V為系統(tǒng)的勢(shì)能。拉格朗日方程由廣義坐標(biāo)q和L表示為:i

TOC\o"1-5"\h\zddL dL — =fdt6q dq其中，i=1,2,3.?.n,fi為系統(tǒng)沿該廣義坐標(biāo)方向上的外力，在本系統(tǒng)中，設(shè)系統(tǒng)的三個(gè)廣義坐標(biāo)分別是尤,01,02。經(jīng)過(guò)運(yùn)算并帶入?yún)?shù)，定義狀態(tài)變量：氣=%，x=0，u=x，得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程6 2x=0，x=0，x=0，u=x，得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程6 22 1 3 2 4 5 1為x1x2x3xx1x2x3x4x500100000000063.8932-10.04040-18.255218.4242000000010000001000「x]「 0一1x02x03+x14x5.49525x-0.01726」—,1- -1x10000020x0100003+0x00100040*——,x」—,y=u15x6」注：五注：五具體推導(dǎo)詳見(jiàn)附錄。實(shí)驗(yàn)步驟請(qǐng)你自己動(dòng)手用Matlab程序進(jìn)行系統(tǒng)開(kāi)環(huán)階躍響應(yīng)的仿真。實(shí)驗(yàn)報(bào)告要求1、 記錄階越響應(yīng)曲線；2、 由階越響應(yīng)曲線分析當(dāng)輸入（加速度）恒定時(shí)，小車及擺桿的運(yùn)行情況。實(shí)驗(yàn)報(bào)告要求1、 結(jié)合你所學(xué)過(guò)的自動(dòng)控制理論知識(shí)，說(shuō)明開(kāi)環(huán)系統(tǒng)為什么不穩(wěn)定？2、 判斷系統(tǒng)是否完全可控？

第2節(jié) 二階系統(tǒng)控制算法的狀態(tài)空間法設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶W(xué)習(xí)如何使用狀態(tài)空間法設(shè)計(jì)系統(tǒng)的控制算法，并進(jìn)行Matlab仿真。實(shí)驗(yàn)要求用狀態(tài)空間法設(shè)計(jì)控制器，使得當(dāng)在小車上施加0.2m的階躍信號(hào)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)指標(biāo)為：1） 擺桿角度。1、02和小車位移x的穩(wěn)定時(shí)間小于5秒2） x的上升時(shí)間小于2.5秒3） 01、02的超調(diào)量小于20（0.35弧度）4） 穩(wěn)態(tài)誤差小于2%。理論分析100100000010000001000y=x1x2在這一節(jié)我們把系統(tǒng)當(dāng)作多輸出系統(tǒng)，用狀態(tài)空間法設(shè)計(jì)一個(gè)對(duì)擺桿位置和小車位移都進(jìn)行控制的控制器。系統(tǒng)狀態(tài)方程為r.nx「000100「「x]「 0 -11?x000010x022x000001x03=3+x000000x144x063.8932-10.0404000x5.495255-x1-6」_0-18.255218.4242000_x6_-0.0172_x5x

6」這個(gè)問(wèn)題可以使用完全狀態(tài)反饋來(lái)解決?？刂葡到y(tǒng)如下圖。圖中，R是施加在小車上的階躍輸入，狀態(tài)量x=x，x=0，x=0，x=x，x=0 ，1 2 1 3 2 4 5 1x6=0；分別代表小車位移、擺桿1位置、擺桿2位置、小車速度、擺桿1角速度和擺桿2角速度，u代表小車的加速度；輸出y=[x,01,氣『。我們要設(shè)計(jì)一個(gè)控制器，使得當(dāng)給系統(tǒng)施加一個(gè)階躍輸入時(shí)，小車跟蹤該輸入信號(hào)，擺桿會(huì)擺動(dòng)，然后仍然回到垂直位置。假設(shè)全狀態(tài)反饋可以實(shí)現(xiàn)(6個(gè)狀態(tài)量都可測(cè))，找出確定反饋控制規(guī)律的向量K。用Matlab中的lqr函數(shù)，則可以得到最優(yōu)控制器對(duì)應(yīng)的反饋控制向量K。lqr函數(shù)允許你選擇兩個(gè)參數(shù)一一R和Q，這兩個(gè)參數(shù)用來(lái)平衡系統(tǒng)對(duì)輸入量和狀態(tài)量的敏感程度。最簡(jiǎn)單的情況是假設(shè)/r/