圓與方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)典型例題

圓與方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：以點(diǎn)C(a,b)為圓心，r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-a)2+(y-b)2=r2.特例：圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r的圓的方程是：x2+y2=r2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：.設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d,圓半徑為r：a?點(diǎn)在圓內(nèi)U^dVr；b?點(diǎn)在圓上U^d二r；c?點(diǎn)在圓外c">d>r⑵.給定點(diǎn)M(x0,y0)及圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2?M在圓C內(nèi)o(x-a)2+(y-b)2<r200M在圓C上o(x°-a)2+(y°-b)2=r2③M在圓C外o(x-a)2+(y-b)2>r2003)涉及最值：思考：過(guò)此A點(diǎn)作最短的弦(此弦垂直AC)3.圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0.

⑴當(dāng)D2+E2—4F〉0時(shí)，方程表示一個(gè)圓，其中圓心Cf-D，-,半徑r=^D2+E2~4F.(22丿2fDE、⑵當(dāng)D2+E2-4F=0時(shí)，方程表示點(diǎn)-一，-一?I22丿⑶當(dāng)D2+E2-4F<0時(shí)，方程不表示任何圖形.注：方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件是：B=0且A=C豐0且D2+E2-4AF?0.直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系：直線(xiàn)Ax+By+C=0與圓(x-a)2+(y-b)2=r2圓心到直線(xiàn)的距離d=匹+B"+CA2+B2d〉ro直線(xiàn)與圓相離o無(wú)交點(diǎn)；d=ro直線(xiàn)與圓相切o只有一個(gè)交點(diǎn)；d<ro直線(xiàn)與圓相交o有兩個(gè)交點(diǎn)；弦長(zhǎng)|AB|=2\72—d2rdrd一…,IAx+By+C=0還可以利用直線(xiàn)方程與圓的方程聯(lián)立方程組｛求解，通過(guò)解[x2+y2+Dx+Ey+F=0的個(gè)數(shù)來(lái)判斷：當(dāng)A>0時(shí)，直線(xiàn)與圓有2個(gè)交點(diǎn)，，直線(xiàn)與圓相交；當(dāng)A=0時(shí)，直線(xiàn)與圓只有1個(gè)交點(diǎn)，直線(xiàn)與圓相切；當(dāng)A<0時(shí)，直線(xiàn)與圓沒(méi)有交點(diǎn)，直線(xiàn)與圓相離；兩圓的位置關(guān)系⑴設(shè)兩圓J"-叮+(y-少=ri2與圓C2：(x-?2)2+(y-"2)2=J

圓心距d=、(a—a)2+(b—b)2V1212d>r+ro外離o4條公切線(xiàn)；12d=r+ro外切o3條公切線(xiàn)；12|r—r|<d<r+ro相交o2條公切線(xiàn)；1212d=|r—r|o內(nèi)切o1條公切線(xiàn)；120<d<|r一r|o內(nèi)含o無(wú)公切線(xiàn)；12外離外切相交內(nèi)切外離外切相交內(nèi)切（2）兩圓公共弦所在直線(xiàn)方程圓C:x2+y2+Dx+Ey+F=0,1111圓C:x2+y2+Dx+Ey+F=0,2222則（D—D）x+（E—E）y+（F—F）=0為兩相交圓公共弦方程.121212補(bǔ)充說(shuō)明：若C與C相切，則表示其中一條公切線(xiàn)方程；12若C1與C2相離，則表示連心線(xiàn)的中垂線(xiàn)方程.3）圓系問(wèn)題過(guò)兩圓C:x2+y2+Dx+Ey+F=0和C:x2+y2+Dx+Ey+F=0交點(diǎn)的圓系11112222+y2+Dx+Ey+F222方程為x2+y+y2+Dx+Ey+F222111補(bǔ)充：上述圓系不包括C；22）當(dāng)X=—1時(shí)，表示過(guò)兩圓交點(diǎn)的直線(xiàn)方程（公共弦）③過(guò)直線(xiàn)Ax+By+C=0與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0交點(diǎn)的圓系方程為x2+y2+Dx+Ey+F+X(Ax+By+C)=0過(guò)一點(diǎn)作圓的切線(xiàn)的方程：(1)過(guò)圓外一點(diǎn)的切線(xiàn)：k不存在，驗(yàn)證是否成立k存在，設(shè)點(diǎn)斜式方程，用圓心到該直線(xiàn)距離二半徑，即y1-y0=k(x1-xo)v=lb_y]_k(a_x])1R=I、&R2+1求解k,得到切線(xiàn)方程【一定兩解】例1.經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,—2)點(diǎn)作圓(x+1)2+(y—2)2=4的切線(xiàn)，則切線(xiàn)方程為⑵過(guò)圓上一點(diǎn)的切線(xiàn)方程：圓(x—a)2+(y—b)2=r2，圓上一點(diǎn)為(X。，y0)，則過(guò)此點(diǎn)的切線(xiàn)方程為(x—a)(x—a)+(y—b)(y—b)二r200特別地，過(guò)圓x2+y2=r2上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線(xiàn)方程為x0x+y0y=r2.例2?經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(—4,—8)點(diǎn)作圓(x+7)2+(y+8)2=9的切線(xiàn)，則切線(xiàn)方程為。7■切點(diǎn)弦⑴過(guò)。C：(x—a)2+(y—b)2=r2外一點(diǎn)P(x,y)作0C的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A、B,00則切點(diǎn)弦AB所在直線(xiàn)方程為：(x—a)(x—a)+(y—b)(y—b)=r200切線(xiàn)長(zhǎng)：若圓的方程為(xa)2(yb)2=r2,則過(guò)圓外一點(diǎn)P(x。,y。)的切線(xiàn)長(zhǎng)為”=心0—a)2+(y°—b)2—r2.圓心的三個(gè)重要幾何性質(zhì):3333①圓心在過(guò)切點(diǎn)且與切線(xiàn)垂直的直線(xiàn)上；②圓心在某一條弦的中垂線(xiàn)上；兩圓內(nèi)切或外切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線(xiàn)。兩個(gè)圓相交的公共弦長(zhǎng)及公共弦所在的直線(xiàn)方程的求法例已知圓C:X2+y2—2x二0和圓C:X2+y2+4y=0,試判斷圓和位置關(guān)系，12若相交，則設(shè)其交點(diǎn)為A、B,試求出它們的公共弦AB的方程及公共弦長(zhǎng)。一、求圓的方程例1(06重慶卷文)以點(diǎn)(2,—1)為圓心且與直線(xiàn)3x-4y+5=0相切的圓的方程為((A)(x一2)2+(y+1)2=3(B)(x+2)2+(y一1)2=3(C)(x—2)2+(y+1)2=9(D)(x+2)2+(y—1)2=9二、位置關(guān)系問(wèn)題的取值范例2（06安徽卷文）直線(xiàn)x+y=1與圓x2+y2―2ay二°（a>°）沒(méi)有公共點(diǎn)，則a的取值范⑻(邁—1,⑻(邁—1,J2+1)(D)(°，叵+1)⑴(°,邁—1)(c)(—壬2—】，丫2+1)三、切線(xiàn)問(wèn)題例3（06重慶卷理）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且與圓x2+y2―4x+2y+=°相切的直線(xiàn)方程為（(a)y(a)y=—3x或y=(b)y=3x或y=—(c)y(c)y=—3x或y=—(d)y=3x或y=四、弦長(zhǎng)問(wèn)題例4（06天津卷理）設(shè)直線(xiàn)ax—y+3=°與圓（x—1）2+（y—2）2二4相交于A、B兩點(diǎn)，且弦AB的長(zhǎng)為2\2，則a二五、夾角問(wèn)題例5(06全國(guó)卷一文)從圓x2-2x+y2-2y+1二0外一點(diǎn)P(3,2)向這個(gè)圓作兩條切線(xiàn)，則兩切線(xiàn)夾角的余弦值為()13(A)2(B)5■v'3(C)2(D)0六、圓心角問(wèn)題例6(06全國(guó)卷二)過(guò)點(diǎn)(1^2)的直線(xiàn)1將圓(x—2)2+y2二4分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對(duì)的圓心角最小時(shí)，直線(xiàn)1的斜率k=七、最值問(wèn)題例7(06湖南卷文)圓x2+y2—4x—4y—10二0上的點(diǎn)到直線(xiàn)x+y―14=0的最大距離與最小距離的差是()(A)30(B)18(C)62(D)5丫2八、綜合問(wèn)題例8(06湖南卷理)若圓x2+y2—4x—4y—10二0上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線(xiàn)1:ax+by=0的距離為2J2，則直線(xiàn)1的斜率k取值范圍圓的方程1■方程X2+y2—2(t+3)x+2(1—4t2)y+16t4+9=0(tWR)表示圓方程，貝ljt的取值范圍是1A.—1〈t〈711B卄2C.—7<t<1<t<2—圓與y軸相切，圓心在直線(xiàn)x—3y=0上，且直線(xiàn)y=x截圓所得弦長(zhǎng)為2*7，求此圓的方程.方程X2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2—4F>0）表示的曲線(xiàn)關(guān)于x+y=0成軸對(duì)稱(chēng)圖形，則（）+E=0B.+F=0+F=0D.D+E+F=0（2004年全國(guó)II,8）在坐標(biāo)平面內(nèi)，與點(diǎn)A（1,2）距離為1,且與點(diǎn)B（3,1）距離為2的直線(xiàn)共有（）條條條條（2005年黃岡市調(diào)研題）圓x2+y2+x—6y+3=0上兩點(diǎn)P、Q關(guān)于直線(xiàn)kx—y+4=0對(duì)稱(chēng),則k=.（2004年全國(guó)卷111,16）設(shè)P為圓X2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線(xiàn)3x—4y—10=0的距離的最小值為.y7?已知實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足方程X2+y2—4x+1=0?求（1）的最大值和最小值；（2）y—x的最小值；x（3）X2+y2的最大值和最小值.經(jīng)過(guò)兩已知圓的交點(diǎn)的圓系例1.求經(jīng)過(guò)兩已知圓：x2+y2—4x—6=0和x2+y2—4y—6=0的交點(diǎn)且圓心的橫坐標(biāo)為3的圓的方程。例2．