整體把握數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

關(guān)于整體把握數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用第1頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四

“數(shù)學(xué)思想”往往是觀念的、普遍的、深刻的、內(nèi)在的、概括的；數(shù)學(xué)方法——用數(shù)學(xué)思想解決具體問題時(shí)逐漸形成的程序化操作。如換元法，代入法，配方法等。

“數(shù)學(xué)方法”往往是操作的、局部的、特殊的、表象的、具體的、程序的、技巧的。

“知識(shí)”和“技能”是顯性的，“思想”“經(jīng)驗(yàn)”是隱性的

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心和精髓！數(shù)學(xué)思想——將具體的數(shù)學(xué)知識(shí)都忘掉以后剩下的東西。第2頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四《課標(biāo)》中的基本思想：數(shù)學(xué)抽象的思想：分類、集合、數(shù)形結(jié)合、符號(hào)表示、對(duì)稱、對(duì)應(yīng)、有限與無限等數(shù)學(xué)推理的思想：歸納、演繹、化歸、聯(lián)想、類比、特殊與一般、代換、逐步逼近等數(shù)學(xué)建模的思想：簡化、量化、函數(shù)、方程、優(yōu)化、隨機(jī)、抽樣統(tǒng)計(jì)等。第3頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四例21圖形分類。如圖6所示，桌上散落著一些扣子，請(qǐng)把這些扣子分類。想一想：應(yīng)當(dāng)如何確定分類的標(biāo)準(zhǔn)？根據(jù)分類的標(biāo)準(zhǔn)可以把這些扣子分成幾類？然后具體操作，并用文字、圖畫或表格等方式把結(jié)果記錄下來。圖6第4頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四例.將七個(gè)杯子放在桌子上，三個(gè)杯口朝上，四個(gè)杯口朝下，現(xiàn)要求每次同時(shí)翻轉(zhuǎn)其中四個(gè)，使杯口朝向相反。問能否經(jīng)過有限次翻轉(zhuǎn)后，使所有杯子杯口均朝下？關(guān)鍵：如何“符號(hào)表示”第5頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四歷史表明，數(shù)學(xué)的發(fā)展，不僅表現(xiàn)為量的積累，而且還表現(xiàn)為質(zhì)的飛躍。數(shù)學(xué)思想方法在歷史上經(jīng)歷了三次重大轉(zhuǎn)折：

◆從算術(shù)到代數(shù)；

◆從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)；

◆從確定數(shù)學(xué)到隨機(jī)數(shù)學(xué)。

回顧、總結(jié)和分析這三次重大轉(zhuǎn)折，將有助于我們?nèi)媪私鈹?shù)學(xué)思想方法演變的歷史及其規(guī)律。第6頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四

§1從算術(shù)到代數(shù)什么是算術(shù)呢？算術(shù)的局限性、代數(shù)的產(chǎn)生和代數(shù)學(xué)體系結(jié)構(gòu)的形成第7頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四

一、什么是算術(shù)呢？

算術(shù)（arithmetic)是每一個(gè)人開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)必須學(xué)習(xí)的、不可回避的內(nèi)容，也是一門古老的、原始的數(shù)學(xué)。而算術(shù)的思維是一個(gè)人數(shù)學(xué)思維發(fā)展的基礎(chǔ)。那么什么是算術(shù)呢？

古代算術(shù)的主要內(nèi)容是正整數(shù)、零和正分?jǐn)?shù)的性質(zhì)與四則運(yùn)算。第8頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四內(nèi)容包括兩部分：討論自然數(shù)的讀法、寫法和基本運(yùn)算；進(jìn)位制和記數(shù)法；

分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)計(jì)算，各種量及其計(jì)算；比和比例。

算術(shù)運(yùn)算的方法與原理的應(yīng)用。加、減、乘、除的方法；算術(shù)應(yīng)用題。第9頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四在中國古代，算術(shù)一詞正式出現(xiàn)于《九章算術(shù)》中。當(dāng)時(shí)的“算術(shù)”是泛指數(shù)學(xué)的全體，與現(xiàn)代的意義不同。

直到宋元時(shí)代，才出現(xiàn)了“數(shù)學(xué)”這一名詞，在數(shù)學(xué)家的著作中，往往“數(shù)學(xué)”與“算學(xué)”并用。

從19世紀(jì)起，西方的一些數(shù)學(xué)學(xué)科，包括代數(shù)、三角等相繼傳入中國。1937年，清華大學(xué)仍設(shè)“算學(xué)系”。1939年為了統(tǒng)一起見，才確定專用“數(shù)學(xué)系”

第10頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四在晚清(1903)頒布學(xué)制小學(xué)設(shè)算術(shù)課，中學(xué)設(shè)數(shù)學(xué)課（包括算術(shù)、代數(shù)、幾何、三角、簿記）。民國初年(1912～1913)學(xué)制，中學(xué)由五年改為四年，數(shù)學(xué)課程不再講授簿記。

1922年公布的學(xué)制，將小學(xué)、中學(xué)都改為六年，各分初高兩級(jí)，初小四年,高小二年,初高中皆三年。這個(gè)學(xué)制基本沿用到1949年。

第11頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四現(xiàn)代算術(shù)和古代算術(shù)的區(qū)別：

（1）算術(shù)的內(nèi)容是古代的成人（包括數(shù)學(xué)家）所研究的對(duì)象，現(xiàn)代這些內(nèi)容已變成了少年兒童的數(shù)學(xué)。

（2）在現(xiàn)代小學(xué)數(shù)學(xué)里，總結(jié)了長期以來所歸結(jié)出來的五條基本運(yùn)算性質(zhì)，即加法、乘法的交換律和結(jié)合律，以及乘法對(duì)加法的分配律。不僅是小學(xué)數(shù)學(xué)里所學(xué)習(xí)的數(shù)運(yùn)算的重要性質(zhì)，也是整個(gè)數(shù)學(xué)里著重研究的主要性質(zhì)。

（3）在現(xiàn)代的小學(xué)數(shù)學(xué)里，還孕育著近代數(shù)學(xué)里的“集合”、“函數(shù)”、“算法”、“概率”等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)概念的思想。第12頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四

二、算術(shù)的局限性

主要表現(xiàn)在它限制抽象的未知數(shù)參與運(yùn)算，只允許具體的、已知的數(shù)進(jìn)行運(yùn)算。因而導(dǎo)致其在解決問題的方法上存在局限性。第13頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四

『古代名題』：一個(gè)農(nóng)夫有若干只雞與兔，它們共有50個(gè)頭，140只足，問雞兔各幾只？解1．假設(shè)50只全是雞，則共有502只足。多出（140－502＝40）40只足。原因何在？在于每只兔子當(dāng)作一只雞時(shí)少計(jì)兩只足，故40÷2＝20應(yīng)是兔子的頭數(shù)。列式：（140－502）÷（4－2）=20（兔頭數(shù)）50－20＝30（雞頭數(shù)）×××第14頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四不同的同學(xué)因思路不同，解法也迥然不同。有一位同學(xué)就曾給出如下的算式：解2．140÷2－50＝20（兔頭數(shù)）50－20＝30（雞頭數(shù)）第15頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四學(xué)生的解釋：把雞的腿捆在一起都看成金雞獨(dú)立的“單腳雞”，把兔看成前腳抱著大蘿卜站著的“雙腳兔”。這時(shí)有頭50，有足（140÷2）70只。因?yàn)槊恐弧半p腳兔”比“單腳雞”多計(jì)一只腳，共計(jì)多計(jì)70－50＝20只腳，這也正是免的頭數(shù)！這個(gè)解釋簡直叫人拍案叫絕！但這個(gè)同學(xué)若不講出來，怎么能從140÷2－50=20的算式中看到上述的思維過程呢？第16頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四代數(shù)解法：解3．設(shè)農(nóng)夫有雞x只，共足2x，有兔50－x只，共足4（50－x）由雞兔總足數(shù)為140，得

2x＋4（50－x）=140解得x=30（雞的只數(shù)）50－30=20（兔的只數(shù))第17頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四【課

標(biāo)】從上面的討論可以看到，用四則運(yùn)算方法，思考最困難，但是結(jié)果最直接；用二元一次方程組的方法，思考最簡潔，但是計(jì)算較繁瑣。在教學(xué)過程中，可以結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容使用這個(gè)例子，最后進(jìn)行比較，啟發(fā)學(xué)生思考。解3．設(shè)雞x只，兔子數(shù)為y，可得

x+y=502x+4y=140，求解得到x=30和y=20。代數(shù)解法：第18頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四

算術(shù)方法因題而異，因思路而異。

算術(shù)解題方法的基本思想是：首先要圍繞所求的數(shù)量，收集和整理各種已知的數(shù)據(jù)，并依據(jù)問題的條件列出用已知數(shù)據(jù)表示所求數(shù)量的算式，然后通過四則運(yùn)算求得算式的結(jié)果。

這種方法的關(guān)鍵之處是列算式。

但是面臨具有較為復(fù)雜數(shù)量關(guān)系的實(shí)際問題時(shí)，列算式是非常困難的，因此這種方法比較笨拙，甚至無法解決問題。第19頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四

三、代數(shù)的產(chǎn)生

算術(shù)的這種局限性，在很大程度上限制了其應(yīng)用范圍。但卻由此促使新的數(shù)學(xué)分支——代數(shù)的產(chǎn)生。第20頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四代數(shù)方法則正如牛頓所說：

“要想解一個(gè)有關(guān)數(shù)目的問題或有關(guān)量的抽象關(guān)系的問題，只要把問題里的日常語言翻譯成代數(shù)的語言就成了”。

第21頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四1、“代數(shù)”術(shù)語的來源

“代數(shù)”（algebra）一詞最早來自阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·花拉子米：《還原和對(duì)消的科學(xué)》（830）

“代數(shù)”作為一個(gè)數(shù)學(xué)專有名詞，在我國正式使用，最早是在1859年。清代數(shù)學(xué)家李善蘭和英國人韋列亞力共同翻譯了英國人棣么甘所寫的一本書，譯本的名稱就叫做《代數(shù)學(xué)》。

第22頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四李善蘭在翻譯中首創(chuàng)了一批漢語數(shù)學(xué)名詞：

◆代數(shù)學(xué)：方程式、代數(shù)、函數(shù)、常數(shù)、變數(shù)、系數(shù)、未知數(shù)、虛數(shù)等近30個(gè)名詞。◆解析幾何：原點(diǎn)、圓錐曲線、拋物線、雙曲線、漸近線、切線、法線、（超）越曲線，擺線、蚌線、螺線等20多個(gè)名詞；

◆微積分：無窮、極限、曲率、歧點(diǎn)、微分、積分等20多個(gè)名詞。這批譯名受到后世學(xué)者的好評(píng),它標(biāo)志著這批數(shù)學(xué)概念的標(biāo)準(zhǔn)化已完成，為普及數(shù)學(xué)掃除了障礙.第23頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四三種數(shù)——有理數(shù)、無理數(shù)、復(fù)數(shù)三種式——整式、分式、根式三種方程(組)——整式方程、分式方程、根式方程

初等代數(shù)基本內(nèi)容第24頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四三大規(guī)則五條基本運(yùn)算律：加法交換律、加法結(jié)合律、乘法交換律、乘法結(jié)合律、分配律；兩條等式基本性質(zhì)：等式兩邊同時(shí)加上一個(gè)數(shù)，等式不變；等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)非零的數(shù)，等式不變；三條指數(shù)律：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變指數(shù)相加；指數(shù)的乘方,底數(shù)不變，指數(shù)相乘；積的乘方等于乘方的積。第25頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四置換培訓(xùn)：南充X中觀摩課教學(xué)內(nèi)容：同底數(shù)冪的除法（指數(shù)相減，冪相除）（冪相除，指數(shù)相減）強(qiáng)調(diào)“m,n是正整數(shù)”,“指數(shù)相減，作除法”。第26頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四

關(guān)于“零指數(shù)”教學(xué)方案的設(shè)計(jì)可作如下考慮：教學(xué)目標(biāo)不僅要包括了解零指數(shù)冪的“規(guī)定”、會(huì)進(jìn)行簡單計(jì)算，還要包括感受這個(gè)“規(guī)定”的合理性，并在這個(gè)過程中學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考、感悟理性精神。例81“零指數(shù)”的教學(xué)設(shè)計(jì)。本實(shí)例希望體現(xiàn)課程目標(biāo)在課堂教學(xué)中的整體落實(shí)——通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅理解和掌握有關(guān)的知識(shí)技能，而且初步了解指數(shù)概念是如何擴(kuò)充的，感受零指數(shù)“規(guī)定”的合理性。指數(shù)的擴(kuò)充：第27頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四通過計(jì)算提出問題：如果應(yīng)用同底數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，可以得到那么有什么意義呢？等于多少呢？我們需要做出解釋，數(shù)學(xué)面臨了挑戰(zhàn)。我們先回顧簡單的事實(shí)：，于是可以自然提出猜想：，然后采用各種途徑引導(dǎo)學(xué)生感受規(guī)定“”的合理性。第28頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四例如：用細(xì)胞分裂作為情境，提出問題：一個(gè)細(xì)胞分裂1次變2個(gè)，分裂2次變4個(gè)，分裂3次變8個(gè)……那么，一個(gè)細(xì)胞沒有分裂時(shí)呢？觀察數(shù)軸上表示2的正整數(shù)次冪16，8，4，2，等等點(diǎn)的位置變化，可以發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？再觀察下列式子中指數(shù)、冪的變化，可以發(fā)現(xiàn)下面的規(guī)律：第29頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四這樣，在學(xué)生感受“”的合理性的基礎(chǔ)上，做出零指數(shù)冪意義的“規(guī)定”，即在規(guī)定的基礎(chǔ)上，再次驗(yàn)證這個(gè)規(guī)定與原有“冪的運(yùn)算性質(zhì)”是無矛盾的，原有的冪的運(yùn)算性質(zhì)可以擴(kuò)展到零指數(shù)。例如，計(jì)算第30頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四綜上，學(xué)生在學(xué)習(xí)“零指數(shù)”時(shí)將經(jīng)歷如下的過程：

面對(duì)挑戰(zhàn)進(jìn)行思考—-提出“規(guī)定”的猜想—-通過各種途徑說明“規(guī)定”的合理性—-做出“規(guī)定”—-驗(yàn)證這種“規(guī)定”與原有知識(shí)體系無矛盾—-指數(shù)概念和性質(zhì)得到擴(kuò)展。

這樣的過程較充分地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)自身發(fā)展的軌跡，有助于學(xué)生感悟指數(shù)概念是如何擴(kuò)展的，他們借助學(xué)習(xí)“零指數(shù)”所獲得的經(jīng)驗(yàn)，可以進(jìn)一步嘗試對(duì)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義做出合理的“規(guī)定”。這樣的過程較充分地展示了“規(guī)定”的合理性，有助于發(fā)展學(xué)生的理性思維。第31頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四

初等代數(shù)的基本思想

首先依據(jù)問題的條件組成內(nèi)含已知數(shù)和未知數(shù)的代數(shù)式，并按等量關(guān)系列出方程，然后通過對(duì)方程進(jìn)行恒等變換求出未知數(shù)的值。方程思想是初等代數(shù)的核心！第32頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四【雞兔同籠】思想方法的演變雞數(shù)+兔數(shù)=502×雞數(shù)+4×兔數(shù)=140算術(shù)X+Y=502X+4Y=140X+Y=m2X+4Y=n(特殊到一般)(特殊到一般)代數(shù)第33頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四(特殊到一般)方程組或直線（引入矩陣）矩陣方程第34頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四(引入行列式)線性代數(shù)第35頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四初等代數(shù)的兩條主線數(shù)系：正整數(shù)→整數(shù)→有理數(shù)→實(shí)數(shù)→復(fù)數(shù)運(yùn)算：加、減、乘、除、乘方、開方、指數(shù)、對(duì)數(shù)等代數(shù)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)！第36頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四

2．?dāng)?shù)學(xué)符號(hào)思想數(shù)學(xué)符號(hào)是代數(shù)的基本特征，數(shù)學(xué)符號(hào)的誕生和發(fā)展在一定程度上體現(xiàn)了初等代數(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展歷程。

第37頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四初等代數(shù)的數(shù)學(xué)符號(hào)：（1）數(shù)量符號(hào)：1,2；1.54,4.3；（2）運(yùn)算符號(hào)：=，≈，<,>.≤,≥,∥,⊥,≌,∽等＋,－,×,÷,（3）關(guān)系符號(hào)：（4）結(jié)合符號(hào)：（），［］，｛｝（５）性質(zhì)符號(hào)：＋，－，︱︱，（６）縮略符號(hào)：第38頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四

第一階段：文字代數(shù)開始向簡寫代數(shù)轉(zhuǎn)變

古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖（246—330年）

第39頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四『代數(shù)學(xué)之父』丟番圖西方人將古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖看作是代數(shù)學(xué)的鼻祖。希臘數(shù)學(xué)自畢達(dá)哥拉斯學(xué)派后，興趣中心在幾何，他們認(rèn)為只有經(jīng)過幾何論證的命題才是可靠的。一切代數(shù)問題，甚至簡單的一次方程的求解，也都納入了幾何的模式之中。直到丟番圖，才把代數(shù)解放出來。他認(rèn)為代數(shù)方法比幾何的演繹陳述更適宜於解決問題，而在解題的過程中顯示出的高度的巧思和獨(dú)創(chuàng)性，在希臘數(shù)學(xué)中獨(dú)樹一幟。他被后人稱為『代數(shù)學(xué)之父』。第40頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四『丟番圖的墓志銘』這里是一座石碑，里面安葬著丟番圖。他的壽命有多長，下面這些文字可以告訴你。他的童年占一生的1/6，接著1/12是少年時(shí)期，又過了1/7的時(shí)光，他找到了終生伴侶。5年之后，婚姻之神賜給他一個(gè)兒子，可是兒子命運(yùn)不濟(jì)，只活到父親壽數(shù)的一半，就匆匆離去。后來4年，丟番圖因?yàn)槭圩佣鴤?，終于告別科學(xué)，離開了人世。第41頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四丟番圖《算術(shù)》創(chuàng)造了一套縮寫符號(hào)，比如，用表示未知數(shù)，用表示常數(shù)項(xiàng)。二次冪---；三次冪---；四次冪---；五次冪---；減號(hào)---。丟番圖的《算術(shù)》是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)里程碑。第42頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四方程中所有的負(fù)項(xiàng)都放在一個(gè)減號(hào)后，未知數(shù)乘冪的系數(shù)是用放在該冪號(hào)后的希臘數(shù)字表示，方程記作第43頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四

第二階段：符號(hào)系統(tǒng)地引進(jìn)到數(shù)學(xué)十六世紀(jì)時(shí)，韋達(dá)將符號(hào)系統(tǒng)地引進(jìn)到數(shù)學(xué)中。例如韋達(dá)用元音字母表示未知量，用輔音字母表示已知量。在韋達(dá)以前，通常使用不同的字母或符號(hào)來表示一個(gè)量的各次冪。韋達(dá)則使用同一個(gè)字母，再加以適當(dāng)?shù)恼f明，來表示這些冪。如韋達(dá)把我們現(xiàn)在所寫的x，x2，x3分別記為A，Aquadratum，Acubum。第44頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四第三階段：數(shù)學(xué)符號(hào)的完善與創(chuàng)新

笛卡爾、萊布尼茲和歐拉改進(jìn)和創(chuàng)設(shè)了一些新的數(shù)學(xué)符號(hào)，使數(shù)學(xué)符號(hào)成為數(shù)學(xué)的基本特征。例如，笛卡爾在1637年用字母表中后幾個(gè)字母表示未知量，如x，y，z，而用前幾個(gè)字母表示已知量，如a，b，c等，這就是現(xiàn)在我們?nèi)匀徊捎玫膽T例。第45頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四對(duì)于一個(gè)量的各次冪，笛卡爾還引入了現(xiàn)在仍然采用的指數(shù)的統(tǒng)一寫法：x，x2，x3等。笛卡爾提出和使用的許多符號(hào)基本上現(xiàn)在一直在沿用。

笛卡爾等人對(duì)抽象符號(hào)的普遍使用，表明初等代數(shù)已開始進(jìn)入成熟時(shí)期。

第46頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四

17世紀(jì)以后，代數(shù)在解方程的基礎(chǔ)上，先后沿兩個(gè)方向發(fā)展：

代數(shù)方程論---當(dāng)代數(shù)方程的次數(shù)增加時(shí)圍繞代數(shù)方程的根式解法發(fā)展而形成。

線性代數(shù)---當(dāng)未知數(shù)的個(gè)數(shù)與代數(shù)方程的個(gè)數(shù)同步增加時(shí)圍繞方程組的解法而形成。第47頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四二次方程求根公式第48頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四三次方程求根公式第49頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四四次方程求根公式第50頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四到19世紀(jì)中期，法國數(shù)學(xué)家伽羅瓦明確而徹底的解決了哪些方程可以用代數(shù)運(yùn)算求解。抽象代數(shù)階段---引進(jìn)了群和域的概念，從而使代數(shù)學(xué)進(jìn)入結(jié)構(gòu)時(shí)代。這種理論的重要意義不在于解決高次方程根式解的問題，而在于通過它的研究使代數(shù)學(xué)的發(fā)展進(jìn)入了一個(gè)更高階段。伽羅瓦(varisteGalois,1811-1832)第51頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四什么是結(jié)構(gòu)？

四、代數(shù)結(jié)構(gòu)思想的形成結(jié)構(gòu)，就是事物間的相互聯(lián)系和規(guī)律?！敖Y(jié)構(gòu)”是詩詞的生命?！痉ā坎紶柊突?-----“數(shù)學(xué)是研究抽象結(jié)構(gòu)的理論”第52頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四

數(shù)學(xué)中研究的對(duì)象本無所謂結(jié)構(gòu)但引入關(guān)系后就形成了結(jié)構(gòu)。如，初等代數(shù)中，研究的對(duì)象為全實(shí)數(shù)及字母組成的集合G；引入運(yùn)算關(guān)系：＋,－,×,÷,則（1）G中只有“×”運(yùn)算叫單項(xiàng)式；（2）G中只有“＋，－”運(yùn)算叫多項(xiàng)式；（3）G中只有“＋，－，×”運(yùn)算叫整式；（4）G中只有“＋，－，×，÷”運(yùn)算叫有理式；（5）G中含有“”運(yùn)算叫無理式；（6）G中含有“”運(yùn)算叫代數(shù)式；＋,－,×,÷,第53頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四第54頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四例全體正有理數(shù)集對(duì)于數(shù)的乘法運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)群同樣，全體整數(shù)Z對(duì)于數(shù)的加法運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)群（Z，+）第55頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四BCAAAAAABBBBBCCCCC旋轉(zhuǎn)變換：軸反射變換：軸OA軸OB軸OC第56頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四BCAAAAAABBBBBCCCCC置換第57頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四（1）封閉性（2）結(jié)合律（3）存在單位元（4）存在逆元第58頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四現(xiàn)在的抽象代數(shù)有群、環(huán)、域、模、格、同調(diào)以及范疇等代數(shù)結(jié)構(gòu)。

這些代數(shù)結(jié)構(gòu)無論就數(shù)學(xué)本身或在其應(yīng)用中都具有重大的意義，以前所累積的大量的代數(shù)內(nèi)容是創(chuàng)造抽象代數(shù)的基礎(chǔ)。第59頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四

抽象代數(shù)與初等代數(shù)在思想方法上的差別：

初等代數(shù)屬于計(jì)算性的，并且只限于研究實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)等特定的數(shù)系，而抽象代數(shù)是概念性、公理化的，它的對(duì)象是一般的抽象代數(shù)結(jié)構(gòu)。因此，抽象代數(shù)比初等代數(shù)具有更高的抽象性和更大的普遍性，這就使抽象代數(shù)的應(yīng)用范圍更加廣泛。第60頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四§2從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)

算術(shù)、初等代數(shù)、初等幾何和三角，構(gòu)成了初等數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容。它們都以常量即不變的數(shù)量和固定的圖形為其研究對(duì)象。因此這部分內(nèi)容也稱為常量數(shù)學(xué)。運(yùn)用常量數(shù)學(xué)可以有效地描述事物和現(xiàn)象相對(duì)穩(wěn)定的狀態(tài)。可是，對(duì)于描述運(yùn)動(dòng)和變化，卻是無能為力的。于是便產(chǎn)生了從量上描述事物的運(yùn)動(dòng)和變化規(guī)律的數(shù)學(xué)部分——變量數(shù)學(xué)。從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)在思想方法上的又一次重大轉(zhuǎn)折。第61頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四

1．自然科學(xué)中研究變量的幾個(gè)典型問題

十七世紀(jì)以前生產(chǎn)和自然科學(xué)所提出的問題，常量數(shù)學(xué)大都可以解決，對(duì)變量數(shù)學(xué)的需求缺乏迫切性。

然而，到了十七世紀(jì)，隨著歐洲封建社會(huì)開始解體和資本主義工場(chǎng)手工業(yè)向機(jī)器大生產(chǎn)的過渡，生產(chǎn)和自然科學(xué)部門，向數(shù)學(xué)提出一系列必須從運(yùn)動(dòng)變化和發(fā)展觀點(diǎn)來研究事物的新問題。

第62頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四

這些新問題，大體可以分為以下五種類型：

第一，描述非勻速運(yùn)動(dòng)物體的軌跡。

開普勒在總結(jié)大量觀測(cè)資料的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)行星圍繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌跡是橢圓；伽利略明確提出，各種拋射物體諸如炮彈和石頭的運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線。他們的工作引起了人們對(duì)圓錐曲線重新研究。圓錐曲線本來早在古希臘時(shí)代就被認(rèn)真研究過，不過在十六世紀(jì)之前人們只是出自純數(shù)學(xué)的興趣，而且是用靜態(tài)的觀點(diǎn)來研究圖形的性質(zhì)，即把它們看作是由平面從不同角度截錐體而來的。行星繞日運(yùn)動(dòng)和拋體運(yùn)動(dòng)則要求人們用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)來研究圓錐曲線，即把曲線看成是經(jīng)物體運(yùn)動(dòng)而生成且隨時(shí)間而變化著的軌跡。

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第二，求變速運(yùn)動(dòng)物體的速度或路程。

已知變速運(yùn)動(dòng)的物體在某段時(shí)間內(nèi)經(jīng)過的路程，求物體在任意時(shí)刻的速度和加速度：反過來，已知物體運(yùn)動(dòng)的速度或加速度，求某段時(shí)間內(nèi)經(jīng)過的路程。

求物體運(yùn)動(dòng)的速度或路程是一個(gè)古老問題，但以前人們處理的大都是勻速運(yùn)動(dòng)的情況，對(duì)于變速運(yùn)動(dòng)，只能采用求平均速度的方法給出問題的近似解。自然科學(xué)的發(fā)展則要求精確地求出變速運(yùn)動(dòng)的物體在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度，或在某一段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過的路程。這就使傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法完全不適用了。

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第三，求曲線在任一點(diǎn)的切線。

這個(gè)問題主要來源于光學(xué)和力學(xué)的需要。在光學(xué)中，要研究光線在不同介質(zhì)的通道，這就涉及到光線在曲面上的反射角或進(jìn)入另一個(gè)介質(zhì)的折射角，而這些角是光線同曲線的法線所夾的角，法線又是垂直于切線的，所以問題就歸結(jié)于求出曲線的切線；在力學(xué)中，運(yùn)動(dòng)物體在它軌跡上任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向，實(shí)質(zhì)上就是軌跡上這一點(diǎn)的切線方向。第65頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四

第四，求變量在某種條件下所能達(dá)到的最大值或最小值。

力學(xué)和天文學(xué)涉及到的這類問題較多。例如，炮彈運(yùn)行的水平距離是一個(gè)隨發(fā)射角的變化而變化的變量，求發(fā)射角為多大時(shí)這個(gè)水平離最大。再如，行星運(yùn)動(dòng)與太陽距離是個(gè)變量，求這個(gè)變量所能達(dá)到的最大值和最小值等等。第66頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四

第五，計(jì)算曲線長度、曲邊形面積、曲面體體積、物體的重心等。

求積問題也是一個(gè)古老的問題。古希臘學(xué)者為解決這類問題曾創(chuàng)立窮竭法，但這個(gè)方法缺乏一般性，只能解決某些特殊問題。求物體的重心、變密度物體的重量以及大質(zhì)量物體之間的引力，就其思想方法而言，也屬于這一類問題。第67頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四

不難看出上述五類問題有一個(gè)共同的特征就是：要求把“變量”作為其研究象。

這些問題成為十六、十七世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的中心課題，正是對(duì)這個(gè)中心課題的深入研究，導(dǎo)致了變量數(shù)學(xué)的產(chǎn)生。

第68頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四2．變量數(shù)學(xué)的產(chǎn)生及其意義

變量數(shù)學(xué)產(chǎn)生于十七世紀(jì)。它大體上經(jīng)歷了兩個(gè)具有決定性的重大步驟：第69頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四

第一個(gè)步驟----解析幾何的產(chǎn)生。

1637年，法國數(shù)學(xué)家笛卡兒發(fā)表《方法論》一書，書后有三篇附錄，其中一篇叫做《幾何學(xué)》。在這篇附錄中，他首次明確提出了點(diǎn)的坐標(biāo)和變數(shù)的思想，并借助坐標(biāo)系用含有變數(shù)的代數(shù)方程來表示和研究曲線。這篇附錄的問世，是解析幾何產(chǎn)生的重要標(biāo)志。第70頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四

第二個(gè)決定性步驟----微積分的創(chuàng)立。

十七世紀(jì)許多著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和物理學(xué)家都參與了這一發(fā)明的研究工作。其中貢獻(xiàn)最大的要屬牛頓(1642一1727)和萊布尼茨(1646—1716)兩個(gè)人。牛頓主要是從運(yùn)動(dòng)學(xué)來研究和建立微積分的。他的微積分思想最早出現(xiàn)在1665年5月20日的一頁文獻(xiàn)中。這一天可做為微積分誕生的日子。第71頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四

求函數(shù)y=的流數(shù)，設(shè)x變?yōu)閤+o,于是相應(yīng)變?yōu)?/p>

兩邊減去,得

這個(gè)量表示對(duì)應(yīng)于x變到x+o,所發(fā)生的變化.也就是當(dāng)x獲得增量o時(shí)，所獲得增量.牛頓的“最初比”與“最終比”第72頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四為了略去含有o的項(xiàng)，牛頓設(shè)想出了考慮x和的增量之比，即“最初比”:當(dāng)增量o消失時(shí)，它們的“最終比”為:流數(shù)“是消失了的量的鬼魂！”————貝克萊第73頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四

我國高中數(shù)學(xué)教材中的微積分舊教材：數(shù)列極限、函數(shù)極限——導(dǎo)數(shù)與微分——導(dǎo)數(shù)應(yīng)用——不定積分——定積分——定積分的應(yīng)用。新教材：變化率——導(dǎo)數(shù)及其幾何意義——導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用——定積分——微積分基本定理——定積分的簡單應(yīng)用。第74頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四第75頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四

導(dǎo)數(shù)概念傳統(tǒng)的導(dǎo)數(shù)概念的引入，同時(shí)考慮兩個(gè)具體問題：物理問題------求運(yùn)動(dòng)物體在給定時(shí)刻的瞬時(shí)速度；幾何問題-------求曲線在給定點(diǎn)的切線的斜率。最后都?xì)w結(jié)為如下形式的極限：第76頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四（1）引例問題1

氣球膨脹率：很多人都吹過氣球，回憶一下吹氣球的過程，可以發(fā)現(xiàn)，隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加，氣球的半徑增加得越來越慢。從數(shù)學(xué)角度，如何描述這種現(xiàn)象呢？設(shè)氣球的體積V（單位：L）與半徑r（單位：dm)）之間的函數(shù)關(guān)系式，一、導(dǎo)數(shù)概念第77頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四如果將半徑r表示為體積V的函數(shù)，那么當(dāng)空氣容量從0增加到1L時(shí)，氣球的半徑增加了氣球的平均膨脹率為第78頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四類似地，當(dāng)空氣的容量V從1L增加到2L時(shí)，氣球的半徑增加了氣球的平均膨脹率為可以看出，隨著氣球體積逐漸變大，它的平均膨脹率逐漸變小了。第79頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四問題2

高臺(tái)跳水：人們發(fā)現(xiàn)，在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)員相對(duì)水面的高度h（單位：m）與起跳后的時(shí)間t（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系

如果用運(yùn)動(dòng)員在某段時(shí)間內(nèi)的平均速度描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，那么：在這段時(shí)間里，在這段時(shí)間里，第80頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四(2)特征歸納如果上述兩個(gè)問題中的函數(shù)關(guān)系用表示，那么問題中的變化率可用式子表示，把這個(gè)式子稱為函數(shù)的平均變化率。習(xí)慣上用表示即。可以把看作是相對(duì)的一個(gè)“增量”，也可用代替；類似地，，于是平均變化率可以表示為。第81頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四（3）導(dǎo)數(shù)概念在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)員在不同時(shí)刻的速度是不同的，把物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度。運(yùn)動(dòng)員的平均速度不一定能反映他在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度。那么，如何求運(yùn)動(dòng)員的瞬時(shí)速度呢？比如在t=2時(shí)的瞬時(shí)速度是多少？通過考察t=2附近的情況，在t=2之前或之后，任意取一個(gè)時(shí)刻是時(shí)間的改變量，可以是正值，也可以是負(fù)值，但不為0.第82頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四當(dāng)△t<0時(shí)，在[2+△t,2]這段時(shí)間內(nèi)當(dāng)△t>0時(shí)，在[2,2+△t]這段時(shí)間內(nèi)通過對(duì)△t取值，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)△t趨于0時(shí)，即無論從小于2一邊，還是從大于2一邊趨于2是，平均速度都趨于一個(gè)確定的值-13.1第83頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四第84頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四從物理角度看，時(shí)間間隔無限小時(shí)，平均速度就無限趨近于t=2時(shí)的瞬時(shí)速度。因此，運(yùn)動(dòng)員在t=2時(shí)的瞬時(shí)速度是-13.1m/s。

為了表述方便，我們用表示“當(dāng)t=2，當(dāng)△t趨于0時(shí)，平均速度趨于確定的值-13.1”。第85頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四一般地，函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率是稱它為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作或即第86頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四

變量數(shù)學(xué)產(chǎn)生的意義，其具體表現(xiàn)可概括為以下三個(gè)方面：

（1）變量數(shù)學(xué)的產(chǎn)生，使數(shù)學(xué)自身在思想方法上發(fā)生了重大的變革，由此帶來整個(gè)數(shù)學(xué)面貌的根本性改觀。第87頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四

例如，可把解方程理解為求函數(shù)的零點(diǎn)，借助分析的方法給出了代數(shù)基本定理的嚴(yán)格證明等等。通過這次變革，新的數(shù)學(xué)分支學(xué)科雨后春筍般地涌現(xiàn)出來，諸如解析數(shù)論、微分幾何、常微分方程論、偏微分方程論、積分方程論、級(jí)數(shù)論、差分學(xué)、實(shí)變函數(shù)論和復(fù)變函數(shù)論等?？傊瑥淖兞繑?shù)學(xué)產(chǎn)生后，變量數(shù)學(xué)的思想方法很快就在整個(gè)數(shù)學(xué)中占據(jù)了主導(dǎo)地位，長時(shí)期內(nèi)規(guī)定和影響著數(shù)學(xué)發(fā)展的方向。第88頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四

（2）變量數(shù)學(xué)的產(chǎn)生，使自然科學(xué)描述現(xiàn)實(shí)物質(zhì)世界的運(yùn)動(dòng)和變化過程成為可能。

在現(xiàn)實(shí)世界中，“靜”和“?！笨偸菚簳r(shí)的、相對(duì)的，“動(dòng)”和“變”則是永恒的、絕對(duì)的。

恩格斯：

“只有微分學(xué)才能使自然科學(xué)有可能用數(shù)學(xué)來不僅僅表明狀態(tài)，并且也表明過程：運(yùn)動(dòng)?！弊宰兞繑?shù)學(xué)產(chǎn)生以后，數(shù)學(xué)在自然科學(xué)各部門的應(yīng)用范圍得到了空前的擴(kuò)展。第89頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四

（3）變量數(shù)學(xué)的產(chǎn)生具有重大的哲學(xué)意義。

變量數(shù)學(xué)的基本概念：變量、函數(shù)、極限、導(dǎo)數(shù)和微分，以及微分法和積分法，從本質(zhì)上看，不外是辯證法在數(shù)學(xué)上的運(yùn)用。恩格斯：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡兒的變數(shù)。有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)”．可以說，變量數(shù)學(xué)的產(chǎn)生，是辯證法在數(shù)學(xué)中取得的一次根本性勝利。恩格斯：“在一切理論成就中，未必有什么象十七世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)明那樣被看作人類精神的最高勝利了。”

第90頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四§3從確定數(shù)學(xué)到隨機(jī)數(shù)學(xué)確定數(shù)學(xué)的局限性隨機(jī)數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展隨機(jī)數(shù)學(xué)產(chǎn)生的意義第91頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四一、確定性數(shù)學(xué)的局限性

人們?cè)谏鐣?huì)實(shí)踐活動(dòng)常常遇到兩類截然不同的現(xiàn)象，一類是確定性現(xiàn)象，特點(diǎn)是：在一定的條件下，其結(jié)果完全被決定，或者完全肯定或者完全否定，不存在其他可能。即這種現(xiàn)象在一定的條件下必然會(huì)發(fā)生某種結(jié)果，或者必然不會(huì)發(fā)生某種結(jié)果。

第92頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四

在數(shù)學(xué)中，把研究確定性現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的那些數(shù)學(xué)分支稱為確定數(shù)學(xué)。

代數(shù)、幾何、方程和微積分等均屬于確定數(shù)學(xué)的范疇。

例如天文學(xué)家發(fā)現(xiàn)了谷神星，但是無法確定它再次出現(xiàn)的時(shí)間和位置，高斯利用天文學(xué)家提供的觀察得來的數(shù)據(jù)，通過一個(gè)方程預(yù)見了谷神星出現(xiàn)的時(shí)間和位置。第93頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四

另一類是隨機(jī)現(xiàn)象，特點(diǎn)是：

在一定的條件下，可能發(fā)生某種結(jié)果，也可能不發(fā)生某種結(jié)果。

比如，投擲一枚硬幣，可能出現(xiàn)正面，也可能出現(xiàn)反面，但是預(yù)先作出確定的判斷是不可能的。對(duì)于這類現(xiàn)象，由于條件和結(jié)果之間不存在必然性聯(lián)系，因此不能用確定數(shù)學(xué)來加以定量描述。

第94頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四

隨機(jī)現(xiàn)象并不是雜亂無章的現(xiàn)象，就個(gè)體而言，似乎沒有什么規(guī)律存在，但當(dāng)同類現(xiàn)象大量出現(xiàn)時(shí)，從總體上卻呈現(xiàn)出一種規(guī)律性，但是確定數(shù)學(xué)無法定量地揭示這種規(guī)律性。確定數(shù)學(xué)的這種局限性并沒有阻礙數(shù)學(xué)家的思考和尋求，一種專門適用于分析隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)工具也就成為十分必要的了。從而創(chuàng)立了隨機(jī)數(shù)學(xué)——概率理論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)。第95頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四

二、隨機(jī)數(shù)學(xué)的產(chǎn)生

概率和統(tǒng)計(jì)的歷史可以追溯到遙遠(yuǎn)的古代，比如，在公元前2000年的埃及古墓中已有正方體的骰子，在古代的游戲與賭博活動(dòng)中就有概率思想的雛型。但是概率論作為一門學(xué)科，則醞釀?dòng)?6世紀(jì)前后的兩百余年之間，產(chǎn)生于17世紀(jì)中期前后。

第96頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四

它的起源于賭博經(jīng)的“點(diǎn)問題”

1653年夏天，法國著名數(shù)學(xué)、物理學(xué)家帕斯卡(1623－1662）前往埔埃托鎮(zhèn)度假。旅途中，他遇到了騎士梅勒（M?re,1610～1685）。梅勒是經(jīng)常出沒于賭場(chǎng)的“賭壇老手”。為了消除旅途的寂寞，梅勒吹噓起“賭博經(jīng)”，并向帕斯卡提出了一個(gè)十分有趣的“分賭注”的問題。問題是這樣的：一次，梅勒與其賭友擲骰子．每人押了32個(gè)金幣的賭注，并約定，如果梅勒先擲出三個(gè)6點(diǎn)，或其賭友先擲出三個(gè)4點(diǎn)，便算贏家。第97頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四遺憾的是這場(chǎng)賭注不算小的賭博并未能順利結(jié)束。當(dāng)梅勒已擲出兩次6點(diǎn)，其賭友擲出一次4點(diǎn)時(shí)，梅勒接到通知，要他馬上陪同國王接見外賓。君命難違，但就此收回各自的賭注，又不甘心。他們只好按照已有的成績分取這64個(gè)金幣。這下可把他們難住了。賭友說，他要再碰上兩次4點(diǎn)，或梅勒要再碰上一次6點(diǎn)就算贏了，所以他有權(quán)分得梅勒的一半，即64個(gè)金幣的1/3。梅勒不同意這樣分，他說，即使下次賭友擲出一個(gè)4點(diǎn)，他還可得賭金的1/2，即32個(gè)金幣，再加上下次他還有一半希望得6點(diǎn)，這樣又可分得16個(gè)金幣，故他至少應(yīng)得64個(gè)金幣的3/4。誰是誰非，爭(zhēng)論不休，其結(jié)局也就不得而知了。不過梅勒對(duì)于此事卻一直耿耿于懷，所以當(dāng)他一碰到帕斯卡就立即求教。第98頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四帕斯卡經(jīng)過長時(shí)間的探索，還是不得要領(lǐng)。于是，在1654年，他不得不寫信與他的好友費(fèi)馬討論。向他提出一個(gè)賭博中的問題：“兩個(gè)賭徒相約賭若干局，誰先贏s局就算勝了，現(xiàn)在有甲贏a(a<s)局，乙贏b（b<s）局，賭博中止。問賭本應(yīng)怎樣分法才合理？”這被看作是數(shù)學(xué)史上最早的概率論文獻(xiàn),這個(gè)問題后來也就成為著名的“點(diǎn)問題”。第99頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四帕斯卡認(rèn)為，按條件甲已贏兩局，得2點(diǎn)；乙只贏—局，得1點(diǎn)。若再擲一次，則甲或者獲全勝(應(yīng)得賭金1=100%)；或與乙點(diǎn)數(shù)相等(應(yīng)得賭金1/2)。把這兩種情況平均一下，甲應(yīng)得賭金的乙應(yīng)得賭金的第100頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四費(fèi)馬則認(rèn)為，由于甲已得2點(diǎn)，乙已得1點(diǎn)，離賭博結(jié)束最多還要擲(s－a)+(s－b)－1=2次，因此結(jié)果有四種可能情況：

(甲、甲)；（甲、乙）；（乙、甲）；（乙、乙）在前三種情況下都是甲贏，只有最后一種情況乙獲勝。因此，甲有權(quán)分得賭金3/4，而乙只能分得賭金1/4。后來，帕斯卡在所著《論算術(shù)三角形》中給出了這一問題的通解：令m=s－a,n=s－b，則甲、乙兩人應(yīng)得賭金之比為：第101頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四

18世紀(jì)是概率論的正式形成和發(fā)展時(shí)期

1713年伯努利在《推想的藝術(shù)》中明確發(fā)現(xiàn)了概率論最重要的定律之一——“大數(shù)定律”。從此概率論從對(duì)特殊問題的求解，發(fā)展到了一般的理論概括。之后，法國數(shù)學(xué)家棣莫弗在1718年發(fā)表的《機(jī)遇原理》一書中提出了概率乘法法則，以及“正態(tài)分布”和“正態(tài)分布律”的概念，為概率論的“中心極限定理”建立奠定了基礎(chǔ)。

第102頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四§4數(shù)學(xué)史上的四次思想解放一、承認(rèn)“無理數(shù)”是對(duì)“萬物皆數(shù)”的思想解放

古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派集宗教、科學(xué)和哲學(xué)于一體，他們認(rèn)為“數(shù)”是萬物的本源，“數(shù)統(tǒng)治著宇宙”，支配著整個(gè)自然界和人類社會(huì)。他們所說的數(shù)是指整數(shù)。分?jǐn)?shù)的出現(xiàn)，使“數(shù)”不那樣完整了。但分?jǐn)?shù)都可以寫成兩個(gè)整數(shù)之比，所以他們的信仰沒有動(dòng)搖。萬物皆數(shù)以數(shù)為一個(gè)價(jià)值尺度去解釋自然，揭示了自然界的部分道理，可把數(shù)絕對(duì)化就不行了，就制約了人的思維。

第103頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四希伯索斯的發(fā)現(xiàn)被認(rèn)為是“荒謬”和違反常識(shí)的事。它不僅嚴(yán)重地違背了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信條，也沖擊了當(dāng)時(shí)希臘人的傳統(tǒng)見解。使當(dāng)時(shí)希臘數(shù)學(xué)家們深感不安，相傳希伯索斯因這一發(fā)現(xiàn)被投入海中淹死，這就是第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。

無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)推翻了畢達(dá)哥拉斯等人的信條。該學(xué)派中一個(gè)叫希帕索斯的學(xué)生在研究1與2的比例中項(xiàng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)沒有一個(gè)能用整數(shù)比例寫成的數(shù)可以表示它。第104頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四這場(chǎng)危機(jī)通過在幾何學(xué)中引進(jìn)不可通約量概念而得到解決。

兩個(gè)幾何線段，如果存在一個(gè)第三線段能同時(shí)量盡它們，就稱這兩個(gè)線段是可通約的，否則稱為不可通約的。正方形的一邊與對(duì)角線，就不存在能同時(shí)量盡它們的第三線段，因此它們是不可通約的。很顯然，只要承認(rèn)不可通約量的存在使幾何量不再受整數(shù)的限制，所謂的數(shù)學(xué)危機(jī)也就不復(fù)存在了。不可通約量的研究開始于公元前4世紀(jì)的歐多克斯，其成果被歐幾里得所吸收，部分被收入他的《幾何原本》中。第105頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四二、微積分的產(chǎn)生是第二次思想解放

第二次數(shù)學(xué)危機(jī)源于極限概念的提出。微積分的問題，實(shí)際上就是解決連續(xù)與極限的問題，我們也曾講過，古希臘芝諾反對(duì)無限連續(xù)，他在連續(xù)的門坎前設(shè)了四道屏障，這就是他提出的四個(gè)有名的悖論。二分法悖論、阿基里斯悖論、箭的悖論、操場(chǎng)悖論。第106頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四牛頓在發(fā)明微積分的時(shí)候合理地設(shè)想：?t越小，這個(gè)平均速度應(yīng)當(dāng)越接近物體在時(shí)刻t時(shí)的瞬時(shí)速度。這一新的數(shù)學(xué)方法，受到數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家熱烈歡迎。大家充分地運(yùn)用它，解決了大量過去無法問津的科技問題。但由于它邏輯上的不完備也招來了哲學(xué)上的非難甚至嘲諷與攻擊。貝克萊主教曾猛烈地攻擊牛頓的微分概念。第107頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四包括萊布尼茲對(duì)微積分的最初發(fā)現(xiàn)，也沒有明確極限的意思。因而，牛頓及其后一百年間的數(shù)學(xué)家，都不能有力地還擊貝克萊的這種攻擊。這就是數(shù)學(xué)史上所謂第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。英國大主教貝克萊于1734年發(fā)表文章攻擊說：“流數(shù)是消失了的量的鬼魂?！绷_爾曾說：“微積分是巧妙的謬論的匯集?！钡?08頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四三、非歐幾何的誕生是第三次思想解放

《幾何原本》公設(shè)①～④都是很容易接受的，對(duì)于“第五公設(shè)”有人想能否從中去掉它，然后由別的來代替。那么，唯一的辦法就是用別的定理去證明它也能獲得同樣結(jié)論。第一個(gè)做這件事的人就是僅與歐幾里得相差不到一世紀(jì)的著名天文學(xué)家、幾何學(xué)家托勒密，但沒有獲得成功。爾后到公元5世紀(jì)的普洛克拉斯，17世紀(jì)的沃利斯，也都沒有獲得什么進(jìn)展。直到19世紀(jì)初，所有用歐幾里得的公理去證明歐幾里得平行的公理的嘗試，都失敗了，它整整困惑了人們2000多年。第109頁，共121頁，2022年，5月20日，23點(diǎn)33分，星期四

這時(shí)，非歐幾何可以說已經(jīng)呼之欲出了。當(dāng)時(shí)德國高斯、俄國數(shù)學(xué)家羅巴契夫斯基等人各自獨(dú)立地認(rèn)識(shí)到這種證明是不可能的。羅巴契夫斯基在1830年前后發(fā)表了他們關(guān)于非歐幾何的理論。在這種新的非歐幾何中，替代