人教九年級數學知識點歸納

人教版九年級數學知識點歸納人教版九年級數學知識點歸納1/33人教版九年級數學知識點歸納新人教版九年級上冊數學知識點歸納第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程在一個等式中，只含有一個未知數，且未知數的最高次數是2次的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程有四個特點：(1)只含有一個未知數；(2)且未知數次數最高次數是2；(3)是整式方程．要判斷一個方程可否為一元二次方程，先看它可否為整式方程，若是，再對它進行整理．若是能整理為ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，則這個方程就為一元二次方程．（4）將方程化為一般形式：ax2+bx+c=0時，應滿足（a≠0）21.2降次——解一元二次方程解一元二次方程的基本思想方法是經過“降次”將它化為兩個一元一次方程。一元二次方程有四種解法：1、直接開平方法：用直接開平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解為x=±m(xù).直接開平方法就是平方的逆運算.平常用根號表示其運算結果.2、配方法經過配成完滿平方式的方法，獲取一元二次方程的根的方法。這類解一元二次方程的方法稱為配方法，配方的依照是完滿平方公式。1.轉變：將此一元二次方程化為ax^2+bx+c=0的形式(即一元二次方程的一般形式）2.系數化1：將二次項系數化為13.移項：將常數項移到等號右側4.配方：等號左右兩邊同時加前一次項系數一半的平方5.變形：將等號左邊的代數式寫成完滿平方形式6.開方：左右同時開平方7.求解：整理即可獲取原方程的根3、公式法公式法：把一元二次方程化成一般形式，爾后計算鑒識式△=b2-4ac的值，當b2-4ac≥0時，把各項系數a,b,c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)即可獲取方程的根。因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式，讓兩個一次因式分別等于零，獲取兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程所獲取的根，就是原方程的兩個根。這類解一元二次方程的方法叫做因式分解法。實責問題與一元二次方程列一元二次方程解應用題是列一元一次方程解應用題的連續(xù)和發(fā)展從列方程解應用題的方法來講，列出一元二次方程解應用題與列出一元一次方程解應用題是特別相似的，由于一元一次方程未知數是一次，因此這類問題大部分都可經過算術方法來解決．若是未知數出現二次，用算術方法就很困難了，正由于未知數是二次的，因此能夠用一元二次方程解決有關面積問題，經過兩次增加的平均增加率問題，數學問題中涉及積的一些問題，經營決策問題等等．第二十二章二次函數22.1二次函數及其圖像二次函數（quadraticfunction）是指未知數的最高次數為二次的多項式函數。二次函數能夠表示為y=ax2+bx+c(a不為0)。其圖像是一條主軸平行于y軸的拋物線。一般的，自變量x和因變量y之間存在以下關系：一般式y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數)，極點坐標為(-b/2a，(b2-4ac)/4a)；極點式y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k為常數)或y=a(x-h)２+k(a≠0,a、h、k為常數)，極點坐標為（h，k）對稱軸為x=h，極點的地址特點和圖像的張口方向與函數ｙ＝ax２的圖像同樣，有時題目會指出讓你用配方法把一般式化成極點式；交點式y=a(x-x1)(x-x2)[僅限于與x軸有交點A（x1，0）和B（x2，0）的拋物線]；重要見解：a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的張口方向，a>0時，張口方向向上，a<0時，張口方向向下。a的絕對值還可以夠決定張口大小,a的絕對值越大張口就越小,a的絕對值越小張口就越大。在平面直角坐標系中作出二次函數y=x2的平方的圖像，能夠看出，二次函數的圖像是一條永無止境的拋物線。y不同樣的二次函數圖像若是所畫圖形正確無誤，那么二次函數將是由一般式平移獲取的。軸對稱x1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a。對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的極點P。特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）極點2.拋物線有一個極點P，坐標為P(-b/2a，4ac-b2)/4a)當-b/2a=0時，P在y軸上；當Δ=b2-4ac=0時，P在x軸上。張口3.二次項系數a決定拋物線的張口方向和大小。當a＞0時，拋物線向上張口；當a＜0時，拋物線向下張口。|a|越大，則拋物線的張口越小。決定對稱軸地址的因素4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的地址。當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；由于若對稱軸在左邊則對稱軸小于0，也就是-b/2a<0,因此b/2a要大于0，因此a、b要同號當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。由于對稱軸在右側則對稱軸要大于0，也就是-b/2a>0,因此b/2a要小于0，因此a、b要異號可簡單記憶為左同右異，即當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時即ab＜0），對稱軸在y軸右。事實上，b有其自己的幾何意義：拋物線與y軸的交點處的該拋物線切線的函數解析式（一次函數）的斜率k的值。可經過對二次函數求導獲取。決定拋物線與y軸交點的因素5.常數項c決定拋物線與y軸交點。拋物線與y軸交于（0，c）拋物線與x軸交點個數6.拋物線與x軸交點個數Δ=b2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點。Δ=b2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。Δ=b2-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點。當a>0時，函數在x=-b/2a處獲取最小值,當a<0時，函數在x=-b/2a處獲取最大值當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸，7.特別值的形式①當x=１時y=a+b+c②當x=-1時y=a-b+c③當x=2時y=4a+2b+c④當x=-2時y=4a-2b+c用函數見解看一元二次方程21.若是拋物線yaxbxc與x軸有公共點，公共點的橫坐標是x0，那么當xx0時，函數的值是0，因此xx020的一個根。

就是方程axbxc2.二次函數的圖象與x軸的地址關系有三種：沒有公共點，有一個公共點，有兩個公共點。這對應著一元二次方程根的三種情況：沒有實數根，有兩個相等的實數根，有兩個不等的實數根。實責問題與二次函數在平常生活、生產和科研中，求使資料最省、時間最少、效率最高等問題，有些可歸納為求二次函數的最大值或最小值。第二十三章旋轉23.1圖形的旋轉1.圖形的旋轉（1）定義：在平面內，將一個圓形繞一個定點沿某個方向（順時針或逆時針）轉動一個角度，這樣的圖形運動叫做旋轉，這個定點叫做旋轉中心，轉動的角稱為旋轉角。（2）生活中的旋轉現象大體有兩大類：一類是物體的旋轉運動，如時鐘的時針、分針、秒針的轉動，風車的轉動等；另一類則是由某一基本圖形經過旋轉而形成的圖案，如香港特別行政區(qū)區(qū)旗上的紫荊花圖案。（3）圖形的旋轉不改變圖形的大小和形狀，旋轉是由旋轉中心和旋轉角所決定，旋轉中心能夠在圖形上也可以在圖形外。（4）會找對應點，對應線段和對應角。2.旋轉的基本特點：（1）圖形在旋轉時，圖形中的每一個點都繞旋轉中心旋轉了同樣大小的角度。（2）圖形在旋轉時，對應點到旋轉中心的距離相等，對應線段相等，對應角相等；（3）圖形在旋轉時，圖形的大小和形狀都沒有發(fā)生改變。3.幾點說明：（1）在理解旋轉特點時，第一要比較圖形，找出旋轉中心、旋轉方向、對應點、旋轉角。（2）旋轉的角度是對應線段的夾角或對應極點與旋轉中心連線的夾角。（3）旋轉中心的確定分兩種情況，即在圖形上或在圖形外，若在圖形上，哪一點旋轉過程中地址沒有改變，哪一點就是旋轉中心；若在圖形外，對應點連線的垂直均分線的交點就是旋轉中心。23.2中心對稱中心對稱：把一個圖形繞著某一點旋轉180°，若是它能夠與另一個圖形重合，那么這劉遇圖形關于這個點對稱或中心對稱。中心對稱的性質：①關于中心對稱的劉遇圖形，對應點所連線段都經過對稱中心，而且被對稱中心所均分。②關于中心對稱的劉遇圖形是全等形。中心對稱圖形：把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，若是旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形。對稱點的坐標規(guī)律：①關于x軸對稱：橫坐標不變，縱坐標互為相反數，②關于y軸對稱：橫坐標互為相反數，縱坐標不變，③關于原點對稱：橫坐標、縱坐標都互為相反數。23.3課題學習圖案設計靈便運用平移、旋轉、軸對稱等變換進行圖案設計．圖案設計就是經過圖形變換(平移、旋轉、軸對稱或幾種的組合)把基本圖形組成擁有必然意義的新圖形，圖案設計時不但要看可否正確使用了圖形變換，還要看圖案可否很好的表現了設計妄圖．第二十四章圓24.1圓定義：（1）平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓。（2)平面上一條線段，繞它的一端旋轉360°，留下的軌跡叫圓。圓心：（1）如定義（1）中，該定點為圓心（2）如定義（2）中，繞的那一端的端點為圓心。（3）圓任意兩條對稱軸的交點為圓心。（4）垂直于圓內任意一條弦且兩個端點在圓上的線段的二分點為圓心。注：圓心一般用字母O表示直徑：經過圓心，而且兩端都在圓上的線段叫做圓的直徑。直徑一般用字母d表示。半徑：連接圓心和圓上任意一點的線段，叫做圓的半徑。半徑一般用字母r表示。圓的直徑和半徑都有無數條。圓是軸對稱圖形，每條直徑所在的直線是圓的對稱軸。在同圓或等圓中：直徑是半徑的2倍，半徑是直徑的二分之一.d=2r或r=二分之d。圓的半徑或直徑決定圓的大小，圓心決定圓的地址。圓的周長：圍成圓的曲線的長度叫做圓的周長，用字母C表示。圓的周長與直徑的比值叫做圓周率。圓的周長除以直徑的商是一個固定的數，把它叫做圓周率，它是一個無量不循環(huán)小數（無理數），用字母π表示。計算時，平常取它的近似值，π≈3.14。直徑所對的圓周角是直角。90°的圓周角所對的弦是直徑。圓的面積公式：圓所占平面的大小叫做圓的面積。πr^2，用字母S表示。一條弧所對的圓周角是圓心角的二分之一。在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等。在同圓或等圓中，若是兩條弧相等，那么他們所對的圓心角相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等。在同圓或等圓中，若是兩條弦相等，那么他們所對的圓心角相等，所對的弧相等，所對的弦心距也相等。周長計算公式1.、已知直徑：C=πd2、已知半徑：C=2πr3、已知周長：π4、圓周長的一半:1\2周長(曲線)5、半圓的長：1\2周長+直徑面積計算公式：1、已知半徑：S=πr平方2、已知直徑：S=π（d\2）平方3、已知周長：S=π(c\2π)平方24.2點、直線、圓和圓的地址關系1.點和圓的地址關系①點在圓內點到圓心的距離小于半徑②點在圓上點到圓心的距離等于半徑③點在圓外點到圓心的距離大于半徑2.過三點的圓不在同素來線上的三個點確定一個圓。3.外接圓和外心經過三角形的三個極點能夠做一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓。外接圓的圓心是三角形三條邊垂直均分線的交點，叫做三角形的外心。4.直線和圓的地址關系訂交：直線和圓有兩個公共點叫這條直線和圓訂交，這條直線叫做圓的割線。相切：直線和圓有一個公共點叫這條直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個點叫做切點。相離：直線和圓沒有公共點叫這條直線和圓相離。5.直線和圓地址關系的性質和判斷若是⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，那么①直線l和⊙O訂交dr；②直線l和⊙O相切dr；③直線l和⊙O相離dr。圓和圓定義：兩個圓沒有公共點且每個圓的點都在另一個圓的外面時，叫做這兩個圓的外離。兩個圓有唯一的公共點且除了這個公共點外，每個圓上的點都在另一個圓的外面，叫做兩個圓的外切。兩個圓有兩個交點，叫做兩個圓的訂交。兩個圓有唯一的公共點且除了這個公共點外，每個圓上的點都在另一個圓的內部，叫做兩個圓的內切。兩個圓沒有公共點且每個圓的點都在另一個圓的內部時，叫做這兩個圓的內含。原理：圓心距和半徑的數量關系：兩圓外離＜＝＞d＞R+r兩圓外切＜＝＞d=R+r兩圓訂交＜＝＞R-r<d<R+r(R>＝r)兩圓內切＜＝＞d=R-r(R>r)兩圓內含＜＝＞d<R-r(R>r)24.3正多邊形和圓1、正多邊形的見解：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。2、正多邊形與圓的關系：(1)將一個圓n(n≥3)均分(能夠借助量角器)，依次連接各均分點所得的多邊形是這個圓的內接正多邊形。(2)這個圓是這個正多邊形的外接圓。3、正多邊形的有關見解：(1)正多邊形的中心——正多邊形的外接圓的圓心。(2)正多邊形的半徑——正多邊形的外接圓的半徑。(3)正多邊形的邊心距——正多邊形中心到正多邊形各邊的距離。(4)正多邊形的中心角——正多邊形每一邊所對的外接圓的圓心角。4、正多邊形性質：(1)任何正多邊形都有一個外接圓。(2)正多邊形都是軸對稱圖形，當邊數是偶數時，它又是中心對稱圖形，正n邊形的對稱軸有n條。(3)邊數同樣的正多邊形相似。重點：正多邊形的有關計算。知識解說1、正多邊形定義：各邊相等，各角也相等的多邊形叫正多邊形。比方：正三角形、正四邊形(正方形)、正六邊形等等。若是一個正多邊形有n條邊，那么，這個多邊形叫正n邊形。再如：矩形不是正多邊形，由于它只擁有各角相等，而各邊不用然相等；菱形不是正多邊形，由于，它只擁有各邊相等，而各角不用然相等。2、正多邊形與圓的關系。正多邊形與圓有親近關系，把圓分成n(n≥3)等份，依次連接分點所得的多邊形是這個圓的內接正n邊形。相鄰分點間的弧相等，則所對的弦(正多邊形的邊)相等，相鄰兩弦所夾的角(多邊形的每個內角)都相等，從而得出，所連的多邊形滿足了所有邊都相等，所有內角都相等，從而這個多邊形就是正多邊形。如：將圓6均分，即，則AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA。觀察∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F所對的弧能夠發(fā)現都是相等的弧，因此，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F。因此，將一個圓6均分，依次連接各分點所獲取的是⊙O的內接正六邊形。3、正多邊形的有關計算。(1)第一要明確與正多邊形計算的有關見解：即正多邊形的中心O，正多邊形的半徑Rn——就是其外接圓的半徑，正多邊形的邊心距rn，正多邊形的中心角αn，正多邊形的邊長an。(2)正n邊形的n條半徑把正n邊形分成n個全等的等腰三角形，等腰三角形的頂角就是正n邊形的中心角都等于；若是再作出正n邊形各邊的邊心距，這些邊心距又把這n個等腰三角形分成了2n個全等的直角三角形。如圖：是一個正n邊形ABCD??依照以上解說，我們來解析RtΔAOM的基本元素：斜邊OA——正n邊形的半徑Rn；一條直角邊OM——正n邊形的邊心距rn；一條直角邊AM——正n邊形的邊長an的一半即AM＝an；銳角∠AOM——正n邊形的中心角αn的一半即∠AOM＝；銳角∠OAM——正n邊形內角的一半即∠OAM＝[(n－2)·180°]；能夠看到在這個直角三角形中的各元素恰好反響了正n邊形的各元素。因此，就可以把正n邊形的有關計算歸納為解直角三角形的問題。4、正多邊形的有關作圖。(1)使用量角器來均分圓。由于在同圓中相等的圓心角所對的弧也相等，因此作相等的圓心角(即均分極點在圓心的周角)能夠均分圓；根據同圓中相等弧所對的弦相等，依次連接各分點即可畫出相應的正n邊形。(2)用尺規(guī)來均分圓。關于一些特其他正n邊形，還可以夠用圓規(guī)和直尺作出圖形。①正四、八邊形。在⊙O中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑即可把圓分成4等份，從而作出正四邊形。再逐次均分各邊所對的弧(即作∠AOB的均分線交于E)即可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數逐次倍增的正多邊形。②正六、三、十二邊形的作法。經過簡單計算可知，正六邊形的邊長與其半徑相等，因此，在⊙O中，任畫一條直徑AB，分別以A、B為圓心，以⊙O的半徑為半徑畫弧與⊙O訂交于C、D和E、F，則A、C、E、B、F、D是⊙O的6均分點。顯然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3均分點。同樣，在圖(3)中均分每條邊所對的弧，即可把⊙O12均分??。5、正多邊形的對稱性。正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都經過正n邊形的中心，若是正多邊形有偶數條邊，那么，它又是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心。如：正三角形、正方形。24.4弧長和扇形面積知識點1、弧長公式由于360°的圓心角所對的弧長就是圓周長C＝2R，因此1°的圓心角所對的弧長是，于是可得半徑為R的圓中，n°的圓心角所對的弧長l的計算公式：，說明：（1）在弧長公式中，n表示1°的圓心角的倍數，n和180都不帶單位“度”，比方，圓的半徑R＝10，計算20°的圓心角所對的弧長l時，不要錯寫成。（2）在弧長公式中，已知l，n，R中的任意兩個量，都能夠求出第三個量。知識點2、扇形的面積以下列圖，陰影部分的面積就是半徑為R，圓心角為n°的扇形面積，顯然扇形的面積是它所在圓的面積的一部分，由于圓心角是360°的扇形面積等于圓面積，因此圓心角為1°的扇形面積是，由此得圓心角為n°的扇形面積的計算公式是。又由于扇形的弧長，扇形面積，因此又獲取扇形面積的另一個計算公式：。知識點3、弓形的面積（1）弓形的定義：由弦及其所對的弧（包括劣弧、優(yōu)弧、半圓）組成的圖形叫做弓形。（2）弓形的周長＝弦長＋弧長（3）弓形的面積以下列圖，每個圓中的陰影部分的面積都是一個弓形的面積，從圖中能夠看出，只要把扇形OAmB的面積和△AOB的面積計算出來，就可以獲取弓形AmB的面積。當弓形所含的弧是劣弧時，如圖1所示，當弓形所含的弧是優(yōu)弧時，如圖2所示，當弓形所含的弧是半圓時，如圖3所示，注意：（1）圓周長、弧長、圓面積、扇形面積的計算公式。圓周長弧長圓面積扇形面積公式（2）扇形與弓形的聯系與差異（2）扇形與弓形的聯系與差異圖示面積知識點4、圓錐的側面積圓錐的側面張開圖是一個扇形，以下列圖，設圓錐的母線長為l，底面圓的半徑為r，那么這個扇形的半徑為l，扇形的弧長為2，圓錐的側面積，圓錐的全面積說明：（1）圓錐的側面積與底面積之和稱為圓錐的全面積。（2）研究有關圓錐的側面積和全面積的計算問題，重點是理解圓錐的側面積公式，并明確圓錐全面積與側面積之間的關系。知識點5、圓柱的側面積圓柱的側面積張開圖是矩形，以下列圖，其兩鄰邊分別為圓柱的高和圓柱底面圓的周長，若圓柱的底面半徑為r，高為h，則圓柱的側面積，圓柱的全面積知識小結：圓錐與圓柱的比較名稱圓錐圓柱圖形圖形的形成過由一個直角三角形旋轉由一個矩形旋轉獲取的，如矩形程獲取的，如Rt△SOA繞直線ABCD繞直線AB旋轉一周。SO旋轉一周。圖形的組成一個底面和一個側面兩個底面和一個側面?zhèn)让鎻堥_圖的扇形矩形特點面積計算方法第二十五章概率初步25.1隨機事件與概率1．隨機試驗與樣本空間擁有以下三個特點的試驗稱為隨機試驗：(1)試驗能夠在同樣的條件下重復地進行；·(2)每次試驗的可能結果不僅一個，但早先知道每次試驗所有可能的結果；(3)每次試驗前不能夠確定哪一個結果會出現．試驗的所有可能結果所組成的會集為樣本空間，用表示，其中的每一個結果用e表示，e稱為樣本空間中的樣本點，記作{e}．2．隨機事件在隨機試驗中，把一次試驗中可能發(fā)生也可能不發(fā)生、而在大量重復試驗中卻表現某種規(guī)律性的事情稱為隨機事件(簡稱事件)．平常把必然事件(記作)與不能夠能事件(記作)看作特其他隨機事件．3．頻率與概率的定義(1)頻率的定義設隨機事件A在n次重復試驗中發(fā)生了nA次，則比值nA／n稱為隨機事件A發(fā)生的頻率，記作f(A)n，即f(A)nnAn.(2)概率的統計定義在進行大量重復試驗中，隨機事件A發(fā)生的頻率擁有牢固性，即當試驗次數n很大時，頻率f(A)在一個n牢固的值p(0<p<1)周邊搖動，規(guī)定事件A發(fā)生的頻率的牢固值p為概率，即P(A)p．(3)古典概率的定義擁有以下兩個特點的隨機試驗的數學模型稱為古典概型：(i)試驗的樣本空間是個有限集，不如記作{e1,e2,L,e};n(ii)在每次試驗中，每個樣本點ei(i1,2,L,n）出現的概率同樣，即P({e})P({e})LP({en})12．在古典概型中，規(guī)定事件A的概率為P(A)A中所含樣本點的個數nA中所含樣本點的個數n．(4)幾何概率的定義若是隨機試驗的樣本空間是一個地域(能夠是直線上的區(qū)間、平面或空間中的地域)，且樣本空間中每個試驗結果的出現擁有等可能性，那么規(guī)定事件Ａ的概率為P(A)A的長度（或面積、體積）樣本空間的的長度（或面積、體積）·25.2用列舉法求概率1、當一次試驗中，可能出現的結果是有限個，而且各種結果發(fā)生的可能性相等時，能夠用被關注的結果在全部試驗結果中所占的比解析出事件中該結果發(fā)生的概率，此時可采用列舉法．2、列舉法就是把要數的對象一一列舉出來解析求解的方法．但有時一一列舉出的情況數量很大，此時需要考慮如何去消除不合理的情況，盡可能減少列舉的問題可能解的數量.3、利用列表法或樹形圖法求概率的重點是：①注意各種情況出現的可能性務必同樣；②其中某一事件發(fā)生的概率某一事件發(fā)生的次數各種情況出現的次數；③在觀察各種情況出現的次數和某一事件發(fā)生的次數時不能夠重復也不能夠遺漏；4、用列表法或樹形圖法求得的概率是理論概率，而實驗估計值是頻率，它平常碰到實驗次數的影響而產生波動，因此兩者不用然一致，實驗次數很多時，頻率牢固于概率，但其實不完滿等于概率。25.3用頻率估計概率在做大量重復試驗時，隨著試驗次數的增加，一個隨機事件出現的頻率應該牢固于該事件發(fā)生的概率。事件發(fā)生的頻率與概率既有差異又有聯系：事件發(fā)生的頻率不用然同樣，是個變數，而事件發(fā)生的概率是個常數；但它們之間又有親近的聯系，隨著試驗次數的增加，頻率越來越牢固于概率。在詳盡操作過程中，大家經常發(fā)現：誠然多次試驗結果的頻率逐漸牢固于概率，但可能無論做多少次試驗，兩者之間存在著必然的偏差。應該注意：這類偏差的存在是經常的，而且是正常的。其他，由于碰到某些因素的影響，經過試驗獲取的估計結果經常不太理想，甚至有可能出現極端情況，此時我們應正確地對待這樣的結果并試一試著對結果進行合理的解說。對試驗結果的頻率與理論概率的偏差的理解也是形成隨機見解的一個重要環(huán)節(jié)。在實質應用中，當試驗次數越大時，出現極端情況的可能性就越小。因此，我們經常經過做大量重復試驗來獲得事件發(fā)生的頻率，并用它作為概率的估計值。試驗次數越多，獲取的估計結果就越可靠。第二十六章反比率函數26.1知識點1反比率函數的定義一般地，形如ky（k為常數，k0）的函數稱為反比率函數，它能夠從以下幾個方面來理解：x⑴x是自變量，y是x的反比率函數；⑵自變量x的取值范圍是x0的一的確數，函數值的取值范圍是y0；⑶比率系數k0是反比率函數定義的一個重要組成部分；⑷反比率函數有三種表達式：①kyk0x②1ykx（k0），③xyk（定值）（k0）；⑸函數ky（k0）與xkx（k0）是等價的，因此當y是x的反比率函數時，x也是y的反比率函y數。（k為常數，k0）是反比率函數的一部分，當k=0時，ky，就不是反比率函數了，由于反比率函數xykx（k0）中，只有一個待定系數，因此，只要一組對應值，就可以求出k的值，從而確定反比率函數的表達式。26.2知識點2用待定系數法求反比率函數的解析式由于反比率函數ky（k0）中，只有一個待定系數，因此，只要一組對應值，就可以求出k的值，從而x確定反比率函數的表達式。26.3知識點3反比率函數的圖像及畫法反比率函數的圖像是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、第三象限或第二、第四象限，它們與原點對稱，由于反比率函數中自變量函數中自變量x0，函數值y0，因此它的圖像與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無量湊近坐標軸，但永遠達不到坐標軸。反比率的畫法分三個步驟：⑴列表；⑵描點；⑶連線。再作反比率函數的圖像時應注意以下幾點：①列表時采用的數值宜對稱采用；②列表時采用的數值越多，畫的圖像越精確；③連線時，必定依照自變量大小從左至右（或從右至左）用圓滑的曲線連接，切忌畫成折線；④畫圖像時，它的兩個分支應所有畫出，但切忌將圖像與坐標軸訂交。知識點4反比率函數的性質☆關于反比率函數的性質，主要研究它的圖像的地址及函數值的增減情況，以下表：反k比率函y（k0）數xk的k0k0符號圖像①x的取值范圍是①x的取值范圍是x0，y的取值范圍是x0，y的取值范圍是y0y0性質②當k0時，函數圖像的兩個分支分別在②當k0時，函數圖像的兩個分支分別在第一、第三象限，在每第二、第四象限，在每個象限內，y隨x的增大個象限內，y隨x的增大而減小。而增大。注意：描述函數值的增減情況時，必定指出“在每個象限內??”否則，抽象地說，當k0時，y隨x的增大而減小“，就會與事實不符的矛盾。反比率函數圖像的地址和函數的增減性，是有反比率函數系數k的符號決定的，反過來，由反比率函數圖像（雙曲線）的地址和函數的增減性，也能夠推斷出k的符號。如ky在第一、第三象限，則可知k0。x☆反比率函數ky（k0）中比率系數k的絕對值k的幾何意義。x以下列圖，過雙曲線上任一點P（x，y）分別作x軸、y軸的垂線，E、F分別為垂足，則kxyxyPFPES矩形OEPF☆反比率函數kkky（k0）中，k越大，雙曲線y越遠離坐標原點；k越小，雙曲線y越xxx湊近坐標原點?！铍p曲線是中心對稱圖形，對稱中心是坐標原點；雙曲線又是軸對稱圖形，對稱軸是直線y=x和直線y=－x。第二十七章相似27．1圖形的相似歸納若是兩個圖形形狀同樣,但大小不用然相等,那么這兩個圖形相似。（相似的符號：∽）判斷若是兩個多邊形滿足對應角相等，對應邊的比相等，那么這兩個多邊形相似。相似比相似多邊形的對應邊的比叫相似比。相似比為1時，相似的兩個圖形全等。性質相似多邊形的對應角相等，對應邊的比相等。相似多邊形的周長比等于相似比。相似多邊形的面積比等于相似比的平方。27．2相似三角形判斷1.兩個三角形的兩個角對應相等2.兩邊對應成比率,且夾角相等3.三邊對應成比率4.平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊延長線訂交，所組成的三角形與原三角形相似。例題∵∠A=∠A';∠B=∠B'∴△ABC∽△A'B'C'性質1.相似三角形的所有對應線段(對應高、對應中線、對應角均分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比。2.相似三角形周長的比等于相似比。3.相似三角形面積的比等于相似比的平方27．3位似若是兩個圖形不但是相似圖形，而且每組對應點的連線交于一點，對應邊互相平行，那么這兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比。性質:位似圖形的對應點和位似中心在同素來線上，它們到位似中心的距離之比等于相似比。位似多邊形的對應邊平行或共線。位似能夠將一個圖形放大或減小。位似圖形的中心能夠在任意的一點，但是位似圖形也會隨著位似中心的位變而位變。依照一個位似中心能夠作兩個關于已知圖形必然位似比的位似圖形,這兩個圖形分布在位似中心的兩側,并且關于位似中心對稱。注意1、位似是一種擁有地址關系的相似，因此兩個圖形是位似圖形，必然是相似圖形，而相似圖形不用然是位似圖形；2、兩個位似圖形的位似中心只有一個；3、兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側，也可能位于位似中心的一側；4、位似比就是相似比．利用位似圖形的定義可判斷兩個圖形可否位似；5、平行于三角形一邊的直線和其他兩邊訂交，所組成的三角形與原三角形位似。第二十八章銳角三角函數28．1銳角三角函數銳角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），（余割csc）都叫做角A的銳角三角函數。正弦（sin）等于對邊比斜邊，余弦（cos）等于鄰邊比斜邊正切（tan）等于對邊比鄰邊；直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的對邊比斜邊,余弦等于角A的鄰邊比斜邊正切等于對邊比鄰邊,28．2解直角三角形勾股定理，只適用于直角三角形（外國叫“畢達哥拉斯定理”）a^2+b^2=c^2,其中a和b分別為直角三角形兩直角邊，c為斜邊。勾股弦數是指一組能使勾股定理關系成立的三個正整數。比方：3，4，5。他們分別是3，4和5的倍數。直角三角形的特點A⑴直角三角形兩個銳角互余；⑵直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；⑶直角三角形中30°所對的直角邊等于斜邊的一半；D⑷勾股定理：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即：在Rt△ABC中，若∠C＝90°，則a2+b2=c2；CB⑸勾股定理的逆定理：若是三角形的一條邊的平方等于其他兩條邊的平方和，則這個三角形是直角三角形，即：在△ABC中，若a2+b2=c2，則∠C＝90°；⑹射影定理：AC2=ADgAB,BC2=BDgAB,CD2=DAgDB．A銳角三角函數的定義：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為