2022-2023學年高三數(shù)學理聯(lián)考試題含解析

2022-2023學年高三數(shù)學理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.平面四邊形中，，，將其沿對角線折成四面體，使平面平面，若四面體頂點在同一個球面上，則該球的體積為(

)A.

B.

C.

D.參考答案：A略2.運行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果S為(

)A．1007

B．1008

C．2013

D．2014參考答案：A3.拋物線的焦點坐標是

(A）（,0）(B)

（0,）(C）

(D)

參考答案：D考點：拋物線的焦點問題4.在平面直角坐標系xOy中，設F1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，P是雙曲線左支上一點，M是PF1的中點，且，，則雙曲線的離心率為（

）A．

B．

C.2

D．參考答案：B∵是的中點，是的中點，∴∥，又，∴，故為直角三角形．由雙曲線的定義可得，∴，在中，可得，即，整理得，∴．選B．

5.下列命題正確的是（）A．函數(shù)y=sin（2x+）在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增B．函數(shù)y=cos4x﹣sin4x的最小正周期為2πC．函數(shù)y=cos（x+）的圖象是關(guān)于點（，0）成中心對稱的圖形D．函數(shù)y=tan（x+）的圖象是關(guān)于直線x=成軸對稱的圖形參考答案：C【考點】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換；三角函數(shù)的周期性及其求法；余弦函數(shù)的對稱性；正切函數(shù)的奇偶性與對稱性．【分析】先根據(jù)x的范圍求出2x+的范圍，再由正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷A；根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角公式將y=cos4x﹣sin4x為y=Asin（wx+ρ）的形式，再由T=可判斷B；根據(jù)對稱中心的函數(shù)值等于0可判斷C，從而確定答案．【解答】解：∵x∈∴2x+∈（﹣，），∴y=sin（2x+）在區(qū)間內(nèi)是先增后減，排除A；∵y=cos4x﹣sin4x=cos2x﹣sin2x=cos2x，T=，排除B；令x=代入得到cos（+）=cos=0，∴點（，0）是函數(shù)y=cos（x+）的圖象的對稱中心，滿足條件．故選C．6.己知點P在直線上，點Q在直線上，中點且，則的范圍是(

)(A)

(B)(C)

(D)參考答案：A7.若的展開式中的系數(shù)為，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D8.已知三棱錐的各頂點都在一個半徑為的球面上，球心在上，底面，，則球的體積與三棱錐體積之比是（）A．

Ｂ． Ｃ．

D．

參考答案：A9.3名醫(yī)生和6名護士被分配到3所學校為學生體檢，每校分配1名醫(yī)生和2名護士．不同的分配方法共有（）A．90種 B．180種 C．270種 D．540種參考答案：D【考點】組合及組合數(shù)公式．【專題】計算題；綜合題．【分析】三所學校依次選1名醫(yī)生、2名護士，同一個學校沒有順序，可得不同的分配方法數(shù)．【解答】解：三所學校依次選醫(yī)生、護士，不同的分配方法共有：C31C62C21C42=540種．故選D．【點評】本題考查組合及組合數(shù)公式，考查計算能力，是基礎題．10.集合,,若,則（

）A．

B．

C.

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，E是DC的中點；如圖2，將△DAE沿AE折起，使折后平面DAE⊥平面ABCE，則異面直線AE和DB所成角的余弦值為

．參考答案：取的中點為，連接，，延長到使，連接，，，則∥，所以為異面直線和所成角或它的補角.∵∴，且在中，根據(jù)余弦定理得.∴同理可得，又∵平面平面，平面平面，平面∴平面∵平面∴∴，即同理可得，又∵∴在中，∵兩直線的夾角的取值范圍為∴異面直線和所成角的余弦值為故答案為.

12.當時,函數(shù)f(x)=log的圖象恒過定點A,若點A在直線mx-y+n=0上,則的最小值是

.參考答案：13.如圖，在A、B間有四個焊接點，若焊接點脫落，而可能導致電路不通，如今發(fā)現(xiàn)A、B之間線路不通，則焊接點脫落的不同情況有

種.

參考答案：13由題意知本題是一個分步計數(shù)問題，每個焊接點都有脫落與不脫落兩種狀態(tài)，電路不通可能是1個或多個焊接點脫落，問題比較復雜．但電路通的情況卻只有3種，即2或3脫落或全不脫落．∵每個焊接點有脫落與不脫落兩種情況，故共有24-3=13種情況，故答案為：1314.(考生請注意:請在下列三題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計分)A.(不等式選做題)已知a,b,m,n均為正數(shù),且a＋b＝1,mn＝2,則(am＋bn)(bm＋an)的最小值為

.

B.(幾何證明選做題)如圖,弦AB與CD相交于內(nèi)一點E,過E作BC的平行線與AD的延長線相交于點P.已知PD＝2DA＝2,則PE＝

.

C.(坐標系與參數(shù)方程選做題)如圖,以過原點的直線的傾斜角為參數(shù),則圓的參數(shù)方程為

.

參考答案：A.由科爾不等式可得（am+bn）（bm+an）≥（）2mn（a+b）2=2B.C.x=，y=，0≤＜A.

略B.

已知∠BCE=∠PED=∠BAP

∴PDE∽PEA∴

而PD=2DA=2

∴PA=3PE2=PA·PD=6

故PE=C.

x2+y2-x=0，（x-）2+y2=，以（）為圓心，為半徑，且過原點的圓，它的標準參數(shù)方程為x=，y=，0≤a＜2，由已知，以過原點的直線傾斜角為參數(shù)，則0≤＜，所以0≤2＜2，所以所求圓的參數(shù)方程為x=，y=，0≤＜

15.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(3,)，那么這個冪函數(shù)的解析式為

參考答案：16.復數(shù)z=（a2+a）+(a－1)i，a∈R，ｉ為虛數(shù)單位，在復平面上對應的點位于第三象限，則ａ的取值范圍是．（答案用區(qū)間表示）參考答案：17.在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個“類”，記為，即.給出如下四個結(jié)論：①2011∈[1]；②－3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整數(shù)a，b屬于同一‘類’”的充要條件是“a－b∈[0]”.其中，正確的結(jié)論的個數(shù)是

．參考答案：3，，真；，，假；顯然③真；若則,,則,若,則,，,④真.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=，其中a，b∈R．（Ⅰ）當a＜0時，且f（x）為奇函數(shù)，求f（x）的表達式；（Ⅱ）當a＞0時，且f（x）在（﹣1，1）上單調(diào)遞減，求b﹣a的值．參考答案：【考點】3E：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；5B：分段函數(shù)的應用．【分析】（Ⅰ）運用奇函數(shù)的性質(zhì)f（0）=0，可得a，再求x＜0的解析式，進而得到b=1，即可得到f（x）的解析式；（Ⅱ）當a＞0時，且f（x）在（﹣1，1）上單調(diào)遞減，則有，運用不等式的性質(zhì)，即可得到a=1，b=﹣1，進而得到b﹣a．【解答】解：（Ⅰ）由于f（x）為奇函數(shù)，則f（0）=a2﹣1=0，由a＜0，則a=﹣1，x≥0時，f（x）=（x+1）2﹣1，則x＜0，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[（﹣x+1）2﹣1]=﹣（x﹣1）2+1=﹣（x﹣b）2+1，即有b=1，故f（x）=；（Ⅱ）當a＞0時，且f（x）在（﹣1，1）上單調(diào)遞減，則，則有a2≥1，b2≥1，a2+b2≥2，又a2+b2≤2，即有a2+b2=2，即a=1，b=﹣1，則有b﹣a=﹣2．19.已知橢圓C：的離心率，且圓過橢圓C的上，下頂點.（1）求橢圓C的方程.（2）若直線l的斜率為，且直線l交橢圓C于P、Q兩點，點P關(guān)于點的對稱點為E，點是橢圓C上一點，判斷直線AE與AQ的斜率之和是否為定值，如果是，請求出此定值：如果不是，請說明理.參考答案：（1）；（2）是，0.【分析】(1)根據(jù)已知條件,求出,即可得到橢圓方程;(2)設直線的方程為,將其代入橢圓方程后,根據(jù)韋達定理以及斜率公式變形,可得答案.【詳解】（1）因為圓過橢圓的上，下頂點，所以，又離心率，所以，于是有，解得，.所以橢圓的方程為；（2）由于直線的斜率為，可設直線的方程為，代入橢圓：，可得.由于直線交橢圓于、兩點，所以，整理解得設點、，由于點與點關(guān)于原點的對稱，故點，于是有，.若直線與的斜率分別為，，由于點，則，又∵，.于是有，故直線與的斜率之和為0，即.【點睛】本題考查了求橢圓方程,考查了韋達定理,考查了斜率公式,考查了運算求解能力,屬于中檔題.20.（本題滿分12分）在正三角形ABC中,E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點,且滿足===(如圖(1)),將△AEF沿EF折起到△EF的位置,使二面角EFB成直二面角,連接B、P(如圖(2)).(1)求證:E⊥平面BEP;(2)求直線E與平面BP所成角的大小.參考答案：(1)不妨設正三角形ABC的邊長為3,則在圖(1)中,取BE的中點D,連接DF,∵===,∴FA=AD=2.又∠A=60°,則△ADF是正三角形.又AE=ED=1,∴EF⊥AD,∴在圖(2)中有E⊥EF,BE⊥EF,∴∠EB為二面角EFB的平面角,∵二面角EFB為直二面角,∴E⊥BE.又∵BE∩EF=E,∴E⊥平面BEF,即E⊥平面BEP.

(2)由(1)可知E⊥平面BEP,BE⊥EF,建立如圖所示的空間直角坐標系,則E(0,0,0),(0,0,1),B(2,0,0).連接DP,由(1)知EFDP,DEFP,故點P的坐標為(1,,0),∴=(2,0,-1),=(-1,,0),=(0,0,1),不妨設平面BP的法向量=(x,y,z),則,令y=,得=(3,,6),∴cos<,>===,則直線E與平面BP所成角的正弦值為,故直線E與平面BP所成角的大小為.21.（本小題滿分12分）某公司銷售、、三款手機，每款手機都有經(jīng)濟型和豪華型兩種型號，據(jù)統(tǒng)計月份共銷售部手機（具體銷售情況見下表）

款手機款手機款手機經(jīng)濟型豪華型已知在銷售部手機中，經(jīng)濟型款手機銷售的頻率是.（Ⅰ）現(xiàn)用分層抽樣的方法在、、三款手機中抽取部，求在款手機中抽取多少部？（Ⅱ）若，求款手機中經(jīng)濟型比豪華型多的概率.參考答案：解：（Ⅰ）因為，所以

………………2分所以手機的總數(shù)為：………………3分現(xiàn)用分層抽樣的方法在在、、三款手機中抽取部手機，應在款手機中抽取手機數(shù)為（部）.…………………5分（Ⅱ）設“款手機中經(jīng)濟型比豪華型多”為事件，款手機中經(jīng)濟型、豪華型手機數(shù)記為，因為，，滿足事件的基本事件有：，，，，，，，，，，，共個事件包含的基本事件為，，，，，，共7個。

所以即款手機中經(jīng)濟型比豪華型多的概率為……………12分

22.（本小題滿分12分）已知函數(shù)

.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）證明：.

參考答案：解：（1）的定義域為（0，+∞），…2分當時，＞0，故在（0，+∞）單調(diào)遞