專題06+導數(shù)的幾何意義靈活應用(文)

專題06導數(shù)的幾何意義靈活應用【學習目標】1．了解導數(shù)概念的實際背景．2．理解導數(shù)的意義及幾何意義．3?能根據(jù)導數(shù)定義求函數(shù)y=CC為常數(shù)，y=,y=2,y=3,y=,y=的導數(shù)．4?能利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)運算法則進行某些函數(shù)的求導.【知識要點】1?平均變化率及瞬時變化率1函數(shù)y=f從到的平均變化率用 表示,且=122函數(shù)y=f在=處的瞬時變化率是：0lim=limAx—0Ax—02?導數(shù)的概念1函數(shù)y=f在=0處的導數(shù)就是函數(shù)y=f在=0處的瞬時變化率,記作00f或y，|=，即f=lim0 0 0AxtO【詳解】y=3的導數(shù)為y'=32，設切點為(m,m3),可得切線的斜率為3m2，切線的方程為y-山3=3山2(-m),若3=3m2(0-m),解得m=0,只有一解；

若3=3m2(0-m),可得山3=-2,只有一解；若3=3m2(1-m),可得2m3-3m21=0,i即為(m-1)2(2m1)=0,解得m=1或-」，有兩解;若3=3m2(-2-m),可得2m36m2-1=0,由f(m)=2m36m2-1,f'(m)=6m212m,當-2VmV0時，f(m)遞減；當m>0或mV-2時，f(m)遞增.可得f(0)=-1為極小值，f(-2)=7為極大值,則2m36m2-1=0有3個不等實數(shù)解.故選：C.練習3?過點A2,1作曲線的切線最多有A.3條B.2條C?1條D.0條【答案】A【解析】設切點為:二…，則切線方程為；'「7—因為過A2,1,所以■- ----"■'令￡.二二-?'- -'=￡二'-二工二?=.二二工二2三一m八-「兀所以g(x)=0有三個零點，即切線最多有3條，選A6與切線有關的范圍問題f(盂)f(盂)={例6.已知弘丄=0<a<2工十1,若=1''十匸-：的圖象與x軸有3個不同的交點，則實數(shù)a的取值范圍為()A._ln31「B._ln311C?1110,—D?\‘丄1L3'2eJL3，eJ(e丿L2e丿

【答案】B【解析】由分段函數(shù)畫出y=|f|的圖像，即直線y=ax+a與y=|f|的圖像有三個不同交點，:-…一二-心---，直線過定點c,kc,kBc二罟,kAc一14，°<x<2時,「=1'"十上:設切點為（t,in（t+1）），則切線方程為二「，過C-1,0,代入得t二e-1,即切點為:廠'":，兩個圖像要有三個交點，所以ln3<k<1，即In!<a<1，選3e 3eB【點睛】本題把方程根的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩個函【點睛】本題把方程根的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)交點個數(shù)問題，一般適用于，兩個不同類函數(shù)求零點個數(shù)問題，而且兩個函數(shù)均容易畫出，盡量使得只有一個函數(shù)帶有參數(shù)，即一個函數(shù)為定函數(shù),另一個函數(shù)為動態(tài)函數(shù)，再根據(jù)要求找出合適位置的圖像及參數(shù)范圍。練習1?已知函數(shù)? ，若過點M（3,t）可作曲線y=f（x）的三條切線，則實數(shù)t的取值范圍是A?（―9,18）B?（―18,18）C?（―18,6）D?（—6,6）

【答案】A【解析】由.■工二"-注，得■■■ ，設切點為，曲線fgd在點C,a3-3a）處的切線方程為［扌-加卜汕-打⑺-可，因為該切線過點M（3,t），所以「弗二汀“「?：，即_p有三個零點，即直線y=t和函數(shù)「一亠一的圖象有三個公共點，因為^1.vl=-6.Yl.v-3），則g（x）在（F?=|3Z］單調(diào)遞減，在（0,3）上單調(diào)遞增，且當x=0時，函數(shù)g（x）取得極大值為g（0）=-9，當x=3時，函數(shù)g（x）取得極小值為g（3）=—18，_-m練習2.已知定義在r丄,訂上的函數(shù)f（x），滿足八戸匚衛(wèi)，且當x占,訂時f（x）=lnx，若函數(shù)= 在r丄,訂上有唯一的零點，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.丄,兀In兀IeA.丄,兀In兀IeB.}jk7Tn:血范--{0}-C?朋」年-{0}[o,兀In兀]D?''工 -【答案】D【解析】"xG[1,xG[1,兀]時'f(x)=lnx，時,-e[l:^]:/-e[l:^]:/；-=1叱=打兀）畫出兩函數(shù)圖象，如圖，由圖知，冗，-—?：，g(x)零點,就是y=f(x)與y=ax的交點,過原點與y二lnx相切的直線斜率為，所有直線與曲線有一個交點的a的范圍是沁八叫故選D【方法點睛】本題主要考查分段函數(shù)的解析式以及函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題已知函數(shù)有零點方程有根求參數(shù)取值范圍的三種常用的方法：1直接法：直接根據(jù)題設條件構(gòu)建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；2分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；3數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.7已知切線求參數(shù)范圍例7?若直線■二:與曲線’ ：相切，則I：的值為()1A.B?iC.—D.【答案】C【解析】函數(shù)求導后由切線斜率可得切點橫坐標，進而利用切點橫坐標代入直線和曲線，由縱坐標相等得到打二一—一］，從而得解【詳解】由.f〔門=-:,求導得=二由直線丁=X—瀉曲線心〕=王:-丄相切J可得切點橫坐標為X=:舗＞0）.故7一“噸一代:?整理得：j■二—加—2.故選C.所D-：：口：-2b=Una-lb=2：3氐一皿故選C.練習1?已知定義在;:上的函數(shù);：的圖像關于直線：：|對稱，且當■時，「，過點C作曲線Ag的兩條切線，若這兩條切線互相垂直，則該函數(shù)；的最小值為（）1 3A. B? C? D?【答案】Bgj【解析】當―:時， 川 ，可得函數(shù)打在「--、-：■:為增函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的對稱性可得函數(shù)的最小值為「、廠,進而分析可得點幾兒作曲線「的兩條切線的斜率「」,設I右側(cè)的切點為⑴川"：：，求出函數(shù)的導數(shù)，由導m-a數(shù)的幾何意義可得、：：；=，卩?一】.■.：m-a1.分析可得當「一7時,即.分析可得當「一7時,【詳解】根據(jù)題意,則函數(shù)"在"F為增函數(shù),又由函數(shù),；;的圖象關于直線.；舅對稱，函數(shù),；:;在：小.;:為減函數(shù)，所以函數(shù)的最小值為;點■上，作曲線...=:的兩條切線，則兩條切線的關于直線：二對稱，即兩條切線的斜率互為相反數(shù)，若兩條切線互相垂直，切線的斜率-1，設;■二:?右側(cè)的切點為'）■■-:「，因為,：,=—■■，所以導數(shù)./■則有:i，即:―二[，①嚴加-0-又由切線過點Y，可得—'，即-■>.'，解可得②聯(lián)立①②可得.=I則函數(shù)；?:的最小值為d」'=?，故選B【點睛】本題主要考查導數(shù)的幾何意義以及直線的斜率公式，屬于中檔題應用導數(shù)的幾何意義求切點處切線的斜率，主要體現(xiàn)在以下幾個方面：1已知切點'C, 求斜率，，即求該點處的導數(shù)2己知斜率「?求切點占陽％））?即解方程3巳知切線過某點呻祖衍））不是切點求切點，設出切點f利用 廠…"求解“ 1 U7 ]練習2?已知曲線■'' ■' !，與直線'.相切，且滿足條件的?.值有且只有3個，則實數(shù)的取值范圍是（）A.|i—.「B?、?C.|；—「D?-■【答案】B【解析】設切點亠八…,求出切線方程為7汕心，將:二;:代入，可得：亠\宀亍只需使該方程丄八2 1z1有三個根即可，利用導數(shù)研究函數(shù)數(shù)^』廠廠匕的單調(diào)性，令其極大值大于零，極小值小于零列不等式可得結(jié)果【詳解】由題意得：D.，—,設切點八；'：則其切線的斜率為一；所以切線方程為一;;，_，又點::：:;在切線上，TOC\o"1-5"\h\z?] 1 口 2 1 1?一呂+尹一尹*玄=（』+皿-可（0"）艮即亠尹十訂023 1 2 1 2 1z1由題意得，方程有三個不同的實數(shù)解，記^、￡_廠’人，a a則d—-泊，當Z：時，令U】'」，解得—或'"/，令:解得八’、上,則函數(shù)A在「V上單調(diào)遞增，在:丁:上單調(diào)遞減，在1■■■■■上單調(diào)遞增,1f口 2j1 2 1???r:一;，叮=/■???要使方程「一廠亠嚴有三個不同的實數(shù)解，]a則:門,解得-.■>/,實數(shù)?.的取值范圍是m，故選B【點睛】本題主要考查利用導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值以及函數(shù)的零點，屬于難題對于與“三次函數(shù)”的零點個數(shù)問題，往往考慮函數(shù)的極值符號來解決，設函數(shù)的極大值為「嚴.：，極小值為/■：■■-,■：：一個零點V.M或g■-：!；兩個零點;*、「或二￥二鳥三個零點gm且8導數(shù)幾何意義綜合例8?設過曲線.：-m（為自然對數(shù)的底數(shù)）上任意一點處的切線為，總存在過曲線''''' "■上一點處的切線，使得I-■：，則實數(shù)「的取值范圍為（）A.|「；|B?—C.|一：汕?丨一：：|【答案】C【解析】分析：先設切點，根據(jù)導數(shù)幾何意義表現(xiàn)切線斜率，根據(jù)切線垂直得等量關系，最后根據(jù)任意性與存在性轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域包含問題求解詳解：因為切線- 的切點分別為小兒以而，所以-…?…：工 1[e1+1][=??2匸EKfJTjl=■1B +2匚口百JT?=因為：爲所以1 宦（0. 1} *口亡2cosjtj￡[a—2,u+2]因為，所以I'1':7因此:.■-'-■.選C點睛:對于方程任意或存在性問題，一般轉(zhuǎn)化為對應函數(shù)值域包含關系，即I上」Qd「-兒:;的值域包含于：=八的值域;0?八7-2」.U的值域與.'的值域交集非空練習1?已知函數(shù);：■!=.■/..-■的圖象與直線：’?'?；「'：?恰有三個公共點，這三個點的橫坐標從小到大分別為1「代，則I： ；A.B?C0D?1【答案】B恰有三個公共點即直線與;p的圖象相切于B,C兩點,n小.◎；'1才..，「爲且rWsin'Zx^廠（七）=2cos2x3=ifJfi=——-.?.r’二■' 7-jf3rr-2jt3一斗「一.故答案為：B點睛：本題考查函數(shù)零點問題函數(shù)零點問題有兩種解決方法，一個是利用二分法求解，另一個是化原函數(shù)為兩個函數(shù)，利用兩個函數(shù)的交點來求解本題采用第二種方法，充分利用函數(shù)的中心對稱性及相切的關系布列方程即可練習2?已知I：,2十.I是函數(shù)'=-.-I圖像上的兩個不同點且在第兩點處的切線互相平行，則的取值范圍是（）A.i.iB.i,‘C?cD?in【答案】D【解析】由題意當》時,；—一,當―時，「".，：：?,因為在J兩點處的切線互相平行，且<>■：,所以以否則根據(jù)導數(shù)相等得出「兩點重合，所以在點宀"一;處切線的斜率為門r-丿-,在點■'■；■：.■：；處切線的斜率為「卩-所以1-—*,T"7=1即―r表示的曲線為雙曲線在第四象限的部分，如圖：表示這個曲線上的點與原點連線的斜率，由圖可知取值范圍是:...：；,故選D題時先對原函數(shù)求導并判斷，然后利用導數(shù)求出的范圍，因此解本題的關鍵是把問題轉(zhuǎn)化成圖形的幾何意義來求解9與最值有關切線問題例9?點p是曲線「二上任意一點，則點p到直線-的最短距離為（）打＜2【答案】D【解析】設戸二丁-此一-，因y/=2x-1，故切線的斜率k=2t-1，由題意當切x t線與直線---平行時，切點P到這條直線的距離最小，所以2t-1=1，解ta—―———r住之得t=1，t=-1應舍去，故P（1,1）到直線的距離血 ，故應選D考點：導數(shù)的幾何意義及但點到直線的距離公式的綜合運用【易錯點晴】導數(shù)是研究和刻畫函數(shù)的單調(diào)性和極值等的重要工具，也是中學數(shù)學中的重要知識點和髙考命題的重要內(nèi)容和考點本題以「二廠f所滿足等式條件為背景，考查的是函數(shù)求導法則及導數(shù)的幾何意義的靈活運用求解時先運用求導法則求出函數(shù)「二"-l[1的導數(shù)為y/=2X-1，然后依據(jù)X題設求出切線與直線-■-■=-平行時，切點P到這條直線的距離最小，所以2t-1=1，解之得t=1，t=-1，求