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文檔簡介
2022年高考數(shù)學模擬試卷注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.隨著人民生活水平的提高,對城市空氣質量的關注度也逐步增大,下圖是某城市月至月的空氣質量檢測情況,圖中一、二、三、四級是空氣質量等級,一級空氣質量最好,一級和二級都是質量合格天氣,下面敘述不正確的是()A.1月至8月空氣合格天數(shù)超過天的月份有個B.第二季度與第一季度相比,空氣達標天數(shù)的比重下降了C.8月是空氣質量最好的一個月D.6月份的空氣質量最差.2.已知,,則()A. B. C. D.3.復數(shù)的虛部為()A.—1 B.—3 C.1 D.24.函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象,并且函數(shù)在區(qū)間上單調遞增,在區(qū)間上單調遞減,則實數(shù)的值為()A. B. C.2 D.5.已知集合,,則()A. B.C. D.6.已知集合,,則=()A. B. C. D.7.記集合和集合表示的平面區(qū)域分別是和,若在區(qū)域內任取一點,則該點落在區(qū)域的概率為()A. B. C. D.8.已知函數(shù)的一條切線為,則的最小值為()A. B. C. D.9.已知命題,;命題若,則,下列命題為真命題的是()A. B. C. D.10.設復數(shù)滿足,在復平面內對應的點為,則()A. B. C. D.11.已知是雙曲線的左右焦點,過的直線與雙曲線的兩支分別交于兩點(A在右支,B在左支)若為等邊三角形,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.12.若P是的充分不必要條件,則p是q的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若雙曲線的離心率為,則雙曲線的漸近線方程為______.14.曲線f(x)=(x2+x)lnx在點(1,f(1))處的切線方程為____.15.在中,,,,則________,的面積為________.16.如圖,橢圓:的離心率為,F(xiàn)是的右焦點,點P是上第一角限內任意一點,,,若,則的取值范圍是_______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知點和橢圓.直線與橢圓交于不同的兩點,.(1)當時,求的面積;(2)設直線與橢圓的另一個交點為,當為中點時,求的值.18.(12分)已知橢圓C:(a>b>0)過點(0,),且滿足a+b=3.(1)求橢圓C的方程;(2)若斜率為的直線與橢圓C交于兩個不同點A,B,點M坐標為(2,1),設直線MA與MB的斜率分別為k1,k2,試問k1+k2是否為定值?并說明理由.19.(12分)已知橢圓的左、右焦點分別為、,點在橢圓上,且.(Ⅰ)求橢圓的標準方程;(Ⅱ)設直線與橢圓相交于、兩點,與圓相交于、兩點,求的取值范圍.20.(12分)已知拋物線,過點的直線交拋物線于兩點,坐標原點為,.(1)求拋物線的方程;(2)當以為直徑的圓與軸相切時,求直線的方程.21.(12分)有最大值,且最大值大于.(1)求的取值范圍;(2)當時,有兩個零點,證明:.(參考數(shù)據(jù):)22.(10分)近年來,隨著“霧霾”天出現(xiàn)的越來越頻繁,很多人為了自己的健康,外出時選擇戴口罩,在一項對人們霧霾天外出時是否戴口罩的調查中,共調查了人,其中女性人,男性人,并根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)畫出等高條形圖如圖所示:(1)利用圖形判斷性別與霧霾天外出戴口罩是否有關系并說明理由;(2)根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)建立一個列聯(lián)表;(3)能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為性別與霧霾天外出戴口罩的關系.附:
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【解析】由圖表可知月空氣質量合格天氣只有天,月份的空氣質量最差.故本題答案選.2.D【解析】
分別解出集合然后求并集.【詳解】解:,故選:D【點睛】考查集合的并集運算,基礎題.3.B【解析】
對復數(shù)進行化簡計算,得到答案.【詳解】所以的虛部為故選B項.【點睛】本題考查復數(shù)的計算,虛部的概念,屬于簡單題.4.C【解析】由函數(shù)的圖象向右平移個單位得到,函數(shù)在區(qū)間上單調遞增,在區(qū)間上單調遞減,可得時,取得最大值,即,,,當時,解得,故選C.點睛:本題主要考查了三角函數(shù)圖象的平移變換和性質的靈活運用,屬于基礎題;據(jù)平移變換“左加右減,上加下減”的規(guī)律求解出,根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上單調遞增,在區(qū)間上單調遞減可得時,取得最大值,求解可得實數(shù)的值.5.C【解析】
求出集合,計算出和,即可得出結論.【詳解】,,,.故選:C.【點睛】本題考查交集和并集的計算,考查計算能力,屬于基礎題.6.C【解析】
計算,,再計算交集得到答案.【詳解】,,故.故選:.【點睛】本題考查了交集運算,意在考查學生的計算能力.7.C【解析】
據(jù)題意可知,是與面積有關的幾何概率,要求落在區(qū)域內的概率,只要求、所表示區(qū)域的面積,然后代入概率公式,計算即可得答案.【詳解】根據(jù)題意可得集合所表示的區(qū)域即為如圖所表示:的圓及內部的平面區(qū)域,面積為,集合,,表示的平面區(qū)域即為圖中的,,根據(jù)幾何概率的計算公式可得,故選:C.【點睛】本題主要考查了幾何概率的計算,本題是與面積有關的幾何概率模型.解決本題的關鍵是要準確求出兩區(qū)域的面積.8.A【解析】
求導得到,根據(jù)切線方程得到,故,設,求導得到函數(shù)在上單調遞減,在上單調遞增,故,計算得到答案.【詳解】,則,取,,故,.故,故,.設,,取,解得.故函數(shù)在上單調遞減,在上單調遞增,故.故選:.【點睛】本題考查函數(shù)的切線問題,利用導數(shù)求最值,意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.9.B【解析】解:命題p:?x>0,ln(x+1)>0,則命題p為真命題,則¬p為假命題;取a=﹣1,b=﹣2,a>b,但a2<b2,則命題q是假命題,則¬q是真命題.∴p∧q是假命題,p∧¬q是真命題,¬p∧q是假命題,¬p∧¬q是假命題.故選B.10.B【解析】
設,根據(jù)復數(shù)的幾何意義得到、的關系式,即可得解;【詳解】解:設∵,∴,解得.故選:B【點睛】本題考查復數(shù)的幾何意義的應用,屬于基礎題.11.D【解析】
根據(jù)雙曲線的定義可得的邊長為,然后在中應用余弦定理得的等式,從而求得離心率.【詳解】由題意,,又,∴,∴,在中,即,∴.故選:D.【點睛】本題考查求雙曲線的離心率,解題關鍵是應用雙曲線的定義把到兩焦點距離用表示,然后用余弦定理建立關系式.12.B【解析】
試題分析:通過逆否命題的同真同假,結合充要條件的判斷方法判定即可.由p是的充分不必要條件知“若p則”為真,“若則p”為假,根據(jù)互為逆否命題的等價性知,“若q則”為真,“若則q”為假,故選B.考點:邏輯命題二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
利用,得到的關系式,然后代入雙曲線的漸近線方程即可求解.【詳解】因為雙曲線的離心率為,所以,即,因為雙曲線的漸近線方程為,所以雙曲線的漸近線方程為.故答案為:【點睛】本題考查雙曲線的幾何性質;考查運算求解能力;熟練掌握雙曲線的幾何性質是求解本題的關鍵;屬于基礎題.14.【解析】
求函數(shù)的導數(shù),利用導數(shù)的幾何意義即可求出切線方程.【詳解】解:∵,
∴,
則,
又,即切點坐標為(1,0),
則函數(shù)在點(1,f(1))處的切線方程為,
即,
故答案為:.【點睛】本題主要考查導數(shù)的幾何意義,根據(jù)導數(shù)和切線斜率之間的關系是解決本題的關鍵.15.【解析】
利用余弦定理可求得的值,進而可得出的值,最后利用三角形的面積公式可得出的面積.【詳解】由余弦定理得,則,因此,的面積為.故答案為:;.【點睛】本題考查利用余弦定理解三角形,同時也考查了三角形面積的計算,考查計算能力,屬于基礎題.16.【解析】
由于點在橢圓上運動時,與軸的正方向的夾角在變,所以先設,又由,可知,從而可得,而點在橢圓上,所以將點的坐標代入橢圓方程中化簡可得結果.【詳解】設,,,則,由,得,代入橢圓方程,得,化簡得恒成立,由此得,即,故.故答案為:【點睛】此題考查的是利用橢圓中相關兩個點的關系求離心率,綜合性強,屬于難題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2)或【解析】
(1)聯(lián)立直線的方程和橢圓方程,求得交點的橫坐標,由此求得三角形的面積.(2)法一:根據(jù)的坐標求得的坐標,將的坐標都代入橢圓方程,化簡后求得的坐標,進而求得的值.法二:設出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程,化簡后寫出根與系數(shù)關系,結合求得點的坐標,進而求得的值.【詳解】(1)設,,若,則直線的方程為,由,得,解得,,設直線與軸交于點,則且.(2)法一:設點因為,,所以又點,都在橢圓上,所以解得或所以或.法二:設顯然直線有斜率,設直線的方程為由,得所以又解得或所以或所以或.【點睛】本小題主要考查直線和橢圓的位置關系,考查橢圓中三角形面積的求法,考查運算求解能力,屬于中檔題.18.(1)(2)k1+k2為定值0,見解析【解析】
(1)利用已知條件直接求解,得到橢圓的方程;(2)設直線在軸上的截距為,推出直線方程,然后將直線與橢圓聯(lián)立,設,利用韋達定理求出,然后化簡求解即可.【詳解】(1)由橢圓過點(0,),則,又a+b=3,所以,故橢圓的方程為;(2),證明如下:設直線在軸上的截距為,所以直線的方程為:,由得:,由得,設,則,所以,又,所以,故.【點睛】本題主要考查了橢圓的標準方程的求解,直線與橢圓的位置關系的綜合應用,考查了方程的思想,轉化與化歸的思想,考查了學生的運算求解能力.19.(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)利用勾股定理結合條件求得和,利用橢圓的定義求得的值,進而可得出,則橢圓的標準方程可求;(Ⅱ)設點、,將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,利用韋達定理與弦長公式求出,利用幾何法求得直線截圓所得弦長,可得出關于的函數(shù)表達式,利用不等式的性質可求得的取值范圍.【詳解】(Ⅰ)在橢圓上,,,,,,,又,,,,橢圓的標準方程為;(Ⅱ)設點、,聯(lián)立消去,得,,則,,設圓的圓心到直線的距離為,則.,,,,的取值范圍為.【點睛】本題考查橢圓方程的求解,同時也考查了橢圓中弦長之積的取值范圍的求解,涉及韋達定理與弦長公式的應用,考查計算能力,屬于中等題.20.(1);(2)或【解析】試題分析:本題主要考查拋物線的標準方程、直線與拋物線的相交問題、直線與圓相切問題等基礎知識,同時考查考生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、運算求解能力以及數(shù)形結合思想.第一問,設出直線方程與拋物線方程聯(lián)立,利用韋達定理得到y(tǒng)1+y2,y1y2,,代入到中解出P的值;第二問,結合第一問的過程,利用兩種方法求出的長,聯(lián)立解出m的值,從而得到直線的方程.試題解析:(Ⅰ)設l:x=my-2,代入y2=2px,得y2-2pmy+4p=1.(*)設A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=2pm,y1y2=4p,則.因為,所以x1x2+y1y2=12,即4+4p=12,得p=2,拋物線的方程為y2=4x.…5分(Ⅱ)由(Ⅰ)(*)化為y2-4my+2=1.y1+y2=4m,y1y2=2.…6分設AB的中點為M,則|AB|=2xm=x1+x2=m(y1+y2)-4=4m2-4,①又,②由①②得(1+m2)(16m2-32)=(4m2-4)2,解得m2=3,.所以,直線l的方程為,或.…12分考點:拋物線的標準方程、直線與拋物線的相交問題、直線與圓相切問題.21.(1);(2)證明見解析.【解析】
(1)求出函數(shù)的定義域為,,分和兩種情況討論,分析函數(shù)的單調性,求出函數(shù)的最大值,即可得出關于實數(shù)的不等式,進而可求得實數(shù)的取值范圍;(2)利用導數(shù)分析出函數(shù)在上遞增,在上遞減,可得出,由,構造函數(shù),證明出,進而得出,再由函數(shù)在區(qū)間上的單調性可證得結論.【詳解】(1)函數(shù)的定義域為,且.當時,對任意的,,此時函數(shù)在上為增函數(shù),函數(shù)為最大值;當時,令,得.當時,,此時函數(shù)單調遞增;當時,,此時函數(shù)單調遞減.所以,函數(shù)在處取得極大值,亦即最大值,即,解得.綜上所述,實數(shù)的取值范圍是;(2)當時,,定義域為,,當時,;當時,.所以,函數(shù)的單調遞增區(qū)間為,單調遞減區(qū)間為.由于函數(shù)有兩個零點、且,,,構造函數(shù),其中,,令,,當時,,所以,函數(shù)在區(qū)間上單調遞減,則,則.所以,函數(shù)在區(qū)間上單調遞減,,,即,即,,且,而函數(shù)在上為減函數(shù),所以,,因此,.【點睛】本題考查利用函數(shù)的最值求參數(shù),同時也考查了利用導數(shù)證明函數(shù)不等式,利用所證不等式的結構構造新函數(shù)是解答的關鍵,考查推理能力與計算能力,屬于難題.22.(1)圖形見解析,理由見解析;(2)見解析;(3)犯錯誤的概率不超過的前提下認為性別與霧霾天外出戴口罩有關系【解析】
(1)利用等高條形圖中兩個深顏色條的高比較
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