滬科八年級數(shù)學下冊期末復習講義

滬科版-八年級數(shù)學下冊期末復習講義滬科版-八年級數(shù)學下冊期末復習講義27/27滬科版-八年級數(shù)學下冊期末復習講義八年級數(shù)學下冊復習講義第十六章二次根式知識點一：二次根式的看法【知識要點】二次根式的定義：形如數(shù)，只有當是一個非負數(shù)時，

的式子叫二次根式，其中才有意義．

叫被開方【典型例題】題型一：二次根式的判斷【例1】以下各式1）1,2)5,3)x22,4)4,5)(1)2,6)1a,7)a22a1，53其中是二次根式的是_________（填序號）．題型二：二次根式有意義【例

2】若式子

1有意義，則

x的取值范圍是

．x3題型三：二次根式定義的運用【例3】若y=x5+5x+2009，則x+y=.題型四：二次根式的整數(shù)與小數(shù)部分已知

a是

5整數(shù)部分，

b是

5的小數(shù)部分，求

a

1

的值.b2知識點二：二次根式的性質【知識要點】非負性：a(a0)是一個非負數(shù)．注意：此性質可作公式記住，后邊根式運算中經(jīng)常用到．(a)2a(a0)．注意：此性質既可正用，也可反用，反用的意義在于，能夠把任意一個非負數(shù)或非負代數(shù)式寫成完好平方的形式：a(a)2(a0)a2|a|a(a0)a(a0)注意：（1）字母不用然是正數(shù)．2）能開得盡方的因式移到根號外時，必定用它的算術平方根代替．3）可移到根號內(nèi)的因式，必定是非負因式，若是因式的值是負的，應把負號留在根號外．4.公式a2|a|a(a0)與(a)2a(a0)的差異與聯(lián)系a(a0)（1）a2表示求一個數(shù)的平方的算術根，a的范圍是一的確數(shù)．（2）(a)2表示一個數(shù)的算術平方根的平方，a的范圍是非負數(shù)．（3）a2和(a)2的運算結果都是非負的．【典型例題】題型一：二次根式的雙重非負性a2b3c42【例4】若0，．則abc題型二：二次根式的性質2（公式(a)2a(a0)的運用）【例5】化簡：a1(a3)2的結果為（）A、4—2aB、0C、2a—4D、4題型三：二次根式的性質3（公式a2aa(a0)的應用）a(a0)【例6】已知x2,則化簡x24x4的結果是（）A、x2B、x2C、x2D、2x知識點三：最簡二次根式和同類二次根式【知識要點】1、最簡二次根式：1）最簡二次根式的定義：①被開方數(shù)是整數(shù)，因式是整式；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的數(shù)或因式．2、同類二次根式（可合并根式）：幾個二次根式化成最簡二次根式后，若是被開方數(shù)同樣，這幾個二次根式就叫做同類二次根式，即能夠合并的兩個根式?！镜湫屠}】【例

7】在根式

1)

a2

b2;2)

x;3)

x2

xy;4)27abc，最簡二次根式是（

）5A．1)2)B．3)4)C．1)3)D．1)4)知識點四：二次根式計算——分母有理化【知識要點】1．分母有理化定義：把分母中的根號化去，叫做分母有理化.2．有理化因式：兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，若是它們的積不含有二次根式，就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式。有理化因式確定方法以下：①單項二次根式：利用aaa來確定，如：b與ab均分別互為有理化因式。a

a與

a，

a

b與

a

b，②兩項二次根式：利用平方差公式來確定。如ab與ab，b與ab，axby與axby分別互為有理化因式。3．分母有理化的方法與步驟：①先將分子、分母化成最簡二次根式；②將分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后結果必定化成最簡二次根式或有理式?！镜湫屠}】【例8】把以下各式分母有理化（1）1（2）43（3）11（4）134837212550【例9】把以下各式分母有理化（1）2x（2）2（3）x8（4）a2b58x3yabx3b2a5【例10】把以下各式分母有理化：（1）2（2）53（3）3321533223小結：一般常有的互為有理化因式有以下幾類：①與；②與；③與；④與．知識點五：二次根式計算——二次根式的乘除【知識要點】1．積的算術平方根的性質：積的算術平方根，等于積中各因式的算術平方根的積。ab=a·b（a≥0，b≥0）2．二次根式的乘法法規(guī)：兩個因式的算術平方根的積，等于這兩個因式積的算術平方根。a·b＝ab．（a≥0，b≥0）3．商的算術平方根的性質：商的算術平方根等于被除式的算術平方除去以除式的算術平方根.=a（a≥0，b>0）b4．二次根式的除法法規(guī)：兩個數(shù)的算術平方根的商，等于這兩個數(shù)的商的算術平方根。=a（a≥0，b>0）b注意：乘、除法的運算法規(guī)要靈便運用，在實質運算中經(jīng)常從等式的右邊變形至等式的左邊，同時還要考慮字母的取值范圍，最后把運算結果化成最簡二次根式．【典型例題】【例11】化簡(1)916(2)1681(3)5215【例12】計算（1）（2）（3）4）知識點六：二次根式計算——二次根式的加減【知識要點】需要先把二次根式化簡，爾后把被開方數(shù)同樣的二次根式（即同類二次根式）的系數(shù)相加減，被開方數(shù)不變。注意：關于二次根式的加減，要點是合并同類二次根式，平時是先化成最簡二次根式，再把同類二次根式合并．但在化簡二次根式時，二次根式的被開方數(shù)應不含分母，不含能開得盡的因數(shù)．【典型例題】【例13】計算（1）3217520.531；（2）12543；227102045245537【例14】（1）3xy4x2y2xy4x4y

（2）abababab知識點七：二次根式計算——二次根式的混雜計算與求值【知識要點】1、確定運算序次；2、靈便運用運算定律；3、正確使用乘法公式；4、大多數(shù)分母有理化要及時；5、在有些簡略運算中也許能夠約分，不要盲目有理化；【典型習題】1、2a3b)3b2、2ab5(3(212b2a2+41－348)8【例15】已知：，求的值．知識點八：根式比較大小【知識要點】1、根式變形法當a0,b0時，①若是ab，則ab；②如果ab，則ab。2、平方法當a0,b0時，①若是a2b2，則ab；②若是a2b2，ab。3、分母有理化法經(jīng)過分母有理化，利用分子的大小來比較。4、分子有理化法經(jīng)過分子有理化，利用分母的大小來比較。5、倒數(shù)法6、媒介傳達法適當選擇介于兩個數(shù)之間的媒介值，利用傳達性進行比較。7、作差比較法在對兩數(shù)比較大小時，經(jīng)常運用以下性質：①ab0ab；②ab0ab8、求商比較法aa1ab1ab它運用以下性質：當a>0，b>0時，則：①b；②b【典型例題】【例16】比較35與53的大小.【例17】比較2與1的大小.3121一元二次方程一、知識結構：一元二次方程二、考點精析考點一、看法

解與解法根的鑒識韋達定理定義：①只含有一個未知數(shù)，并且②未知數(shù)的最高次數(shù)是2，這樣．．．．．．．．．．．．．．．．．．的③整式方程就是一元二次方程。．．．．一般表達式：ax2bxc0(a0)⑶難點：如何理解“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”：①該項系數(shù)不為“0”；②未知數(shù)指數(shù)為“2”；③若存在某項指數(shù)為待定系數(shù)，或系數(shù)也有待定，則需建立方程或不等式加以談論。典型例題：例1、以下方程中是關于x的一元二次方程的是（）A、3x122x1B、1120C、ax2bxc0D、x22xx21x2x變式：當k時，關于x的方程kx22xx23是一元二次方程。例2、方程m2xm3mx10是關于x的一元二次方程，則m的值為。考點二、方程的解⑴看法：使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，就是方程的解。⑵應用：利用根的看法求代數(shù)式的值；典型例題：例1、已知2y2y3的值為2，則4y22y1的值為?？键c三、解法⑴方法：①直接開方法；②因式分解法；③配方法；④公式法⑵要點點：降次種類一、直接開方法：x2mm0,xm※※關于xa2m，axm2bxn2等形式均適用直接開方法典型例題：例1、解方程：12x280;22516x2=0;31x290;例2、若9x1216x22，則x的值為。種類二、因式分解法:xx1xx20xx1,或xx2※方程特點：左邊能夠分解為兩個一次因式的積，右邊為“0”，※方程形式：如axm2bxn2，xaxbxaxc，x22axa20典型例題：例1、2xx35x3的根為（）Ax5Bx3Cx15,x23Dx2225例2、若4xy234xy40，則4x+y的值為。例3、方程x2x60的解為（）A.x1，xB.x1，xC.x13，x3D.1，x3223222x222例4、解方程：x2231x2340例5、已知2x23xy2y20,則xy的值為。xy種類三、配方法ax222bxc0a0xbb4ac2a4a2※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代數(shù)式的值或極值之類的問題。典型例題：例1、試用配方法說明x22x3的值恒大于0。例2、已知x、y為實數(shù)，求代數(shù)式x2y22x4y7的最小值。例3、已知x2y24x6y130，x、y為實數(shù)，求xy的值。4、分解因式：4x212x3種類四、公式法⑴條件：a0,且b24ac0⑵公式：xbb24ac,a0,且b24ac02a典型例題：例1、選擇合適方法解以下方程：⑴31x26.⑵x3x68.⑶x24x10例2、在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：（1）x222x3；（2）4x28x1.⑶2x24xy5y2說明：①關于二次三項式ax2bxc的因式分解，若是在有理數(shù)范圍內(nèi)不能夠分解，一般情況要用求根公式，這種方法第一令ax2bxc=0，求兩根，再寫成ax2bxc=a(xx1)(xx2).②分解結果可否把二次項系數(shù)乘進括號內(nèi)，取決于可否把括號內(nèi)的分母化去.種類五、“降次思想”的應用⑴求代數(shù)式的值；⑵解二元二次方程組。典型例題：3x21的值。例1、已知x23x20，求代數(shù)式x1x1例2、若是x232的值。x10，那么代數(shù)式x2x7說明：解二元二次方程組的詳盡思想方法有兩種：①先消元，再降次；②先降次，再消元。但都表現(xiàn)了一種共同的數(shù)學思想——化歸思想，即把新問題轉變概括為我們已知的問題.考點四、根的鑒識式b24ac根的鑒識式的作用：①定根的個數(shù)；②求待定系數(shù)的值；③應用于其他。典型例題：例1、若關于x的方程x22kx10有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是。例2、關于x的方程m1x22mxm0有實數(shù)根，則m的取值范圍是( )A.m0且m1B.m0C.m1D.m1例3、已知關于x的方程x2k2x2k0求證：無論k取何值時，方程總有實數(shù)根；若等腰ABC的一邊長為1，另兩邊長恰好是方程的兩個根，求ABC的周長。4、已知二次三項式9x2(m6)xm2是一個完好平方式，試求m的值.例5、m為何值時，方程組x22y26,有兩個不同樣的實數(shù)解有兩個同樣mxy3.的實數(shù)解考點五、方程類問題中的“分類談論”典型例題：1、關于x的方程m1x22mx30⑴有兩個實數(shù)根，則

m為

,⑵只有一個根，則

m為。例2、不解方程，判斷關于x的方程x22xkk23根的情況。例3、若是關于x的方程x2kx20及方程x2x2k0均有實數(shù)根，問這兩方程可否有同樣的根若有，央求出這同樣的根及k的值；若沒有，請說明原由?？键c六、應用解答題⑴“見面”問題；⑵“復利率”問題；⑶“幾何”問題；⑷“最值”型問題；⑸“圖表”類問題考點七、根與系數(shù)的關系⑴前提：關于ax2bxc0而言，當滿足①a0、②0時，才能用韋達定理。⑵主要內(nèi)容：x1x2b,x1x2caa⑶應用：整體代入求值。典型例題：例1、已知一個直角三角形的兩直角邊長正是方程2x28x70的兩根，則這個直角三角形的斜邊是（）A.3D.6例2、已知關于x的方程k2x22k1x10有兩個不相等的實數(shù)根x1,x2，1）求k的取值范圍；2）可否存在實數(shù)k，使方程的兩實數(shù)根互為相反數(shù)若存在，求出k的值；若不存在，請說明原由。例3、小明和小紅一起做作業(yè)，在解一道一元二次方程（二次項系數(shù)為1）時，小明因看錯常數(shù)項，而獲取解為8和2，小紅因看錯了一次項系數(shù)，而獲取解為-9和-1。你知道原來的方程是什么嗎其正確解應該是多少例4、已知ab，a22a10，b22b10，求ab變式：若a22a10，b22b10，則ab的值為ba例5、已知,是方程x2x10的兩個根，那么43

。.針對練習：1、解方程組

xy3,(1)x2y25(2)2．已知a27a4，b27b4(ab)，求ba的值。ab3、已知x1,x2是方程x2x90的兩實數(shù)根，求x137x223x266的值。勾股定理知識要點1、勾股定理定義：若是直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2＝c2.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.勾：直角三角形較短的直角邊股：直角三角形較長的直角邊弦：斜邊勾股定理的應用：在使用勾股定理時，必定掌握直角三角形的前提條件2、勾股定理的逆定理：若是三角形的三邊長a，b，c有下面關系：a2＋b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形。勾股逆定理的應用:勾股定理的逆定理是判斷一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，在運用這必然理時應注意：勾股數(shù)：滿足a2＋b2＝c2的三個正整數(shù)叫做勾股數(shù)（注意：若a，b，c為勾股數(shù)，那么ka，kb，kc同樣也是勾股數(shù)組.）常有勾股數(shù)：3，4，5；6，8，10；5，12，13；9，12，15判斷直角三角形：若是三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形。（經(jīng)典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一個角為90°的三角形是直角三角形；（2）有兩個角互余的三角形是直角三角形.用它判斷三角形可否為直角三角形的一般步驟是：（1）確定最大邊（不如設為c）；（2）若c2＝a2＋b2，則△ABC是以∠C為直角的三角形；a2＋b2＜c2，則此三角形為鈍角三角形（其中c為最大邊）；a2＋b2＞c2，則此三角形為銳角三角形（其中c為最大邊）注意：（1）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.2）在直角三角形中，若是一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.3）在直角三角形中，若是一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于30°.勾股定理的考據(jù)【勾股定理及其逆定理的實質應用】1、某經(jīng)濟開發(fā)區(qū)有一塊四邊形空地ABCD，以下列圖，現(xiàn)計劃在該空地上種上草皮，經(jīng)測量∠B＝90°，AB＝300m，AD＝1300m，CD＝1200m，BC＝400m，請計算種植草皮的面積是多少2、以下列圖，每個小方格都是邊長為1的正方形，點A，B是方格紙的兩個格點(即正方形的極點)，在這個6×6的方格紙中，找出格點C，使△ABC為面積是1個平方單位的直角三角形，滿足條件的點的個數(shù)是___