高中數(shù)學(xué)數(shù)列十種求通項及七種求及方法計劃練習及

高中數(shù)學(xué)數(shù)列十種求通項及七種求及方法計劃練習及高中數(shù)學(xué)數(shù)列十種求通項及七種求及方法計劃練習及高中數(shù)學(xué)數(shù)列十種求通項及七種求及方法計劃練習及高中數(shù)列知識點總結(jié)(一)等差數(shù)列的公式及性質(zhì)等差數(shù)列的定義：anan1d（d為常數(shù)）（）；2．等差數(shù)列通項公式：ana1(n1)ddna1d(nN*)，首項:，公差:d，末項:實行：anam(nm)d．從而danam；nm3．等差數(shù)列的判斷方法（1）定義法：若anan1d或an1and(常數(shù)nN)是等差數(shù)列．（2）等差中項法：數(shù)列是等差數(shù)列2anan-1an1(n2)2an1anan2．3）數(shù)列是等差數(shù)列anknb（其中是常數(shù)）。4）數(shù)列是等差數(shù)列SnAn2Bn（,其中A、B是常數(shù)）。等差數(shù)列的性質(zhì)：1）當公差時，等差數(shù)列的通項公式ana1(n1)ddna1d是關(guān)于n的一次函數(shù)，且斜率為公差；前n和Snna1n(n1)ddn2(a1d)n是關(guān)于n的二次函數(shù)且常222數(shù)項為0.2）若公差，則為遞加等差數(shù)列，若公差，則為遞減等差數(shù)列，若公差，則為常數(shù)列。（3）當mnpq時,則有amanapaq，特別地，當m時，則有aman2ap.注：a1ana2an1a3an2。

n

2p（4）若、等差數(shù)列，anb，1an2bn都等差數(shù)列。（5）在等差數(shù)列中，等距離取出若干也構(gòu)成一個等差數(shù)列，即an,an+m,an+2m,?,等差數(shù)列，公差md。（6）是公差d的等差數(shù)列，是前n和，那么數(shù)列Sk,S2kSk,S3kS2k,?成公差k2d的等差數(shù)列。7）數(shù)列是等差數(shù)列，d公差，是奇數(shù)的和，是偶數(shù)的和，是前n的和1）當數(shù)偶數(shù)，S2nn(anan1)，S偶S奇nd,S奇anS偶an1S奇a1a3a5na1a2n1nana2n12S偶a2a4a6na2a2nnan1a2n22）當數(shù)奇數(shù)2n-1，S2n-1S奇S偶(2n1)anS奇nanS奇nS奇S偶anS偶（n-1)anS偶n1(9)若a1>0，d<0，Sn有最大，可由不等式an0來an10確定n。若a1，，nan0來<0d>0S有最小，可由不等式an10確定n。（10）等差數(shù)列前n和An,Bn，二)等比數(shù)列的公式及性質(zhì)等比數(shù)列的定義：比

anqq0n2,且nN*an1，q稱為公2.通項公式：ana1qn1a1qnABna1q0,AB0qnmanan實行：anamqnm，從而得qam或qnmam等比中項:數(shù)列是等比數(shù)列an2an1an14.等比數(shù)列的前n項和公式：5.等比數(shù)列的判斷方法（1）定義：對任意的n,都有an1qan或an1q(q為常數(shù)，an0)an為等比數(shù)列2）等比中項：an2an1an1（an1an10）為等比數(shù)列3）通項公式：anABnAB0為等比數(shù)列（4）前n項和公式：SnAABn或SnA'BnA'A,B,A',B'為常數(shù)為等比數(shù)列等比數(shù)列的性質(zhì)若m+n=s+t(m,n,s,t),則anamasat.特其他,當n+m=2k時,得anamak2注：a1ana2an1a3an2{k}{an}(2)數(shù)列,為等比數(shù)列,則數(shù)列an,{kan},,{kanbn}，bn(k為非零常數(shù))均為等比數(shù)列.且公比分別為1/q，q，qk，q1·q2，q1/q2.數(shù)列為等比數(shù)列,每隔k(k)項取出一項(am,amk,am2k,am3k,)仍為等比數(shù)列,公比為qk若是是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,則數(shù)列{logaan}是等差數(shù)列若為等比數(shù)列,則數(shù)列，S2nSn，S3nS2n,，成等比數(shù)列（當q=－1且k為偶數(shù)時不成立）。(6)若為等比數(shù)列,則數(shù)列a1a2an,an1an2a2n,a2n1a2n2a3n成等比數(shù)列{a1，則為遞加數(shù)列(7)①當時，0{an}為遞減數(shù)列，則a0，則{a}為遞減數(shù)列1n②當0<q1時，{a10，則{an}為遞加數(shù)列③當q=1時,該數(shù)列為常數(shù)列（此時數(shù)列也為等差數(shù)列）;④當q<0時,該數(shù)列為搖動數(shù)列.(8)在等比數(shù)列中,當項數(shù)為2n(nS奇q1.)時,S偶(9)若是公比為q的等比數(shù)列,則SnmSnqnSm3．求數(shù)列通項公式的常用方法一、公式法例1已知數(shù)列{an}滿足an12an32n，a12，求數(shù)列{an}的通項公式。解：an1n兩邊除以2n1，得an1an3an1an3，2an322n12n2，則2n12n2故數(shù)列{2nn}是以2121為首項，以2為公差的等差數(shù)列，aa123由等差數(shù)列的通項公式，得2n1(n1)2，因此數(shù)列{an}的an3通項公式為an(3n1)2n。22二、累加法anan1f(n)例2已知數(shù)列{an}滿足an1an2n1，a11，求數(shù)列{an}的通項公式。解：由an1an2n1得an1an2n1則an(anan1)(an1an2)L(a3a2)(a2a1)a1[2(n1)1][2(n2)1]L(221)(211)12[(n1)(n2)L21](n1)12(n1)n(n1)12(n1)(n1)1n2因此數(shù)列{an}的通項公式為ann2。例3已知數(shù)列{an}滿足an13an23n1，a13，求數(shù)列{an}的通項公式。解：an13an231兩邊除以3，得n1n2n1，nn1an1an13333則an1an213n13n33n1三、累乘法anf(n)an1例4已知數(shù)列{an}滿足an12(n1)5nan，a13，求數(shù)列{an}的通項公式。解：因為an12(n1)5nan，a13，因此an0，則aann12(n1)5n，故ananan1La3a2a1an1an2a2a1[2(n11)5n1][2(n21)5n2]L[2(21)52][2(11)51]32n1[n(n1)L32]5(n1)(n2)L2132n1n(n1)352n!因此數(shù)列{an}的通項公式為an32n15n(n1)2n!.例5（2004年全國I第15題，原題是填空題）已知數(shù)列{an}滿足a11，ana12a23a3L(n1)an1(n2)，求{an}的通項公式。解：因為ana12a23a3L(n1)an1(n2)①因此an1a12a23a3L(n1)an1nan②用②式－①式得an1annan.則an1(n1)an(n2)故an1n1(n2)an四、待定系數(shù)法（重點）例6已知數(shù)列{an}滿足an12an35n，a16，求數(shù)列an的通項公式。解：設(shè)an1x5n12(anx5n)④將an12an35n代入④式，得2an35nx5n12an2x5n，等式兩邊消去2an，得35nx5n12x5n，兩邊除以5n，得35x2x,則x1,代入④式得an15n12(an5n)例7已知數(shù)列{an}滿足an13an52n4，a11，求數(shù)列{an}的通項公式。解：設(shè)an1x2n1y3(anx2ny)⑥將an13an52n4代入⑥式，得3an52n4x2n1y3(anx2ny)整理得(52x)2n4y3x2n3y。令52x3x，則x5，代入⑥式得an152n123(an52n2)4y3yy2⑦例8已知數(shù)列{an}滿足an12an3n24n5，a11，求數(shù)列{an}的通項公式。解：設(shè)an1x(n1)2y(n1)z2(anxn2ynz)⑧將an12an3n24n5代入⑧式，得2an3n24n5x(n1)2y(n1)z2(anxn2ynz)，則2an(3x)n2(2xy4)n(xyz5)2an2xn22yn2z等式兩邊消去2an，得(3x)n2(2xy4)n(xyz5)2xn22yn2z，3x2xx3，代入⑧式，得解方程組2xy42y，則y10xyz52zz18an13(n1)210(n1)182(an3n210n18)⑨五、對數(shù)變換法例9已知數(shù)列{an}滿足an123nan5，a17，求數(shù)列{an}的通項公式。解：因為an123nan5，a17，因此an0，an10。在an123nan5式兩邊取常用對數(shù)得lgan15lgannlg3lg2⑩設(shè)lgan1x(n1)y5(lganxny)11○六、迭代法例10已知數(shù)列{an}滿足an1an3(n1)2n，a15，求數(shù)列{an}的通項公式。解：因為an1an3(n1)2n，因此anan3n12n1[an3(n21)2n2]3n2n1七、數(shù)學(xué)歸納法例11已知an1an21)2，a18，求數(shù)列{an}的通項公8(n(2n1)(2n3)9式。（其他方法呢）解：由an1an(2n1)2(2n3)2及a19，得8(n1)8a2a18(11)8822411)2(213)2992525(2a3a28(21)24834821)2(223)225254949(2a4a38(31)48848031)2(233)249498181(2由此可猜想an(2n1)221，往下用數(shù)學(xué)歸納法證明這(2n1)個結(jié)論。（1）當n1時，a1(211)2218，因此等式成立。(211)9（2）假設(shè)當nk時等式成立，即ak(2k1)221，則當nk1(2k1)時，ak1ak8(k1)(2k1)2(2k3)2(2k1)218(k1)(2k1)2(2k1)2(2k3)2[(2k1)21](2k3)28(k1)(2k1)2(2k3)2(2k1)2(2k3)2(2k3)28(k1)(2k1)2(2k3)2(2k1)2(2k3)2(2k1)2(2k1)2(2k3)2(2k3)21(2k3)2[2(k1)1]21[2(k1)1]2由此可知，當nk1時等式也成立。依照（1），（2）可知，等式對任何nN*都成立。八、換元法例12已知數(shù)列{an}滿足an11(14an124an)，a11，求數(shù)列16{an}的通項公式。解：令bn124an，則an1(bn21)24故an11(bn211)，代入an11(14an124an)得24161(bn211)1[141(bn21)bn]241624即4bn21(bn3)2因為bn124an0，故bn1124an10則2bn1bn3，即bn11bn3，可化為bn131(bn3)，222九、不動點法例13已知數(shù)列{an}滿足an121an24，a14，求數(shù)列{an}的4an1通項公式。解：令x21x24，得4x220x240，則x12，x23是函數(shù)f(x)21x244x14x1的兩個不動點。因為21an242an124an121an242(4an1)13an2613an2an1321an24321an243(4an1)9an279an34an1十、倒數(shù)法a11，an12an，求an2求數(shù)列前n項和的常用方法一、公式法利用以下常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法.1、等差數(shù)列求和公式：Snn(a1an)n(n1)2na12d2、等比數(shù)列求和公式：Snna1qn)a1(q1)a1(1anq(q1)1q1q3、Snn14、k1kn(n1)2nk21Snn(n1)(2n1)k165、Snnk31n(n1)]2[k12[例1]求xx2x3xn的前n項和.[例2]n*Sn的最n1S＝1+2+3+?+n，n∈N,求f(n)大.二、位相減法（等差乘等比）[例3]求和：Sn13x5x27x3(2n1)xn1[例4]求數(shù)列2,22,23,,2n,前n的和.2462n解：由可知，{通與等比數(shù)列{

2n2n12n

}的通是等差數(shù)列{2n}的}的通之Sn2462n?????????????①222232n12462n????????????②Sn2223242n12（設(shè)制錯位）①－②得1222222n(12)Sn22223242n2n1（錯位相減）212n2n12n1∴Sn4n22n1三、倒序相加法n和公式所用的方是推等差數(shù)列的前法，就是將一個數(shù)列倒來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以獲取n個(a1an).[例5]求：3Cn15Cn2(2n1)CnnCn0(n1)2n明：SnCn03C1n5Cn2(2n1)Cnn??????????①..把①式右倒來得Sn(2n1)Cnn(2n1)Cnn13Cn1Cn0（反序）又由CnmCnnm可得Sn(2n1)Cn0(2n1)Cn13Cnn1Cnn????..??②..①+②得2Sn(2n2)(Cn0Cn1Cnn1Cnn)2(n1)2n（反序相加）∴S(n1)2nn[例6]求sin21sin22sin23sin288sin289的解：Ssin21sin22sin23sin288sin289????①.將①式右反序得Ssin289sin288sin23sin22sin21????②..（反序）又因

sinx

cos(90

x),sin2x

cos2

x

1①

+

②

得（反序相加）2S(sin21cos21)(sin22cos22)(sin289cos289)＝89S＝四、分法求和有一數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將數(shù)列合適翻開，可分幾個等差、等比或常的數(shù)列，爾后分求和，再將其合并即可.[例7]111，?求數(shù)列的前n和：11,a4,a27,,an13n2[例8]求數(shù)列{n(n+1)(2n+1)}的前n和.解：akk(k1)(2k1)2k33k2k∴Snnk(k1)(2k1)＝n(2k33k2k)k1k1將其每一翻開再重新合得Sn＝nk3nk2n23kk1k1k1（分）五、裂法求和是分解與合思想在數(shù)列求和中的詳盡用.裂法的是將數(shù)列中的每（通）分解，爾后重新合，使之能消去一些，最達到求和的目的.通分解（裂項）如：（1）anf(n1)f(n)（2）sin1tan(n1)tanncosncos(n1)（3）an111（4）an(2n)2111n(n1)nn1(2n1)(2n1)12(2n12n1)（5）an12)1[11]n(n1)(n2n(n1)(n1)(n2)(6)ann212(n1)n11111n(n1)nn(n1)nnn1(nn,則Sn(nn[例9]2221)21)2求數(shù)列11223nn1的前n和.,1,,1,[例10]在數(shù)列{an}中，ann11n21nn1，又bnan2an1，求數(shù)列{bn}的前n的和.[例11]求：cos0111cos1cos1cos1cos2cos88cos89sin21解：設(shè)S111cos1cos1cos2cos88cos89cos0∵sin1tanntan(n1)cosncos(n1)（裂項）∴S111cos1cos2cos88cos89cos0cos1（裂項求和）＝1{(tan1tan0)(tan2tan1)(tan3tan2)[tan89tan88]}sin111cos1＝sin1(tan89tan0)＝sin1cot1＝sin21∴原等式成立六、合并法求和針對一些特其他數(shù)列，將某些項合并在一起就擁有某種特其他性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時，可將這些項放在一起先求和，爾后再求Sn.[例12]求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.解：設(shè)Sn＝cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°∵

cosncos(180n)（找特別性質(zhì)項）Sn＝（cos1°+cos179°）+（cos2°cos178°）+（cos3°+cos177°）+···+（cos89°+cos91°）+cos90°（合并求和）0[例13]數(shù)列{an}：a11,a23,a32,an2an1an，求S2002.解：S2002＝a1a2a3a2002由a11,a23,a32,an2an1an可得a41,a53,a62,a71,a83,a92,a101,a113,a122,??a6k11,a6k23,a6k32,a6k41,a6k53,a6k62∵a6k1a6k2a6k3a6k4a6k5a6k60（找特別性質(zhì)項）∴S2002＝a1a2a3a2002（合并求和）＝(a1a2a3a6)(a7a8a12)(a6k1a6k2a6k6)(a1993a1994a1998)a1999a2000a2001a2002＝a1999a2000a2001a2002＝a6k1a6k2a6k3a6k4＝5[例14]在各均正數(shù)的等比數(shù)列中，若a5a69,求log3a1log3a2log3a10的.解：Snlog3a1log3a2log3a10由等比數(shù)列的性mnpqamanapaq（找特別性質(zhì)項）和數(shù)的運算性logaMlogaNlogaMN得Sn(log3a1log3a10)(log3a2log3a9)(log3a5log3a6)（合并求和）＝

(log3

a1

a10)

(log3

a2

a9)

(log3

a5

a6)＝

log39

log3

9

log3910七、利用數(shù)列的通項求和先依照數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特色進行解析，找出數(shù)列的通項及其特色，爾后再利用數(shù)列的通項揭穿的規(guī)律來求數(shù)列的前n項和，是一個重要的方法.[例15]求1111111111之和.n個1解：由于1111199991(10k1)k個19k個19（找通項及特色）∴1111111111n個1＝1(1011)1(1021)1(1031)1(10n1)9999（分組求和）＝1(10110210310n)1(1111)99n個1＝110(10n1)n91019＝1(10n1109n)81[例16]已知數(shù)列n：an8(n1)(anan1)的值.(n,求{a}1)(n3)n1數(shù)列練習一、選擇題1.已知等比數(shù)列的公比為正數(shù)，且·=2，=1，則=A.1B.2C.222.已知為等差數(shù)列，，則等于A.-1B.1C.33.公差不為零的等差數(shù)列的前n項和為.若是a3與a7的等比中項,S832,則等于A.18B.24C.60D.90.4設(shè)是等差數(shù)列的前n項和，已知a23，a611，則等于A．13B．35C．49D．635.已知為等差數(shù)列，且－2＝－1,＝0,則公差d＝（A）－2（B）－1（C）1（D）2226.等差數(shù)列｛｝的公差不為零，首項＝1，是和的等比中項，則數(shù)列的前10項之和A.90B.100C.145D.1907.等差數(shù)列的前n項和為，已知am1am1am20，S2m138,則（A）38（B）20（C）10（D）9.8.設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列，a12且a1,a3,a6成等比數(shù)列，則的前n項和=A．n27nB．n25nC．n23nD．n2n4433249.等差數(shù)列｛｝的公差不為零，首項＝1，是和的等比中項，則數(shù)列的前10項之和是A.90B.100C.145D.190.二、填空題1設(shè)等比數(shù)列的公比q1，前n項和為，則S4．2a42.設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，則，S8S4，S12S8，S16S12成等差數(shù)列．類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列的前n項積為，則，，，T16成等比數(shù)列．T123.在等差數(shù)列中,a37,a5a26,則a6____________.4.等比數(shù)列{}的公比,已知=1，an2an16an，則{}的前4項和=.數(shù)列練習參照答案一、選擇題【答案】【解析】設(shè)公比為q,由已知得a1q2a1q82a1q42,1.B即q22,又因為等比數(shù)列的公比為正數(shù)，因此q2,故a1a212,選Bq222.【解析】∵a1a3a5105即3a3105∴a335同理可得a433∴公差da