2005考研數(shù)三真題及解析

2005年入學(xué)考試數(shù)學(xué)三試一、填空題：1-6424分，請將答案寫在答題紙指定位置上極限

x

x21 微分方程xyy0滿足初始條件y(1)2的特解為 zxexyx1ln(1y，則

1,2,3,4X,再從1,2,X中任取一個數(shù)，記為Y,P{Y2}= 設(shè)二維隨量(X,Y)的概率分布 1a已知隨機事件

0}與{XY1}相互獨立，則a ,b二、選擇題：7-14432分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項當(dāng)a

設(shè)I1 xyd,I cos(xy)d,I cos(xy)d,其 2 D{(x,y)x2y21}，則 I3I2I1 (B)I1I2I3

I2I1I3

I3I1I2 設(shè)

0,n1,2,,若a發(fā)散，(1)n1a收斂，則下列結(jié)論正確的是

(A)a2n1收斂，a2n發(fā)散 (B)a2n收斂，a2n1發(fā)散

(a2n1a2n)收斂

(a2n1a2n收斂設(shè)

f(0

是極小值 (B)f(0)是極小值

f(0

也是極大值

f(0

也是極小值 f(x在(0，1)fx在(0，1)內(nèi)有界fx在(0，1)fx在(0，1)內(nèi)有界f(x在(0，1)fx在(0，1)內(nèi)有界fx在(0，1)f(x在(0，1)內(nèi)有界A(aij)33AAAA的伴隨矩陣，AA的轉(zhuǎn)置矩陣. a11,a12,a13為三個相等的正數(shù)，則a11為

3

1 3312是矩陣A的兩個不同的特征值，對應(yīng)的特征向量分別為1,2，則1A(12)線性無關(guān)的充分必要條件是

10

20

10

20.N(,2,2均未知.16零件，測得樣本均值x20(cm)，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s1(cm)，則的置信度為0.90的置信區(qū)

(2014(201

0

4

0

(20140(201

,20140

40

40

40

40(994分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟(15)(8分求lim1x01e

1x(16)(8分f(ug(xy)

f(x

)yf

xy

22

2 yy2 (17)(9分)計算二重積分D

x2y21dDxy0x1,0y(18)(9分 求冪級數(shù)2n1

在區(qū)間(-1,1)內(nèi)的和函數(shù)S(x)(19)(8分f(xg(x在[0，1]f(0)0,f(x)0g(x)0.00a[0,1],有ag(x)f(x)dx1f(x)g(x)dx00

f(20)(13分

22

cx3

和

b

x3同解，求abc的值(21)(13分設(shè)D C為正定矩陣，其中A,B分別為m階，n階對稱矩陣,C為mn矩陣B BPTDPP

利用(I)BCTA1C是否為正定矩陣，并證明你的結(jié)論.(22)(13分)設(shè)二維隨量(X,Y)的概率密度f(x,y) 0x1,0y

求：(I)X,YfX(x),fY

Z2XY的概率fZ12 X122(23)(13分 21

nYiXiX,i1,2,,n

YiDYi,i1,2,nY1與Yn的協(xié)方差Cov(Y1,Yn若c(Y1Y)是的無偏估計量，求常數(shù)cn n2005年入學(xué)考試數(shù)學(xué)三試題解1【詳解】這是一個0型未定式，令t xlimxsin

1t

limsin2tlim2t

x2

t

t

t0xy1(xy)xyy0xyC代入初始條件得12C，即C=2，故所求特解為xy22：變量分離法求解.xyy0dy x積分得lnylnxlnC，即x

C.去掉絕對值號，認(rèn)為CC得通解y Cxy(1)2代入得C=2xy2【答案】2edxex求偏導(dǎo)數(shù)(y為定值)y求偏導(dǎo)數(shù)(x為定值)

zexyxexyln(1y)zxexyx1 1z的全微分為dzzdxzdyexyxexyln(1y))dxxexyx ydz|(1,02edxe2)dy【答案】12111列2列2111列2列010列221aa列20111 1a2 213 -) a

(其中(1)1212分別是1所在的行數(shù)和列數(shù)a 3列2

a

(a1)(2a1) (其中(1)1212分別是(a1所在的行數(shù)和列數(shù)a1a1，但題設(shè)a1，故a1

41行2行2

4行-2 33行4行-2

[,,,]

0a 0a1a

a a1a 3

3

4行3行

2

a

14行3行(a1)

a10a

1 a a1 1 r[1,2,3,4]4,a1或a ，a1不合題意，2

a 2P{Y2}=P{X1}P{Y2X1}+P{X2}P{Y2X+P{X3}P{Y2X3}+P{X4}P{Y2X1,2,3,44而Y表示從1,2,X中任取一個數(shù)，也就是說Y是等可能取到1,2,也就是說Y在XP{Y2X21(X2的條件下，Y1，2等可能取值2P{Y2X31(X3的條件下，Y1，2，3等可能取值3P{Y2X41(X4的條件下，Y1，2，3，4等可能取值4故P{Y2P{X1}P{Y2X1}P{X2}P{Y2X 23 【答案】a ,b 量聯(lián)合概率分布的性質(zhì)pij1，有0.4ab0.11， 可知ab0.5，又事件{X0}與{XY1P{X0,XY1}P{X0}P{XY1} P{X0,XY1}P{X0,Y1}P{XY1}P{X0,Y1}P{X1,Y0}abP{X0}P{X0,Y0}P{X0,Y1}0.4代入獨立等式，得a(0.4a0.5，解得a0.4b0.12如果把獨立性理P{XY1X0P{XY1因為獨{XY1發(fā)生與{X0}發(fā)不發(fā)生沒有關(guān)系)P{Y1|X0}P{XY1}ab所 P{Y0X0}1P{Y1X0}10.50.5因 P{Y1|X0}P{Y0X0}PX0P{Y1|X0}PX0P{Y0X0}PX由乘法公PABPA|B)P(B，上式即為P{X0,Y0P{X0,Y即0.4a.又因為ab0.5，得b因為

3(,1)，f(x)0fx(12),f(x0fx(2),f(x)0fx

f(x),

f(x)fxf(1)0f(2)0(否則有三個或一個零點)，解之得a5a4.故應(yīng)選(B).在區(qū)域Dxyx2y21上，除原點x2y20及邊界x2y21外，有x2x2y2(x2x2x2而在0u1x2

cos(x2y2)cos(x2y2因此 x2y2dcos(x2y2)dcos(x2y2)2d，故應(yīng)選 1：排除法.取

an

a收斂，但n

a2n1與

a2n

a)的通項

4n-

3n31

2n

2n(2n 4

n1所以(a2n1a2n)發(fā)散.故排除 方法方法2:將題設(shè)收斂的級數(shù) a展n

a

a

aa

a

a

a

f(0)0,f()0x0x 又f sinx，且f(0)10,f()

0f(0

1f(x1,fxf(x

均在(0,1fx在x 又f(x)界，排除(D).故應(yīng)選

x在(0,1f(x)x

12在122：論證法.f(x在區(qū)間(0,1內(nèi)有界，則對于正數(shù)M，使(0,1xf(x)M.在(0,1x0x(0,1f(xf(x0f()(xx0(0,1(拉格朗日中值定理于 f(x)

f(x0)

xx0

f(x0)Mfx在(0,1內(nèi)有界

由A* A

32

33

Aij,i,j1,2,3，其中Aij為aij的代數(shù)式又由AA*AATA

AE

AA

AE

A3A

A

AA

A2

A2

A3A0A而AaA Aa a 3a2

，于是

A1，即11 2 133a21,a ,a是正數(shù)，故 13

.故正確選項為

1,2分別是特征值1,2對應(yīng)的特征向量，根據(jù)特征值、特征向量的定義設(shè)有數(shù)k1k2，使得k11k2A(120，則因12，因不同特征值對應(yīng)的特征向量必線性無關(guān)，故1,2k1k21

k22當(dāng)

20時，方程只有零解，則k10k20，此時1A(121A(12)線性無關(guān)，則必然有20否則，1A(1211線性相關(guān))，故應(yīng)選(D).2：將向量組的表出關(guān)系表示成矩陣形式11,2分別是特征值1,2對應(yīng)的特征向量，根據(jù)特征值、特征向量的定義 由于1,A(12)1,11221,2 2因121,2線性無關(guān).若1A(12線性無關(guān)，則r1A(12)22r

minr

,r

121 1

2

2 2故2r 2，從而r

2，從而 2 2

2 若 20，則r 2，又1,2線性無關(guān)， 2r

1r

12 2 2 2則r,A()r

1

從而1A(12

20故應(yīng)選21,2分別是特征值1,2對應(yīng)的特征向量，根據(jù)特征值、特征向量的定義12，因不同特征值對應(yīng)的特征向量必線性無關(guān)，故1,2A(121122，故1A(12線性無關(guān)r(1A(12又因

1,22則r(1,1122)r(1,22)220(若20，與r(1,22) 由12，因不同特征值對應(yīng)的特征向量必線性無關(guān)，故1,21A(1211122

0,

X0只有零解，又

1 2 2 1 2

1 2 2 1,2

0 22,線性無關(guān)時

Y0只有零解，故Y

1x1

x 1x1

22Y

0

22

20，故應(yīng)選5：由121,21,2分別是特征值1,2對應(yīng)的特征向量，根據(jù)特征值、特征向量的定義向量組I:1,2和向量組II:1A(12)1122.顯然向量組II可以由向量組I線性表出；當(dāng)20時，不論1的取值如何，向量組I可以由向II線性表，

(1)1

)11A()

1 2

從而III是等價向量組當(dāng)20時r1,2r11122 【詳解】由題設(shè)隨機抽取16個零件，相當(dāng)于, ,X為來自總體N(u,2)的簡單隨機樣本 ,X相互獨立。由正態(tài)總體抽樣分布的性質(zhì)：N(,2)中當(dāng), x 未知時，估計用統(tǒng)計量t ~t(n1)，期望值u的置信區(qū)間 SnSn(x t(n1),x t(nSnSn 其中t(n1PTt(n1)T~t(n nn16x20S1,10.90n~t(n10.90S

n(xn

St(n1),x

t(n1))(x

1t(n1),x

t(n1)) 即(2014

0

,2014

0

nnnnnn【詳解】

x21

xx21

12x

洛必達法

22

213 【詳解】由已知條件可得g（y g（y f()f()， (

y

y

2g

f(x

f(

y)2)

f(x

f(y2(y)f()f( 2(y)f()f( g

另一方面得到

f()f()

()y

x2g

(y

f()f() f(y y

f

f()

f()

f(y22

22

2

y

x

y

x2

2

y2=

f() x2

()

f() x2

()

f()

f(x【詳解】D：x2y210為以O(shè)1DDD (x,y)這時可以去掉絕對值符號x2y21 1 (x,y)1

x2y21d=(x2y21)dxdy(x2y2 1(x2y21)dxdy 1

(x2y211101

12 2

(1-x2)2 1[(x22)2(1x2)2]dx1x2dx12dx21(1x2)2 2

2

0 31cos 2cos4tdt 2 )2 3 3 121

2(12cos0

cos22t)12

2(12cos2t0

12 1 2 2cos2t 4 0 (1x2y2)dxdy 00

所 xD

1d + 方法2：由于D2的邊界復(fù)雜，計算該積分較麻煩，可以將D2內(nèi)的函數(shù)“擴充”到整域D= D2，再減去“擴充”的部分，就簡化了運算.(x2y21)d(x2y21)d(x2y2 因 x2y21d=(1x2y2)d(x2y2 (1x2y2)d+(x2y21)d(x2y2 2(1x2y2)d+(x2y2 由極坐標(biāo)(1x2y2)dxdy 00 D

2

21]dy1( 所 D

2

1d=28

1=

13S(x)

( 1)x2n，S(x)

x2n，S

(x)

x2n

2n

2n

n1nn1n

S1(x)S2(x)，x由 xn

xnx(1,1)S2(x)

xn

x=1x2

x22nnx

xt

1xS1(x0S1(001t2dtx2ln1x，又由于S1(0)0，故

x 1x

xx11n 所 S(x)S1(x)S2(x)

1 x1：將a看成變限.00F(x)xg(t)f(t)dt1f(t)g(t)dtf(x)g(1)00Fx在[0，1]F(x)g(x)f(x)f(x)g(1)f(x)[g(x)g(1)]x[0,1g(x)0g(x)g(x)g(1)0f(x)F(x)0Fx在[0，1]上單調(diào)遞減.00F(1)1g(t)f(t)dt1f(t)g(t)dtf000000 1g(t)f(t)dt1g(t)df(t)g(t)f(t)11f(t)g0000

=f(1)g(1)1f(t)g(t)dt0 f(1)g(1)1f(t)g(t)dt1f(t)g(t)dtf(1)g(1)0 x[0,1F(xF(1)0，由此可得對任何a[0,100ag(x)f(x)dx1f(x)g(x)dx00

f

ag(x)f(x)dxg(x)f(x)|aaf(x)g(x)dx=f(a)g(a)af(x)g(x)dx 00ag(x)f(x)dx1f(x)g0000a=f(a)g(a)af(x)g(x)dx1f(x)g(x)dxf(a)g(a)1f00ax[0,1f(x)0fxg(x)0x[a,1有f(x)g(x)f(a)g(x，所 1f(x)g(x)dx1f(a)g(x)dxf(a)[g(1)g(a 00從而ag(x)f(x)dx1f(x)g(x)dx00

f(a)g(a)f(a)[g(1)g(a)]fn，故方程組(II)有無窮多解，存在基礎(chǔ)解系.因為方程組(I)與(II)同解，所以方程組(I)也3.對方程組(I)的系數(shù)矩陣，記為A，施以初等行變 32行1行 1 1 3行1 3行2行 A 1 1

a

a顯然rA2rA3rA2a2.此時，方程組(I) 1 0x1x3得方程組(I)的同解方程組是xx023-2=1 無關(guān)解向量組成，選x為未知量，取x1，得

1bc將方程組(I)的解

方程組(II)可得2b2c1)0此二元一次方程組得b1c2或b0c當(dāng)b1c2時，方程組(II)變?yōu)?/p>

x22x3 x

1

21行2行 02

11x1x3

方程組(II)xx0，與(I)的同解方程組相同，故此時方程組(I)與(II) 解當(dāng)b0c1時，方程組(II)變?yōu)?/p>

x1x3

2x2x

12行1行2 方程組(II)x1x30，此時方程組(I)與(II)的解不相同.綜上所述，當(dāng)a2b1c2時，方程組(I)與(II)同解. A1C

O【詳解】(I)因為P

，因為A為對稱CT E nATA(AT)1A1(AT)1A1)T1

O故(A)

CT

E O

nmCm

A1CPTDP=

CT

B n CCA1CO T BC=CT

(II)BCTA1C是正定矩陣D是對稱陣DTD(PT)TP(PTDP)TPTDT(PT)TPTDTPPTDP，PTDPABATABTB，又(CT)TC，(A1)TA1(BCTA1C)TBT(CTA1C)TBCT(A1)T(CT)TBCT(A1)TCBCTBCTA1C因為PEm

111PPPTDP BCT 關(guān)系的傳遞性，有PTDP也與單位矩陣合同，故PTDP正定，根據(jù)正定的定義，對任OO，恒有O,YTPTDPO0，即O,YT

OYY YY

BCTA1CY O,YT OO,YT(BCTA1C) BCTA

YOYT(BCTA1C)YYT(BCT

TY故對任意的O，恒有Y

(BCAC)YBCTA1C為正定矩陣【詳解】(I)fX(x)X

f(x,y)dy，fY(y)

f(x, 2xdy,0x

2x,0xfX(xf(x,y)dy

關(guān)于Y

f(y)

f(x,y)dx=ydx,0y2,=1

,0y

(因為0x10y2xxyx2

FZ(z)P{Zz}P{2XYz0FZ(zP{2XYz0由定義域為0x10y2x，故2XY0，則{2XY0}是不可能事件當(dāng)0z2時 FZ(z)P{2XY

y 2x-y

f(x,

z2x12x-y

f(x,D 2x

=z1z2 4 402

2z2時FZ(zP{2XYz2，所以2XY2是必然事件

(X1，Y0，故2XY 1

z

FZ(z)z4

,0z

zf(x)F

(z)

12

0z