清華大學(xué)考研輔導(dǎo)強(qiáng)化班課程1

清華大學(xué)考研輔導(dǎo)強(qiáng)化班課程《微積分》

清華大學(xué)數(shù)學(xué)系劉坤林主講本節(jié)課程內(nèi)容：函數(shù)與基本不等式函數(shù)關(guān)系，定義域與值域，反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)四類(lèi)初等性質(zhì)（廣義奇偶性）極限定義與性質(zhì)序列與函數(shù)極限定義與等價(jià)描述極限性質(zhì)：唯一性，有界性，保號(hào)性及推論，比較性質(zhì)三個(gè)極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)極限5無(wú)窮小量比階等價(jià)無(wú)窮小量，同階無(wú)窮小量與高階無(wú)窮小量。極限相關(guān)知識(shí)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)概念，變限積分，級(jí)數(shù)，微分方程，廣義積分等。連續(xù)函數(shù)基本概念，定義，連續(xù)性與極限的關(guān)系，連續(xù)性等價(jià)描述，連續(xù)性的判別閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，零點(diǎn)定理，最大最小值定理。例15.設(shè)f（X）與甲（X）在（一8,+8）有定義，甲（X）在（一8,+8）有間斷點(diǎn)，f（X）在（—8,+8）上連續(xù)，且f（X）WO,則（）A.f（甲（X））在（一8,+8）上必有間斷點(diǎn)B.甲（f（X））在（一8,+8）上必有間斷點(diǎn)/（X）在（-8,+8）上必有間斷點(diǎn)

J'）在（—8,+8）上必有間斷點(diǎn)f（x）例16.設(shè)fG（―oo.+oo）olimf（X）=0且至少存在一點(diǎn)X|G（—8,+8），使得f（X1）>0,X—>co證明：f（X）在（一8,+8）上有正的最大值)證明(1)lima“存在X—>00_1q例17.設(shè)由=)證明(1)lima“存在X—>00〃=1an+\1-COS—.en—1例電若觸氤即="°,則：A.k=2且a=《B,k=-2且a=(k=2_i.a=--— Dk=-2且a= 2萬(wàn) 27r例19.若lim/（x）存在，則（）oA.xfj=/(/)BW>0及x0之去心鄰域〃(/?),使當(dāng)xeA.xfj=/(/)mM>0及與之鄰域U(Xo，b),使當(dāng)x〉U(Xo⑶時(shí),|f(x)|<M3A/>0,If(x)|<M)(Mg-42例.20.設(shè)f(x),g(x)定義在(-1,1),且都在x=0處連續(xù)。若V貝IJ()A.廓a)=°且g(0)=。B.炯^)=°且g(0)=lC.1四g(x)=l且g(0)=0 D.9照a)=°且g(0)=2例21.設(shè)當(dāng)x-o時(shí)，/T/+加+D是比/高階的無(wú)窮小量，則()A.a=O.5,b=lB.a=l,b=lC.a=-O.5,b=lD,a=-l,b=l第2講導(dǎo)數(shù)定義與性質(zhì)要點(diǎn)與習(xí)題導(dǎo)數(shù)定義導(dǎo)數(shù)定義作為第3標(biāo)準(zhǔn)極限應(yīng)用技巧導(dǎo)數(shù)性質(zhì)函數(shù)可導(dǎo)的充要條件，可微性概念，可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系微分與導(dǎo)數(shù)計(jì)算，高階導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的定號(hào)性與函數(shù)增減性，局部極值，凹凸性與拐點(diǎn)本節(jié)課程內(nèi)容：例L設(shè)f(0)=0,則f(x)在點(diǎn)x=0處，可導(dǎo)的充要條件()A.Iim，-/(l-cosh)存在 B. 存在C.limsinh)存在D./jtO /j->0h /?->0力/TOC\o"1-5"\h\z例2.若f(a)=k存在，貝ij：hmf(a+h)~f(a)=k/i—>o hlim =-K10hlimA"")7("〃)=-2k20 hlim/z =-k力t0° h,例3.設(shè)f(x)可導(dǎo)，且滿足條件lim/⑴一"1一二=-1,則曲線y=f(x)在(l,f(1))處的一。2x切線斜率為：()A.2B.-lC.0.5D.-2例4.設(shè)6>0,f(x)在區(qū)間(-b,b)內(nèi)有定義，若當(dāng)xW(-?,6)時(shí)，有|f(x)|W/,則x=0必是f(x)的(C)(A)間斷點(diǎn)；(B)連續(xù)而不可導(dǎo)的點(diǎn)(0可導(dǎo)的點(diǎn)，且f(0)=0；(D)可導(dǎo)的點(diǎn)，且/'(0)#0、，一丫幼 1例5.設(shè)曲線)一人在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸交點(diǎn)為(An,0),則lim%=e2n->oo例6.若二次曲線y=qr+bx+c(0<x<l)將兩條曲線連接成處處有切線的曲線，則該二次曲線為X(y=-x2+x+l)例7,設(shè)f(x)在x=0點(diǎn)某領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)，且當(dāng)x#0時(shí),f(x)#0,已知：f(0)=0,/'(0)=2則]Um(l-2f(x))^=e^x->0例8.設(shè)f(x)可導(dǎo)，F(xiàn)(x)=f(x)(l+|sinX|),若使F(x)在x=0處可導(dǎo)，則必有：(A)A.f(0)=0B./'(0)=0C.f(O)+f'(0)=0D.f(O)-f'(0)=01-OOSXs~~r~?…必f(x)=\例9.設(shè) 'g(x)??…,其中g(shù)(X)是有界函數(shù)。則f(x)在x=0處有(D)(A)極限不存在；(B)極限存在，但不連續(xù)(0連續(xù)，但不可導(dǎo)；(D)可導(dǎo)例10.設(shè)/(*)=.r[7C例10.設(shè)/(*)=.r[7CAa=lb二一.2Ba=lb=0Ca=-lb=-—2Da=-1b=—21“、arctan- x)0x奴岫 ⑼在點(diǎn)x=0處可導(dǎo)，則(D)例13.設(shè)在某U(0,3)例13.設(shè)在某U(0,3)內(nèi)/"(x)存在，已知liml+x+/(X)Xe2,求/(0)/(0)J"(0).例11.設(shè)f(x)在x=0某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=1,/'(0)=2,求極限limf例12.設(shè)f(x)是(-1,1)內(nèi)的連續(xù)奇函數(shù)，且1加幺2=4,則f(x)在x=0處的導(dǎo)數(shù)為上10+X(A)a;(B)-a ;(C)0;(D)不存在.本節(jié)課程內(nèi)容:例14.函數(shù)y=■的上凸區(qū)間為魚(yú)X(x=\+t2例15.設(shè)函數(shù)y=f(x)由IV=cos‘確定，則dy_-sinZd2y_ddy_-sinZd2y_d/小、'dx~~2t~，~dxr~dx^^d(-sinzdxIt-2fcosf+2sinf4r.2rsin"Ecosi

4r例16.設(shè)/(彳)=(%+1)2也(1一功,求仆")(一1)/<n)(x)Key:(-1嚴(yán)(“-1)!

/<n)(x)Key:(-1嚴(yán)(“-1)!

(1)"/ (-1尸(〃_2)!(〃+1)+2〃一—(X+D+/伙―1)=〃(〃-1)-(；二了!n\2n-2(n-2)例例求函數(shù)/“)=G'+DGT)的漸近線。x-1Key:垂直x=l；斜漸進(jìn)線y=3(x+l)例18.設(shè)f(x)在x=a的某領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)，f(a)-f(x)M(a-x)2的同階無(wú)窮小量(x-a),且f(a)為其極大值,則存在，當(dāng)5〉0,.丫€(4-3,。+6)時(shí)，必有工(A).(x-a)[f(x)-f(a)]>0(B)(x~a)[f(x)-f(a)]WO(t—x)XX-)Q.lin/")二<0(xWQ)(t(t—x)例19.設(shè)a>0。當(dāng)2=，時(shí)，曲線y=x“與y=lnx在(0,+s)內(nèi)相切。又當(dāng)a取值范圍為OVaV，e e〈時(shí)，上述二曲線在(0,+S)內(nèi)恰有二個(gè)交點(diǎn)。例20.設(shè)f(X)滿足/"(X)+ =2x,討論x=0是否為y=f(x)的極值點(diǎn).。例21.已知函數(shù)f(x)滿足等式曠=x+y,且y(0)=1,則f(x)在x=0處的二次Taylor多項(xiàng)式為1+x+X).例22.設(shè)f(x)在x=0某領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)，且/'(0)=0, =則上7IXI(A)f(0)是f(x)的極大值.(B)f(0)是f(是的極小值，(C)(0.f(0))是f(x)的拐點(diǎn).(D)x=0不是f(x)的極值點(diǎn).(0.f(0))也不是f(x)的拐點(diǎn).例23.設(shè)f(x)對(duì)一切x滿足xfXx)+3x[f\x)]"=l-e-x,若[(x0)=0,其中/力0,則/(A)/(%)是f(x)的極大值.(B)/(x0)是f(x)的極小值.(C)(%,/(%))是f(x)的拐點(diǎn).(D)/不是f(x)的極值點(diǎn)，/(%)也不是f(x)的拐點(diǎn).例24.設(shè)f(x)對(duì)一切x滿足/"*)+[八切2=x,且八0)=0,其中與*0,則工(A)f(0)是f(x)的極大值.(B)f(0)是f(x)的極小值.(0(0,7(0))是f(x)的拐點(diǎn).(D)x=0不是f(x)的極值點(diǎn)，(0,/(0))也不是f(x)的拐點(diǎn).8)內(nèi)有.例25.若f(x)為(-8,+8)內(nèi)的奇函數(shù)，在(-8,0)內(nèi)，且1(x)>0J"(x)V0.則在(0,+8)內(nèi)有.B_.0(A)/'(x)>0,/"(x)<0;(B)/'(x)>0,/"(x)>0;(C)/'(x)<0,/"(x)<0；(D)/'(x)<0,/"(x)>0本節(jié)課程內(nèi)容：第3講用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性態(tài)要點(diǎn)與習(xí)題清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系劉坤林主講3.1導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)定理及應(yīng)用技巧3.2Fermat定理，Rolle定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理。3.3Taylor公式及應(yīng)用3.4開(kāi)區(qū)間與閉區(qū)間上的最大最小值問(wèn)題不等式證明技巧本節(jié)課程內(nèi)容：.設(shè)方程/-3x+A=0,2.討論A取何值時(shí)，使得(1)方程有一個(gè)實(shí)根；|A|>2(2)方程有二個(gè)不同實(shí)根；|A|=2(3)方程有三個(gè)不同實(shí)根。|A|<2.設(shè)f(x)在［1,2］上有二階導(dǎo)數(shù)，且f(l)=f(2)=0,又/(x)=(x-l)2/(x).證明存在火(1,2)使尸?)=0..設(shè)在某右(x0,b)內(nèi)外x)hO,且/偽)>0,則在U內(nèi)(A)/'(X。)連續(xù)；(B)f(x)為增函數(shù)；(C)f(x)為正定函數(shù)；(D)f(x)能取到正值;.設(shè)0<aVb,證明不等式n「>23二a a+h.設(shè)f(x)滿足j/"(x)+3x[〃(x)]2=\-e-x(-8,+oo)，且/(Q)=/'(Q)=O,證明當(dāng)x?0時(shí)存在常數(shù)A,使得并指明A的取值范圍。.設(shè)f(x)在[0.8)二階可導(dǎo)，對(duì)一切xW(0,+8)有尸,(x)wO,證明在(0,+8)內(nèi)曲線y=f(x)上一點(diǎn)(X。，/(X。))處的切線與該曲線除切點(diǎn)外無(wú)交點(diǎn)。.設(shè)f(x)二階可導(dǎo)，f(0)=0,f'(0)<07"(x)Na>0.試問(wèn)￡&)與丫=1?，>0)在(0.+8)內(nèi)有幾個(gè)無(wú)交點(diǎn)？證明你的結(jié)論。本節(jié)課程內(nèi)容：.設(shè)f(x)在(-1,1)內(nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，/"(x)kO,試證：(1)對(duì)(TJ)內(nèi)的任一x0#存在唯一的6(x)6(0,1),使/(x)=/(0)+；^(，(x)x).(2).lim^(x)--zo29.⑴設(shè)l』xW3e,證明不等式.1-(In3)2<Inx2-in2x<1⑵設(shè)0<xV2,證明不等式4xlnxN/+2x—3.(求最大最小值).設(shè)可導(dǎo)函數(shù)f:[a,b]-*(a,b),滿足條件：加〃1"'")1<1.證明函數(shù)8a)=1/26+1'&))xe[a,b]在[a,b]中有不動(dòng)點(diǎn)，即存在xC[a,b],使得x，=g(x，);證明對(duì)任意給定的初值C[a,b],由迭代公式：x“+i=；(x“+/(x,J),(n=l.2 )所確定的點(diǎn)列收斂于g(x)的不動(dòng)點(diǎn)。.設(shè)eVaVb,則(A)A.ab>ba.B.ab<ba.C.ab>ba.D.ah<b".(1)設(shè)x>0,證明不等式ln(l+x)>armn"14-X

(2)設(shè)x—p>l證明不等式擊本節(jié)課程內(nèi)容：.設(shè)f(x)在［a,b］上二階可導(dǎo)，且/色)-/口)=0。證明存在Jw(a,3，使得.設(shè)f(x)在［0,1］上二階可導(dǎo)，且"(x)Ka.""(x)Kb其中a,b為非負(fù)常數(shù),Vee(0,1),.設(shè)/"(x)在［0,1］上連續(xù)，且尸口)>0./(0)=/⑴=0.若max/(x)=T，證明max/"(x"8X€［OJ］ A€［O,1］.設(shè)f(x)是周期為1的周期函數(shù)，在［0,1］內(nèi)可導(dǎo)，且f(D=o令M=max"a)i，證明存xe(O,ll在會(huì)(1,2),使得"G)IN2M。.設(shè)xe(0,1)證明：(1)(l+x)ln2(l+x)Vx2(2)-1< -<-In2ln(l+x)x2.證明：當(dāng)x>0時(shí)成立不等式，一i)］nxN(1-1)?o.證明：當(dāng)x>0時(shí)成立不等式f <arctan(x+1)-—<—x2+2x+2 4 2.設(shè)函數(shù)y=y(x)由皿/+),)=犬3丁+$也工確定，求y=y(x)在x=0處的切線方程與法線方程.貝切⑺(x)(-1)"2.〃!貝切⑺(x)(-1)"2.〃!(1+x嚴(yán)22.設(shè)y=y(x)在任意點(diǎn)xC(-8,+8)滿足△y=/y2kx+o[(Ax)]，若>⑴=乃己4,則1工y\l)=-^e4~~2卜=ln(l+?) 1~~2.設(shè)函數(shù)y=f(x)由［尸arctan，確定，則> 島.已知函數(shù)函x)在［a,b］上二階可導(dǎo)。A=(a,f(a)),B=(b,f(b))若線段AB與曲線y=f(x)交于點(diǎn)(c,f(c)),(a<c<b)證明：存在；G(a,b),使得f"(€)=0o本節(jié)課程內(nèi)容：第4講原函數(shù)與不定積分原函數(shù)關(guān)于原函數(shù)與可積性的特別說(shuō)明不定積分計(jì)算技巧 湊微分法，變數(shù)替換法，分部積分法，回歸法與遞推法，有理分式與三角有理分式的積分.求下列不定積分J-] & =;2arcsin(lnx)+CJxJinx(l-Inx)c、fsinxdx1... ,1萬(wàn) ;——InIsinx+cosxI+—x+CJsinx+cosx2 2rx"erx"e小;一^^+加一短+C

x+2zrx2arctanx, 11八2、1 2 「(4)J—]卜dx;xarctanx--ln(14-x^)--arctanx+Carcsinex Iarcsine-dx;-x-xexarcsinex+ln(l-vl-e2x)+C,八farctan靖, 1/_2v x 八一(6)j——于_dx;--(e arctane+e+arctane)+C(7)j-arcsin4x(7)j-arcsin4xdx■dx;2y[xarcsinVx+2yh-x+C(2x2+1)Vx2+1下列不定積分Cdx;2x71+7+21n +1-4a/1+7+CJJl+e' J1+/-1[ ^=;-[Vx^i--ln(l+3Vx^T)]+Ch+3y/x^3 3(1)1——l；6~xi下列不定積分Cdx;2x71+7+21n +1-4a/1+7+CJJl+e' J1+/-1[ ^=;-[Vx^i--ln(l+3Vx^T)]+Ch+3y/x^3 3(1)1——l；6~xi1 Z1 1 5 .2 , l\3--x6+-x--x6+-x3--x27 6 5 4 3 Jf—(1——~dx\2,sj~xln(l+x)+4(arctany/x—\fx^+CJy/x[ —;~^=arctan(V^tanx)+CJasin**x+cosxyja/八dx x，-;In11+tan—I+C+sinx+cosx 2, 1 2+tan—⑺f———;-lnI 2.J3+5cosx4 2—tai2\+C/c、rdxI.,x.I2%-T1 1..1-cosx.「(8)1 ;-InItan-Id—tsn—F -： -4—InI 1+CJsin2x+2sinx4 2 8 2 4(l+cosx)8 1+cosx八八、rdx1 1 1c(10)l777\-57+arctan7+c(H)+1)(1)2x4-2-dx-,In+」——arctanx+CJ/+1X+1(12)[, =\2arcsinJjx(4-x)arcsin士2+C

23.⑴匆(Inx)=ln(l+x)

x(2)設(shè)f(x)一個(gè)原函數(shù)為皿,x4.設(shè)f(x)在［0,+8)上可導(dǎo)，其反函數(shù)為g(x),若「'g(f)df=fe*,求f(x)。Key:/⑴二x—(1—二)111(1+””)+。

_Jx? 0<x<1Key:,UI")一［立￡ 1<x<2不是f(x)的原函數(shù)。事實(shí)上f(x)沒(méi)有原函數(shù)。I2…… ~.設(shè)"X)=；;匚*0，則f的一個(gè)原函數(shù)為B(A).F(x)=I2 2(A).F(x)=x>0.(B).F(x),x<0(C)尸(x)=—x2+x+].….x>0(D).F(x)=<2--e~x+—x x<0I2 2.設(shè)fG)在(-8,+8)上可積，則下列命題中不正確的是D(A)函數(shù)尸(%)= 在(-8,+8)上連續(xù)；f(x)的任意兩個(gè)原函數(shù)之差必為常數(shù)；f(x)的任意兩個(gè)原函數(shù)之和必為2f(x)的原函數(shù)；(D)若F(x)為f的一個(gè)原函數(shù),G(x)為連續(xù)函數(shù),則G(F(x))必為G(f(x個(gè)的原函數(shù)。.已知八x)=嬰，嗎)=〃,/芻=b,則 f(X)dxq(3A-Q)+2.設(shè)皿為f(x)的一個(gè)原函數(shù)，常數(shù)aWO,則［也也公=5X JQ+C(O).^^+Csinaxsinaxsinax+C(O).^^+CA.- FC\d)- FC.(C). axax ax

ax.設(shè)f(x)為已知單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，g(x)為f(x)的反函數(shù)，則sin咸C11.設(shè)f(X)在(-8,+8)上連續(xù)，記F(x)sin咸C11.設(shè)f(X)在(-8,+8)上連續(xù)，記F(x)=1(x-Z)f⑦dt,試證(1)若f(x)為偶函數(shù)，則F(x)也是偶函數(shù);(2)若f(x)單調(diào)不增，則F(x)單調(diào)不減。本節(jié)課程內(nèi)容：['(1+x)yj\-x2dx= ⑻.巴.(C).2〃.(。).工TOC\o"1-5"\h\zL 2 4、r sinx -<x<7t__tg2.設(shè)/(%)=?0其2,貝II])/(x)cos2xdx=B3 3(A).-.(B).--.(C).14 43.設(shè)feC[0,l],且j：f(x)dx=2,則f/(cos2x)sin2xdx=A(A).2.(3).3.(C).4,(。).1J,5xS1nt fsinx ~ , , 1 ,. dt"(x)=[(l+/)'dt當(dāng)x-0時(shí)，/(%)是J(x)的C0t JO(A)高階無(wú)窮小。(B)低階無(wú)窮小。(C)同階但不等價(jià)的無(wú)窮小。(D)等價(jià)無(wú)窮小..已知連續(xù)曲線y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)aW0對(duì)稱，則VCGR,，f(ar)dx=D(A).2f(2a-x)dx,(B).2f(2a-x)dx.(C).2jf(c-x)dx;(D).O

.求4Jcos(xt)2山(等于2cosQx)2)/djc兀719設(shè)人=fsin(sinx>/￥,Z2=Pcos(sinx)dr/,的關(guān)系(a)兀71（A）.小于（B）.大于（C）.等于（D）.不確定.設(shè)f(x)e[A,B],AVaVbVB,則極限修，小學(xué)一^^=(。)(A)f(a) (B)f(b) (C)0 (D)f(b)-f(a)本節(jié)課程內(nèi)容：.設(shè)正定函數(shù)fe>V2W8)；g(x0,/(x°))f(x)/(Xo)>O/'(O)VO(0.+8)W-V本節(jié)課程內(nèi)容:

.設(shè)正定函數(shù)/eC［a, F(x)-［：/3出+「卷力*則尸(x)=0在(a,力)內(nèi)根的個(gè)數(shù)為B<A>0;<B>1;<C)2;<D)3..-S:yeO[O_1].且_/單調(diào)減少，又寸任意Aw(O.1)記Z?"J：:fgdx?Za-'Cf'K》dx,則I\與12的關(guān)系為—<A>Zg>Z2? <B>7t<Z2? <C> 7*0(D>不確定..設(shè)y€(7[O.Z>].o€(0.Z>)?且/酢負(fù)早再減少.證明：Z>J^y(^)rfr.設(shè)y6cs.小卜且對(duì)諭是的一切&L)有f>?gdx-O?則在［a一刃上必有y(x)B_(2OOl-ex2)<A)恒為零;<B)恒為*數(shù)，<C)恒為統(tǒng)性函數(shù)；<D)恒為平均值為零的周期函數(shù).16.設(shè) I現(xiàn)X)連續(xù)，/o(x)-1-ZW-J：43虱Ddc且Z(o)-o>A(x)-J：A_4)M)業(yè)，(A:-l,2.3,A)>則由己知函數(shù)力5)表出的力GO1-無(wú)1-抬k(D)LA(x)FB.線/(K)在[0.+8).■。上可導(dǎo)，其反函數(shù)為g(x)?若=x，*,求y*(K)-.役_/5-2.J；[Z(X)+=(初sinxdx?5?Z(Q)<=3).>0./(x)在區(qū)向(-為(5)內(nèi)恒有/"(X)>0.且4記I-J二/Xx>*:?則必有上(A)7=0* (B)7>0? (C)/<0t(D)不確定,.設(shè)F(x)- sintdt?則F、x)A(A)必為正的*數(shù).〈B)必為優(yōu)的常數(shù).(C)恒為零.<D>不為充數(shù)。.設(shè)y(x)為連續(xù)奇函數(shù).且F(x)=,若等絲小，則尸'(0)=-2_-.設(shè)y(x)為連續(xù)奇函數(shù)，且巾⑵土2則尸(丁)…一2a..登sin"x=J『/(2x)i￡r，求(答春 >(?* x<o?x.?S.盧《一8+2。jo 8(A)二。(B)(A)二。(B)_1_。(C)二.(D)15130.確定的值.便ax-sinxuni = =vx0(—jx11t(Ir)在 ?！鰋本節(jié)課程內(nèi)容：第6講定積分綜合問(wèn)題及應(yīng)用要點(diǎn)與習(xí)題清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系劉坤林主講定積分區(qū)間變換及其應(yīng)用綜合問(wèn)題與技巧定積分應(yīng)用問(wèn)題幾何應(yīng)用物理應(yīng)用由定積分決定的函數(shù)性態(tài)研究，變限積分與含參數(shù)積分綜合問(wèn)題積分不等式與處理技巧本節(jié)課程內(nèi)容：證明?普辛以=H「人』?dx?J。1?cos2x2J。1+cos2x設(shè)/在［0.1］上連續(xù)?3.且滿足「dx證明存在父(0,1),便理力?0?證明連續(xù)周期函數(shù)的原函數(shù)必為線性函效與周期函數(shù)之和.(1)設(shè)〃為正教數(shù)，6.計(jì)算<2)計(jì)算點(diǎn)0+x)c：sx*.(3)設(shè)〃為正教數(shù)，計(jì)算廣義積分fxln*xdx-(4)設(shè)〃為正整數(shù)，求積分■rZ,-fjcosgKSin2"xdx?<5)計(jì)算<6)計(jì)算.小甲x.

8?Mx)-f1/(x/)dx?且hm ,JO x—0X求/(x).并討論N(X)的連續(xù)性.7.設(shè)在［6句上可導(dǎo)，/(a)＞0,/*(x)＞0,記尸(，)為e4xit,/(x)，＞4/(Z)界定的面積，G“)為，，x，瓦/(，)A/(工)界定的面積，證明對(duì)任意常數(shù)尢＞0,存在唯一的&e(?,b)使得F(x0)-*G(x0)?本節(jié)課程內(nèi)容：8.談了(X)為［a,村上的連續(xù)非負(fù)單調(diào)增函數(shù)，(X.T)為的形心.(X.Y)為x=a0S成區(qū)域之形心，試證x＞—?10.讀儀x)為［-1內(nèi)上的非負(fù)可積函數(shù)，且又設(shè)當(dāng)因＞1時(shí)，心)-0-V方＞］,記求X**川(x)dx-(2)若/(x)eCl-l.l],求氏J：/(x)B(x)dx，(3)若(3)若〃x)在卜1』上可積，在x=o處連境求曾本節(jié)課程內(nèi)容:內(nèi)導(dǎo).11.設(shè)/在［0,1］上連續(xù)，^eCHO.l］^gf(x)^0.且j；1 *=0,^(x)/(x)試證明：且滿足在3D內(nèi)可導(dǎo)?則/‘(X)在(0,,1］上連續(xù)?在內(nèi)(0,1)可/(D-k戶尸八方dx=0，一點(diǎn)盧e(0.1).13.設(shè)函數(shù)/(x)在［0,R上可導(dǎo),/(0)=1,(1)求號(hào)數(shù)/*(x)(2)證明x時(shí)成立不等式：S/(x)Sl.14.卬滿足￡九-X)山L ,求/(x)的極值及漸近線,2并作/(x)的圖形.(2000基礎(chǔ)摸).已知，(x)是［-a,a］(°>0)上的連續(xù)偶函數(shù)，證明：二，5)arctane*dx-y.設(shè)/(x)是［0,+b)上非負(fù)連犢且單調(diào)減的函數(shù)。a”-V/(A:)-J：_/⑸公(n=1,2,A)?證明｛%｝有極限。

本節(jié)課程內(nèi)容:0410。4/(力.設(shè)y/(x)0410。4/(力<(X.J)/(0)-0<(X.J)統(tǒng)x.，軸旋轉(zhuǎn)一周生成的體積記為次)，試證塊)二階可導(dǎo)，并求.在[0J上給定y?/，對(duì)任意的ie[0,l]?記前是由lOj"“''所四成的面積，記凡是由x=[,y=c*j=e'所圉成的面積，問(wèn)i取何值時(shí)：總面積S?SI+必取褥最大最小值，說(shuō)明理由。.在曲線y=(X-1)2上點(diǎn)(2J)處引該曲戰(zhàn)的法級(jí).由該法線，X軸及該曲然X>1的部分圉成區(qū)域?yàn)镈,求D統(tǒng)x軸旋轉(zhuǎn)一周生成的體積..設(shè)曲線p=/(jc)由x(D=f：廣sin—du及y(f)-f：e'Tcos2udu確定.則該曲線當(dāng)<=2時(shí)的法線方程為、2.設(shè)/(x)在區(qū)間句上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),記max^l/(x)|-Af,試證ML.設(shè)S(x)連續(xù)，S(x)-加os股,<1>當(dāng)〃為正整數(shù)時(shí)，且n<,<x43+1)一寸,證明2〃<S(x)("+1)?(2)求里父..X-M?X本節(jié)課程內(nèi)容:九一階與高階可降階常微分方程（-）一個(gè)概念：微分方程的“解”方程及其分類(lèi)解：方程的階、線性非線性解：一般解、特解、定解條件、初值問(wèn)題（二）三類(lèi)方程：按類(lèi)求解；現(xiàn)察侍定函數(shù)或常數(shù)方法。一階方程：高階可降階方程：高階線性方程：線性方程解的結(jié)構(gòu)理論常系數(shù)線性方程的規(guī)察侍定法歐拉方程：？/+2'+?=?。┎罘址匠毯?jiǎn)介（三）兒類(lèi)應(yīng)用問(wèn)題兒何問(wèn)題：切線、法線，曲率，弧長(zhǎng)和面積物理力學(xué)問(wèn)題：根據(jù)力學(xué)和物理定律，其他方面簡(jiǎn)單問(wèn)題。微分方程及解的概念

判斷函數(shù)/（幻=qe-a+Ry2G）=，，％（/）=C,a=1,2,3為任意*數(shù)，是否是方程：GO『'=2K（1一辦心）可?一Q_2^2%，=0之解？是否通解？方程《/'+p（xyy=0，「（幻是周期力7的周期品數(shù)，討兔：金麗是否一定是周期函敷？若是謂證明一若不一定是請(qǐng)舉反例， 井找出一定為冏期解的茶件3試討論這種方程解的特點(diǎn).若函數(shù)f.）G）滿足條件：xy9-?-3/G'r=1—.[y（0）=/（。）=0PxN0,》44x*其中二是*數(shù)，試X=??■?%本節(jié)課程內(nèi)容：.設(shè)/（X）在區(qū)間［-a,a］Q>°）上有二階連續(xù)導(dǎo)致，/（0）-0.（1）寫(xiě)出帶拉格朗日余項(xiàng)的一階麥克勞林公式.（1）證明至少存在一點(diǎn)？e［-a.a）,使得a3廣（切=3匚_/5必..設(shè)7?Q）.ga）._y?均為區(qū)間［a.句上的連續(xù)函數(shù)，/?>0,并且滿足>（04sW+試證明在［a,句上成立不等式?XQ）4g（￡）+J：/（力g（巧25.設(shè)/（X）.Ex）在x=0某鄰域內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，且當(dāng)x-?o時(shí)y（x）是Mx）的高階無(wú)窮小.則當(dāng)x—0sintdt時(shí)是的D<A）底階無(wú)窮小量；（B）高階無(wú)窮小（C）同階但不等價(jià)的無(wú)窮小量；<D>等價(jià)無(wú)窮小量。（綜例10.2.16）26.設(shè)/（X）在［0,1］上可導(dǎo)，且滿足證明存在一點(diǎn)民（0,1）使得〃3+八》=0。本節(jié)課程內(nèi)容：例題.）討論P(yáng)例題.）討論P(yáng)取何值時(shí),生_收斂,key:?>（2）又p取何值時(shí)，廣義積分收斂.收斂,key：p>l收斂提示：用極限比較法，p>l時(shí)與f”包比p7時(shí)用定義，⑴z-p<2）發(fā)散。Ik2.計(jì)算廣義積分產(chǎn)? *k3.f3.f 「一"a*5?）Vi*x24.就參數(shù)p的取值討論下列廣義積分的U5.計(jì)算廣義積分⑴pln($inx)dx⑵，⑶jjarcsinx(4)￡汕($小x)dx本節(jié)課程內(nèi)容：11-設(shè)入€/?，收斂，則*?1之(-1)" I。" 收斂性結(jié)論是?-iy/n2+sinA(A)絕對(duì)收斂；(B)條件收斂，(C)發(fā)散：(D)不定(91) 己知級(jí)數(shù)會(huì)對(duì)4?2之*?5,則級(jí)數(shù)%，等于(C)M-I(A)3;(B)7;(C)8,(D)9?1&設(shè)a.-Ftan*xdx，⑴求軍㈤U⑵證明，2n<2>VA>O-<3)級(jí)數(shù)之勺收斂.“?】力14. 設(shè)a.>0且單調(diào)減，若級(jí)數(shù))?是否收之(-丫生發(fā)軌試問(wèn)之(」7)?是否收斂？證明結(jié)論。15? 設(shè)/力=j*^smwxcosxdx9In-1,2,A，求?.設(shè)Wx)為(-8發(fā)?8)上的連續(xù)周期函數(shù)，周期為1,且‘爪刀財(cái)?shù)?。，/(X)在［0.1］上連續(xù)可導(dǎo)，令a*■f*y(x)tpQtx)dx,證明級(jí)數(shù) 收斂. 3.設(shè)/(x)eC3［-j,司，其中6>0，若11m津-0，則使級(jí)數(shù)左/")收斂的a取值范圍是<A)&>2;<B>a<l;(C>a>-l;3 3 3<D)a<-l七本節(jié)課程內(nèi)容：第8講函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)綜合問(wèn)題與技巧函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)基本問(wèn)題基級(jí)數(shù)與泰勒級(jí)數(shù)3級(jí)數(shù)的展開(kāi)與求和函數(shù)展開(kāi)與求和函數(shù)(A)基級(jí)數(shù)收斂及解析性的特點(diǎn)；(B)哥級(jí)數(shù)的間接展開(kāi)方法與依據(jù):八個(gè)基本初等函數(shù)在原點(diǎn)的臺(tái)勞級(jí)數(shù):sinx■>，0戶)‘Vxe(-<?,+?)*COSX->!![x"'Vxe(-co,+a>)-*q(%>e" 'Vxe(-8.+8)。ta^)-yL2Z2x?,vx€(-u]ll?-in(卜打.〈亞JR秘二3一,Vxe(-1.D，tS n\特別是有常用公式(5-1)a--1>"--x*?Vxe(-1,1)g2)c-l,后…》宮㈠尸鑼口Vx€[-U](5-3)-二二—二巨㈠》一-2 2臺(tái)m*心敢口] ?8.4傅里葉級(jí)數(shù)的展開(kāi)及發(fā)斂定理。函數(shù)富氏展開(kāi)的幾種提法：若了?）是周期為2/的周期函數(shù)，則有系數(shù)公式a「\'{?cos與tdt，"-0.1.2八*j%■,1/1)向半必,??L2八若先給出了（,）在區(qū)間［a.a+24上的表達(dá)式，要求：“將/《）在區(qū)間［a.a+2〃上屬成富氏皴數(shù)”.其意思是有一周期為2/的周期函數(shù)F（t），它在區(qū)間［a,a+2/］上是/Q），其他地方按周期2/建拓.因此，其M氏系數(shù)可用公式計(jì)算：明■,|/(/)cos—n-0,1,2^1/(,)沏學(xué)，d，n-1.2/i?給出川）在區(qū)間［0」］上的表達(dá)式，要求：“將川）展成正保）茂級(jí)數(shù)”或“作奇（偶）延拓”；其意思是有一周期為2/的奇（偶）函數(shù)尸0.它在區(qū)間［0,4上是/Q）,其富氏系效公式計(jì)算；正弦級(jí)數(shù)：％■（）,n-0,1,2^?n-L2rA6

余弦級(jí)數(shù)：%=,J 力，n-0,1.2,A1bam0*?，UA.IN|三角級(jí)數(shù)逐點(diǎn)收斂定理：若/(小周期為2元的可積期函數(shù)，其條件滿足以下之一者：如輛期區(qū)間上逐段可微，了(,)在周期區(qū)間上逐段單調(diào);則有：為了的連續(xù)點(diǎn)丁學(xué)—沏叫沙卜”》為/的間斷點(diǎn)1.若了(,)在周期區(qū)間上逐段單調(diào);則有：為了的連續(xù)點(diǎn)丁學(xué)—沏叫沙卜”》為/的間斷點(diǎn)1.若￡竺其在*<1處發(fā)粒?-1n點(diǎn)收斂.則a的取值范圍是⑴⑴1W，⑻24aS3；3. 24。＜3

.若 之4/收斂半徑為1，級(jí)效豆(0.+1)X*的收斂半徑為廣，則必有*一1(A)/?=1B(B)ril?(C)r21?(D)廠不費(fèi)確定..<iF4及數(shù)之竺1的和3為_(kāi)<3>■■■(2)±(T)*M的和6為.(0>￡■川.求y(K)--1—在X.2處的森級(jí)數(shù)展x(88) 若級(jí)數(shù)之(88) 若級(jí)數(shù)之a(chǎn)*(x-1)*，在x.-l處收斂，則比級(jí)數(shù)在N(B)(A)條件?。?B)絕對(duì)收斂?(C)發(fā)散；(D).斂散性不能確定。開(kāi)式，指明收斂域.x0X-0試將/(X)展成X的賽級(jí)數(shù)，并求級(jí)致寧(一D”的和.(綜例13?7.5)白—4，求之JI-求之JI-1（如>|工"的收斂域.（2??+1）118.求q J 的和.er（?a-1）2*1.2-1;(C)1;14.將 1.2-1;(C)1;14.將 ■xarctanx-InE/M的和?！啊?其中a.■2j/(x)cosnnxdx?(C).13.設(shè)￡(x)滿足_4'(x)?Z,(x)+xid，的正整數(shù)，且，([)=￡，求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)n指明收斂域。Key:-帖15.將/(x)■(7)”(DKey:-帖15.將/(x)■(7)”(D在T-1處展開(kāi)。本節(jié)課程內(nèi)容：(徒)九一階與高階可降階常微分方程一階微分方程及其解法可分離變量型：》'=/(/)然60可化為分離變量型：『=/(〃+助一階線性方程：y'+pG)y=g(n)伯努利方程：*'+p(x)y=g(x)y。全微分、簡(jiǎn)單積分因子：萬(wàn)々,》自+丫々,)閑=0判斷下列一階方程的類(lèi)型:(可分離型)顯積分因子)0,；《可分離型，明顯積分因子)0,；《可分離型，明x(lnx-ln/)^y-j(ix=O?(=方程)ytgx-y=5(可分離型，一階線性，明顯積分因百 二士=y—X （等齊方程，一階線性，明顯枳分因dxx子）?,=——y——（對(duì)內(nèi)一階線性，明顯積分因子）x4-sin_y（y+Zx）寞=y＜等齊方程，明顯積分因子）xyf+y=2yfxy（等齊方程，伯努利方程，全微分方程）寞'=/@+坊）型）本節(jié)課程內(nèi)容：(續(xù))九一階與高階可降階常微分方程解方程：卜益-心=2/0(當(dāng)=_21”)V(o)=i)(93)函數(shù)y=/(x)過(guò)(0,二1).且其切線斜率jdn(l+/)為，則/(x)=?.1(y=xln(l+x2)<ix--=l(l+^2)(ln(lK2)-l))⑼)連擦函數(shù)/W滿足/(x)=^7(1>*+ln2則〃X)是(B)(A)e,kil-(B)e2,ln2，⑹e*+ln2；⑹i，ln2?(92),tanx=cosx的潮?是(j=(x+c)cosx)?(93)求(/—i始+(2xj_c0SX炒=0滿足

X0)=1之特解.(」=嗎二1)A-1(88)求工了，+了=2/7的通解?(等齊伯努利.全徼分)若曠=，4x+2j-l,14x+2y-1-2ln(J4x+2j +1)=x+c)若（x+Zv_y2）y'+_y2=0求一般解.（對(duì)x線性，2 2-bx=-j+"e'若ydx+（x-3工3了2%=0，求一般解?（簡(jiǎn)單積分因子-^.-,+3\ny=C）2國(guó)）2若Zxydx+（y2-3x2）rfy=0，求一般解；弋（積分因子、?齊、對(duì)晟性=c,3）若Iv，-x2v-v2,求一般螺（佰努利,積分因子'置換X?=”彳2-y= ）綜合題:（99）今有/-2y=<r)其中龍⑼三°（99）今有/-2y=<r)其中龍⑼三°財(cái)=2,當(dāng)x<l0,當(dāng)x>18）上的連續(xù)函數(shù)解。（y（x）=?e2x-1,x<1).(1-/2解。（y（x）=?（96）設(shè)/6）為連續(xù)函數(shù)的解.其求初值問(wèn)題［y+”=川）的解.其中，a>0若|/（x）|<0（常數(shù)），證明當(dāng)X20,有(01)函數(shù)列y；(4?=1,2,A鼠滿足初值問(wèn)題：N(x)-Z,(x)=xf*'/&=￡I1I?求：S(x)=￡/,(x)(-/ln(l-x))Ml、值問(wèn)題戶。(加〃幻且b(O)=7o Ilim/K=0.其中貿(mào)。/々)為連控函我證明：上述初值問(wèn)題之解了G)，有l(wèi)i2y(x)=o?若方程y+D=/(x)中，2為常數(shù)小)是周乃為T(mén)連續(xù)周期函數(shù),試證：存在唯一的周期為T(mén)的特解。，，=小叩傀卜］二階可降階方程/=/&%/)及嫡法1分：1分：=y'G)；=/?=P與dy?缺X的方程：?缺X的方程：/=/Gsy'),令加=p(-工(x+q尸+(y+c2)2=l^kK”>=〃x><1f. n-1yy*yt2=0(021.2)? ??Mo)=5。)層》dy=Jx+1或/=xg1)(l+*2\y"+2xyf=x3-<令>'=p(x)kx3xy=———4-c^arctg,x+c2/yy"-3y2=0*?,+]=jq>0:1=?,+]=jq>0:1=加(內(nèi)">Vciey=常數(shù)；或/=求一般解.6+22)±JC4-C2q<0:^2^—arcsi^/-q>)0:y=±jc+c?本節(jié)課程內(nèi)容：(續(xù))十高階線性方程一般理論及常系數(shù)線性方程(H)高階線性微分方程及其解法〃階線性齊次方程方程：產(chǎn)+a[(x)產(chǎn))+A+&.】(x)y+4(6=0n階線性非齊次方程方程： ]產(chǎn)+4(x)尸)+A+*G)y+an(x)y=f(x)外階線性常系數(shù)齊次方程方程：/+a^^+A+*j'+aj=On階線性常系數(shù)非齊次方程方程：產(chǎn)+?產(chǎn))+A+%，+”=，(x)線性微分方程解的結(jié)構(gòu)理論常系數(shù)線性齊次、非齊次方程求解1.(89)「。)國(guó)(工)和/(X)是連續(xù)函數(shù)，且線性無(wú)關(guān)的三個(gè)函數(shù)為、了2,都是二階線性非齊次方程之解,q和是任意常數(shù)，則其通解是：(D)(A)(B)十。必+力；5%+027廠?+心）力.(c)+c272-(1-q-c2)y3■qH+QX+Q-q-Q)%2.（01）設(shè),=6，（55加工3為任甯常數(shù)），為某二階常系方程為（y*-2y'+2y=0補(bǔ)充：求方程到。孫，

，”/+可3辦）的通解.則該微分y=c,e2*4-c2e))y=cxe~+,。x—10<92)求y--3yr+2y=.T數(shù)滿足方程.y切貨與曲線尸=/2_工+1在該點(diǎn)切)?("-Zxe1=(1-2y=ctcosx-￥c2sinx-之通解(■^sinxH-x)(90)求y"+4y'+4,=2=之通解(2x)十高階線性方程一般理論及常系數(shù)統(tǒng)性方程z x(CX^C2X+—eax+7 2工2Q+2尸(99)yH—4y—ey=。盧一.+c/2”+(87)求yR+6y.+(9本節(jié)課程內(nèi)容：(續(xù))標(biāo)合題16.(89)利用代換,=一巴一將方程

COSX，'sinx+3ycosx=化簡(jiǎn)，再y=c般解。(sixsin2x1ex)+c2 + 人cosx5cosx21(89)設(shè)/(x)=sinx_/(x_，)/(f)<25r，/(x)?(〃x),sin3+

2/(0)=1滿足:/(x)+=0,23(00)/(/)在［0,+8)可導(dǎo),求函數(shù)/&)=?(2)a明：Vx>0,Wf(x)W1?22.(84)設(shè)級(jí)教(3外！3⑴lim(A)不存在；(B)等于1(D)等于22.(84)設(shè)級(jí)教(3外！3⑴lim(A)不存在；(B)等于1(D)等于3lim嗎計(jì)?.wjG)=0?(—00,00)?4-1=shx+1?7=證皴數(shù)23.(021)(1(2)利用上述結(jié)果求級(jí)數(shù)n?026(°D若/"(6=g(x),g'(x)=2e*~V(x)，/(0)=0g(0)=2；求1+6")25(97)設(shè)/(〃)二階連殯可導(dǎo),且△/'Q'sinj：滿足方程：生+與=z/，求(fix2Oy227.(022)設(shè)y=>(x)滿足：力'+金=e",則當(dāng)=y'(o)=o8乂射y=> ，(-8cxv-￡劭)八y'+y'+y=e**24.1g)在半交何x>0,對(duì)任何光滑 曲面(j^x^ydz-xyf{x\izdj.-e^zdxdy=0其中/(x)在［0、+8)一階連較可導(dǎo)，且%/?)=1求(")=工卜-1))X20.(94)/Ec2,/(0)=0,f'(0)=l，且如(xj(x+J)-/a、j)(Zx+(/(X)+/j)<y=0是全微分方程，求/(工)，并求方程通解?(j\x)=2cosx+sinx+x2-2，本節(jié)期橢:儂)TOC\o"1-5"\h\z十二歐授陽(yáng)嫌豺攤魏的翻廄 I⑼幽花:這+攙+g廣聞 I?。?I卜T赫施了與#+卜^^?^4 加A7%%令廣上得4l-l)+p-g=On/+0-1,+廣0；=>磯=g(x,力

at化成二階方程:解法i：一雌隧勵(lì)程的通球黑=&p槐12M+Z.=p?.t+/h)%>pK+垢+￡)

IIW772+歷一-2十，》-1+￡卜人-，曲+￡P(guān)f城，?\%,解法2：二階線性齊次粉方程“田+以祀不。,=0的輒根法求解:令形螭x.=V，代入方翻靴方機(jī)"4以+。=0,根：(4)關(guān)于解的結(jié)構(gòu)理論與線性母分方程類(lèi)似,由此狗一般解：(4)關(guān)于解的結(jié)構(gòu)理論與線性母分方程類(lèi)似,由此狗一般解：5.銀行實(shí)行貸秋購(gòu)房業(yè)務(wù)，力貸元，月和「，〃個(gè)月本利還清，在這刃個(gè)月內(nèi)技復(fù)利計(jì)息，每月連本帶血x元.(D求］=/“//)的關(guān)為(2)記〃個(gè)月的平均利息y:—本節(jié)課程內(nèi)容：(續(xù))(七)微分方程應(yīng)用問(wèn)題兩類(lèi)問(wèn)題：幾何方面的應(yīng)用,:的三步曲：列方程=>在幾何方面的應(yīng)H—、歐拉方程、面的應(yīng)用幾何量的分析表示：切線乂?。悍匠蘺_>=f(x\X-x).次切跑PR=卜?cota|=\y/y'|，切線長(zhǎng)A/尸=>/PR2+MR2=Jy卜?tana|二》孤微分與貨長(zhǎng):(H=+(助2曲率：pda_darctanyi.v現(xiàn)yll+iyydx(99)函數(shù)j(x),(x±0)二階可導(dǎo)，且j'(x)>0，v(0)=i過(guò)曲戰(zhàn))=?(x)上任一點(diǎn)尸(左？，作該曲戰(zhàn)的切戰(zhàn)及X軸的垂線，上述兩直線與X軸所圉成的三角形面積記為S「區(qū)間［0/］上以y=jxG)為曲邊的曲邊梯形面積記為S2，并設(shè)2S1-S2恒為L(zhǎng)求比曲線y=_y(x)的方程。(j=e”)(95)設(shè)曲線￡在第一象限,其上

總相交，記交點(diǎn)為&，己知幅，一點(diǎn)4f之切線與y軸=|O4|.又過(guò)點(diǎn)4務(wù)求比曲鯨方程.(八屈于1（91）在上半平面上求上凹曲線,其上任一點(diǎn)p（*,y）處的曲率等于此曲線在該點(diǎn)法線段pg長(zhǎng)的例數(shù)，又金線在（1,1）點(diǎn)處與另軸平行.（y=LQc-d（98）y=y（x）為上凸連續(xù)曲線，其上任一點(diǎn)/>（"J）處的曲率算于 ,且在點(diǎn)（0J）點(diǎn)處的切線方程為瓦丁 巴y^X+1,求比曲線的方程及其極值?由條件?（0）=1確定其解（93）y=7（工）在連續(xù),若曲線>=7（X）'直線x=Lx=/4>1）、與x軸所國(guó)的平面圖形，繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體枳為^）=yP/0-Z（l）］-且32）=1求y=/（x）所滿足微分方程及條件，并求其解.（y=X-x3y）（。。平面曲統(tǒng)上上任一點(diǎn)9Gj）,（x>0）,到原點(diǎn)的跑高恒等于該點(diǎn)處切線在y軸上的我距，且過(guò)點(diǎn)求曲線上的方程y=>（K）. （ ^=1-XS）-4求在笫一象限部分的一條切線使其與￡及溝生標(biāo)軸所HI面??小。（，=_正/+工）3 3（96》過(guò)平面曲段V二與幻G>0），上任一點(diǎn)“XJ）Inx切錢(qián)在尸軸上的截距等于1jfQM:求為統(tǒng)L的方

Inx程，=H（y=G+q(022)求微分方程的x辦+&_2yRx=0一個(gè)解y-j(x),使得由曲線y=y(x)與直線/=l,x=2以及X軸所圖成的平面圖該電；軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體體積最小。"X+*”⑹=d詈+藍(lán)卜=粉(93)物體力從點(diǎn)(0,1)沿丁軸正向以■常速陽(yáng)動(dòng)，物體8從(-1,0)與H同時(shí)出發(fā)，速度為2v,指向4求的8運(yùn)動(dòng)微分方程及初始條件(x畿+：+ =0,y(-l)=0,y(-l)=-1)(00)從船上向海中下沉某構(gòu)儀器,需確定下沉深度y(從海平面算起)與下沉速度此間的函數(shù)關(guān)系。設(shè)儀器在重力作用下,由靜止從海平面垂直下?沉.在下沉中阻力與速度成正比，比例系數(shù)上＞0，同時(shí)受到浮力，設(shè)儀器質(zhì)盤(pán)為JM，體積為8,海水比重為。,試建立方程并求解y=y(v).(y=_巴丫_加(砥-即)|nmg-Bp-kv)-Bp.層厚度成正比.若穿過(guò)2米厚的水層時(shí),最初的光線被吸收掉3.試問(wèn)到達(dá)水深12米處時(shí)，光線還利多少？/。(12)=0.087呢。)(0。)某湖泊水■為每年入湖含污物A的污水，入湖污水量匕，入湖不含A的水量為匕，流出量匕.己知6 6 31999年底湖中有污物5加T超過(guò)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)。為治污從2000年初開(kāi)始,限定入湖污水含A濃度不超過(guò)也，問(wèn)V多少年后湖中含污物的量降至〃石.X13.作一個(gè)柱臺(tái)座，柱臺(tái)座斷面面積函數(shù)為S=S(y),S(h}=S0,臺(tái)柱高為力，其上受力為p，使每個(gè)斷面上的壓強(qiáng)都一樣(等強(qiáng)度柱臺(tái)座),求sgs(j).(在高度為〃處的斷面面積為s=s(力卜在底部有一面積為用的小孔，若水流出速度v是水深方的函數(shù)，。=必，血,若在容器裝滴水后,將底部小孔打開(kāi)，問(wèn)多久水將流盡？jsQ2,)

將質(zhì)量為m的物體， 以初速v0垂直向上射出.設(shè)空氣阻力與運(yùn)動(dòng)速度的平方成正比， 比例系數(shù)幺2>0°求物體到達(dá)的高度,到這最高處的時(shí)間，落到原地時(shí)的速度及下落時(shí)間八、 L（上升的最高度m 加「j二￥：、?H———yin -=——yin14 ?2kmg 2萬(wàn)1[j上升到頂點(diǎn)的時(shí)間：f+-2"n-InkjmgJrng-kv落地時(shí)間：T=￡+_2"L.]nA^+；.其中本節(jié)課程內(nèi)容：（續(xù)》巡目：十二向量代效與空同解析<88）已知￡本節(jié)課程內(nèi)容：（續(xù)》巡目：十二向量代效與空同解析<88）已知￡XR都是單位向量,E+片+￡：；?求《一)己如(￡x/》g=2?則[(￡+/)+￡)].(<?+J?)=?<<>證明余弓支定值才口正廷定理.■1)|<2|2=(￡—<?)2=囪*+因*—.員N)|J?x與■|i*x<?|—|Px團(tuán)*lf+JT+￡_， 2㈣。+國(guó)。|

.3,￡3=,則三JS：線A%曷，尾，曷,性無(wú)關(guān)?.3,￡3=,則三JS：線A%曷，尾，曷,性無(wú)關(guān)?(6rank(曷昆，尾"rank<3曷，區(qū)，昌才百關(guān)，而出，曷件是：<D>三向.星，曷,+bty+J=Ob^y4-c2=O交于一點(diǎn)的充性相關(guān)，(B)三同岸+。3性相關(guān)，(B)三同岸6,若S=(L4.51^=(1J>21(P=〃使裨(1-11)?米求兩條交間宜線),的8,求?點(diǎn)H(尸)=在由￡廠所構(gòu)成的平面上的投^)//(?—〃與,(U=0a,〃使得位+2與/+幺/)共(2=//)乳3g三向9,證明：不共線的三向量HR構(gòu)成封閉三角形的充要條件是：J.若三個(gè)非零向量OP，滿足條件：￡=史4,史=孩岫=￡邃，試求它們之間的夾角及各自的模。（?11在什么條件下,關(guān)于f的向量方程?=4x￡有解？有多少解？解的一般形式是什么？（BiX?=E+M）本節(jié)課程內(nèi)容：（續(xù)）十二向量代數(shù)與空間解析幾何空間解析幾何平面與直線的方程：平面：法向建—a*'+^y+c^,方程：民（戶—行）=0.即

a（x-x0）+6Cy-^0）4-c（z—z＜））=0直線：方向？=/片+小夕+〃仁方向數(shù)柱面：方程中缺變*:tin尸）=o.x24->2=r2;方程：￥x（戶一4方程：￥x（戶一4）=o.或（戶一看）3.a(jc2+/>a(jc2+/>di￡l=°為：yoz上曲線匚:繞p軸旋轉(zhuǎn)而晟之曲面Vx2-4- ）-O空間區(qū)域的不等式表示楠球體：3+《+<41；半/b2c2ax^by-￥Cz-￥d<015*(87)與[：?j=_[+/,z=2+f亶線平行且過(guò)原點(diǎn)的平面方程（今有直戰(zhàn)：z：izl=Z=2 121與上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的直線方程；（Z￡Z1=ZZ=I平分由::7x+24z-50=0-所或兩i4x^50y-22Z+625=0，46x-50y+122z+375=0>面/r:7x8>,k+1y-2_____——(87)過(guò)點(diǎn)?(11.23)?垂直子直黃〃：^.=Z=￡4 5 6—3 6《87》過(guò)點(diǎn)01.2,3)?垂直子宣?U/.?面a:7x+8y+9z+10x+1y-2 z-3、-3一3滿足下:19.求過(guò)4(],5-2)的直線方程，I條件:『直陜；2：和平面點(diǎn).3“一y+2n+3=0X-■v—aTEL交于一點(diǎn)；飛(B)重合;(C)平行不重合I(D)異面。24.(94)己知力(1,0,0)與5(044),線段AB線軸Z旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)面S求吸平面z=0,z=l所固］體的體機(jī)(V=tr^A{Z}dZ=-儲(chǔ)(98)求直歧￡：3=2=二1,在平面；r:x-y+2z=l11-1上投影直線￡淵方程,并用上。繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面珀昉<4^2-17j2+4z2+2j-1=0)26.已知二次里/(人"2，七)=5x：+5石+cx；-2x^2-6x2x3+6x3Xj的帙2, .求特征值；Q=3,A,=4,A2=9,A3=0,)；指出/G、y,Z)=l表示什么曲面？(橢圓拋物面)本節(jié)課程內(nèi)容：(續(xù))十三多元微分學(xué)及其應(yīng)用(1)多元函數(shù)定義與符號(hào)：函數(shù)符號(hào)的三式：顯式Z=/(x,y)；障式：尸(xj,z)=O和參數(shù)式：X=X(2Z,V)?J=yQ,y)Z=N(M,V)多元極限：多路逕連續(xù)：初等函數(shù)連續(xù)性，閉域上連續(xù)函數(shù)的三性質(zhì)：有界性，取最大最小性，中值性(2)導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)：偏導(dǎo)數(shù)，方向?qū)?shù)與梯度，一元化方法復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘上中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)；兒多中間變量有兒多項(xiàng)；幾層復(fù)合有幾層積。關(guān)鍵在函數(shù)關(guān)系分析。微分：定義為線性主部，可微，可導(dǎo)，連續(xù)的關(guān)系；微分的兒何意義：切平面存在可微的充分條件：一階偏導(dǎo)連續(xù)(3)多元微分學(xué)的應(yīng)用求空間曲面的法線、切平面；求空間曲線的切線與法平面；多元臺(tái)勞公式研究函數(shù)性態(tài)多元極值問(wèn)題：無(wú)條件、條件極值問(wèn)題；閉域上最值問(wèn)題本節(jié)課程內(nèi)容：(續(xù))十三多元微分學(xué)及其應(yīng)用多元微分方法本節(jié)課程內(nèi)容：(續(xù))十三多元微分學(xué)及其應(yīng)用題目(94)z-〃工了)在「式餐,打)的兩個(gè)偏導(dǎo)存在是函數(shù)^^^(工,〉)在外(見(jiàn),打)連續(xù)的. (A)充分條件；(B)必要條件，(C)充要條件；(D)既非充分又非必要。4021)考慮二元函數(shù)的下列性質(zhì)：⑴/(工,」)在(飛,必)連續(xù)；⑵/(x,y)在(飛,必)兩偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)、⑶/GM在(為,必)可飛⑷在(飛,為)兩偏導(dǎo)數(shù)存在。則有：(A)(A)(2)7(3)?(1);(B)(3)7(2)?(1)；|(C)(3)7(4)?(1);(D)(3)7(1)?(4);.192)設(shè)z=/(/Smy、X'+/)，其中求：WdxdyCXOJ0K.（98）設(shè)Z=L/（XJ）CXOJ0K.（98）設(shè)Z=L/（XJ）+J0（X+J），f&eC，求:Xyv,（""ay）+0”+y）+"a+y））.（00）設(shè)函數(shù)z=/":]+g-]f,g?求Iy)A^y*)(e:'SinyCosyf^+2e\ySiny-￥xCosy)f^+WJ$+，8s"')I///，6加九的函數(shù)結(jié)構(gòu)都一樣。.（93）z=//a上），5.求當(dāng)‘三,上三?dya/,狄力

9.(99)己如z= w=9.(99)己如z= w=In^x2,v=arctan—>求dz- I^^1二+xh1MM)%(―嚕,=0?u(r,2x)=x*4區(qū)2切二/，求iz*（x,2x）?吟卜刈吟（@）（注意符號(hào)的運(yùn)用）（匕區(qū)狗=匕區(qū)1/-2九AA V 3〃二(x,2x)=*x)v311.設(shè)漢二/a+y+z,/+j?+z?求表本式：迎+效.+亞=9（注意循環(huán)對(duì)稱性）（才砂2十冬?I3井+4。+j+z）九+4（/+j2+z?次+6〃12.(98)設(shè)變量u=x-2y

v=x+ayII12.(98)設(shè)變量u=x-2y

v=x+ay6與+"一彗二o簡(jiǎn)化成￡A=o求a?（3）3c，砂fix@“dudv

.若2=/（X,））滿足關(guān)系：XZX,JWRJW及丁v）=tk/（x,y）（*r則樂(lè)才為加齊次函數(shù)。證明：f為屈欠齊次函數(shù)0x二?y^^二kfdxdy含有隙函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題.（87）設(shè)2^方程x+y_/=qz確定的函?SSt2（工./），求a2z 、Xdxdykz_ez(x+y-2>hI)3 6+e.（9D方程^^二十/斗產(chǎn)=7仿所確定的函數(shù)z=z（工,y）在點(diǎn)4（1，°，T）處的全微分?（dz{M}—dx—>[2cly)16.(98)16.(98)設(shè)z22s-5〃/求心和”zdxdy*/,*/,a)“dxdydz-((2x+y)dx4-(2y-x)dy)e2 2 .)y-xy-xec%)5 5W17.設(shè)函數(shù)〃=/(x,y,z)有連續(xù)偏導(dǎo)語(yǔ)i&且z=z(x,?)由方程一工所確定，19.求du.(人匕y匕""匕N^+《碧尸卜+[一》^4>

20?函數(shù)U=u(x,^x)由方程g( =0確定，21.求力(N工)=0Ou&uOx'dyOu&uOx'dy22.(99)設(shè)函數(shù)＞=y(x),z=Z(X)由方程—= 確定，f尸wa，求名才F(x,j,z)=0 * ~dx,%+xr)弓-x/'產(chǎn)。、7；+wf： 、.(92)函數(shù)〃=Im—+/+二2)在點(diǎn)/(l,2,-2)處的梯度值。(容廠12^以(廠)|必=2(?+2,_2￡).(93)數(shù)量場(chǎng)〃=]nJ?2+y2+二2則div(gradu))=25.(。1)25.(。1)d^radr)\(i_212)O2+z2'何、26.則)()(div{gradu))=十三多元微分學(xué)及共應(yīng)用壟元微分學(xué)的幾何應(yīng)用〈x+Ay+6n=21，和>x+2n=7）30. 〈93）由曲線｛，/a2, 統(tǒng)冏――冏W31.咸的曲面在點(diǎn)”（0,0,J5）處的指32-向外何的華位法向是什么？（33.若給定方程尸（門(mén)x-Zz,n mz）=：0*34-且產(chǎn)eC4'35.證明由比確定的曲面讓任一點(diǎn)的切36.平面都平行于直線：△二=上=三］、Imn

37.證明曲面S:ax+by+cz=F（工'+丁'+z2）（a.Ee為*數(shù)），上任一點(diǎn)處的法線必與直線Z：二=21=三相\ clbc?交。本節(jié)課程內(nèi)容：（續(xù)） pn十三多元微分學(xué)及其應(yīng)用多元極值問(wèn)廖明確摘裝我碰：什么函數(shù).（目標(biāo)函數(shù)）?在什么條件下，（約束條件）?JI ,求什么極值？（極大，極小）？寫(xiě)成:[Maxf{xyy,z) \Min/(x,%z)寫(xiě)成:[si.g(x,_y,z)=o[s.t.g(K,_y,N)=O39.（99）設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品縝投入兩種要素xl和x2為其投入量，40.。為產(chǎn)出量,41.若生產(chǎn)函數(shù)為Q=2工；X?，42。其中a,Q為正常數(shù)，43.且a+/?=l，44.設(shè)兩種要素價(jià)格分別是J"利刀2，45.試問(wèn)產(chǎn)出量為12時(shí)，46.兩要素投入多少，47.可使責(zé)用最小？(K]=(K]=6Z、尸P2a(P\B)48.（00）設(shè)企業(yè)在兩個(gè)分割的市場(chǎng)上出售同49.品，50.其需求函數(shù)分別是=18-2。】，51.p2—12—Qz其中和是市場(chǎng)售價(jià)萬(wàn)52.元噸.53.為銷(xiāo)售/噸.54.該企業(yè)生產(chǎn)該產(chǎn)品的總成本函數(shù)是C=20+5,0=2]+02若企業(yè)按價(jià)格差別策略，試確定兩個(gè)市場(chǎng)上該產(chǎn)品的售量與價(jià)格，使利潤(rùn)最大，若實(shí)行無(wú)差別策略，試確定其兩個(gè)市場(chǎng)上該產(chǎn)品的售量與統(tǒng)一價(jià)格，使利潤(rùn)最大.(MaxpR+必2-(%+5>g:(4,5)p:(10,7)52，⑸0:(5,41p:8,49)55.(021)設(shè)有一小山，56.取其底面為坐標(biāo)57.面XQy,58.底部區(qū)域?yàn)椤?｛見(jiàn))甘+J)-盯W75b小山高度函數(shù)為力(x,j).二75-x2-j±+xy*(1)設(shè)“oG3為)為區(qū)域D上的一點(diǎn)，問(wèn)力(x,y)在該點(diǎn)沿平面上什么方向的%向?qū)?shù)最大？若此方向?qū)?shù)的W關(guān)值為gGojj'試寫(xiě)出g&Jo)的表達(dá)式。(2)現(xiàn)欲利用此小山開(kāi)展舉巖活動(dòng)，為此需要在山腳尋找一上山坡最大的點(diǎn)作舉登起點(diǎn)，即，要在。的邊界線”+/_不,二75上找出使(1)中的g(x,y)達(dá)到最大的點(diǎn)，試確定5登點(diǎn)的位置。(⑴g&，M)=,5君+5*-縱比；(2)M嚴(yán)產(chǎn)8%M(5Ti監(jiān)(_*))si.x+j?-xy=7559.園內(nèi)接成2多邊形中，60.什么面積最大？（fn2 IMaxZ一<I2等點(diǎn)睇）IIs.t.22七—2萬(wàn)、1?1TOC\o"1-5"\h\z61.求函數(shù)=Inx+21n尸+31nz在第一卦象內(nèi)球面：x2+y2+z2=6廠2上的極大值；并利其結(jié)果證明不62.等式：、 、ab2c3ab2c3<108663.在三角形上BQ內(nèi)找一點(diǎn)，64.便到三邊距寓的平方和最小。 Bk ■（設(shè)c、b、c為三邊之邊長(zhǎng)，X,y,z為所設(shè)點(diǎn)到三邊之垂線長(zhǎng)，A為三角裝之面積. I，_2Aa_2Ab_2AcX=a2+b2^c2>y==a2+b2+c265.底面三角形一定.66.體積一定的三樓鎮(zhèn).67.何時(shí)表面積最小。（設(shè)方工為底面三角形三邊之邊長(zhǎng)，為頂點(diǎn)在底面之投影點(diǎn)到⑥之垂線長(zhǎng)，月為底面三角形之面積，三棱鋌體積為0,力二絲為三棱錐之高.A，麟川+bj》2+72+cG2+為2））|、s.￡ax-^by+cz=2A

令~n年桂t君：〈生/十四置積分及其應(yīng)用（1）二董枳分定義與符號(hào)：積分和式的極限，設(shè)f:DuhtR=JJ/G，ykb￡>口性質(zhì)：械積函數(shù)有界性，可枳性；X寸區(qū)域的可加性；運(yùn)菖的單詞性；估值與中值定理等。本節(jié)課程內(nèi)容：（續(xù)）十四重枳分及其應(yīng)用計(jì)算：<1>在宜希坐豐示系下的計(jì)算rr”bQ.b力(x) rr”bQ.=,力Jy~^>yy^y=。JlI*)d -?jC*)J如J刀(KQ>CxO *1Cf)C2）在極坐*示系下的計(jì)算JJ/G—Hb=jDq,Qsin中)pcip戶Qiq,Qsin中)pcipJdipJfScos。G”)方法、技巧:坐標(biāo)系的選擇;

積分次序的確定;域和函數(shù)的對(duì)稱性的利用；對(duì)區(qū)域可加性的利用；兒何、物理意義的利用.本節(jié)課程內(nèi)容：（續(xù)） ] ]十四重積分及其應(yīng)用1.將二重積分\\f（x9y\b:,JJDx2+y2—4<ax<0D:^x2-t-y2-2ax0?化成累次積分。?y之o五2

-

e五2

-

e3-8+/7⑥A-2■-?1-4TOC\o"1-5"\h\z.(88)計(jì)算2 8 4 軍Z=JeZx|sin^-dyfdx\sin^-dy?(i 6 2y2 c 2y.(90)i+^/=JJe~f2dy?n 25.計(jì)算/=1也

dydb?D:1一2）1 J冗s?計(jì)算/=Jj'±yHb，D:

dy”2?27Vy?（--, 64xy>17.（87）；8J電J0 0 oj切；（d）j電j0a 0 08.187）2^^由^^^^ --]nky332e圍成圖形的面積。（2.）等于:11卜1M1 .〔OWyW2K.計(jì)算I=JJJ}-K上的分，D：￡>冗八2.計(jì)算z=|JJ|i—>2-y」日。，D：AdcLX^x\,\y^W1-2 8"/a一二rH |tan3(pd(p(解： 3 3I )=—(^r4-2-2In2).(88)計(jì)算/=JJ卜，+?y”一^\ixdy,r>D:?x'+y2M16?《8Ott).(91)計(jì)算Z=||(xy+cosk-sinyy±xdy.2?=R2HJZ?3J△<A>-(A>/=2II—?sinydb；■、n(B)I-2|jxydaD(C)Z=4j|(xy4-cosx11?siny^cr；CD).(021)Z=J]*":益,其中。=工210-41,0WkVI卜Q-l)14.(024)e^T：D=如,2+y2<y14.(024)e^T：D=如,/eC(D)?^kf履,J)=J"-—J--J]f[uyv)diidv，求兀>f(^>y)=?(/D=J1——―J-六仔一(/D=J1——―J-六仔一弓卜)d乃IZ3JSO)計(jì)算 K4y2:一」「.DJ4.—5_D由1y=-a+y/a2-x2,y=-x圉成./=JJ?1+xe/=JJ?1+xe.+力以加TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"oi)、 、(01)交換累次積分| y)dx的積分次序。22 21-x .(-M 必=J^J/t")右)11-x 101Q(95)設(shè)fwC[O，U,且J/(xVx0j、fd^\A^}f{y}dy=?(；不)ox 2|(01)計(jì)算二重積分：其中是由三直線：＞=工,y=一1及區(qū)=1圉成的平面221.1620.(99)計(jì)算/=|]ydxdy,D。由x=一。=0,7=2K區(qū)域。（_2）3.(次序。22.D:sinx交換累次積分一辦［/（工0 0計(jì)算/=口甌月Gx2+/2^4竺-81n(l+⑸+ln2)=JJ(6x+8y&x力,Dr3y+(y-4》＜25-(1225.(023,4)求極限:||arctan(14-t)dtduK(l-COSX)26?嫉 、 、D=LvK+/ 之0,feC\f\^=0,M=Max\gradf(x9y^,證9t> (xj六”明：JJ/UD27.若/wC[0,l]，且是正的單調(diào)減函數(shù)，證明：TOC\o"1-5"\h\z1 1 1口^xf2[x}dx^xf(x)dx0 v0I -1Jf(加 j/(x必L_0 0.證明： 、、fa 、2 ? 4,\\e~^dx￡冗1-e「

\"az\ )

本節(jié)課程內(nèi)容：（續(xù)）十四重積分及其應(yīng)用II）三重積分定義與符號(hào)：積分和式的極限，JJJ/GMzky設(shè)f;Du整'tR，JJJ/GMzky4f川性質(zhì)：被積函數(shù)有界性；可積性；時(shí)區(qū)域的可加性；運(yùn)算的單調(diào)性；估值與中值定理等。計(jì)算:（1）在直角坐標(biāo)系下的計(jì)算Jjj7C",zkvQ"\\dxdyJ/(x,y,zjiz"\\dxdyJ/(x,y,zjizLaik=J&JJz)dxdy。%”)（2）在柱坐標(biāo)系下的計(jì)算:

，亡影b=pdpacp)pdp(P」G”)eD時(shí)=Q在[z!(X,^)<z<Z2，亡影b=pdpacp)pdp(P」G”)eD時(shí)=Q在[z!(X,