桿件結構的變形計算（能量法圖乘法）

6.5能量法基基礎1、變形是是指結構構原有形形狀的變變化。2、位移是是指某點點位置或或某截面面位置和和方位的的移動。。位移包包括線位位移和角角位移兩兩種。1）線位移移是指結結構上某某點沿直直線方向向相對于于原位置置移動的的距離，，結構上上兩點之之間沿兩兩點連線線方向相相對位置置的改變變量，稱稱為相對對線位移移；2）角位移移是指桿桿件某截截面相對對于原位位置轉動動的角度度，結構構上兩個個截面相相對轉動動的角度度稱為相相對角位位移。變形和位位移6.5.1作用在彈彈性桿件件上的力所作的的功外力的作作用下將將產(chǎn)生變變形，在在這一過過程中，，外力將將在桿件件相應的的位移上上作功。。外力作功功分為常力作功功和變力作功功兩種形式式。1、常力功功當桿件位位移發(fā)生生之前，力已經(jīng)存存在，且位移產(chǎn)產(chǎn)生過程程中，作用力不不發(fā)生變變化，則此時力力所作的的功為常常力功。。等于該力力的大小小與其作作用點沿沿力方向向相應位位移的乘乘積。2、變力功功當彈性桿桿件在力力的作用用下所產(chǎn)產(chǎn)生的位位移，隨隨力和變變形的增增加而增增加時，，力所作作的功為為變力功功。6.5.2桿件的彈彈性應變變能彈性體在在外力的的作用下下將產(chǎn)生生彈性變變形，此此時，外外力所作作的功將將轉變?yōu)闉閮Υ嬗谟趶椥泽w體內(nèi)的能能量。而而當外力力逐漸減減小時，，彈性體體的變形形可逐漸漸恢復，，儲存在在體內(nèi)的的能量被被釋放而而作功。。這種因彈彈性體變變形而儲儲存的能能量稱為為彈性應變變能。儲存于彈彈性體內(nèi)內(nèi)的應變變能在數(shù)數(shù)值上等等于外力力所作的的功。若軸力沿軸線為為變量，，的微段桿桿內(nèi)所儲儲存的應應變能梁彎曲時時的應變變能則可先計計算長為為6.5.3互等定理理1、功的互互等定理理能量守恒恒原理，，可推導導得出線線性彈性性體的互互等定理理，常用用的是功功的互等等定理和和位移互互等定理理。力系在力系引起的位位移上所所作的功功，等于于力系在力系引起的位位移上所所作的功功。推導：2、位移互等定定理力在作用點處所引起的與相對應的位移在數(shù)值上等于力在作用點處所引起的與相對應的位移當當時，所產(chǎn)生的的位移稱為單位位移移，特用來表示，則此此時的位移互互等定理可寫成在彈性范圍內(nèi)內(nèi),彈性體在外力力作用下發(fā)生生變形而在體體內(nèi)積蓄的能量,稱為彈性變形形能,簡稱變形能.一、能量法三、變形能二、外力功固體在外力作作用下變形,引起力作用點點沿力作用方方向位移,外力因此而做做功,則成為外力功功.利用功能原理理Vε=W來求解可變形形固體的位移移,變形和內(nèi)力等等的方法.總結可變形固體在在受外力作用用而變形時,外力和內(nèi)力均均將作功.對于彈性體,不考慮其他能能量的損失,外力在相應位位移上作的功功,在數(shù)值上就等等于積蓄在物物體內(nèi)的應變變能.Vε=W四、功能原理理五、桿件變形形能的計算1.軸向拉壓的變變形能此外力功的增量為：當拉力為F1時,桿件的伸長為為Δl1當再增加一個個dF1時,相應的變形增量為d(Δl1)FFllFFOll1dl1dF1F1積分得:根據(jù)功能原理理當軸力或截面面發(fā)生變化時時:Vε=W,可得以下變形形能表達式當軸力或截面面連續(xù)變化時時：2.扭轉桿內(nèi)的變變形能或lMeMeMe純彎曲橫力彎曲3.彎曲變形的變變形能θMeMeMeMe4.組合變形的變變形能截面上存在幾幾種內(nèi)力,各個內(nèi)力及相相應的各個位位移相互獨立立,力獨立作用原原理成立,各個內(nèi)力只對對其相應的位位移做功.六、變形能的普遍遍表達式F--廣義力(包括力和力偶偶)δ--廣義位移(包括線位移和和角位移)B'C'F3BCF2AF1假設廣義力按按某一比例由由零增致最后后值對應的廣廣義位移也由由零增致最后后值.對于線性結構構,位移與荷載之之間是線性關關系，任一廣廣義位移,例如2可表示為F3ABCF1F2B'C1F1,C2F2,C3F3分別表示力F1,F2,F3在C點引起的豎向向位移.C1,C2,C3是比例常數(shù).F3/F2在比例加載時也是常數(shù)F1/F2和2與F2之間的關系是是線性的.同理,1與F1,3與F3之間的關系也也是線性的.在整個加載過過程中結構的的變形能等于于外力的功iFiF3ABCF1F2B'——克拉貝隆原理理（只限于線線性結構）Fii七、變形能的的應用1.計算變形能2.利用功能原理理計算變形例題1試求圖示懸臂臂梁的變形能能,并利用功能原原理求自由端端B的撓度.ABFlx解：由Vε=W得例題2試求圖示梁梁的變形能能,并利用功能能原理求C截面的撓度度.ABCFx1x2abl解：由Vε=W得例題3拉桿在線彈彈性范圍內(nèi)內(nèi)工作.抗拉剛度EI,受到F1和F2兩個力作用用.若先在B截面加F1,然后在C截面加F2;若先在C截面加F2,然后在B截面加F1.分別計算兩兩種加力方方法拉桿的的應變能.ABCabF1F2（1）先在B截面加F1,然后在C截面加F2ABCabF1（a）在B截面加F1,B截面的位移移為外力作功為為（b）再在C上加F2F2C截面的位移為F2作功為（c）在加F2后,B截面又有位位移在加F2過程中F1作功（常力力作功）所以應變能能為ABCabF1F2（2）若先在C截面加F2,然后B截面加F1.（a）在C截面加F2后,F2作功（b）在B截面加F1后,F1作功ABCabF1F2（c）加F1引起C截面的位移移在加F1過程中F2作功（常力力作功）ABCabF1F2所以應變能能為注意：（1）計算算外力作功功時,注意變力作作功與常力力作功的區(qū)區(qū)別.（2）應變能Vε只與外力的的最終值有有關,而與加載過過程和加載載次序無關關.2解:梁中點的撓撓度為:梁右端的轉轉角為:MeACBFl/2l/2梁的變形能能為:1例題4以彎曲變形形為例證明明應變能Vε只與外力的的最終值有關,而與加載過過程和加載次序序無關.先加力F后,再加力偶Me（1）先加力F后,C點的位移力F所作的功為為（2）力偶由零零增至最后后值MeB截面的轉角角為力偶Me所作的功為為ACBFl/2l/2ACBFl/2l/2Me1先加上的力力F所作的功為為C截面的位移移為3ACBl/2l/2F與力偶Me所作的功為為ACBFl/2l/21Me1、結構材料料處于彈性性工作階段段，服從胡胡克定律，，即應力應應變成線性性關系。2、結構滿足足小變形假假設，在建建立平衡方方程時，仍仍然可用結結構原有幾幾何尺寸進進行計算。。3、結構各部部分之間為為理想聯(lián)結結，不計摩摩擦阻力影影響。6.6單位荷載法法6.6.1結構位移計計算假定滿足上述條條件的理想想化結構體體系，其位位移與荷載載之間為線線性關系，，稱為線性性變形體系系，其位移移計算可以以應用疊加加原理。δkδk6.6.2單位荷載法法1、虛擬狀態(tài)態(tài)的選取欲求結構在在荷載作用用下的指定定位移，須須取相應的的虛擬狀態(tài)態(tài)。即取同同一結構，，在要求位位移的地方方，沿著要要求位移的的方位虛加加單位荷載載：1）欲求一點點的線位移移，加一個個單位集中中力2）欲求一處處的角位移移，加一個個單位集中中力偶3）欲求兩點點的相對線線位移，在在兩點的連連線上加一對指指向相反的的單位集中中力4）欲求兩處處的相對角角位移，加加一對指向向相反的單位集集中力偶5）欲求桁架架某桿的角角位移在桿桿的兩端加加一對平行、反反向的集中中力，兩力力形成單位位力偶。力偶臂臂為d，每一力的大大小為1/d力和力偶統(tǒng)統(tǒng)稱為廣義義力，單位廣義力力用=1表示線位移和角角位移統(tǒng)稱稱廣義位移移，用⊿表表示單位廣義力力有截然相相反的兩種種設向，計計算出的廣義位位移則有正正負之分：：正值表示廣廣義位移的的方向與廣廣義力所設設的指向相相同負值表示廣廣義位移的的方向與廣廣義力所設設的指向相相反2、單位荷載載法計算位位移的主要要步驟為：：(1)沿擬求位移移的位置和和方向加設設相應的單單位荷載；；(2)根據(jù)靜力平平衡條件，，求出在所所設單位荷荷載下結構構的彎矩；；(3)根據(jù)靜力平平衡條件，，計算在荷荷載作用下下結構的彎彎矩；(4)代入位移計計算公式中中計算位移移。3、各類桿件件結構在荷荷載作用下下的位移公公式（1）梁和剛架架梁式桿的位位移中彎矩矩的影響是是主要的，，位移計計算公式中中取第一項項便具有足足夠的工程程精度（2）桁架各桿為鏈桿桿，而且是是同材料的的等直桿。。桿內(nèi)只有軸力力，且處處處相等。因因而只取公公式中的第二項項并簡化為為實用的形形式（3）組合結構構既有梁式桿桿，又有鏈鏈桿，取用用公式中的的前兩項（4）拱一般計軸力力、彎矩的的影響，剪剪切變形的的影響忽略略不計4、靜定梁的的位移計算算計算步驟為為（1）設虛擬狀狀態(tài)；（2）計算（3）用梁的位位移計算公公式計算位位移。例1求圖所示簡簡支梁上力力點的作用用點的豎向向位移和轉轉角。EI為常數(shù)。左段右段右段當時，左段左段右段這里單位力力偶的方向是任任選的。取正值，表表明轉角的方向與單單位力偶的的方向相同同；取負值，表表明轉角的方向與單單位力偶的的方向相反反；5、靜定桁架架的位移計計算計算步驟為為（1）設虛擬狀狀態(tài)；（2）計算（3）用桁架的的位移計算算公式計算算位移。解（1）設虛擬狀狀態(tài)（如上上圖b所示）（2）計算（標于圖b.a）（3）代公式求求C點的豎向位位移例2圖示桁架各各桿的EA相等，求C結點的豎向向位移6.7圖乘法6.7.1圖乘法原理理1、圖乘法的的適用條件件：（1）桿段的軸軸線為直線線（2）桿段的彎彎曲剛度EI為常數(shù)直梁和剛架架的位移公公式則為（3）圖圖和圖圖中中至少有一一個直線圖圖形2．圖乘法原原理圖乘法求位位移的一般般表達式為為注意：3.圖乘法的步步驟[1]設虛擬狀態(tài)態(tài)；[2]畫圖；圖圖；[3]圖乘求位移移。[1]應取自直線線圖中[2]若與在桿件的同同側,取正值，反反之,取負值。[3]如圖圖形形較較復復雜雜，，可可分分解解為為簡簡單單圖圖形形。。結論論：：當滿滿足足三三個個條條件件時時，，位移移等于于兩兩彎彎矩矩圖圖形形中中曲線線圖圖形形的的面面積積乘以以其其形形心心所所對對應應的的直線線圖圖形形的的縱縱坐坐標標，再再除以以EI。6.7.2幾個個規(guī)規(guī)則則圖圖形形的的面面積積和和形形心心位位置置b幾中中常常見見圖圖形形的的面面積積和和形形心心的的計計算算公公式式alh三角角形形CClh頂點點二次次拋拋物物線線lh頂點點cN次拋拋物物線線lh頂點點c二次次拋拋物物線線3l/4l/41、應應用用條條件件桿為為直直桿桿，，EI為常常數(shù)數(shù)，，兩兩個個圖圖形形中中至至少少有有一一個個是是沿沿著著的的整整個個長長度度為為一一直直線線變變化化的的圖圖形形，，縱縱坐坐標標取取自自該該直直線線圖圖中中。。2、正正負負號號規(guī)規(guī)則則面積積與與縱縱坐坐標標在在桿桿的的同同側側時時，，乘乘積積取取正正號號；；否否則則取取負負號號。。6.7.3應用用圖圖乘乘法法時時的的幾幾個個具具體體問問題題3、分分段段計計算算(1)若用用來來選選取取縱縱坐坐標標的的圖圖形形是是由由幾幾段段直直線線組組成成的的折折線線，，則則應應分分段段計計算算。。(2)桿件件各各段段有有不不同同的的EI，則則應應在在EI變化化處處分分段段并并按按分分段段進進行行圖圖乘乘。。4.圖形形的的分分解解疊加加計計算算當圖圖形形的的面面積積和和形形心心不不便便確確定定時時，，可可以以將將其其分分解解成成幾幾個個簡簡單單的的圖圖形形，，分分別別與與另另一一圖圖形形相相應應的的縱縱坐坐標標相相乘乘。。梯-梯同同側側組組合合：：梯-梯同同側側組組合合：：梯-梯異異側側組組合合由區(qū)區(qū)段段疊疊加加法法作作的的彎彎矩矩圖圖，，其其彎彎矩矩圖圖可可以以看看成成一一個個梯梯形形和和一一個個規(guī)規(guī)則則拋拋物物線線圖圖形形的的疊疊加加。。曲-折組組合合階梯梯形形截截面面桿桿解圖分分別別如如圖圖(b).(c)所示示。BC段的的MP圖是是標準準二二次次拋拋物物線線；；AB段的的MP圖較復復雜雜，，但可可將將其其分分解解為為一個個三三角角形形和和一一個標標準準二二次次拋拋物物線圖圖形形。。例1試求求圖圖a所示示外外伸伸梁梁C點的的豎豎向向位位移移CV。梁的的EI=常數(shù)數(shù)由圖圖乘乘法法得得代入入以以上上數(shù)數(shù)據(jù)據(jù),于是是例2試求求圖圖a所示示伸伸臂臂梁梁C點的的豎豎向向位位移移cv解荷載載彎彎矩矩圖圖和和單單位位彎彎矩矩圖圖如如圖圖bc所示示。。在AB段,MP和圖均均是是三三角角形形；；在BC段，，MP圖可看看作作是是由由B.C兩端端的的彎彎矩矩豎豎標標所所連連成成的的三三角角形形與與相相應應簡簡支支梁梁在在均均布布荷荷載載作作用用下下的的標標準準拋拋物物線線圖圖，，即即圖圖b中虛虛線線與與曲曲線線之之間間包包含含的的面面積積]疊加加而而成成。。將上上述述各各部部分分分分別別圖圖乘乘再再疊疊加加，，即即得得例3試求求圖圖(a)所示示剛剛架架結結點點B的BH水平平位位移移設各各桿桿為為矩矩形形截截面面，，截截面面尺尺寸為為bxh，慣慣性性矩矩l=,E為常常數(shù)數(shù)，，只只考慮慮彎彎矩矩變變形形的的影影響響。。解先作作出出MP圖和和圖,分別別如如圖圖(b)(c)所示示。。應用用圖圖乘乘法法求求得得結結點點B的水水平平位位移移為為：：例題題4均布布荷荷載載作作用用下下的的簡簡支支梁梁,其EI為常常數(shù)數(shù).求跨跨中中點點的的撓撓度度.ABCql/2l/2FABCl/2l/2以圖的轉折點為界,分兩段使用圖乘法.M(x)ABCql/2l/2ABCFl/2l/2例題5圖示梁梁,抗彎剛剛度為為EI,承受均均布載載荷q及集中中力F作用.用圖乘乘法求求:集中力力作用用端撓撓度為為零時時的F值；FCABalqFCAB解：aalq1ABalCM例題6圖示開開口剛剛架,EI為常數(shù)數(shù).求沿F力作用用線方方向的的相對對線位位移ΔAB.aaa/2a/2ABFF解：Fa/2a/2FFFa/2Fa/2a/2a/21a/2Baaa/2AA例題7圖示剛剛架,EI為常數(shù)數(shù).求A截面的的水平平位移移ΔAHBAaaqaqa/2qa2/2解：BAaaBaBAaaqqa/2qa1111aqa2/2C例題8拐桿如如圖,A處為一一軸承承,允許桿桿在軸軸承內(nèi)內(nèi)自由由轉動動,但不能能上下下移動動,已知:E=210GPa,G=0.4E,求B點的垂垂直位位移.5A300B500=1F01020

解:（1）畫單位位載荷荷圖C5A300B500=60kNF11020

x1x1xx（3）變形形（2）求內(nèi)內(nèi)力作業(yè)6.2-6.3、6.5、6.7、6.9-6.13、6.15第6章桿桿件件結構構的變變形計計算復習一、結結構位位移的的定義義結構在在荷載載或其其它因因素作作用下下，會會發(fā)生生變形形。由由于變變形，，結構構上各各點的的位置置將會會移動動，桿桿件的的橫截截面會會轉動動，這這些移移動和和轉動動稱為為結構構的位位移。。二、位位移的的分類類位移線位移移：截截面形形心的的直線線移動動距離離角位移移：截截面的的轉角角位移絕對位位移相對位位移廣義位位移三、位位移舉舉例A點的線線位移移水平線線位移移豎向線線位移移截面A的角位位移C、D兩點的的水平平相對對線位位移A、B兩個截截面的的相對對轉角角四、引引起位位移的的原因因一般有有：荷荷載（（如前前兩剛剛架））、溫溫度改改變（（如圖圖a）、支座移移動（（如圖圖b）材料收收縮、、制造造誤差差等五、功功的互互等定定理Δij的腳標標表示示：i-指示位位移發(fā)生的地點點和沿沿著力力方向向；J-指示產(chǎn)生位移的的力及及其作作用位位置。。（結結果、、原因因）Δ21-2-此位移移發(fā)生生在點點2沿著F2的方向向；-1-此位移移是作作用在在點1的力F1引起的的。第一狀狀態(tài)下下所做做的功功：第二狀狀態(tài)下下所做做的功功：比較，，得V1=V2即一般形形式為為應變能能Vε只與外外力的的最終終值有有關,而與加加載過過程和和加載載次序序無關關.因此得得到功功的互互等定定理：：第一狀狀態(tài)的的外力力在第第二狀狀態(tài)的的相應應位移移上所所作的的(外力虛虛)功，等等于第第二狀狀態(tài)的的外力力在第第一狀狀態(tài)的的相應應位移移上所所作的的(外力虛虛)功。六、位位移互互等定定理條件：：在結結構的的兩種種狀態(tài)態(tài)中都都只作作用一一個荷荷載，，且為單單位荷荷載。。單位荷荷載所所引起起的位位移稱稱為位位移系系數(shù)，，用表示（（圖a.b）根據(jù)功功的互互等定定理即這就是是位移移互等等定理理：第二個個單位位力所所引起起的第第一個個單位位力作作用點點沿其其方向向的位位移，，等于于第一一個單單位力力所引引起的的第二二個單單位力力作用用點沿沿其方方向的的位移移。上述定定理中中，單單位力力可以以是廣廣義單單位力力，相相應的的位移移系數(shù)數(shù)亦為為廣義義位移移?？赡芎x不不同，，但數(shù)數(shù)值相相等即七、反反力互互等定定理反力互互等定定理也也是功功的互互等定定理的的一種種應用用，它它反映映在超超靜定定結構構中如如果兩兩個支支座分分別發(fā)發(fā)生單單位位位移時時，兩兩個狀狀態(tài)中中相應應支座座反力力的互互等關關系。。單位位位移引引起的的支座座反力力稱為為反力力系數(shù)數(shù)，用用rij表示根據(jù)功功的互互等定定理，，有即這就是是反力力互等等定理理，它它表明明支座座1發(fā)生單單位位位移所所引起起的支支座2的反力力，等等于支支座2發(fā)生與與上述述反力力相應應的單單位位位移所所引起起的支支座1的反力力。應注意意支座座的位位移與與該支支座的的反力力在作作功關關系上上的對對應關關系，，即線線位移移與集集中力力相對對應，，角位位移與與集中中力偶偶相對對應。?？赡躵12與r21一個是是反力力偶，，一個個是反反力，，但二二者的的數(shù)值值相等等（圖圖c、d）。即一、變變形體體的虛虛功原原理功：力對物物體在在一段段路程程上累累積效效應的的量度度，也也是傳傳遞和和轉換換能量量的量量度實功：：力在自自身引引起的的位移移上所所作的的功當靜力力加載載時，，即：：FP1由0增加至至FP111由0增加至至11力Fp1在位移移11上作的的實功功ΔFΔ11F1dTOAB6.8靜定結結構由由于支支座位位移和和溫度度變化化所引起起的位位移虛功：：力在其其他因因素引引起的的位移移上作作的功功。其特點點是位位移與與作功功的力力無關關，在在作功功的過過程中中，力力的大大小保保持不不變。。梁彎曲后，再在點2處加靜力荷載，梁產(chǎn)生新的彎曲。位移為力引起的的作用點沿方向的位移。力在位移上作了功，為虛功，大小為當力狀狀態(tài)的的外力力在位位移狀狀態(tài)的的位移移上作作外力力虛功功時，，力狀狀態(tài)的的內(nèi)力力也在在位移移狀態(tài)態(tài)各微微段的的變形形上作作內(nèi)力力虛功功。在小變變形條條件下下，由由圖圖示的的原始始形狀狀、尺尺寸計計算，，并稱稱此狀狀態(tài)為為虛功功計算算的位位移狀狀態(tài)。。與之之相應應，F(xiàn)P1單獨作作用的的狀態(tài)態(tài)為虛虛功計計算的的力狀狀態(tài)。。二、線線彈性性桿件件的變變形位位能（內(nèi)力力虛功功）1、彎曲曲變形形位能能2、軸向向拉伸伸（壓壓縮））變形形位能能根據(jù)功功和能能的原原理可可得變變形體體的虛虛功原原理：：任何一一個處處于平平衡狀狀態(tài)的的變形形體，，當發(fā)發(fā)生任任意一一個虛虛位移移時，，變形形體所所受外外力在在虛位位移上上所作作虛功功的總總和，，等于于變形形體的的內(nèi)力