不等式與不等式組知識(shí)點(diǎn)與練習(xí)

不等式與不等式組知識(shí)點(diǎn)與練習(xí)不等式與不等式組知識(shí)點(diǎn)與練習(xí)不等式與不等式組知識(shí)點(diǎn)與練習(xí)不等式與不等式組知識(shí)點(diǎn)與練習(xí)編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話：傳真:郵編:不等式與不等式組一、知識(shí)結(jié)構(gòu)圖二、知識(shí)要點(diǎn)（一、）不等式的概念1、不等式：一般地，用不等符號(hào)（“＜”“＞”“≤”“≥”）表示大小關(guān)系的式子，叫做不等式，用“≠”表示不等關(guān)系的式子也是不等式。不等號(hào)主要包括：＞、＜、≥、≤、≠。2、不等式的解：使不等式左右兩邊成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。3、不等式的解集：一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個(gè)不等式的解集（即未知數(shù)的取值范圍）。4、解不等式：求不等式的解集的過(guò)程，叫做解不等式。5、不等式的解集可以在數(shù)軸上表示，分三步進(jìn)行：①畫(huà)數(shù)軸②定界點(diǎn)③定方向。規(guī)律：用數(shù)軸表示不等式的解集，應(yīng)記住下面的規(guī)律：大于向右畫(huà)，小于向左畫(huà)，等于用實(shí)心圓點(diǎn)，不等于用空心圓圈。（二、）不等式的基本性質(zhì)不等式性質(zhì)1：不等式的兩邊同時(shí)加上(或減去)同一個(gè)數(shù)(或式子)，不等號(hào)的方向不變。用字母表示為：如果，那么；如果，那么；不等式的性質(zhì)2：不等式的兩邊同時(shí)乘以(或除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變。用字母表示為：如果，那么(或)；如果，不等號(hào)那么(或)；不等式的性質(zhì)3：不等式的兩邊同時(shí)乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，的方向改變。用字母表示為：如果，那么(或)；如果，那么(或)；解不等式思想——就是要將不等式逐步轉(zhuǎn)化為x>a或x＜a的形式。（注：①傳遞性：若a＞b,b＞c,則a＞c.②利用不等式的基本性質(zhì)可以解簡(jiǎn)單的不等式）（三、）一元一次不等式1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1，且不等式的兩邊都是整式，這樣的不等式叫做一元一次不等式。2、任何一個(gè)一元一次不等式都可以化為最簡(jiǎn)形式：或（a≠0）的形式。3、解一元一次不等式的一般步驟：①去分母；②去括號(hào)；③移項(xiàng)；④合并同類項(xiàng)；⑤系數(shù)化為1（特別要注意不等號(hào)方向改變的問(wèn)題）。這與解一元一次方程類似，在解時(shí)要根據(jù)一元一次不等式的具體情況靈活選擇步驟。（四、）一元一次不等式組1、一元一次不等式組的概念：幾個(gè)一元一次不等式合在一起，就組成了一個(gè)一元一次不等式組。不等式組中含有一個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1。2、使不等式組中的每個(gè)不等式都成立的未知數(shù)的值叫不等式組的解，一個(gè)不等式組的所有的解組成的集合，叫這個(gè)不等式組的解集解(簡(jiǎn)稱不等式組的解)。3、不等式組的解集可以在數(shù)軸上表示出來(lái)。求不等式組的解集的過(guò)程叫解不等式組。4、當(dāng)任何數(shù)x都不能使不等式同時(shí)成立，我們就說(shuō)這個(gè)不等式組無(wú)解或其解為空集。5、一元一次不等式組的解法:解一元一次不等式組的一般步驟：①分別求出這個(gè)不等式組中各個(gè)不等式的解集；②利用數(shù)軸表示出各個(gè)不等式的解集；③找出公共部分；=4\*GB3④用不等式表示出這個(gè)不等式組的解集。如果這些不等式的解集的沒(méi)有公共部分，則這個(gè)不等式組無(wú)解(此時(shí)也稱這個(gè)不等式組的解集為空集)。6、求出各個(gè)不等式的解集后，確定不等式組的解的口訣：大大取大，小小取小，大小小大取中間，大大小小無(wú)處找。（五、）一元一次不等式（組）的應(yīng)用一般方法步驟：（1）審：分析題意，找出不等關(guān)系；（2）設(shè)：設(shè)未知數(shù)；（3）列：列出不等式組；（4）解：解不等式組；（5）檢驗(yàn)：從不等式組的解集中找出符合題意的答案；（6）答：寫(xiě)出問(wèn)題答案。1、不等式與不等式組不等式：①用符號(hào)〉，=，〈號(hào)連接的式子叫不等式。②不等式的兩邊都加上或減去同一個(gè)整式，不等號(hào)的方向不變。③不等式的兩邊都乘以或者除以一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變。④不等式的兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向相反。2、不等式的解集：①能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。②一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個(gè)不等式的解集。③求不等式解集的過(guò)程叫做解不等式。3、一元一次不等式：左右兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的不等式叫一元一次不等式。4、一元一次不等式組：①關(guān)于同一個(gè)未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式合在一起，就組成了一元一次不等式組。②一元一次不等式組中各個(gè)不等式的解集的公共部分，叫做這個(gè)一元一次不等式組的解集。③求不等式組解集的過(guò)程，叫做解不等式組。5、一元一次不等式解題的一般步驟：去分母、去括號(hào)，移項(xiàng)時(shí)候要變號(hào)，同類項(xiàng)合并好，再把系數(shù)來(lái)除掉，兩邊除（以）負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)改向別忘了．6、一元一次不等式組的解集：大大取較大，小小取較小，小大、大小取中間，小小、大大無(wú)處找．由兩個(gè)一元一次不等式組成的不等式組的解集通常有如下四種類型（其中a＜b）不等式組數(shù)軸表示解集順口溜x>bx>ax>bx>ax＞b大大取較大x<bx<ax<bx<ax＜a小小取較小x<bx>ax<bx>aa＜x＜b大小、小大中間找x>bx<ax>bx<a無(wú)解大大、小小解不了練習(xí)題一1．已知不等式3x-a≤0的正整數(shù)解恰是1，2，3，則a的取值范圍是。2．已知關(guān)于x的不等式組無(wú)解，則a的取值范圍是。3．不等式組的整數(shù)解為。4．如果關(guān)于x的不等式（a-1）x<a+5和2x<4的解集相同，則a的值為。5．已知關(guān)于x的不等式組的解集為，那么a的取值范圍是。6．當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值不大于零7.若<１，則０（用“>”“=”或“”號(hào)填空）8.不等式>１，的正整數(shù)解是9.不等式>的解集為<３，則10.若>>，則不等式組的解集是11.若不等式組的解集是－１<<１，則的值為12.有解集２<<３的不等式組是（寫(xiě)出一個(gè)即可）13.一罐飲料凈重約為３００g，罐上注有“蛋白質(zhì)含量”其中蛋白質(zhì)的含量為_(kāi)____g若不等式組的解集為>３，則的取值范圍是練習(xí)題二判斷題（每題1分，共6分）a＞b，得a＋m＞b＋m（）由a＞3，得a＞（）x=2是不等式x＋3＞4的解（）由－＞－1，得－＞－a（）如果a＞b，c＜0，則ac2＞bc2（）如果a＜b＜0，則＜1（）填空題（每題2分，共34分）1、若a＜b，用“＞”號(hào)或“＜”號(hào)填空：a－5b－5；－－；－1＋2a－1＋2b；6－a6－b；2、x與3的和不小于－6，用不等式表示為；3、當(dāng)x時(shí)，代數(shù)式2x－3的值是正數(shù)；4、代數(shù)式＋2x的不大于8－的值，那么x的正整數(shù)解是；5、如果x－7＜－5，則x；如果－＞0，那么x；6、不等式ax＞b的解集是x＜，則a的取值范圍是；7、一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為x米，寬為50米，如果它的周長(zhǎng)不小于280米，那么x應(yīng)滿足的不等式為；練習(xí)題三一、選擇題1．下列不等式組中，是一元一次不等式組的是（）A．B．C．D．2．下列說(shuō)法正確的是（）A．不等式組的解集是5<x<3B．的解集是－3<x<－2C．的解集是x=2D．的解集是x≠33．不等式組的最小整數(shù)解為（）A．－1B．0C．1D．44．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（2x－6，x－5）在第四象限，則x的取值范圍是（）A．3<x<5B．－3<x<5C．－5<x<3D．－5<x<－35．不等式組的解集是（）A．x>2B．x<3C．2<x<3D．無(wú)解二、填空題6．若不等式組有解，則m的取值范圍是______．7．已知三角形三邊的長(zhǎng)分別為2，3和a，則a的取值范圍是_____．8．將一筐橘子分給若干個(gè)兒童，如果每人分4個(gè)橘子，則剩下9個(gè)橘子；如果每人分6個(gè)橘子，則最后一個(gè)兒童分得的橘子數(shù)將少于3個(gè)，由以上可推出，共有_____個(gè)兒童，分_____個(gè)橘子．9．若不等式組的解集是－1<x<1，則（a+b）2006=______．三、解答題10．解不等式組（1）（2）eq\b\lc\{(\a\vs3\al(2x－3＜1，①,eq\f(x－1,2)＋2≥－x．②))11．若不等式組無(wú)解，求m的取值范圍．12、若關(guān)于x的不等式組eq\b\lc\{(\a\vs3\al(5－2x≥－1，,x－a＞2))無(wú)解，則a的取值范圍是________________．13、已知關(guān)于x的不等式組eq\b\lc\{(\a\vs3\al(x－a≥0，,3－2x＞－1))的整數(shù)解共有5個(gè)，則a的取值范圍是_________．易錯(cuò)點(diǎn)分析：易錯(cuò)點(diǎn)1：誤認(rèn)為一元一次不等式組的“公共部分”就是兩個(gè)數(shù)之間的部分．例1解不等式組eq\b\lc\{(\a\vs3\al(x－1＞0，①,x＋2＜0．②))錯(cuò)解：由①，得x＞1，由②，得x＜－2，所以不等式組的解集為－2＜x＜1．錯(cuò)因剖析：解一元一次不等式組的方法是先分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集，再利用數(shù)軸求出這些不等式解集的公共部分．此題錯(cuò)在對(duì)“公共部分”的理解上，誤認(rèn)為兩個(gè)數(shù)之間的部分為“公共部分”（即解集）．實(shí)際上，這兩部分沒(méi)有“公共部分”，也就是說(shuō)此不等式組無(wú)解，而所謂“公共部分”的解是指“兩線重疊”的部分．此外，有些同學(xué)可能會(huì)受到解題順序的影響，把解集表示成1＜x＜－2或－2＜x＞1等，這些都是錯(cuò)誤的．正解：由①，得x＞1．由②，得x＜－2，所以此不等式組無(wú)解．易錯(cuò)點(diǎn)2：誤認(rèn)為“同向解集哪個(gè)表示范圍大就取哪個(gè)”．例2解不等式組eq\b\lc\{(\a\vs3\al(5x＋12＞6－3x，①,eq\f(4＋x,3)－5＞2－eq\f(2(1＋x),3)．②))錯(cuò)解：解不等式①，得x＞－eq\f(3,4)．解不等式②，得x＞5．由于x＞－eq\f(3,4)的范圍較大，所以不等式組的解集為x＞－eq\f(3,4)．錯(cuò)因剖析：本例錯(cuò)解中，由于對(duì)不等式組的解集理解得不深刻，在根據(jù)兩個(gè)解集的范圍確定不等式組的解集時(shí)，形成錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)．其實(shí)在求兩個(gè)一元一次不等式組成的不等式組的解集時(shí)，可歸納為以下四種基本類型（設(shè)a＜b），①eq\b\lc\{(\a\vs3\al(x＞a，,x＞b，))②eq\b\lc\{(\a\vs3\al(x＜a，,x＞b，))③eq\b\lc\{(\a\vs3\al(x＞a，,x＜b，))④eq\b\lc\{(\a\vs3\al(x＜a，,x＞b．))利用數(shù)可確定它們的解集分別為①x＞b，②x＜a，③a＜x＜b，④空集．也可以用下面的口訣來(lái)幫助記憶，“同大取大，同小取小，大小小大中間取，大大小小取不了（空集）”．正解：解不等式①，得x＞－eq\f(3,4)．解不等式②，得x＞5．所以不等式組的解集為x＞5．易錯(cuò)點(diǎn)3：混淆解一元一次不等式組和解二元一次方程組的方法．例3解不等式組eq\b\lc\{(\a\vs3\al(eq\f(x,2)－2(x＋3)≤11，①,eq\f(3x,2)＋2(x＋3)≤3．②))錯(cuò)解：由①＋②，得2x≤14，即x≤7，所以不等式組的解集為x≤7．錯(cuò)因剖析：本例錯(cuò)在將解一元一次不等式組和解二元一次方程組的方法混淆，誤將解二元一次方程組中的加減消元法用在解一元一次不等式組中．產(chǎn)生此類錯(cuò)誤的根本原因是沒(méi)有正確區(qū)分解一元一次不等式組和解二元一次方程組的不同點(diǎn)，（1）解二元一次方程組時(shí)，兩個(gè)方程不是單獨(dú)存在的；（2）由兩個(gè)一元一次不等式組成的不等式組的解集，可歸納為“獨(dú)立解，集中到”，即獨(dú)立地解不等式組中的每一個(gè)不等式組中的每一個(gè)不等式，在解的過(guò)程中，各不等式彼此不發(fā)生關(guān)系，“組”的作用在最后，即每一個(gè)不等式的解集都要求出來(lái)后，再利用數(shù)軸從“公共部分”的角度去求“組”的解集．正解：由不等式①，得eq\f(3,2)x≥－17，即x≥－eq\f(34,3)．由不等式②，得eq\f(7,2)x≤－3，即x≤－eq\f(6,7)．所以原不等式組的解集為－eq\f(34,3)≤x≤－eq\f(6,7)．易錯(cuò)點(diǎn)4：在去分母時(shí)，漏乘常數(shù)項(xiàng)．例4解不等式組eq\b\lc\{(\a\vs3\al(2x－3＜1，①,eq\f(x－1,2)＋2≥－x．②))錯(cuò)解：由①，得x＜2．在x－21＋2≥－x的兩邊同乘2，得x－1＋2≥－2x．于是有x≥－eq\f(1,3)，所以原不等式組的解集為2＞x≥－eq\f(1,3)．錯(cuò)因剖析：解一元一次不等式組，需要先求出每一個(gè)不等式的解，最后找出它們的公共部分．對(duì)不等式進(jìn)行變形時(shí)，一定要使用同解變形，不然就容易出錯(cuò)．本例的解答過(guò)程中沒(méi)有掌握不等式的運(yùn)算性質(zhì)，在去分母時(shí)漏乘了中間的一項(xiàng)．此外，還要注意在表示“大小小大中間取”這類不等式的解集時(shí)應(yīng)按一般順序，把小的那個(gè)數(shù)放在前面，大的那個(gè)數(shù)放在后面，用“＜”連接．正解：由①，得x＜2．在eq\f(x－1,2)＋2≥－x的兩邊同乘2，得x－1＋4≥－2x．于是有x≥－1，所以原不等式組的解集為－1≤x＜2．易錯(cuò)點(diǎn)5：忽視不等式兩邊同乘（或除以）的數(shù)的符號(hào)，導(dǎo)致不等式方向出錯(cuò)．例5解關(guān)于x的不等式（eq\f(1,2)－a）x＞1－2a．錯(cuò)解：去分母，得(1－2a)x＞2(1－2a)．將不等式兩邊同時(shí)除以（1－2a），得x＞2．錯(cuò)因剖析：在利用不等式的性質(zhì)解不等式時(shí)，如果不等式兩邊同乘（或除以）的數(shù)是含字母的式子，應(yīng)注意討論含字母的式子的符號(hào)．本例中不等式兩邊同乘(或除以)的(1－2a)，在不確定取值符號(hào)的情況下進(jìn)行約分，所以出錯(cuò)．正解：將不等式變形，得(1－2a)x＞2(1－2a)．（1）當(dāng)1－2a＞0時(shí)，即a＜eq\f(1,2)時(shí)，x＞2；（2）當(dāng)1－2a＝0時(shí)，即a＝eq\f(1,2)時(shí)，不等式無(wú)解；（3）當(dāng)1－2a＜0時(shí)，即a＞eq\f(1,2)時(shí)，x＜2．例6如果關(guān)于x的不等式(2a－b)x＋a－5b＞0的解集是x＜eq\f(10,7)，則關(guān)于x的不等式ax＞b的解集是_________．錯(cuò)解：因?yàn)椴坏仁剑?a－b）x＋a－5b＞0的解集是x＜eq\f(10,7)，所以eq\f(5b－a,2a－b)＝eq\f(10,7)，則有eq\b\lc\{(\a\vs3\al(2a－b＝7，,5b－a＝10，))解得eq\b\lc\{(\a\vs3\al(a＝5，,b＝3．))從而知ax＞b的解集是x＞eq\f(3,5)．錯(cuò)因剖析：本題錯(cuò)因有兩個(gè)，一是忽視了原不等式的不等號(hào)方向與解集的不等號(hào)方向正好相反；二是對(duì)含有字母系數(shù)的不等式?jīng)]有根據(jù)解集的情況確定字母系數(shù)的取值范圍，所以在解題時(shí)錯(cuò)誤得出eq\b\lc\{(\a\vs3\al(2a－b＝7，,5b－a＝10，))解得eq\b\lc\{(\a\vs3\al(a＝5，,b＝3．))從而錯(cuò)誤得到ax＞b的解集是x＞eq\f(3,5)．正解：由不等式（2a－b）x＋a－5b＞0的解集是x＜eq\f(10,7)，得eq\b\lc\{(\a\vs3\al(2a－b＜0，,eq\f(5b－a,2a－b)＝eq\f(10,7)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs3\al(a＜0，,eq\f(b,a)＝eq\f(3,5)．))所以ax＞b的解集是x＜eq\f(3,5)．易錯(cuò)點(diǎn)6：尋找待定字母的取值范圍時(shí)易漏特殊情況．例7若關(guān)于x的不等式組eq\b\lc\{(\a\vs3\al(5－2x≥－1，,x－a＞2))無(wú)解，則a的取值范圍是________________．錯(cuò)解：由eq\b\lc\{(\a\vs3\al(5－2x≥－1，,x－a＞0，))得eq\b\lc\{(\a\vs3\al(x≤3，,x＞a．))又因?yàn)椴坏仁浇M無(wú)解，所以a的取值范圍是a＞3．錯(cuò)因剖析：由已知不等式的解集確定不等式組的解集時(shí)，可按“同大取大，同小取小，大小小大中間取，大大小小取不了”的基本規(guī)律求解，但當(dāng)已知不等式組的解集而求不等式的解集中待定字母取值范圍時(shí)則不能完全套用此規(guī)律，還應(yīng)考慮特例，即a＝3，有x≤3及x＞3，而此時(shí)不等式組也是無(wú)解的．因此，本題錯(cuò)在沒(méi)有考慮待定字母的取值范圍的特殊情況．正解：由eq\b\lc\{(\a\vs3\al(5－2x≥－1，,x－a＞0))得eq\b\lc\{(\a\vs3\al(x≤3，,x＞a．))又因?yàn)椴坏仁浇M無(wú)解，所以a的取值范圍是a≥3．例8已知關(guān)于x的不等式組eq\b\lc\{(\a\vs3\al(x－a≥0，,3－2x＞－1))的整數(shù)解共有5個(gè)，則a的取值范圍是_________．錯(cuò)解：由eq\b\lc\{(\a\vs3\al(x－a≥0，,3－2x＞－1))解得eq\b\lc\{(\a\vs3\al(x≥a，,x＜2．))又因?yàn)樵坏仁浇M的整數(shù)解共有5個(gè)，所以a≤x＜2，這5個(gè)整數(shù)解為－3，－2，－1，0，1，從而有a≤－3(或a＝－3)．錯(cuò)因剖析：本題主要考查同學(xué)們是否會(huì)運(yùn)用逆向思維解決含有待定字母的一元一次不等式組的特解．上述解法錯(cuò)在忽視a≤x＜2中有5個(gè)整數(shù)解時(shí)，a雖不唯一，但也有一定的限制，a的取值范圍在－3與－4之間，其中包括－3，但不應(yīng)包括－4，所以錯(cuò)解在確定a的取值范圍時(shí)擴(kuò)大了解的范圍．正解：由eq\b\lc\{(\a\vs3\al(x－a≥0，,3－2x＞－1))解得eq\b\lc\{(\a\vs3\al(x≥a，,x＜2．))又因?yàn)樵坏仁浇M的整數(shù)解共有5個(gè)，所以a≤x＜2．又知這5個(gè)整數(shù)解為－3，－2，－1，0，1．故a的取值范圍是－4＜a≤－3．總之，對(duì)于解一元一次不等式（組）問(wèn)題，我們要深刻領(lǐng)會(huì)一元一次不等式（組）的基礎(chǔ)知識(shí)，熟悉這6個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，牢固地掌握一元一次不等式（組）的解法和步驟，從而遠(yuǎn)離解一元一次不等式（組）的錯(cuò)誤深淵．模擬試卷一、選擇題（共8小題，每小題4分，滿分32分）1．（2002?昆明）將不等式組的解集在數(shù)軸上表示，正確的是（） A． B． C． D．2．（2002?重慶）已知，關(guān)于x的不等式2x﹣a≥﹣3的解集如圖所示，則a的值等于（） A．0 B．1 C．﹣1 D．23．（2004?日照）已知關(guān)于x的不等式組無(wú)解，則a的取值范圍是（） A．a(chǎn)≤﹣1 B．a(chǎn)≥2 C．﹣1＜a＜2 D．a(chǎn)＜﹣1，或a＞24．不等式ax＞a的解集為x＞1，則a的取