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文檔簡(jiǎn)介
2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)的虛部是()A. B. C. D.2.如圖所示的程序框圖,當(dāng)其運(yùn)行結(jié)果為31時(shí),則圖中判斷框①處應(yīng)填入的是()A. B. C. D.3.已知數(shù)列an滿(mǎn)足:an=2,n≤5a1A.16 B.17 C.18 D.194.已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,且的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng),若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足,則的取值范圍是()A. B. C. D.5.設(shè)函數(shù),當(dāng)時(shí),,則()A. B. C.1 D.6.已知雙曲線的一條漸近線傾斜角為,則()A.3 B. C. D.7.已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是()A. B.64 C. D.328.設(shè)點(diǎn),P為曲線上動(dòng)點(diǎn),若點(diǎn)A,P間距離的最小值為,則實(shí)數(shù)t的值為()A. B. C. D.9.為比較甲、乙兩名高二學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的數(shù)學(xué)六大素養(yǎng)進(jìn)行指標(biāo)測(cè)驗(yàn)(指標(biāo)值滿(mǎn)分為5分,分值高者為優(yōu)),根據(jù)測(cè)驗(yàn)情況繪制了如圖所示的六大素養(yǎng)指標(biāo)雷達(dá)圖,則下面敘述正確的是()A.乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于甲B.乙的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)C.甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙D.甲的六大素養(yǎng)中數(shù)據(jù)分析最差10.已知函數(shù),為圖象的對(duì)稱(chēng)中心,若圖象上相鄰兩個(gè)極值點(diǎn),滿(mǎn)足,則下列區(qū)間中存在極值點(diǎn)的是()A. B. C. D.11.已知等式成立,則()A.0 B.5 C.7 D.1312.已知集合,,則集合的真子集的個(gè)數(shù)是()A.8 B.7 C.4 D.3二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),記為的前n項(xiàng)和,若,,則________.14.如圖,在菱形ABCD中,AB=3,,E,F(xiàn)分別為BC,CD上的點(diǎn),,若線段EF上存在一點(diǎn)M,使得,則____________,____________.(本題第1空2分,第2空3分)15.以,為圓心的兩圓均過(guò),與軸正半軸分別交于,,且滿(mǎn)足,則點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)________.16.的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為_(kāi)_____,常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知拋物線的焦點(diǎn)為,點(diǎn)在拋物線上,,直線過(guò)點(diǎn),且與拋物線交于,兩點(diǎn).(1)求拋物線的方程及點(diǎn)的坐標(biāo);(2)求的最大值.18.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí).①求函數(shù)在處的切線方程;②定義其中,求;(2)當(dāng)時(shí),設(shè),(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),若對(duì)任意給定的,在上總存在兩個(gè)不同的,使得成立,求的取值范圍.19.(12分)以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,且在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位,建立極坐標(biāo)系,已知曲線,曲線(為參數(shù)),求曲線交點(diǎn)的直角坐標(biāo).20.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí),求函數(shù)的極值;(2)為的導(dǎo)函數(shù),當(dāng),時(shí),求證:.21.(12分)設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列,其前項(xiàng)和為,且,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)證明:.22.(10分)已知六面體如圖所示,平面,,,,,,是棱上的點(diǎn),且滿(mǎn)足.(1)求證:直線平面;(2)求二面角的正弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】因?yàn)椋缘奶摬渴牵蔬xC.2.C【解析】
根據(jù)程序框圖的運(yùn)行,循環(huán)算出當(dāng)時(shí),結(jié)束運(yùn)行,總結(jié)分析即可得出答案.【詳解】由題可知,程序框圖的運(yùn)行結(jié)果為31,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.此時(shí)輸出.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu),已知輸出結(jié)果求條件框,屬于基礎(chǔ)題.3.B【解析】
由題意可得a1=a2=a3=a4=a5=2,累加法求得a62+【詳解】解:an即a1=an?6時(shí),a1a1兩式相除可得1+a則an2=由a6a7…,ak2=可得aa1且a1正整數(shù)k(k?5)時(shí),要使得a1則ak+1則k=17,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查與遞推數(shù)列相關(guān)的方程的整數(shù)解的求法,注意將題設(shè)中的遞推關(guān)系變形得到新的遞推關(guān)系,從而可簡(jiǎn)化與數(shù)列相關(guān)的方程,本題屬于難題.4.C【解析】
根據(jù)題意,由函數(shù)的圖象變換分析可得函數(shù)為偶函數(shù),又由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,分析可得,解可得的取值范圍,即可得答案.【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得函數(shù)的圖象,由于函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),則函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng),即函數(shù)為偶函數(shù),由,得,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則,得,解得.因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解不等式,注意分析函數(shù)的奇偶性,屬于中等題.5.A【解析】
由降冪公式,兩角和的正弦公式化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式,然后由正弦函數(shù)性質(zhì)求得參數(shù)值.【詳解】,時(shí),,,∴,由題意,∴.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式,考查兩角和的正弦公式,考查正弦函數(shù)性質(zhì),掌握正弦函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.6.D【解析】
由雙曲線方程可得漸近線方程,根據(jù)傾斜角可得漸近線斜率,由此構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由雙曲線方程可知:,漸近線方程為:,一條漸近線的傾斜角為,,解得:.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)雙曲線漸近線傾斜角求解參數(shù)值的問(wèn)題,關(guān)鍵是明確直線傾斜角與斜率的關(guān)系;易錯(cuò)點(diǎn)是忽略方程表示雙曲線對(duì)于的范圍的要求.7.A【解析】
根據(jù)三視圖,還原空間幾何體,即可得該幾何體的體積.【詳解】由該幾何體的三視圖,還原空間幾何體如下圖所示:可知該幾何體是底面在左側(cè)的四棱錐,其底面是邊長(zhǎng)為4的正方形,高為4,故.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖的簡(jiǎn)單應(yīng)用,由三視圖還原空間幾何體,棱錐體積的求法,屬于基礎(chǔ)題.8.C【解析】
設(shè),求,作為的函數(shù),其最小值是6,利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求的最小值.【詳解】設(shè),則,記,,易知是增函數(shù),且的值域是,∴的唯一解,且時(shí),,時(shí),,即,由題意,而,,∴,解得,.∴.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,考查用導(dǎo)數(shù)求最值.解題時(shí)對(duì)和的關(guān)系的處理是解題關(guān)鍵.9.C【解析】
根據(jù)題目所給圖像,填寫(xiě)好表格,由表格數(shù)據(jù)選出正確選項(xiàng).【詳解】根據(jù)雷達(dá)圖得到如下數(shù)據(jù):數(shù)學(xué)抽象邏輯推理數(shù)學(xué)建模直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)據(jù)分析甲454545乙343354由數(shù)據(jù)可知選C.【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)問(wèn)題,考查數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識(shí).10.A【解析】
結(jié)合已知可知,可求,進(jìn)而可求,代入,結(jié)合,可求,即可判斷.【詳解】圖象上相鄰兩個(gè)極值點(diǎn),滿(mǎn)足,即,,,且,,,,,,當(dāng)時(shí),為函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn),而.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是性質(zhì)的靈活應(yīng)用.11.D【解析】
根據(jù)等式和特征和所求代數(shù)式的值的特征用特殊值法進(jìn)行求解即可.【詳解】由可知:令,得;令,得;令,得,得,,而,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,考查了特殊值代入法,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.12.D【解析】
轉(zhuǎn)化條件得,利用元素個(gè)數(shù)為n的集合真子集個(gè)數(shù)為個(gè)即可得解.【詳解】由題意得,,集合的真子集的個(gè)數(shù)為個(gè).故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的化簡(jiǎn)和運(yùn)算,考查了集合真子集個(gè)數(shù)問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.127【解析】
已知條件化簡(jiǎn)可化為,等式兩邊同時(shí)除以,則有,通過(guò)求解方程可解得,即證得數(shù)列為等比數(shù)列,根據(jù)已知即可解得所求.【詳解】由..故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查通過(guò)遞推公式證明數(shù)列為等比數(shù)列,考查了等比的求和公式,考查學(xué)生分析問(wèn)題的能力,難度較易.14.【解析】
根據(jù)題意,設(shè),則,所以,解得,所以,從而有.15.【解析】
根據(jù)圓的性質(zhì)可知在線段的垂直平分線上,由此得到,同理可得,由對(duì)數(shù)運(yùn)算法則可知,從而化簡(jiǎn)得到,由此確定軌跡方程.【詳解】,,和的中點(diǎn)坐標(biāo)為,且在線段的垂直平分線上,,即,同理可得:,,,點(diǎn)的軌跡方程為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求解問(wèn)題,關(guān)鍵是能夠利用圓的性質(zhì)和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則構(gòu)造出滿(mǎn)足的方程,由此得到結(jié)果.16.3-260【解析】
(1)令求得所有項(xiàng)的系數(shù)和;(2)先求出展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)與含的系數(shù),再求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng).【詳解】將代入,得所有項(xiàng)的系數(shù)和為3.因?yàn)榈恼归_(kāi)式中含的項(xiàng)為,的展開(kāi)式中含常數(shù)項(xiàng),所以的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為:3;-260【點(diǎn)睛】本題考查利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開(kāi)式的特殊項(xiàng)問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1),;(2)1.【解析】
(1)根據(jù)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的距離相等,可得p值,即可求拋物線C的方程從而可得解;(2)設(shè)直線l的方程為:x+my﹣1=0,代入y2=4x,得,y2+4my﹣4=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=﹣4m,y1y2=﹣4,x1+x2=2+4m2,x1x2=1,(),(x2﹣2,),由此能求出的最大值.【詳解】(1)∵點(diǎn)F是拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),P(2,y0)是拋物線上一點(diǎn),|PF|=3,∴23,解得:p=2,∴拋物線C的方程為y2=4x,∵點(diǎn)P(2,n)(n>0)在拋物線C上,∴n2=4×2=8,由n>0,得n=2,∴P(2,2).(2)∵F(1,0),∴設(shè)直線l的方程為:x+my﹣1=0,代入y2=4x,整理得,y2+4my﹣4=0設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1,y2是y2+4my﹣4=0的兩個(gè)不同實(shí)根,∴y1+y2=﹣4m,y1y2=﹣4,x1+x2=(1﹣my1)+(1﹣my2)=2﹣m(y1+y2)=2+4m2,x1x2=(1﹣my1)(1﹣my2)=1﹣m(y1+y2)+m2y1y2=1+4m2﹣4m2=1,(),(x2﹣2,),(x1﹣2)(x2﹣2)+()()=x1x2﹣2(x1+x2)+4=1﹣4﹣8m2+4﹣4+8m+8=﹣8m2+8m+5=﹣8(m)2+1.∴當(dāng)m時(shí),取最大值1.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線方程的求法,考查向量的數(shù)量積的最大值的求法,考查拋物線、直線方程、韋達(dá)定理等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查函數(shù)與方程思想,是中檔題.18.(1)①;②8079;(2).【解析】
(1)①時(shí),,,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能求出函數(shù)在處的切線方程.②由,得,由此能求出的值.(2)根據(jù)若對(duì)任意給定的,,在區(qū)間,上總存在兩個(gè)不同的,使得成立,得到函數(shù)在區(qū)間,上不單調(diào),從而求得的取值范圍.【詳解】(1)①∵,∴∴,∴,∵,所以切線方程為.②,.令,則,.因?yàn)棰?所以②,由①+②得,所以.所以.(2),當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減∵,,所以,函數(shù)在上的值域?yàn)?因?yàn)椋?,故,,①此時(shí),當(dāng)變化時(shí)、的變化情況如下:—0+單調(diào)減最小值單調(diào)增∵,,∴對(duì)任意給定的,在區(qū)間上總存在兩個(gè)不同的,使得成立,當(dāng)且僅當(dāng)滿(mǎn)足下列條件,即令,,,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減所以,對(duì)任意,有,即②對(duì)任意恒成立.由③式解得:④綜合①④可知,當(dāng)時(shí),對(duì)任意給定的,在上總存在兩個(gè)不同的,使成立.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)最值問(wèn)題,會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性,會(huì)根據(jù)函數(shù)的增減性求出閉區(qū)間上函數(shù)的最值,掌握不等式恒成立時(shí)所滿(mǎn)足的條件.不等式恒成立常轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題解決.19.【解析】
利用極坐標(biāo)方程與普通方程、參數(shù)方程間的互化公式化簡(jiǎn)即可.【詳解】因?yàn)?,所以,所以曲線的直角坐標(biāo)方程為.由,得,所以曲線的普通方程為.由,得,所以(舍),所以,所以曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程與普通方程,參數(shù)方程與普通方程間的互化,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是一道容易題.20.(1)極大值,極小值;(2)詳見(jiàn)解析.【解析】
首先確定函數(shù)的定義域和;(1)當(dāng)時(shí),根據(jù)的正負(fù)可確定單調(diào)性,進(jìn)而確定極值點(diǎn),代入可求得極值;(2)通過(guò)分析法可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明,設(shè),令,利用導(dǎo)數(shù)可證得,進(jìn)而得到結(jié)論.【詳解】由題意得:定義域?yàn)椋?,?)當(dāng)時(shí),,當(dāng)和時(shí),;當(dāng)時(shí),,在,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,極大值為,極小值為.(2)要證:,即證:,即證:,化簡(jiǎn)可得:.,,即證:,設(shè),令,則,在上單調(diào)遞增,,則由,從而有:.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用,涉及到函數(shù)極值的求解、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的問(wèn)題;本題不等式證明的關(guān)鍵是能夠?qū)⒍鄠€(gè)變量的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)變量的問(wèn)題,通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方式將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解問(wèn)題.21.(1)(2)見(jiàn)解析【解析】
(1)設(shè)數(shù)列的公差為,由,得到,再結(jié)合題干所給數(shù)據(jù)得到公差,即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)由(1)可得,再利用放縮法證明不等式即可;【詳解】解:(1)設(shè)數(shù)列的公差為,∵,∴,∴,∴.(2)∵,∴,∴.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的計(jì)算,放縮法證明數(shù)列不等式,屬于中檔題.22.(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】
(1)連接,設(shè),連
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