第二章 桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析課件

有限元單元法

FiniteElementAnalysis土木工程與建筑學院:陳月順

CollegeofCivilEngineeringandArchitecture第2章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析有限元單元法

FiniteElementAnalysi12.1概述有限單元法的基本思想是從整體到局部，再回到整體，即對我們分析的整體對象，根據(jù)其結(jié)構(gòu)特點，對其進行離散化，得到有限個獨立的單元，然后對每個單元進行單元分析，最后根據(jù)單元分析的結(jié)果對結(jié)構(gòu)物進行整體分析，求得結(jié)構(gòu)物的某些參數(shù)。在所有結(jié)構(gòu)中，桿系結(jié)構(gòu)是最簡單的一類結(jié)構(gòu)，也是我們在工程上最常見的一類結(jié)構(gòu)。如平面桁架、平面剛架、連續(xù)梁、空間剛架、空間桁架等都屬于此類結(jié)構(gòu)，以此類結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)介紹有限單元法的分析過程。首先了解一下有限單元法分析問題的基本步驟。2.1概述有限單元法的基本思想是從整體到局部，再回到整2第一步：對結(jié)構(gòu)物進行離散化，劃分為有限個單元

彎曲桿件系統(tǒng)

截面連續(xù)變化的桿件系統(tǒng)

以直代曲

若干微小的等截面桿單元

第一步：對結(jié)構(gòu)物進行離散化，劃分為有限個單元3第二步：對各結(jié)點和單元進行編碼單元劃分示意圖

第二步：對各結(jié)點和單元進行編碼單元劃分示意圖4第三步：建立整體坐標系和各單元的局部坐標系整體坐標系和各單元的局部坐標系第三步：建立整體坐標系和各單元的局部坐標系整體坐標系和各單5第四步：對已知參數(shù)進行準備和整理對于各單元，需要準備的數(shù)據(jù)包括：單元截面積:單元長度:單元彈性模量:單元剪切模量:單元慣性矩:等。

第四步：對已知參數(shù)進行準備和整理對于各單元，需要準備的數(shù)據(jù)6第五步：對結(jié)點位移進行編碼結(jié)點位移進行編碼前處理法后處理法第五步：對結(jié)點位移進行編碼結(jié)點位移進行編碼前處理法后處理7第六步：進行單元分析第六步：進行單元分析8

我們進行單元分析的最終目的是要對結(jié)構(gòu)進行整體分析，因此必須由單元特性矩陣構(gòu)成整體特性矩陣。注意的是，如果局部坐標系與整體坐標系不一致，則需進行坐標變換，將局部坐標系下的單元特性轉(zhuǎn)換為整體坐標系下的單元特性。第七步：進行整體分析，形成整體剛度矩陣我們進行單元分析的最終目的是要對結(jié)構(gòu)進行整9第八步：引入邊界條件邊界條件的引入可以使問題具有解的唯一性，否則，我們的問題就是不適定的。第八步：引入邊界條件邊界條件的引入可以使問題具有解的唯一性，10第九步，求解方程組，計算結(jié)構(gòu)的整體結(jié)點位移列陣，并進一步計算各單元的應力分量及主應力、主向。

第十步，求單元內(nèi)力，對計算成果進行整理、分析，用表格、圖線示出所需的位移及應力。第九步，求解方程組，計算結(jié)構(gòu)的整體結(jié)點位移列陣，并進一步計112.2局部坐標系中桿單元分析

所謂桿件是指從構(gòu)造上來說其長度遠大于其截面尺寸的一維構(gòu)件。在結(jié)構(gòu)力學上我們通常將承受軸力或扭矩的桿件稱為桿，而將承受橫向力和彎矩的桿件稱為梁。在有限單元法中這兩種情況的單元分別稱為桿單元和梁單元。但由于在實際工程結(jié)構(gòu)中，同一構(gòu)件上，上述幾種受力狀態(tài)往往同時存在，因此為方便起見，本書都稱之為桿單元。并且，本書所討論的桿單元均是指等截面直桿單元，對于變截面桿和彎曲桿件，我們在進行單元劃分時可以將其分為若干等截面桿單元。因此本書的分析方法仍然對其適應。2.2局部坐標系中桿單元分析所謂桿件是指從構(gòu)122.2.1拉壓桿單元拉壓桿單元示意圖2.2.1拉壓桿單元拉壓桿單元示意圖13①用結(jié)點位移表示單元上任意截面的位移u

其中、為待定系數(shù)。

由位移的邊界條件：用矩陣表示為：①用結(jié)點位移表示單元上任意截面的位移u其中、為待定系數(shù)。14第二章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析課件15②進行應力、應變分析

根據(jù)應變的定義，有：由虎克定律，其應力為：②進行應力、應變分析根據(jù)應變的定義，有：由虎克定律，其16③求單元剛度矩陣

利用虛位移原理求單元剛度矩陣：③求單元剛度矩陣利用虛位移原理求單元剛度矩陣：17第二章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析課件182.2.2扭轉(zhuǎn)桿單元扭轉(zhuǎn)桿單元示意圖2.2.2扭轉(zhuǎn)桿單元扭轉(zhuǎn)桿單元示意圖19第二章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析課件20第二章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析課件21第二章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析課件222.2.3只計彎曲的桿單元只計彎曲的桿單元示意圖2.2.3只計彎曲的桿單元只計彎曲的桿單元示意圖23第二章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析課件24第二章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析課件25第二章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析課件26第二章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析課件27其中的單元剛度矩陣求得為：

其中的單元剛度矩陣求得為：282.2.4平面一般桿件單元一般桿單元示意圖2.2.4平面一般桿件單元一般桿單元示意圖29第二章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析課件30第二章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析課件312.2.5空間桿件單元空間桿單元示意圖2.2.5空間桿件單元空間桿單元示意圖32第二章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析課件332.2.6單元剛度矩陣的性質(zhì)2.2.6單元剛度矩陣的性質(zhì)34第二章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析課件352.3桿系結(jié)構(gòu)的整體分析2.3.1平面問題坐標變換矩陣

（a）

（b）平面問題兩種坐標系下桿端力轉(zhuǎn)換關(guān)系示意圖

角度轉(zhuǎn)動的正負由右手定則確定，本書中以順時針方向轉(zhuǎn)動為正2.3桿系結(jié)構(gòu)的整體分析2.3.1平面問題坐標變換矩陣36第二章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析課件37正交矩陣，其逆矩陣等于其轉(zhuǎn)置矩陣正交矩陣，其逆矩陣等于其轉(zhuǎn)置矩陣38同樣的推導，可以得到兩種坐標系下的桿端位移之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：整體坐標系下的單元剛度方程

同樣的推導，可以得到兩種坐標系下的桿端位移之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：392.3.2空間問題坐標變換矩陣空間問題兩種坐標系下桿端力轉(zhuǎn)換關(guān)系示意圖2.3.2空間問題坐標變換矩陣空間問題兩種坐標系下桿端力轉(zhuǎn)40第二章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析課件41第二章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析課件42關(guān)系矩陣關(guān)系矩陣43整體坐標系下單元桿端力矩陣與局部坐標系下單元桿端力矩陣具有如下的關(guān)系表達式：空間坐標系的單元轉(zhuǎn)換矩陣正交矩陣整體坐標系下單元桿端力矩陣與局部坐標系下單元桿端力矩陣具有如442.3.3桿系結(jié)構(gòu)的整體分析對桿系結(jié)構(gòu)進行單元分析，僅僅是有限元分析中的第一步。我們的目的是要對整個結(jié)構(gòu)進行分析，研究結(jié)構(gòu)的整體性能。因此，在對結(jié)構(gòu)的各單元分析完成后，必須將單元分析的結(jié)果進行整合，對結(jié)構(gòu)進行整體分析。整體分析的過程實際上是如何將單元分析的結(jié)果進行有效組合，建立整體剛度方程并求解結(jié)點位移的過程。根據(jù)對結(jié)點位移的編碼方式，可以采用“先處理法”和“后處理法”來建立整體剛度方程。2.3.3桿系結(jié)構(gòu)的整體分析對桿系結(jié)構(gòu)進行單元分析，僅僅是452.3.3.1后處理法

所謂后處理法，就是由單元剛度矩陣形成整體剛度矩陣，建立剛度方程后再引入支承條件，進而求解結(jié)點位移的方法。運用這種方法時，假設(shè)所有結(jié)點位移均為未知量，按照順序統(tǒng)一進行編碼。后處理法位移編碼示意圖2.3.3.1后處理法所謂后處理法，就是由單元剛度矩陣形46第二章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析課件47奇異矩陣，不能求逆矩陣，即可得到無窮多個解

必須引入邊界條件

奇異矩陣，不能求逆矩陣，即可得到無窮多個解必須引入邊界條件48邊界條件：

邊界條件：49第二章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析課件502.3.3.2先處理法

先處理法位移編碼示意圖利用先處理法對單元結(jié)點位移編碼時，僅對獨立的位移分量按自然數(shù)順序編號，若某些位移分量由于連接條件的限制彼此相等，則編為同一位移號，在支座處，由于剛性約束而使位移分量為零時，則對應的編號為0。2.3.3.2先處理法先處理法位移編碼示意圖利用先處理512.3.3.3桿系結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣

剛度集成法首先求出各單元的貢獻矩陣然后將它們疊加起來形成整體剛度矩陣邊定位，邊累加單元的定位數(shù)組2.3.3.3桿系結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣剛度集成法首先求出各52第二章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析課件53第二章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析課件54第二章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析課件55第二章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析課件56第二章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析課件57單元劃分、建立局部坐標系和整體坐標系。并對數(shù)據(jù)進行整理，對單元和結(jié)點編號。單元劃分、建立局部坐標系和整體坐標系。并對數(shù)據(jù)進行整理，對單58求局部坐標系中的單元剛度矩陣

由于單元①、②的尺寸完全一樣，因此其單元剛度矩陣

求局部坐標系中的單元剛度矩陣由于單元①、②的尺寸完全一樣，59求整體坐標系中的單元剛度矩陣

求整體坐標系中的單元剛度矩陣60對于單元②，由于其局部坐標系與整體坐標系一致，因此兩種坐標系下的單元剛度矩陣相同對于單元②，由于其局部坐標系與整體坐標系一致，因此兩種坐標系61形成整體剛度矩陣形成整體剛度矩陣622.4等效結(jié)點荷載和邊界條件的處理2.4.1非結(jié)點荷載的處理根據(jù)有限元方法的離散思想，我們需要將作用于單元上的外荷載（包括集中荷載、面分布荷載、體分布荷載、力偶等）按照虛功等效的原則移植到結(jié)點上，成為等效結(jié)點荷載。這里的虛功等效，是指原力系與等效結(jié)點荷載在任何可能的微小位移（虛位移）上所做的虛功相等。

等效結(jié)點荷載

2.4等效結(jié)點荷載和邊界條件的處理2.4.1非結(jié)點荷載的63第二章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析課件642.4.2邊界條件的處理2.4.2.1鉸結(jié)點

（a）

（b）

鉸結(jié)點的處理示意圖

2.4.2邊界條件的處理2.4.2.1鉸結(jié)點652.4.2.2彈性支承點

彈性支承點的處理示意圖2.4.2.2彈性支承點彈性支承點的處理示意圖662.5桿系結(jié)構(gòu)分析算例2.5桿系結(jié)構(gòu)分析算例67整體剛度矩陣整體剛度矩陣68求總結(jié)點荷載_局部坐標系單元①求總結(jié)點荷載_局部坐標系單元①69求總結(jié)點荷載_整體坐標系求總結(jié)點荷載_整體坐標系70剛架等效結(jié)點荷載矩陣

直接作用在結(jié)點上的荷載總的結(jié)點荷載矩陣剛架等效結(jié)點荷載矩陣直接作用在結(jié)點上的荷載總的結(jié)點荷載矩71整體剛度方程

整體剛度方程72各單元在整體坐標系下的桿端位移各單元在整體坐標系下的桿端位移73計算桿端內(nèi)力

計算桿端內(nèi)力74第二章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析課件75根據(jù)結(jié)點平衡條件，計算支座反力

根據(jù)結(jié)點平衡條件，計算支座反力76第二章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析課件772.6程序設(shè)計方法有限元前處理模塊建立幾何模型單元劃分材料特性圖形顯示有限元前后模塊結(jié)果整理校核應力應變圖計算結(jié)果顯示其他圖形顯示建立單元剛度矩陣形成整體剛度矩陣求解線性方程組計算應力應變2.6程序設(shè)計方法有限元前處理模塊建立幾何模型單元劃分材料78有限元單元法

FiniteElementAnalysis土木工程與建筑學院:陳月順

CollegeofCivilEngineeringandArchitecture第2章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析有限元單元法

FiniteElementAnalysi792.1概述有限單元法的基本思想是從整體到局部，再回到整體，即對我們分析的整體對象，根據(jù)其結(jié)構(gòu)特點，對其進行離散化，得到有限個獨立的單元，然后對每個單元進行單元分析，最后根據(jù)單元分析的結(jié)果對結(jié)構(gòu)物進行整體分析，求得結(jié)構(gòu)物的某些參數(shù)。在所有結(jié)構(gòu)中，桿系結(jié)構(gòu)是最簡單的一類結(jié)構(gòu)，也是我們在工程上最常見的一類結(jié)構(gòu)。如平面桁架、平面剛架、連續(xù)梁、空間剛架、空間桁架等都屬于此類結(jié)構(gòu)，以此類結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)介紹有限單元法的分析過程。首先了解一下有限單元法分析問題的基本步驟。2.1概述有限單元法的基本思想是從整體到局部，再回到整80第一步：對結(jié)構(gòu)物進行離散化，劃分為有限個單元

彎曲桿件系統(tǒng)

截面連續(xù)變化的桿件系統(tǒng)

以直代曲

若干微小的等截面桿單元

第一步：對結(jié)構(gòu)物進行離散化，劃分為有限個單元81第二步：對各結(jié)點和單元進行編碼單元劃分示意圖

第二步：對各結(jié)點和單元進行編碼單元劃分示意圖82第三步：建立整體坐標系和各單元的局部坐標系整體坐標系和各單元的局部坐標系第三步：建立整體坐標系和各單元的局部坐標系整體坐標系和各單83第四步：對已知參數(shù)進行準備和整理對于各單元，需要準備的數(shù)據(jù)包括：單元截面積:單元長度:單元彈性模量:單元剪切模量:單元慣性矩:等。

第四步：對已知參數(shù)進行準備和整理對于各單元，需要準備的數(shù)據(jù)84第五步：對結(jié)點位移進行編碼結(jié)點位移進行編碼前處理法后處理法第五步：對結(jié)點位移進行編碼結(jié)點位移進行編碼前處理法后處理85第六步：進行單元分析第六步：進行單元分析86

我們進行單元分析的最終目的是要對結(jié)構(gòu)進行整體分析，因此必須由單元特性矩陣構(gòu)成整體特性矩陣。注意的是，如果局部坐標系與整體坐標系不一致，則需進行坐標變換，將局部坐標系下的單元特性轉(zhuǎn)換為整體坐標系下的單元特性。第七步：進行整體分析，形成整體剛度矩陣我們進行單元分析的最終目的是要對結(jié)構(gòu)進行整87第八步：引入邊界條件邊界條件的引入可以使問題具有解的唯一性，否則，我們的問題就是不適定的。第八步：引入邊界條件邊界條件的引入可以使問題具有解的唯一性，88第九步，求解方程組，計算結(jié)構(gòu)的整體結(jié)點位移列陣，并進一步計算各單元的應力分量及主應力、主向。

第十步，求單元內(nèi)力，對計算成果進行整理、分析，用表格、圖線示出所需的位移及應力。第九步，求解方程組，計算結(jié)構(gòu)的整體結(jié)點位移列陣，并進一步計892.2局部坐標系中桿單元分析

所謂桿件是指從構(gòu)造上來說其長度遠大于其截面尺寸的一維構(gòu)件。在結(jié)構(gòu)力學上我們通常將承受軸力或扭矩的桿件稱為桿，而將承受橫向力和彎矩的桿件稱為梁。在有限單元法中這兩種情況的單元分別稱為桿單元和梁單元。但由于在實際工程結(jié)構(gòu)中，同一構(gòu)件上，上述幾種受力狀態(tài)往往同時存在，因此為方便起見，本書都稱之為桿單元。并且，本書所討論的桿單元均是指等截面直桿單元，對于變截面桿和彎曲桿件，我們在進行單元劃分時可以將其分為若干等截面桿單元。因此本書的分析方法仍然對其適應。2.2局部坐標系中桿單元分析所謂桿件是指從構(gòu)902.2.1拉壓桿單元拉壓桿單元示意圖2.2.1拉壓桿單元拉壓桿單元示意圖91①用結(jié)點位移表示單元上任意截面的位移u

其中、為待定系數(shù)。

由位移的邊界條件：用矩陣表示為：①用結(jié)點位移表示單元上任意截面的位移u其中、為待定系數(shù)。92第二章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析課件93②進行應力、應變分析

根據(jù)應變的定義，有：由虎克定律，其應力為：②進行應力、應變分析根據(jù)應變的定義，有：由虎克定律，其94③求單元剛度矩陣

利用虛位移原理求單元剛度矩陣：③求單元剛度矩陣利用虛位移原理求單元剛度矩陣：95第二章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析課件962.2.2扭轉(zhuǎn)桿單元扭轉(zhuǎn)桿單元示意圖2.2.2扭轉(zhuǎn)桿單元扭轉(zhuǎn)桿單元示意圖97第二章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析課件98第二章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析課件99第二章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析課件1002.2.3只計彎曲的桿單元只計彎曲的桿單元示意圖2.2.3只計彎曲的桿單元只計彎曲的桿單元示意圖101第二章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析課件102第二章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析課件103第二章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析課件104第二章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析課件105其中的單元剛度矩陣求得為：

其中的單元剛度矩陣求得為：1062.2.4平面一般桿件單元一般桿單元示意圖2.2.4平面一般桿件單元一般桿單元示意圖107第二章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析課件108第二章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析課件1092.2.5空間桿件單元空間桿單元示意圖2.2.5空間桿件單元空間桿單元示意圖110第二章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析課件1112.2.6單元剛度矩陣的性質(zhì)2.2.6單元剛度矩陣的性質(zhì)112第二章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析課件1132.3桿系結(jié)構(gòu)的整體分析2.3.1平面問題坐標變換矩陣

（a）

（b）平面問題兩種坐標系下桿端力轉(zhuǎn)換關(guān)系示意圖

角度轉(zhuǎn)動的正負由右手定則確定，本書中以順時針方向轉(zhuǎn)動為正2.3桿系結(jié)構(gòu)的整體分析2.3.1平面問題坐標變換矩陣114第二章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析課件115正交矩陣，其逆矩陣等于其轉(zhuǎn)置矩陣正交矩陣，其逆矩陣等于其轉(zhuǎn)置矩陣116同樣的推導，可以得到兩種坐標系下的桿端位移之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：整體坐標系下的單元剛度方程

同樣的推導，可以得到兩種坐標系下的桿端位移之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：1172.3.2空間問題坐標變換矩陣空間問題兩種坐標系下桿端力轉(zhuǎn)換關(guān)系示意圖2.3.2空間問題坐標變換矩陣空間問題兩種坐標系下桿端力轉(zhuǎn)118第二章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析課件119第二章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析課件120關(guān)系矩陣關(guān)系矩陣121整體坐標系下單元桿端力矩陣與局部坐標系下單元桿端力矩陣具有如下的關(guān)系表達式：空間坐標系的單元轉(zhuǎn)換矩陣正交矩陣整體坐標系下單元桿端力矩陣與局部坐標系下單元桿端力矩陣具有如1222.3.3桿系結(jié)構(gòu)的整體分析對桿系結(jié)構(gòu)進行單元分析，僅僅是有限元分析中的第一步。我們的目的是要對整個結(jié)構(gòu)進行分析，研究結(jié)構(gòu)的整體性能。因此，在對結(jié)構(gòu)的各單元分析完成后，必須將單元分析的結(jié)果進行整合，對結(jié)構(gòu)進行整體分析。整體分析的過程實際上是如何將單元分析的結(jié)果進行有效組合，建立整體剛度方程并求解結(jié)點位移的過程。根據(jù)對結(jié)點位移的編碼方式，可以采用“先處理法”和“后處理法”來建立整體剛度方程。2.3.3桿系結(jié)構(gòu)的整體分析對桿系結(jié)構(gòu)進行單元分析，僅僅是1232.3.3.1后處理法

所謂后處理法，就是由單元剛度矩陣形成整體剛度矩陣，建立剛度方程后再引入支承條件，進而求解結(jié)點位移的方法。運用這種方法時，假設(shè)所有結(jié)點位移均為未知量，按照順序統(tǒng)一進行編碼。后處理法位移編碼示意圖2.3.3.1后處理法所謂后處理法，就是由單元剛度矩陣形124第二章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析課件125奇異矩陣，不能求逆矩陣，即可得到無窮多個解

必須引入邊界條件

奇異矩陣，不能求逆矩陣，即可得到無窮多個解必須引入邊界條件126邊界條件：

邊界條件：127第二章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析課件1282.3.3.2先處理法

先處理法位移編碼示意圖利用先處理法對單元結(jié)點位移編碼時，僅對獨立的位移分量按自然數(shù)順序編號，若某些位移分量由于連接條件的限制彼此相等，則編為同一位移號，在支座處，由于剛性約束而使位移分量為零時，則對應的編號為0。2.3.3.2先處理法先處理法位移編碼示意圖利用先處理1292.3.3.3桿系結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣

剛度集成法首先求出各單元的貢獻矩陣然后將它們疊加起來形成整體剛度矩陣邊定位，邊累加單元的定位數(shù)組2.3.3.3桿系結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣剛度集成法首先求出各130第二章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析課件131第二章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析課件132第二章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析課件133第二章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析課件134第二章桿系結(jié)構(gòu)的有限元法分析課件135單元劃分、建立局部坐標系和整體坐標系。并對數(shù)據(jù)進行整理，對單元和結(jié)點編號。單元劃分、建立局部坐標系和整體坐標系。并對數(shù)據(jù)進行整理，對單136求局部坐標系中的單元剛度矩陣

由于單元①、②的尺寸完全一樣，因此其單元剛度矩陣

求局部坐標系中的單元剛度矩陣由于單元①、②的尺寸完全一樣，137求整體坐標系中的單元剛度矩陣

求整體坐標系中的單元剛度矩陣138對于單元②，由于其局部坐標系與整體坐標系一致，因此兩種坐標系下的單元