物理實(shí)驗緒論lun

1

2014年2月12緒論課主要內(nèi)容1.物理實(shí)驗的地位和作用2.物理實(shí)驗的教學(xué)目的和任務(wù)3.誤差基礎(chǔ)知識4.有效數(shù)字及數(shù)據(jù)處理的方法5.物理實(shí)驗課具體要求6.物理實(shí)驗課成績評定231.物理實(shí)驗的地位和作用物理學(xué)是研究物質(zhì)運(yùn)動一般規(guī)律及物質(zhì)基本結(jié)構(gòu)的科學(xué)，是自然科學(xué)的基礎(chǔ)學(xué)科,是學(xué)習(xí)其它自然科學(xué)和工程技術(shù)的基礎(chǔ)。物理學(xué)是一門實(shí)驗科學(xué)，物理實(shí)驗在物理學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展和應(yīng)用過程中起著重要作用。34伽利略把實(shí)驗和邏輯引入物理學(xué),使物理學(xué)最終成為一門科學(xué)。經(jīng)典物理學(xué)規(guī)律是從實(shí)驗事實(shí)中總結(jié)出來的。近代物理學(xué)是從實(shí)驗事實(shí)與經(jīng)典物理學(xué)的矛盾中發(fā)展起來的。很多技術(shù)科學(xué)是從物理學(xué)的分支中獨(dú)立出去的。45力學(xué)方面，牛頓三定律和萬有引力定律是牛頓在大量實(shí)驗基礎(chǔ)上總結(jié)出來的；電磁學(xué)的發(fā)展則離不開兩個重要實(shí)驗，一是奧斯特通過實(shí)驗發(fā)現(xiàn)電流的磁效應(yīng)，二是法拉第通過實(shí)驗發(fā)現(xiàn)磁也可以產(chǎn)生電；同樣，楊氏雙縫實(shí)驗和光電效應(yīng)實(shí)驗也相應(yīng)推動了光學(xué)的發(fā)展?，F(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的高速發(fā)展是離不開物理學(xué)理論和實(shí)驗的構(gòu)思和方法的。物理實(shí)驗的一些實(shí)驗理論、方法已經(jīng)廣泛滲透到了自然科學(xué)各個學(xué)科和工程技術(shù)領(lǐng)域。例如，聲波測井、物質(zhì)的化學(xué)成分與光譜的結(jié)構(gòu)分析等，都不過是一些專業(yè)的物理實(shí)驗而已。56以諾貝爾物理學(xué)獎為例：80%以上的諾貝爾物理學(xué)獎給了實(shí)驗物理學(xué)家。20%的獎中很多是實(shí)驗和理論物理學(xué)家分享的。實(shí)驗成果可以很快得獎，而理論成果要經(jīng)過至少兩個實(shí)驗的檢驗。有的建立在共同實(shí)驗基礎(chǔ)上的成果可以連續(xù)幾次獲獎。67（3）要懂得怎樣估算誤差、不確定度，判斷所得規(guī)律與結(jié)論的可靠性等。各位同學(xué)畢業(yè)后，從事生產(chǎn)或生產(chǎn)技術(shù)的研究工作，要解決生產(chǎn)或科研中遇到的實(shí)際問題。而這些問題往往要通過實(shí)驗來解決。這就需要我們必須具備一定的實(shí)驗?zāi)芰?。?）要熟悉并會運(yùn)用必要的實(shí)驗儀器（如游標(biāo)卡尺、螺旋測微器如何讀數(shù)；邁克爾遜干涉儀的調(diào)節(jié)；分光儀的調(diào)整等）物理實(shí)驗就是培養(yǎng)大家這些實(shí)驗的能力（2）要知道怎樣對實(shí)驗所得數(shù)據(jù)進(jìn)行總結(jié)歸納（作圖法、逐差法、線性回歸法等）782.物理實(shí)驗的教學(xué)目的和任務(wù)學(xué)習(xí)實(shí)驗知識培養(yǎng)實(shí)驗?zāi)芰μ岣邔?shí)驗素養(yǎng)89學(xué)習(xí)實(shí)驗知識通過對實(shí)驗現(xiàn)象的觀察、分析和對物理量的測量，學(xué)習(xí)物理實(shí)驗知識和設(shè)計思想，掌握和理解物理理論。910培養(yǎng)實(shí)驗?zāi)芰柚滩幕騼x器說明書正確使用常用儀器；運(yùn)用物理學(xué)理論對實(shí)驗現(xiàn)象進(jìn)行初步的分析判斷；正確記錄和處理實(shí)驗數(shù)據(jù)，繪制實(shí)驗曲線，說明實(shí)驗結(jié)果，撰寫合格的實(shí)驗報告；能夠根據(jù)實(shí)驗?zāi)康暮蛢x器設(shè)計出合理的實(shí)驗。1011提高實(shí)驗素養(yǎng)培養(yǎng)理論聯(lián)系實(shí)際和實(shí)事求是的科學(xué)作風(fēng)；嚴(yán)肅認(rèn)真的工作態(tài)度；主動研究和創(chuàng)新的探索精神；遵守紀(jì)律、團(tuán)結(jié)協(xié)作和愛護(hù)公共財產(chǎn)的優(yōu)良品德。1112

物理實(shí)驗課程不同于一般的探索性的科學(xué)實(shí)驗研究，每個實(shí)驗題目都經(jīng)過精心設(shè)計、安排，可使同學(xué)獲得基本的實(shí)驗知識，在實(shí)驗方法和實(shí)驗技能諸方面得到較為系統(tǒng)、嚴(yán)格的訓(xùn)練，是大學(xué)里從事科學(xué)實(shí)驗的起步，同時在培養(yǎng)科學(xué)工作者的良好素質(zhì)及科學(xué)世界觀方面，物理實(shí)驗課程也起著潛移默化的作用。

1213誤差的定義及表示隨機(jī)誤差的分布規(guī)律直接測量量的隨機(jī)偏差估算間接測量量的誤差傳播公式

系統(tǒng)誤差

如何處理誤差

測量不確定度的評定與表示

3.誤差基礎(chǔ)知識13143.1誤差的定義及表示測量

真值

誤差

精度測量不確定度14153.1.1測量物理實(shí)驗以測量為基礎(chǔ)，所謂測量，就是用合適的工具或儀器，通過科學(xué)的方法，將反映被測對象某些特征的物理量（被測物理量）與選作標(biāo)準(zhǔn)單位的同類物理量進(jìn)行比較的過程，其比值即為被測物理量的測量值。1516直接測量：直接將待測物理量與選定的同類物理量的標(biāo)準(zhǔn)單位相比較直接得到測量值；間接測量：利用直接測量的量與被測量之間的已知函數(shù)關(guān)系，求得該被測物理量。測量值

=讀數(shù)值(有效數(shù)字)+單位例如，用單擺測重力加速度g，要先測出擺長L和周期T，再由公式計算出g。g的測量就稱為間接測量。例如，用米尺測量長度、用溫度計測量溫度、用電壓表測量電壓、用秒表測量時間等都屬于直接測量。16173.1.2真值真值即真實(shí)值，是指在一定條件下，被測量客觀存在的實(shí)際值。真值通常是個未知量，一般所說的真值是指理論真值、規(guī)定真值。1718理論真值：又稱絕對真值，是指按一定的理論，在嚴(yán)格條件下，按定義確定的數(shù)值。規(guī)定真值：又稱約定真值，是指用約定的辦法來確定真值。例如，平面三角形三內(nèi)角之和恒為1800。例如，1982年國際計量局召開的米定義咨詢委員會提出的米的定義為“米等于光在真空中1/299782458秒時間間隔內(nèi)所經(jīng)路徑的長度”。這個米基準(zhǔn)就稱為計量長度的規(guī)定真值。18193.1.3誤差對一待測物理量x

誤差δ

＝測量結(jié)果x－真值x0

所謂誤差是指被測量的測量值與被測量的真值之差，即：根據(jù)誤差表示方法不同，有絕對誤差和相對誤差。1920絕對誤差:指被測量的測量值和真值之差，通常簡稱為誤差。絕對誤差可能是正值，也可能是負(fù)值。相對誤差:指絕對誤差與被測量真值之比值，常用百分比（%）表示。對于相同的被測量，絕對誤差可以評定其測量精度的高低，但對于不同的被測量以及不同的物理量，絕對誤差就難以評定其測量精度的高低，而采用相對誤差來評定較為確切。2021例如，用兩種方法來測量L1=100mm的尺寸，其測量誤差分別為δ1=±10μm，δ2=±8μm。根據(jù)絕對誤差大小，可知后者的測量精度高。但若用第三種方法測量L2=80mm的尺寸，其測量誤差為δ3=±7μm，此時用絕對誤差就難以評定它與前兩種方法精度的高低，必須采用相對誤差來評定。第一種方法的相對誤差為：第二種方法的相對誤差為：第三種方法的相對誤差為：2122測量誤差存在于一切測量過程中，可以控制得越來越小，不可能為零。按照誤差的特點(diǎn)與性質(zhì)，誤差可分為系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和粗大誤差。2223定義：在對同一被測量的多次測量過程中，絕對值和符號保持恒定或隨測量條件的改變而按確定的規(guī)律變化。產(chǎn)生原因：由于測量儀器、測量方法、環(huán)境帶入。分類及處理方法：

1已定系統(tǒng)誤差：必須修正電表、螺旋測微計的零位誤差；測電壓、電流時由于忽略表內(nèi)阻引起的誤差。

2未定系統(tǒng)誤差：要估計出分布范圍

如：螺旋測微計制造時的螺紋公差等。系統(tǒng)誤差2324（1）測量裝置方面的因素：儀器機(jī)構(gòu)設(shè)計原理上的缺點(diǎn)，如齒輪杠桿測微儀直線位移和轉(zhuǎn)角不成比例引起的誤差；儀器零件制造和安裝不正確，如刻度盤和指針的安裝偏心、天平的臂長不等引起的誤差；（2）環(huán)境方面的因素：測量時的實(shí)際溫度對標(biāo)準(zhǔn)溫度的偏差、測量過程中溫度、濕度等按一定規(guī)律變化的誤差。（3）測量方法的因素：采用近似的測量方法或近似的計算公式等引起的誤差。（4）測量人員方面的因素：由于測量者的個人特點(diǎn)，在刻度上估計讀數(shù)時，習(xí)慣偏于某一方向；動態(tài)測量時，記錄某一信號有滯后的傾向等。系統(tǒng)誤差產(chǎn)生原因2425系統(tǒng)誤差分類系統(tǒng)誤差又可分為已定系統(tǒng)誤差和未定系統(tǒng)誤差。已定系統(tǒng)誤差：指誤差的數(shù)值和符號已經(jīng)確定的系統(tǒng)誤差；未定系統(tǒng)誤差：指誤差數(shù)值或符號變化不定或按一定規(guī)律變化的誤差，未定系統(tǒng)誤差又稱為變值系統(tǒng)誤差。未定系統(tǒng)誤差根據(jù)它不同的變化規(guī)律，有線形變化的、周期性變化的、以及按復(fù)雜規(guī)律變化的，等等。系統(tǒng)誤差由于其數(shù)值恒定或具有一定的規(guī)律性，可通過實(shí)驗方法找出，并予以消除，或加修正值對測量結(jié)果予以修正。2526定義：在對同一量的多次重復(fù)測量中絕對值和符號以不可預(yù)知方式變化的測量誤差分量。產(chǎn)生原因：實(shí)驗條件和環(huán)境因素?zé)o規(guī)則的起伏變化，引起測量值圍繞真值發(fā)生漲落的變化。例如：電表軸承的摩擦力變動螺旋測微計測力在一定范圍內(nèi)隨機(jī)變化操作讀數(shù)時的視差影響隨機(jī)誤差2627隨機(jī)誤差產(chǎn)生原因隨機(jī)誤差是由許多暫時未能掌握或不便掌握的微小因素造成的，主要有以下幾方面：（1）測量裝置方面的因素：零部件配合的不穩(wěn)定性、零部件的變形、零件表面油膜不均勻、摩擦等。（2）環(huán)境方面的因素：溫度的微小波動、濕度與氣壓的微量變化、光照強(qiáng)度變化、灰塵及電磁場變化等。（3）人員方面的因素：測量者的固有習(xí)慣、分辨能力的限制、工作疲勞引起的視覺器官生理變化等。如瞄準(zhǔn)誤差、讀數(shù)誤差等。2728粗大誤差

定義：又稱粗差，是指那些誤差數(shù)值特別大，超出在規(guī)定條件下預(yù)計的誤差。

產(chǎn)生原因：由于測量者粗心大意造成的

如：在測量時，儀器操作錯誤、讀數(shù)讀錯或記數(shù)記錯等。

粗大誤差由于誤差數(shù)值特別大，容易從測量結(jié)果中發(fā)現(xiàn)，一旦發(fā)現(xiàn)有粗大誤差，可認(rèn)為該次測量無效，測量數(shù)據(jù)作廢，即可消除它對測量結(jié)果的影響。

2829上面雖將誤差分為三類，但必須注意各類誤差之間在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。對某項具體誤差，在此條件下為系統(tǒng)誤差，而在另一條件下可為隨機(jī)誤差，反之亦然。掌握誤差轉(zhuǎn)化的特點(diǎn)，可將系統(tǒng)誤差轉(zhuǎn)化為隨機(jī)誤差，用數(shù)據(jù)統(tǒng)計處理方法減小誤差的影響；或?qū)㈦S機(jī)誤差轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)誤差，用修正方法減小其影響。29303.1.4精度精密度正確度精確度（準(zhǔn)確度）反映測量結(jié)果與真值接近程度的量，稱為精度。它與誤差的大小相對應(yīng)，因此可用誤差大小來表示精度的高低，誤差小則精度高，誤差大則精度低。精度可分為：3031精密度：反映測量結(jié)果中隨機(jī)誤差的影響程度。隨機(jī)誤差越小，精密度越高。正確度：反映測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差的影響程度。系統(tǒng)誤差越小，正確度越高。精確度（準(zhǔn)確度）：反映測量結(jié)果中隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差綜合的影響程度。綜合誤差越小，精確度越高。精度在數(shù)量上有時可用相對誤差來表示，如相對誤差為0.01%，可籠統(tǒng)說其精度為10-4。若純屬隨機(jī)誤差引起，則說其精密度為10-4；若是由系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差共同引起，則說其精確度為10-4。3132精密度高的而正確度不一定高正確度高的而精密度也不一定高但精確度高，則精密度與正確度都高。對于具體的測量如打靶結(jié)果，子彈落在靶心周圍有三種情況:（a）正確度高而精密度低。（b）正確度低而精密度高。（c）系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差都小，即精確度高，我們希望得到精確度高的結(jié)果。32333.1.5測量不確定度一切測量結(jié)果都不可避免地具有不確定度。測量不確定度是評定測量水平的指標(biāo)，是判斷測量結(jié)果質(zhì)量的依據(jù)。它對科研、生產(chǎn)、商貿(mào)等領(lǐng)域的影響很大。因此，學(xué)習(xí)如何正確評定和表示測量不確定度具有實(shí)際和重要的意義。3334測量不確定度:指測量結(jié)果變化的不肯定，是表征被測量的真值在某個量值范圍的一個估計，是測量結(jié)果含有的一個參數(shù)，用以表示被測量值的分散性。例如，被測量Y的測量結(jié)果：y±U，其中y是被測量的估計，它具有的測量不確定度為U。根據(jù)測量不確定度定義，在測量實(shí)踐中如何對測量不確定度進(jìn)行合理的評定，這是必須解決的基本問題。3435不確定度的評定方法A類評定

其中一些分量由一系列觀測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析來評定，即：可以用統(tǒng)計學(xué)方法估算的分量，一般指隨機(jī)誤差。B類評定另一些分量不是用一系列觀測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析法，而是基于經(jīng)驗或其他信息所認(rèn)定的概率分布來評定，即：不能用統(tǒng)計學(xué)方法估算的分量，一般指系統(tǒng)誤差。對于一個實(shí)際的測量過程，影響測量結(jié)果的精度有多方面因素，因此測量不確定度一般包含若干個分量，各不確定度分量不論其性質(zhì)如何，皆可用兩類方法進(jìn)行評定，即A類評定與B類評定。3536測量不確定度與誤差測量不確定度和誤差是誤差理論中兩個重要概念，它們具有相同點(diǎn)，即都是評價測量結(jié)果質(zhì)量高低的重要指標(biāo)，都可作為測量結(jié)果的精度評定參數(shù)。但它們又有明顯的區(qū)別，必須正確認(rèn)識和區(qū)分。3637區(qū)別定義方面誤差——測量結(jié)果與真值之差，它以真值或約定真值為中心。測量不確定度——以被測量的估計值為中心。誤差是一個理想的概念，一般不能準(zhǔn)確知道，難以定量；而測量不確定度是反映人們對測量認(rèn)識不足的程度，是可以定量評定的。3738分類方面誤差——按自身特征和性質(zhì)分為系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和粗大誤差，并可采取不同的措施來減小或消除各類誤差對測量結(jié)果的影響。但由于各類誤差之間并不存在絕對界限，故在分類判別和誤差計算時不易準(zhǔn)確掌握。測量不確定度——不按性質(zhì)分類，而是按評定方法分為A類評定和B類評定，兩類評定方法不分優(yōu)劣，按實(shí)際情況的可能性加以選用。由于不確定度的評定只考慮其影響結(jié)果的評定方法，未考慮影響不確定度因素的來源和性質(zhì)，從而簡化了分類，便于評定與計算。3839注意嚴(yán)格來說，不要簡單地把A類不確定度對應(yīng)于隨機(jī)誤差導(dǎo)致的不確定度，把B類不確定度對應(yīng)于系統(tǒng)誤差導(dǎo)致的不確定度。3940聯(lián)系（1）誤差是不確定度的基礎(chǔ)研究不確定度首先需研究誤差，只有對誤差的性質(zhì)、分布規(guī)律、相互聯(lián)系及對測量結(jié)果的誤差傳遞關(guān)系等有了充分的認(rèn)識和了解，才能更好地估計各不確定度分量，正確得到測量結(jié)果的不確定度。（2）用測量不確定度代替誤差表示測量結(jié)果，易于理解、便于評定，具有合理性和實(shí)用性但測量不確定度的內(nèi)容不能包羅更不能取代誤差理論的所有內(nèi)容，如傳統(tǒng)的誤差分析與數(shù)據(jù)處理等均不能被取代?？陀^地說，不確定度是對經(jīng)典誤差理論地一個補(bǔ)充，是現(xiàn)代誤差理論的內(nèi)容之一，但它還有待于進(jìn)一步研究、完善與發(fā)展。40413.2隨機(jī)誤差的分布規(guī)律

統(tǒng)計直方圖

正態(tài)分布

算術(shù)平均值

4142在測量中，隨機(jī)誤差是無法消除的。對于單次測量，隨機(jī)誤差的大小、正負(fù)都不確定；但對同一個量進(jìn)行等精度的多次重復(fù)測量，卻發(fā)現(xiàn)隨機(jī)誤差具有一定的規(guī)律性，即符合統(tǒng)計規(guī)律。4243等精度測量—指在測量條件（包括測量儀器、測量方法、測量人員及測量環(huán)境等）不變的情況下對同一被測量進(jìn)行重復(fù)測量，所得的各測量值具有相同的精度，或者說具有相同的可信賴程度。實(shí)際上，有意義、有價值的多次測量一般都是指等精度測量。

為研究問題方便，本節(jié)假設(shè)測量列中不包含系統(tǒng)誤差和粗大誤差，即只包含隨機(jī)誤差的情況。43443.2.1統(tǒng)計直方圖

舉一個簡單測量的例子，如用長300mm的鋼尺，測量已知長度為836mm的導(dǎo)線，在相同的測量條件下，共測量了150次。將這些測得值按大小分成若干個等間距組（共分了11個組），落入某一個間距組的測得值，相互之間會有差異，在數(shù)據(jù)處理時，取該間距組的中心值代表這些測得值。對應(yīng)中心值xi，誤差為δi，各誤差出現(xiàn)的次數(shù)（又稱頻數(shù)）為mi，相對次數(shù)（又稱頻率）為fi，列于表內(nèi)。4445區(qū)間號i中心值xi（mm）誤差δi（mm）頻數(shù)mi頻率fi（%）1234567891011831832833834835836837838839840841-5-4-3-2-10+1+2+3+4+513818283429179210.662.005.3312.0018.6622.6619.3311.336.001.320.664546若以δ為橫坐標(biāo)，間距以為縱坐標(biāo)作圖，所得圖形稱為統(tǒng)計直方圖。圖中是對應(yīng)區(qū)間為單位長度時的頻率，稱為頻率密度。從圖中可見，誤差落在區(qū)間內(nèi)的頻率為，它等于圖中小矩形的面積。顯然，統(tǒng)計直方圖的總面積等于1。4647如果測量次數(shù)，區(qū)間，則無限多個直方圖的頂點(diǎn)的連線就形成一條光滑連續(xù)的曲線。該曲線稱為隨機(jī)誤差的概率密度分布曲線，也稱為高斯誤差分布曲線或誤差正態(tài)分布曲線。

47483.2.2正態(tài)分布由于多數(shù)隨機(jī)誤差都服從正態(tài)分布，因此正態(tài)分布在誤差理論中占有十分重要的地位。設(shè)被測量的真值為x0，一系列等精度測量值為xi，則測量列中的隨機(jī)誤差δi為：式中，i=1，2，…，n。服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差的概率密度分布函數(shù)f(δ)與概率分布函數(shù)P(δ)分別為：式中σ——標(biāo)準(zhǔn)差（或均方根誤差）。4849服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差具有以下特征第三特征可由第二特征推導(dǎo)出來，因為絕對值相等的正誤差和負(fù)誤差之和可以互相抵消。對于有限次測量，隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值是一個有限小的量，而當(dāng)測量次數(shù)增加到無限多次時，它趨向于零。正態(tài)分布曲線（1）單峰性：即絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的概率大；（2）對稱性：即絕對值相等的正誤差和負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相等；（3）抵償性：即隨著測量次數(shù)的增加，隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值趨向于零；（4）有界性：即在一定的測量條件下，隨機(jī)誤差的絕對值不會超過一定界限。4950標(biāo)準(zhǔn)差σ——又稱均方根誤差，是指各個誤差平方和的平均值的平方根，用公式表示為：標(biāo)準(zhǔn)差σ值對正態(tài)分布曲線的影響式中n——測量次數(shù)（應(yīng)充分大）；

δi——各測量值的誤差。5051標(biāo)準(zhǔn)差σ的大小取決于具體的測量條件不同的σ值，其正態(tài)分布曲線各不相同圖中σ1<σ2<σ3，可見σ值越小，分布曲線越陡，這表明測量列中絕對值小的誤差占優(yōu)勢。σ值增大，則與此相反。因此，常用標(biāo)準(zhǔn)差σ值來表征測量的精密度，σ值越小，說明測量的精密度越高。小大5152由概率密度分布函數(shù)f(δ)可知，隨機(jī)誤差落在dδ區(qū)間內(nèi)的概率為f(δ)dδ。則誤差落在[-δ，+δ]區(qū)間內(nèi)的概率為：令，并代入上式，整理得：將上式中按級數(shù)展開，得：5253積分整理得：對于，誤差δ落于±Cσ區(qū)間的概率可如下計算：將t代入上式，可得到不同C值對應(yīng)的概率，如下表所示：C11.9622.583P0.68270.950.95450.990.9973C稱為置信系數(shù)；Cσ稱為置信限；±Cσ稱為置信區(qū)間；P稱為置信概率或置信度。5354以[-3σ，+3σ]區(qū)間為例，這意味著在370次測量中只有一次測量的誤差其絕對值超出了3σ范圍。在通常的測量中，測量次數(shù)超過幾十次的都很少，因此測量誤差大于±3σ的情況幾乎是沒有的，所以常把3σ這個誤差值稱為單次測量的極限誤差。誤差δ落于[-σ，+σ]區(qū)間內(nèi)的置信概率分別為68.27%

[-2σ，+2σ]區(qū)間內(nèi)的置信概率分別為95.45%

[-3σ，+3σ]區(qū)間內(nèi)的置信概率分別為99.73%由表可知5455在實(shí)際測量中，有時也可取其他C值來表示單次測量的極限誤差。如取C=2.58，P=99%；C=1.96，P=95%等。因此一般情況下，測量列單次測量的極限誤差可用下式表示在講正態(tài)分布時，我們強(qiáng)調(diào)是在測量次數(shù)足夠多時，隨機(jī)誤差才服從正態(tài)分布。但同學(xué)們在實(shí)際實(shí)驗時，測量次數(shù)都較少，這時隨機(jī)誤差就不服從正態(tài)分布，而服從t分布。但當(dāng)測量次數(shù)多于10次時，t分布和正態(tài)分布就非常接近了，兩者可以不加區(qū)分。在測量要求不高時，測量5次也就足夠了。重要：（看講義7-8頁的t分布）5556正態(tài)分布是隨機(jī)誤差最普遍的一種分布規(guī)律，但不是唯一的分布規(guī)律。隨著誤差理論研究與應(yīng)用的深入發(fā)展，發(fā)現(xiàn)有不少隨機(jī)誤差不符合正態(tài)分布。對非正態(tài)分布的有關(guān)內(nèi)容我們不作要求。請注意5657在講誤差時，我們知道，誤差時時刻刻都存在，因此真值是不可測的。為了使測量有意義，必須找到真值的最佳替代值。下面證明，算術(shù)平均值是真值的最佳替代值。3.2.3算術(shù)平均值5758在一系列等精度測量中，設(shè)被測量的真值為x0，測量值為xi，則算術(shù)平均值為:整理，有：下面證明：當(dāng)測量次數(shù)無限增大時，算術(shù)平均值趨近于真值。由上式，得：5859當(dāng)時，有所以有：上式表明，當(dāng)測量次數(shù)無限增大時，算術(shù)平均值趨近于真值。由于實(shí)際上都是有限次測量，所以只能把算術(shù)平均值近似地作為被測量的真值。

根據(jù)正態(tài)分布隨機(jī)誤差的第三特征（抵償性）可知59603.3直接測量量的隨機(jī)偏差估算算術(shù)平均值的絕對偏差幾種偏差的置信概率相對偏差

測量結(jié)果的表示

單次測量的誤差

均勻分布

6061殘差νi：偏差：用殘差表示的誤差。誤差δi：3.3.1算術(shù)平均值的絕對偏差幾個概念6162評定測量列隨機(jī)誤差，可用以下幾種計算公式：（1）標(biāo)準(zhǔn)偏差σ（簡稱標(biāo)準(zhǔn)差，又稱均方根誤差）（2）或然誤差ρ（3）算術(shù)平均誤差θ標(biāo)準(zhǔn)偏差在以上三種方法中，國內(nèi)外廣泛采用第一種標(biāo)準(zhǔn)差法6263δi為測得值的誤差，即為測得值與真值之差。如果測量過程中，真值未知，則誤差δi也無法得知，因此，也就無法計算標(biāo)準(zhǔn)差σ。但是，對于一系列等精度測量值xi，前面已經(jīng)證明，可用其算術(shù)平均值來代替真值x0，此時，誤差表達(dá)式變?yōu)椋簬追N標(biāo)準(zhǔn)差的計算方法一、測量列中單次測量的標(biāo)準(zhǔn)差式中νi——稱為殘余誤差（簡稱殘差）實(shí)際上，在有限次測量情況下，可用殘差νi代替誤差δi，而得到標(biāo)準(zhǔn)差的估計值。6364標(biāo)準(zhǔn)差σ不是測量列中任何一個具體測得值的隨機(jī)誤差，σ值的大小只說明，在一定條件下等精度測量列隨機(jī)誤差的概率分布情況。在該條件下，任一單次測得值的隨機(jī)誤差δ，一般都不等于σ，但卻認(rèn)為這一系列測量中所有測得值都屬同樣一個標(biāo)準(zhǔn)差σ的概率分布。在不同條件下，對同一被測量進(jìn)行兩個系列的等精度測量，其標(biāo)準(zhǔn)差σ也不相同。請注意6465設(shè)對某個量進(jìn)行了n次等精度測量，測得值為xi，算術(shù)平均值為將上列各式相加，得：下面利用標(biāo)準(zhǔn)法——貝塞爾（Bessel）公式求標(biāo)準(zhǔn)差σ，真值為x0，其殘差為：6566因為，所以有：上述測量中，測得值xi所對應(yīng)的誤差為：變換成：式中，稱為算術(shù)平均值的誤差，則上式可變換為：因有n次測量，故有：6667將各等式對應(yīng)相相加，得：有：將上式兩邊平方，得：當(dāng)n適當(dāng)大時，趨近于零，故有：=0即：可認(rèn)為6768若上述各等式平方后再相加，則得：由上述推導(dǎo)，得：

整理，得：此即貝塞爾公式。據(jù)該式可由殘差求得單次測量的標(biāo)準(zhǔn)差的估計值由標(biāo)準(zhǔn)偏差的定義可知：6869在相同條件下，對同一量值作多組重復(fù)的系列測量，每一系列測量都有一個算術(shù)平均值。由于隨機(jī)誤差的存在，各個測量列的算術(shù)平均值也不相同，它們圍繞被測量的真值有一定的分散，此分散說明了算術(shù)平均值的不可靠性。而算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差則是表征同一被測量的各個獨(dú)立測量列算術(shù)平均值分散性的參數(shù)，可作為算術(shù)平均值不可靠性的評定標(biāo)準(zhǔn)。二、測量列算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差6970，…，其標(biāo)準(zhǔn)差分別為σ1，σ2，…，σm，因為是等精度測量，所以有，（j=1～m）算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差可根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差定義表示為：設(shè)有m組，每組有n次等精度測量，每組的算術(shù)平均值分別為每組算術(shù)平均值的誤差為：7071（j=1～m）據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的定義式，有：算術(shù)平均值的平均偏差：極限偏差：定義為極限偏差。由等精度測量可得：根據(jù)前面的推導(dǎo)：（j=1～m）聯(lián)立以上各式得：7172（1）算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)偏差的概率：

內(nèi)的概率為68.3%。（2）算術(shù)平均值平均偏差的概率：內(nèi)的概率為57.4%。（3）算術(shù)平均值極限偏差的概率：上式表明：真值落在內(nèi)的概率為99.7%。注意：實(shí)驗結(jié)果一定要標(biāo)注P=？，否則無法判斷你測量結(jié)果的優(yōu)劣。3.3.2幾種偏差的置信概率由數(shù)理統(tǒng)計知識可知：由概率密度函數(shù)對某一區(qū)間積分，即可得到偏差落在該區(qū)間的概率，上式表明：真值落在上式表明：真值落在72733.3.3相對偏差

相對偏差E定義——絕對偏差除以算術(shù)平均值再乘以100％，即：在評價一個測量結(jié)果的精確程度時，不僅要看絕對誤差的大小，還需要看被測量本身的大小，為此，引入相對偏差的概念。7374舉例：測得兩個長度分別為：則其相對偏差為：

分析：從絕對誤差來看，兩者相等；但從相對誤差來看，后者為前者的10倍。當(dāng)然，第一種測量要準(zhǔn)確些。7475三種表示方法：單位（P=68.3%，n=?）（2）單位（P=57.4%，n=?）

3.3.4測量結(jié)果的表示（1）（3）單位（P=99.7%，n=?）上面三種表示沒有原則區(qū)別，使用任一種都可以，但一定要注明P=？，否則，結(jié)果沒有意義！7576

上面講了多次測量的誤差，那么單次測量的誤差該如何計算呢？有的同學(xué)可能認(rèn)為我避免單次測量不就行了嗎？行嗎？不行！例如，彗星掃過地球，很多年才一次，你要重復(fù)測量需要等多少年？而且，即使你觀察到了兩次，這兩次觀察的實(shí)驗條件可能已經(jīng)發(fā)生了很大變化！還有一種情況，就是測量精度不高，沒必要重復(fù)測量。這時，就需要對單次測量進(jìn)行誤差估算！7677a一般由儀器說明書來表明本儀器所允許的最大誤差，如某一鋼直尺規(guī)定的最大允許誤差為0.2cm，則用此鋼直尺測量某物體的長度時，只測量了一次，它的測量誤差應(yīng)為±0.2cm；b有時，固定性誤差也可表示為：

3.3.5單次測量的誤差（1）固定性誤差采用對象：多數(shù)級別較低的儀器，如電表、溫度計、游標(biāo)卡尺等。計算：式中，X0為儀器的最小刻度值；b為小于1的系數(shù)，通常為1／10、1／5或1／2，可根據(jù)實(shí)際情況決定。7778

式中，X為本次測量的測量值；a為儀器的準(zhǔn)確度等級；為本次測量的測量誤差。從上式可看到，積累性誤差隨測量值的增加而增大。（2）積累性誤差采用對象：多數(shù)級別較高的儀器，如電橋、電位差計、以及經(jīng)過逐點(diǎn)校正的高級電表等。計算：7879舉例：用UJ31型電位差計測量電位差，某次測量測得電位差為120.05mV，另一次測得電位差為160.06mV，計算這兩次測量的測量誤差。已知該電位差計的級別為a＝0.05。解：由得mV故兩次測量的測量結(jié)果應(yīng)為：mVmVmV7980大部分同學(xué)都用過天平，天平的稱量過程實(shí)際上是一個平衡調(diào)節(jié)過程。稱量的精確度在很大程度上取決于天平的調(diào)節(jié)靈敏度S。調(diào)節(jié)靈敏度S的定義：其中，為天平平衡位置附近增減的質(zhì)量；為指針偏轉(zhuǎn)的格數(shù)。為天平感量。（3）平衡調(diào)節(jié)誤差所謂平衡調(diào)節(jié)誤差是指由于調(diào)節(jié)靈敏度有限而引起的誤差，用表示，即其中，c為某一常數(shù)。8081

上面講了三種單次測量的誤差計算，一般情況下，儀器的結(jié)構(gòu)誤差應(yīng)是三部分之和，即其中，a、b、c為常數(shù)，大小取決于所用儀器的質(zhì)量和測量條件的好壞！在實(shí)際應(yīng)用時，為了簡化計算，凡是小于最大項1/3的項，均可忽略不計。8182上面講了多次測量和單次測量的誤差，還有一種情況，即多次測量但由于精度不夠或其他原因，各次測量的數(shù)值都相等。顯然，按多次測量的誤差估算公式是行不通的！這時，可用儀器的極限誤差或用儀器的最小分度值作為極限誤差，認(rèn)為測量的隨機(jī)誤差在這個極限內(nèi)均勻分布。8283根據(jù)均勻分布理論，標(biāo)準(zhǔn)誤差與極限誤差的關(guān)系為其中，為極限誤差。3.3.6均勻分布83843.4間接測量量的誤差傳播公式由于直接測量量存在誤差，所以間接測量量也必存在誤差，這就是誤差傳遞。間接測量量：是指由直接測量量經(jīng)過一定的函數(shù)運(yùn)算得到的量。8485設(shè)間接測量量，其中x1、x2、…、xm為m個相互獨(dú)立的直接測量量。1平均（最大）誤差傳遞公式平均（最大）相對誤差傳遞公式：其中，、、為直接測量量的算術(shù)平均值的平均偏差。這是考慮了最不利的情況，當(dāng)然這在一定程度上夸大了誤差。85862標(biāo)準(zhǔn)誤差傳遞公式（方和根傳遞）或其中，、、為直接測量量的算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差；為間接測量量的標(biāo)準(zhǔn)偏差；為間接測量量的相對標(biāo)準(zhǔn)偏差；、、、、、為誤差傳遞系數(shù)。上面兩式知：間接測量量的誤差不但和直接測量量的誤差有關(guān)，還和誤差傳遞系數(shù)有關(guān)。這對于以后設(shè)計新實(shí)驗、考慮各直接測量量的誤差分配是個重要依據(jù)。

計算和差形式方便計算乘除指數(shù)形式方便8687下面通過一個例題看如何求間接測量量的標(biāo)準(zhǔn)誤差：例題：已知：，求。解：各直接測量量的誤差傳遞系數(shù)分別為：因此，間接測量量的標(biāo)準(zhǔn)偏差為：一般情況下，各量均取平均值。87883.5系統(tǒng)誤差在任一測量結(jié)果中，一般都含有隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差，為了提高測量結(jié)果的精度，必須設(shè)法消除或減少隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差。隨機(jī)誤差是不可能從測量中消除的，但可以通過多次重復(fù)測量，以減小它對測量結(jié)果的影響，并可用統(tǒng)計分析的方法估算出它存在的大小范圍。系統(tǒng)誤差雖然它的存在是固定不變的或按一定規(guī)律變化的，但常常不容易從測量結(jié)果中發(fā)現(xiàn)它的存在和認(rèn)識它的規(guī)律，也不可能象對待隨機(jī)誤差那樣，用統(tǒng)計分析的方法去找出它的存在和影響。8889因此，對系統(tǒng)誤差，只能是具體問題具體分析，這在很大程度上取決于測量者的知識水平、經(jīng)驗和技巧。但研究系統(tǒng)誤差的性質(zhì)及其對測量結(jié)果的影響可得出一些一般原則，以便了解在存在典型系統(tǒng)誤差的情況下，如何去發(fā)現(xiàn)和消除它。8990(1)儀器誤差：由于儀器本身的缺陷造成的，如零點(diǎn)不準(zhǔn)、米尺彎曲等；(2)理論（方法）誤差：由于測量所依據(jù)的理論公式本身的近似造成的，如g的測量；(3)個人誤差：由于觀察者本人生理或心理特點(diǎn)造成的，如用秒表計時，有的同學(xué)測得時間偏長，有的同學(xué)測得時間偏短。注意這種個人誤差不同于前面所講的過時誤差。3.5.1系統(tǒng)誤差的分類1按系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因分9091（1）不變的系統(tǒng)誤差（又稱固定系統(tǒng)誤差）指在測量過程中，誤差符號和大小都固定不變的系統(tǒng)誤差。2按系統(tǒng)誤差對測量結(jié)果的影響分（2）線性變化的系統(tǒng)誤差指在測量過程中，隨著時間或測量值的增加，按一定比例不斷增大或不斷減小的系統(tǒng)誤差。例如，稱量天平的砝碼或直接標(biāo)定荷重傳感器的砝碼，由于制作好的砝碼質(zhì)量偏差是固定不變的，它會給測量結(jié)果帶來固定的系統(tǒng)誤差。例如，用來測量熱電偶輸出毫伏值的電位差計，只有當(dāng)回路的工作電流保持恒定時，所測毫伏值才是正確的。工作電流的大小與電池工作電壓有關(guān)，而電池工作電壓是隨工作時間的增長而逐漸下降的，這就給測量結(jié)果帶來隨時間而變化的線性系統(tǒng)誤差。9192（4）復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差指在測量過程中，按確定的且復(fù)雜的規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差（3）周期性變化的系統(tǒng)誤差指在測量過程中，隨著時間或測量值的增加，誤差的數(shù)值和符號按周期性規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。例如，圓盤式儀表中的秒表、百分表、壓力表等，由于指針安裝與表盤不同心，指針指示讀數(shù)誤差是周期性變化的，并具有正弦函數(shù)的性質(zhì)。例如，微安表的指針偏轉(zhuǎn)角與偏轉(zhuǎn)力矩不能嚴(yán)格保持線性關(guān)系，而表盤仍采用均勻刻度所產(chǎn)生的誤差等。上面將系統(tǒng)誤差分為四類，其中第一類又稱為已定系統(tǒng)誤差，后三類又合稱為未定系統(tǒng)誤差。9293（1）可消除的系統(tǒng)誤差：系統(tǒng)誤差的大小和符號已知或可計算，通過引入一修正值，可消除這類誤差影響。（2）不可消除的系統(tǒng)誤差：這類系統(tǒng)誤差的確存在，但大小和符號不能確定。從某種角度來看，這類系統(tǒng)誤差又是隨機(jī)誤差，因此稱為雙向系統(tǒng)誤差。3按掌握的程度分93943.5.2系統(tǒng)誤差的補(bǔ)償由于系統(tǒng)誤差總是使測量結(jié)果向某一方向偏離，因此多次測量并不能消除系統(tǒng)誤差，而只能具體問題具體分析。下面簡單介紹幾種消除系統(tǒng)誤差的實(shí)驗方法。從產(chǎn)生誤差根源上消除系統(tǒng)誤差

用修正方法消除系統(tǒng)誤差不變系統(tǒng)誤差消除法

線性系統(tǒng)誤差的消除法——對稱法

周期性系統(tǒng)誤差消除法——半周期法94951．從產(chǎn)生誤差根源上消除系統(tǒng)誤差例如，為了防止測量過程中儀器零位的變動，測量開始和結(jié)束時都需要檢查零位；又如，為了防止在長期使用時，儀器精度降低，要嚴(yán)格進(jìn)行周期的檢定與修理；如果誤差是由外界條件引起的，應(yīng)在外界條件比較穩(wěn)定時進(jìn)行測量。從產(chǎn)生誤差根源上消除系統(tǒng)誤差是最基本的方法，它要求測量人員對測量過程中可能產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差的環(huán)節(jié)作仔細(xì)分析，并在測量前就將誤差從產(chǎn)生根源上加以消除。95962．用修正方法消除系統(tǒng)誤差這種方法是預(yù)先將測量器具的系統(tǒng)誤差檢定出來或計算出來，作出誤差表或誤差曲線，然后取與誤差數(shù)值大小相同而符號相反的值作為修正值，將實(shí)際測量值加上相應(yīng)的修正值，即可得到不包含該系統(tǒng)誤差的測量結(jié)果。例如，用螺旋測微儀測量長度時，由于可動副尺與固定主尺兩者零點(diǎn)不一致而引起的系統(tǒng)誤差就可用引入修正值的方法來消除。96973．不變系統(tǒng)誤差消除法代替法

指在同樣的測量條件下，先后對未知量和與未知量大小適當(dāng)?shù)目烧{(diào)的標(biāo)準(zhǔn)量進(jìn)行測量，通過調(diào)整標(biāo)準(zhǔn)量使兩次測量結(jié)果相同，則未知量就等于與標(biāo)準(zhǔn)量。抵消法

要求進(jìn)行兩次測量，且使兩次讀數(shù)時出現(xiàn)的系統(tǒng)誤差大小相等、符號相反，然后取兩次測得值的平均值作為測量結(jié)果，這樣就可消除系統(tǒng)誤差。交換法

利用交換測量的方法來消除固定的系統(tǒng)誤差。9798例如，用天平稱量時，物體質(zhì)量mx應(yīng)等于天平的砝碼質(zhì)量m。假定天平兩臂不等，即l1≠l2，則天平所稱質(zhì)量具有固定的系統(tǒng)誤差。采用代替法，先測量一次未知質(zhì)量，得：然后，用一標(biāo)準(zhǔn)可調(diào)的已知質(zhì)量ms代替未知質(zhì)量mx，使之達(dá)到原先的平衡，即：

（1）代替法根據(jù)兩次測量可得：即物體質(zhì)量等于標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量。這就消除了因天平兩臂不等而帶來的系統(tǒng)誤差。9899例如，用螺旋測微儀測量零件長度，由于測微儀螺紋的間隙而引起的空程誤差，就可用往返兩個方向的兩次讀數(shù)的平均值來消除。設(shè)沒有系統(tǒng)誤差的讀數(shù)為a，有系統(tǒng)誤差的讀數(shù)為A，空行程引起的系統(tǒng)誤差為ε0。第一次測量（正行程）讀數(shù)為：A=a+ε0第二次測量（反行程）讀數(shù)為：A‘=a-ε0兩式相加后，得：A+A‘=2a則有：即取正反行程兩次讀數(shù)的平均值作為測量結(jié)果，就可消除這種系統(tǒng)誤差。（2）抵消法99100例如，用天平稱量時，我們可用前面所講的代替法來消除由于天平兩臂不等而引入的系統(tǒng)誤差，也可用交換法來消除這種系統(tǒng)誤差。即在兩次測量中交換被測物與砝碼的位置，用兩次測量的平均值作為被測值，就可消除由于天平臂長不等而引入的系統(tǒng)誤差。（3）交換法100101如圖隨著時間的變化，被測量的系統(tǒng)誤差作線性增加，若選定某時刻為中點(diǎn)，則對稱此點(diǎn)的系統(tǒng)誤差的算術(shù)平均值皆相等。即有：根據(jù)這一特點(diǎn)，可采用對稱測量法來消除線性系統(tǒng)誤差。

4．線性系統(tǒng)誤差的消除法——對稱法對稱法是消除線性系統(tǒng)誤差的有效方法。101102例如，用補(bǔ)償法測量電阻

Rx為被測電阻，R0為已知電阻，設(shè)回路電流I隨時間而線性降低。第一次測Rx兩端電壓降為：第二次測R0兩端電壓降為：第三次再測Rx兩端電壓降為：將（1）式和（3）式相加除2得：（1）

（2）

（3）

因電流是線性變化，則有：（4）

（5）

故（4）式可變?yōu)椋郝?lián)立（2）式和（6）式，有：（6）

上式表明，因電流變化而引起的系統(tǒng)誤差已被消除。1021035．周期性系統(tǒng)誤差消除法——半周期法周期性變化系統(tǒng)誤差的特點(diǎn)是相隔半周期產(chǎn)生的誤差大小相等、符號相反。因此，若相隔半個周期進(jìn)行兩次測量，取兩次讀數(shù)的算術(shù)平均值，則可有效地消除周期性系統(tǒng)誤差。103104周期性系統(tǒng)誤差一般可表示為：當(dāng)θ=θ1時，有：當(dāng)θ=θ1+π時，有：取ε1和ε2的算術(shù)平均值，可得：上式表明，周期性系統(tǒng)誤差已被消除。104105無論采用何種方法，都不可能完全消除系統(tǒng)誤差，實(shí)際上只能說把系統(tǒng)誤差減弱到某種程度，使殘余地系統(tǒng)誤差對測量結(jié)果的影響小到可以忽略不計。請注意1051063.6如何處理誤差誤差計算

上面分別講了隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差。經(jīng)過實(shí)驗，我們測得一系列數(shù)據(jù)，那么，測量結(jié)果的誤差如何計算呢？在這兒強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，必須先剔除測量列中的過失誤差（粗大誤差），其依據(jù)就是3σ準(zhǔn)則（又稱萊以特法則）將測量列中大于3σ(x)的誤差剔除

。

誤差分配原則誤差一般按等作用原則分配。所謂等作用原則，是指使各直接測量量的誤差對間接測量量的影響相等。

1061073.6.1誤差計算上面分別講了隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差。經(jīng)過實(shí)驗，我們測得一系列數(shù)據(jù)，那么，測量結(jié)果的誤差如何計算呢？下面，通過一個例題，看一下測量結(jié)果的誤差是如何計算的。107108例題：欲測圓柱體的體積，這可通過直接測量圓柱體的直徑D和高度H，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系計算得到?，F(xiàn)分別測量D和H各5次，數(shù)據(jù)如下表所示，試求圓柱體的體積及標(biāo)準(zhǔn)差（置信概率68.3%）。表：測量圓柱體體積的實(shí)驗數(shù)據(jù)n12345D(cm)9.810.010.19.910.2H(cm)1039997101100注意：對某個量進(jìn)行了多次測量，在沒有特別指第幾次測量結(jié)果如何時，一般都是用算術(shù)平均值來表達(dá)測量結(jié)果，它的偏差也應(yīng)是算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差108109解：在本題中，在求圓柱體體積時，應(yīng)用直徑的平均值和高度的平均值。計算步驟如下：（1）計算D和H的算術(shù)平均值cm（2）計算圓柱體體積（3）計算D和H的算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差cm109110同理，可計算H的算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差，為（4）計算體積的標(biāo)準(zhǔn)偏差故，圓柱體體積可表示為

P=68.3%110111作為一般要求，設(shè)的n個直接測量量相互獨(dú)立，根據(jù)誤差傳遞公式，有：合理的誤差分配為：3.6.2誤差分配原則111112因此，有：從上式可看出：只要直接測量量的綜合誤差小于該式的結(jié)果，就能滿足給定的測量要求。注意：按誤差等作用原則來分配誤差可能存在這種問題：為了使某直接測量量滿足給定的測量要求，則必須選擇昂貴的實(shí)驗儀器或付出艱巨的勞動才行！這時，我們可根據(jù)需要對各直接測量量的誤差分配比例進(jìn)行合理調(diào)整！112113例題：在測量重力加速度的實(shí)驗中，已知擺長l=1m、T=2s、△T=0.2s，要求△g/g≤1%。問：（1）應(yīng)選擇什么樣的測長儀器比較合適？[米尺（mm）、皮尺（cm）]（2）如用秒表計時，每次計時，至少應(yīng)包含多少個周期？（或至少每隔多少個周期計一次時合適？）下面看一個誤差分配的例題：113114解：由，得兩邊取對數(shù)，得：兩邊全微分，得：所以，有：按等作用原則來分配誤差，有：114115（1）（2）把T=2s、△T=0.2S，代入，有：顯然滿足不了要求。在不改變測量儀器的情況下，可選用累積放大法來測量，即每個周期計一次時，所以有：因此，即至少每隔40個周期計一次時。

因此，測長儀器選用米尺比較合適。1151163.7測量不確定度的評定與表示測量不確定度評定方法的分類在測量不確定度的定義下，被測量的測量結(jié)果所表示的并非為一個確定值，而是分散的無限個可能值所處于的一個區(qū)間。測量不確定度是評定測量水平的指標(biāo)，是判斷測量結(jié)果質(zhì)量的依據(jù)。測量不確定度的評定測量不確定度是評定測量結(jié)果質(zhì)量高低的一個重要標(biāo)志。不確定度越小，測量結(jié)果的質(zhì)量越高，使用價值越大，其測量水平也越高；不確定度越大，測量結(jié)果的質(zhì)量越低，使用價值越小，其測量水平也越低。1161173.7.1

測量不確定度評定方法的分類

A類評定：其中一些分量由一系列觀測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析來評定

B類評定：另一些分量不是用一系列觀測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析法，而是基于經(jīng)驗或其他信息所認(rèn)定的概率分布來評定。測量不確定度的表示形式有兩種：

絕對形式：測量不確定度與被測量的量綱相同。

相對形式：無量綱。注意：A類評定與B類評定只是指出測量不確定度評定的方法不同，兩類分量之間并無本質(zhì)區(qū)別，兩者都是基于概率分布1171183.7.2測量不確定度的評定不確定度可以是標(biāo)準(zhǔn)差或其倍數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)不確定度：以標(biāo)準(zhǔn)差表示的不確定度稱為標(biāo)準(zhǔn)不確定度，以u表示。擴(kuò)展不確定度：以標(biāo)準(zhǔn)差的倍數(shù)表示的不確定度稱為擴(kuò)展不確定度，以U表示。擴(kuò)展不確定度表明了具有較大置信概率的區(qū)間的半寬度。不確定度通常有多個分量組成，對每一分量均要評定其標(biāo)準(zhǔn)不確定度。評定方法分為A、B兩類。A類評定是用對觀測列進(jìn)行統(tǒng)計分析的方法，以實(shí)驗標(biāo)準(zhǔn)差表征；B類評定則用不同于A類的其它方法，以估計的標(biāo)準(zhǔn)差表征。合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度：各標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量的合成稱為合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度，以uc表示，它是測量結(jié)果

標(biāo)準(zhǔn)差的估計值。118119A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度用算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差來表示。假設(shè)對被測量X進(jìn)行了n次獨(dú)立重復(fù)觀測，觀察值為xi（i=1,2,……n），其算術(shù)平均值，則A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度為

注意：A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度只有在觀測次數(shù)n足夠多時，評定才可靠。1標(biāo)準(zhǔn)不確定度的A類評定1191202標(biāo)準(zhǔn)不確定度的B類評定當(dāng)被測量X的估計值x不是由重復(fù)觀測得到，其B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度可用x的可能變化的信息或資料來評定。這種評定情況很多，我們只考慮最簡單的情況，即由儀器引起的B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度，這與儀器的品牌有關(guān)。120121具體評定為：當(dāng)測量儀器檢定證書上給出準(zhǔn)確度級別時，可按該級別儀器的最大允許誤差進(jìn)行評定。假定最大允許誤差為±A，一般采用均勻分布，得到示值允許引起的B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：

對于數(shù)字顯示式測量儀表，如其分辨力為δx，則由此帶來的B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：1211223合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度以上是直接測量量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度的評定，下面看一下間接測量量的情況。122123設(shè)間接測量量Y的估計值y與直接測量量Xi的估計值xi存在如下的函數(shù)關(guān)系：當(dāng)是彼此獨(dú)立時（注意，不是一個變量的n次測量值），則間接測量量的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：或4間接測量量合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的傳遞123124常用公式同學(xué)們可以用偏微分知識自己推導(dǎo)這些公式

124125下面通過幾個例題看一下測量不確定度的計算及表示例1：室溫23℃下，用共振干涉法測空氣中λ超，數(shù)據(jù)如下，計算λ的平均值及其標(biāo)準(zhǔn)不確定度。游標(biāo)卡尺精度值為A=0.002cm,考慮均勻分布情況。表：用共振干涉法測空氣中λ超數(shù)據(jù)測量次數(shù)12345678910λi(cm)0.68720.68540.68400.68800.68200.68800.68520.68680.68840.6874125126解：A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度：B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度:因此，合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：測量結(jié)果：126127例2：用例1的方法測出了超聲波的波長，如果已知超聲波在空氣中的頻率，據(jù)可求出超聲波在空氣中的聲速。求：聲速及其不確定度。解：（m/s）因此，有：測量結(jié)果可表示為：(m/s)（m/s）127128例3：

已測得金屬環(huán)的外形尺寸如下，要求給出其體積的測量結(jié)果解：

2.由于間接測量與直接測量量之間沒有簡單關(guān)系，故先推導(dǎo)出間接測量的合成不確定度1.3.實(shí)驗結(jié)果表示1281292.依據(jù)關(guān)系求出或間接測量量的不確定度計算過程3.用或求或1.先寫出各直接測量量x的不確定度Ux4.最后表示結(jié)果為(SI)1291304有效數(shù)字及數(shù)據(jù)處理方法有效數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)處理方法列表法逐差法作圖法回歸分析簡介1301314.1有效數(shù)字定義：指末位包含隨機(jī)誤差的數(shù)字。

由準(zhǔn)確數(shù)字和存疑數(shù)字組成。由此可見，有效數(shù)字是由誤差來決定的，并且是一種粗略反映誤差大小的形式。有效數(shù)字＝可靠數(shù)字＋可疑數(shù)字（一位）注意：（1）對于十進(jìn)制單位變換，不改變其有效數(shù)字的位數(shù)。如，5893m，其有效數(shù)字為四位；如寫成589300cm，是不對的，因為其有效數(shù)字變成六位了；如果以cm為單位，可借助科學(xué)計數(shù)法表示為5.893×10-5cm。（2）非零數(shù)字出現(xiàn)在測量值內(nèi)時，必是有效數(shù)字；但零卻不一定，這要看零是否用來確定小數(shù)點(diǎn)的位置。（3）對于非十進(jìn)制，如60進(jìn)制：18.1分→秒后，為4位有效數(shù)字。131132有效數(shù)字的讀取15.2mm15.0mm132133有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則:

存疑數(shù)與存疑數(shù)運(yùn)算是存疑數(shù)；存疑數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)運(yùn)算是存疑數(shù)；準(zhǔn)確數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)運(yùn)算是準(zhǔn)確數(shù)；結(jié)果保留一位存疑數(shù)。133134加、減法：諸量相加（相減）時，其和（差）數(shù)在小數(shù)點(diǎn)后所應(yīng)保留的位數(shù)與諸數(shù)中小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最少的一個相同。

4.178+21.3

25.478=25.5如11.4+2.56=14.075-10.356=65134135乘、除法：諸量相乘（除）后其積（商）所保留的有效數(shù)字，只須與諸因子中有效數(shù)字最少的一個相同?？紤]乘法可能進(jìn)位,結(jié)果可多取一位。

4.178×10.1

41784178421978=42.2如4000×9=3.6×1042.000÷0.99=2.0135136

乘方開方:有效數(shù)字與其底的有效數(shù)字相同。對數(shù)函數(shù):

運(yùn)算后的尾數(shù)位數(shù)與真數(shù)位數(shù)相同。例：lg1.938=0.2973指數(shù)函數(shù):運(yùn)算后有效數(shù)字的位數(shù)與指數(shù)小數(shù)點(diǎn)后的位數(shù)相同（包括緊接小數(shù)點(diǎn)后的零）。例：106.25

=1.8×106100.0035=1.008136137

三角函數(shù):取位隨角度有效數(shù)字而定。例：Sin30°00′=0.5000

Cos20°16′=0.9381取常數(shù)與測量值的有效數(shù)字的位數(shù)相同。函數(shù)運(yùn)算:

以運(yùn)算數(shù)據(jù)最末位的一個單位為誤差,求出結(jié)果誤差,再根據(jù)誤差決定取到哪一位用計算器進(jìn)行計算時,中間結(jié)果可不作修約或適當(dāng)多取幾位(不能任意減少),但最后一定要修約。137138有效數(shù)字尾數(shù)的舍入規(guī)則四舍六入，五湊偶。例如在下面例子中，取四位有效數(shù)字。則在考慮有效數(shù)字舍取時，如果后一位小于5時則舍去，大于5時或等于5，但后面有非零數(shù)字則進(jìn)一。如果后一位為5，且后面無數(shù)字或皆為零時，則將前一位湊成偶數(shù)。

例：

1.11829999→1.1181.11759999→1.1181.11850000→1.1181.11750000→1.118簡明口訣：「4舍6入5看右，5后有數(shù)進(jìn)上去，尾數(shù)為0向左看，左數(shù)奇進(jìn)偶舍棄」。

138139測量結(jié)果表達(dá)式中的有效位數(shù)總不確定度U的有效位數(shù)：一般取一位.前兩位都小于5時,可取兩位.例：估算結(jié)果U=0.548mm時，取為U=0.6mm

U=1.37時，取為U=1.4139140測量結(jié)果表達(dá)式中的有效位數(shù)被測量值有效位數(shù)的確定：x＝x0±U中，被測量值x0

的末位要與不確定度U的末位對齊（求出x0后先多保留幾位，求出U，由U決定x0的末位）例：環(huán)的體積不確定度分析結(jié)果最終結(jié)果為：V=9.44±0.08cm3即：不確定度末位在小數(shù)點(diǎn)后第二位，測量結(jié)果的最后一位也取到小數(shù)點(diǎn)后第二位。140141規(guī)則：在物理實(shí)驗中，不確定度的有效數(shù)字只取一位。任何測量結(jié)果，其數(shù)值的最后一位要與不確定度所在的這一位取齊。

例如：正確(3.5200.004)cm

錯誤(3.520.004)cm，(3.5200.04)cm數(shù)值很大或很小時，用科學(xué)記數(shù)法表示。141142通常采用的數(shù)據(jù)處理方法有：列表法、逐差法、作圖法和回歸分析法（最小二乘法）。4.2數(shù)據(jù)處理方法通過測量獲得一系列數(shù)據(jù)，如何對這些數(shù)據(jù)進(jìn)行深入的分析，以得到各參量之間的關(guān)系，甚至用數(shù)學(xué)解析的方法導(dǎo)出各參量之間的函數(shù)關(guān)系，這就是數(shù)據(jù)處理的任務(wù)。1421434.2.1列表法可以簡明地表示相關(guān)物理量之間的對應(yīng)關(guān)系，有助于進(jìn)一步找出相關(guān)量的規(guī)律聯(lián)系，從而求出經(jīng)驗公式；便于隨時檢查測量結(jié)果是否正確，及時發(fā)現(xiàn)并分析問題；可以提高記錄、處理數(shù)據(jù)的效率，減少和避免錯誤，隨時排除過失錯誤；有利于隨時查對數(shù)據(jù)。1列表的作用143144簡單明了，要便于表示物理量的對應(yīng)關(guān)系；在表的上方寫明表的名稱，在表頭欄目中標(biāo)明物理量、單位，必要時寫明×10n表中的數(shù)據(jù)應(yīng)正確反映測量結(jié)果的有效數(shù)字；把日期、說明及必須記錄的實(shí)驗條件記錄在表外。2列表要求1441454.2.2逐差法逐差法是實(shí)驗中一種常用的數(shù)據(jù)處理方法，在測量金屬楊氏模量的實(shí)驗和聲速測量實(shí)驗中，我們將用這種方法來處理數(shù)據(jù)。把符合線性函數(shù)的測量值分為兩組，相隔k=n/2（n為測量次數(shù)，且為偶數(shù)）項逐項相減，稱為逐差法。定義：145146設(shè)，，則即：逐差并取平均值，有：所以，有：146147利用逐差法處理數(shù)據(jù)的條件：函數(shù)可寫成多項式形式：一次逐差二次逐差三次逐差147148例題：下表為測量鋼絲的楊氏模量的實(shí)驗結(jié)果，其中F為在鋼絲上所加的外力，n為從望遠(yuǎn)鏡中看到的標(biāo)尺刻度。求：表：測量鋼絲的楊氏模量的實(shí)驗數(shù)據(jù)序號123456Fi(N)0.002.004.006.008.0010.00ni(cm)14.2114.8415.4316.0216.6617.23下面看一例題：148149用逐差法求解，首先將測量值分為兩組：n＝6，因此，K＝3。分組如表中所示。據(jù)，有因此，有：因此，有：解：149150（1）與的取值要對應(yīng)（為6.00N，而不是2.00N）。行不行？行！但同學(xué)們有沒有注意到，上式只用到了n6和n1兩項！而逐差法則充分利用了測量所得的數(shù)據(jù)，這是優(yōu)點(diǎn)之一；優(yōu)點(diǎn)之二是可減小測量誤差，因為在相同的測量精度下，前者的相對誤差一定小于后者。注意：（2）可能有的同學(xué)會提出這樣的疑問，我不用逐差法，而是直接逐項相減，即1501514.2.3作圖法分類：圖示法和圖解法圖示法：是用圖線表示物理量相互之間的變化關(guān)系。圖解法：是從圖線上求未知物理量或由圖線找出物理量之間的解析表達(dá)式同學(xué)們在用作圖法處理數(shù)據(jù)時，一定要注意作圖的規(guī)范性作圖法可形象、直觀地顯示出物理量之間的函數(shù)關(guān)系，也可用來求某些物理參數(shù)，因此它是一種重要的數(shù)據(jù)處理方法。作圖時要先整理出數(shù)據(jù)表格，并要用坐標(biāo)紙作圖。151152作圖步驟：實(shí)驗數(shù)據(jù)列表如下.

表1：伏安法測電阻實(shí)驗數(shù)據(jù)1.選擇合適的坐標(biāo)分度值，確定坐標(biāo)紙的大小坐標(biāo)分度值的選取應(yīng)能反映測量值的有效位數(shù)，一般以1～2mm對應(yīng)于測量儀表的最小分度值或?qū)?yīng)于測量值的次末位數(shù)）。根據(jù)表１數(shù)據(jù)U軸可選1mm對應(yīng)于0.10V，I軸可選1mm對應(yīng)于0.20mA，并可定坐標(biāo)紙的大?。源笥谧鴺?biāo)范圍、數(shù)據(jù)范圍）約為130mm×130mm。1521532.標(biāo)明坐標(biāo)軸：

用粗實(shí)線畫坐標(biāo)軸，用箭頭標(biāo)軸方向，標(biāo)坐標(biāo)軸的名稱或符號、單位,再按順序標(biāo)出坐標(biāo)軸整分格上的量值。I(mA)U(V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.0002.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.004.連成圖線：

用直尺、曲線板等把點(diǎn)連成直線、光滑曲線。一般不強(qiáng)求直線或曲線通過每個實(shí)驗點(diǎn)，應(yīng)使圖線線正穿過實(shí)驗點(diǎn)時可以在兩邊的實(shí)驗點(diǎn)與圖線最為接近且分布大體均勻。圖點(diǎn)處斷開。3.標(biāo)實(shí)驗點(diǎn)：實(shí)驗點(diǎn)可用“”、“”、“”等符號標(biāo)出（同一坐標(biāo)系下不同曲線用不同的符號）。153154I(mA)U(V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.0002.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.00B(7.00,18.58)A(1.00,2.76)由圖上A、B兩點(diǎn)可得被測電阻R為：5.標(biāo)出圖線特征：在圖上空白位置標(biāo)明實(shí)驗條件或從圖上得出的某些參數(shù)。如利用所繪直線可給出被測電阻R大?。簭乃L直線上讀取兩點(diǎn)A、B的坐標(biāo)就可求出R值。6.標(biāo)出圖名：

在圖線下方或空白位置寫出圖線的名稱及某些必要的說明。電阻伏安特性曲線至此一張圖才算完成154155不當(dāng)圖例展示nλ(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲線圖圖1曲線太粗，不均勻，不光滑。應(yīng)該用直尺、曲線板等工具把實(shí)驗點(diǎn)連成光滑、均勻的細(xì)實(shí)線。155156nλ(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲線圖改正為：156157圖2I(mA)U(V)02.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.001.003.00電學(xué)元件伏安特性曲線橫軸坐標(biāo)分度選取不當(dāng)。橫軸以3cm

代表1V，使作圖和讀圖都很困難。實(shí)際在選擇坐標(biāo)分度值時，應(yīng)既滿足有效數(shù)字的要求又便于作圖和讀圖，一般以1mm代表的量值是10的整數(shù)次冪或是其2倍或5倍。157158I(mA)U(V)o1.002.003.004.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.00電學(xué)元件伏安特性曲線改正為158159定容氣體壓強(qiáng)～溫度曲線1.20001.60000.80000.4000圖3P(×105Pa)t(℃)60.00140.00100.00o120.0080.0040.0020.00圖紙使用不當(dāng)。實(shí)際作圖時，坐標(biāo)原點(diǎn)的讀數(shù)可以不從零開始。159160定容氣體壓強(qiáng)～溫度曲線1.00001.15001.20001.10001.0500

P(×105Pa)50.0090.0070.0020.0080.0060.0040.0030.00t(℃)改正為160161如在測重力加速度的實(shí)驗中：，在直角坐標(biāo)系中，作l～T圖，為一條拋物線；但如果作l～T2圖，則為一直線；另一種方法是用對數(shù)坐標(biāo)紙作圖（），即作l～T圖。圖解法這兩種方法的目的都是要變曲線為直線?。ㄖv個例子）如果圖線為直線，則比較好求，因為未知量一般存在于斜率或截矩當(dāng)中，而求斜率或截矩，對同學(xué)們而講是毫不成問題的。如果圖線為曲線，這時該如何處理呢？1611624.2.4回歸分析簡介測量數(shù)據(jù)之間的函數(shù)關(guān)系，除了可用圖形表示外，還可用與圖形對應(yīng)的公式來表示。當(dāng)然，這個公式不可能完全準(zhǔn)確地表達(dá)全部數(shù)據(jù)，因此，常把與曲線對應(yīng)的公式稱為經(jīng)驗公式（方程）。利用數(shù)學(xué)工具，對大量的測量數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，從中得到比較符合事物內(nèi)部規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式。它是處理變量相互關(guān)系的一種數(shù)理統(tǒng)計方法。

162163（1）根據(jù)自變量的多少，可分為：

一元回歸：是指自變量只有一個的回歸。

多元回歸：是指自變量為兩個或兩個以上的回歸。（2）根據(jù)變量之間關(guān)系，可分為：

線性回歸：是指變量之間關(guān)系為線性的回歸。

非線性回歸：線性回歸之外的回歸?；貧w分類非線性回歸一般比較復(fù)雜，但有時很多非線性回歸問題可以變換成線性回歸問題進(jìn)行研究和解決。163164用最小二乘法求一元線性回歸方程（直線擬合）最小二乘法在誤差理論中的基本含義是：在具有等精度的多次測量中，求最可靠（最可信賴）值時，是當(dāng)各測量值的殘差平方和為最小時所求得的值。用最小二乘法進(jìn)行直線擬合優(yōu)于作圖法。164165最小二乘法的幾何意義

圖中實(shí)心圓點(diǎn)代表測量數(shù)據(jù)點(diǎn)，實(shí)線為最小二乘法擬合的直線，實(shí)心圓點(diǎn)與擬合直線之間在y方向的距離代表殘差。根據(jù)最小二乘法擬合原理，圖形中以殘差為邊長的各個正方形面積的總和應(yīng)為最小。反之，用其它方法擬合的直線所得各個正方形面積的總和都會比其大。165166最小二乘法的理論基礎(chǔ)已知由實(shí)驗等精度地