【教學(xué)課件】環(huán)節(jié)一 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

雙曲線環(huán)節(jié)一雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程引入新課橢圓的學(xué)習(xí)路徑橢圓的現(xiàn)實(shí)背景與幾何情境橢圓的幾何特征與概念橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率）應(yīng)用引入新課思考我們知道，平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡是橢圓．平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么？為了研究這個(gè)問(wèn)題，我們先來(lái)探究一下．問(wèn)題1在直線l上取兩個(gè)定點(diǎn)A，B，P是直線l上的動(dòng)點(diǎn)．在平面內(nèi)，取定點(diǎn)F1，F(xiàn)2，以點(diǎn)F1為圓心、線段PA為半徑作圓，再以F2為圓心、線段PB為半徑作圓．我們知道，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果，那么兩圓相交，其交點(diǎn)M的軌跡是橢圓；如果，兩圓不相交，不存在交點(diǎn)軌跡．在的條件下，讓點(diǎn)P在線段AB外運(yùn)動(dòng)，這時(shí)動(dòng)點(diǎn)M滿足什么幾何條件？?jī)蓤A的交點(diǎn)M的軌跡是什么形狀？探究新知問(wèn)題1在的條件下，讓點(diǎn)P在線段AB外運(yùn)動(dòng)，這時(shí)動(dòng)點(diǎn)M滿足什么幾何條件？?jī)蓤A的交點(diǎn)M的軌跡是什么形狀？探究新知答案：在的條件下，點(diǎn)P在線段AB外運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)M靠近定點(diǎn)時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)M靠近定點(diǎn)時(shí)，．總之，點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)距離的差的絕對(duì)值是一個(gè)常數(shù)().這時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是不同于橢圓的曲線，它分左右兩支．探究新知雙曲線的定義

平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距．探究新知雙曲線的定義追問(wèn)1

若將定義中的“絕對(duì)值”去掉，動(dòng)點(diǎn)的軌跡會(huì)發(fā)生什么變化？答案：動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支．

平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距．探究新知雙曲線的定義追問(wèn)2

平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為非零常數(shù)(等于)的點(diǎn)的軌跡是什么？答案：動(dòng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線和反向延長(zhǎng)線上，其軌跡是兩條射線．

平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距．xyOF2F1探究新知雙曲線的定義追問(wèn)3

平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為非零常數(shù)(大于)的點(diǎn)的軌跡是什么？答案：動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在．

平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距．探究新知雙曲線的定義追問(wèn)4

平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差為零的點(diǎn)的軌跡是什么？答案：動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段的垂直平分線．

平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距．探究新知問(wèn)題2回顧推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟及方法，能否類比橢圓推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程？

答案：根據(jù)橢圓的幾何特征建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系明確橢圓上的點(diǎn)滿足的幾何條件將幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)表示列出方程化簡(jiǎn)方程檢驗(yàn)方程探究新知問(wèn)題2追問(wèn)1

如何建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系？答案：根據(jù)雙曲線具有對(duì)稱性，類比橢圓，建立以點(diǎn)F1和F2所在直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸的平面直角坐標(biāo)系Oxy．

回顧推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟及方法，能否類比橢圓推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程？探究新知問(wèn)題2追問(wèn)2

雙曲線上的點(diǎn)滿足什么條件呢？你能用集合語(yǔ)言表示出來(lái)嗎？答案：根據(jù)雙曲線的定義，雙曲線就是下列點(diǎn)的集合.回顧推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟及方法，能否類比橢圓推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程？探究新知問(wèn)題2追問(wèn)3

上面集合中的等式，如何用坐標(biāo)表示？回顧推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟及方法，能否類比橢圓推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程？根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，得所以答案：設(shè)是雙曲線上任意一點(diǎn)，雙曲線的焦距為，那么焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是．探究新知問(wèn)題2追問(wèn)4

如何化簡(jiǎn)上述方程？答案：將上式絕對(duì)值去掉，變形為.①

類比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的化簡(jiǎn)過(guò)程，將①式移項(xiàng)，然后左右同時(shí)平方得化簡(jiǎn)得回顧推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟及方法，能否類比橢圓推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程？探究新知問(wèn)題2兩邊同除以

，得類比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過(guò)程，令，其中，代入上式，得②探究新知問(wèn)題2②從上述過(guò)程可以看到，雙曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)都是上述方程②的解，反過(guò)來(lái)，以上述方程②的解為坐標(biāo)的點(diǎn)(x，y)與雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，的距離之差的絕對(duì)值為2a，即以方程②的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在雙曲線上，我們稱方程②是雙曲線的方程，這個(gè)方程叫做雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．它表示焦點(diǎn)在x軸，焦點(diǎn)分別是的雙曲線，這里．探究新知問(wèn)題2追問(wèn)5

類比焦點(diǎn)在y軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？答案：以的中垂線為x軸，所在直線為y軸建系．類比橢圓，我們可得焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

其中．

回顧推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟及方法，能否類比橢圓推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程？探究新知問(wèn)題2回顧推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟及方法，能否類比橢圓推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程？追問(wèn)6

從焦點(diǎn)位置和方程中x，y與a，b的對(duì)應(yīng)位置兩方面，比較和你發(fā)現(xiàn)了什么？答案：若項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上；若項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上．探究新知問(wèn)題2回顧推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟及方法，能否類比橢圓推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程？追問(wèn)7

雙曲線中a一定比b大嗎？還能通過(guò)比較分母大小判斷焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸上嗎？答案：對(duì)于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣通過(guò)比較分母的大小判斷焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸上．知識(shí)應(yīng)用例1設(shè)雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(5，0)，F(xiàn)2(5，0)，雙曲線上一點(diǎn)P與F1，F(xiàn)2距離差的絕對(duì)值等于6，求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程．解：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由2c=10，2a=6，得c=5，a=3．因此，．所以，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

知識(shí)應(yīng)用例2已知A，B兩地相距800m，在A地聽(tīng)到炮彈爆炸聲比在B地晚2s，且聲速為340m/s，求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程．解：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系Oxy，使A，B兩點(diǎn)在x軸上，并且原點(diǎn)O與線段AB的中點(diǎn)重合．設(shè)炮彈爆炸點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則，即．知識(shí)應(yīng)用例2已知A，B兩地相距800m，在A地聽(tīng)到炮彈爆炸聲