【教學(xué)課件】環(huán)節(jié)一 雙曲線及其標準方程

雙曲線環(huán)節(jié)一雙曲線及其標準方程引入新課橢圓的學(xué)習(xí)路徑橢圓的現(xiàn)實背景與幾何情境橢圓的幾何特征與概念橢圓的標準方程橢圓的簡單幾何性質(zhì)（范圍、對稱性、頂點、離心率）應(yīng)用引入新課思考我們知道，平面內(nèi)與兩個定點的距離的和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡是橢圓．平面內(nèi)與兩個定點的距離的差等于常數(shù)的點的軌跡是什么？為了研究這個問題，我們先來探究一下．問題1在直線l上取兩個定點A，B，P是直線l上的動點．在平面內(nèi)，取定點F1，F(xiàn)2，以點F1為圓心、線段PA為半徑作圓，再以F2為圓心、線段PB為半徑作圓．我們知道，當點P在線段AB上運動時，如果，那么兩圓相交，其交點M的軌跡是橢圓；如果，兩圓不相交，不存在交點軌跡．在的條件下，讓點P在線段AB外運動，這時動點M滿足什么幾何條件？兩圓的交點M的軌跡是什么形狀？探究新知問題1在的條件下，讓點P在線段AB外運動，這時動點M滿足什么幾何條件？兩圓的交點M的軌跡是什么形狀？探究新知答案：在的條件下，點P在線段AB外運動時，當點M靠近定點時，；當點M靠近定點時，．總之，點M與兩個定點距離的差的絕對值是一個常數(shù)().這時，點M的軌跡是不同于橢圓的曲線，它分左右兩支．探究新知雙曲線的定義

平面內(nèi)與兩定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．探究新知雙曲線的定義追問1

若將定義中的“絕對值”去掉，動點的軌跡會發(fā)生什么變化？答案：動點的軌跡是雙曲線的一支．

平面內(nèi)與兩定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．探究新知雙曲線的定義追問2

平面內(nèi)到兩個定點的距離之差的絕對值為非零常數(shù)(等于)的點的軌跡是什么？答案：動點在線段的延長線和反向延長線上，其軌跡是兩條射線．

平面內(nèi)與兩定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．xyOF2F1探究新知雙曲線的定義追問3

平面內(nèi)到兩個定點的距離之差的絕對值為非零常數(shù)(大于)的點的軌跡是什么？答案：動點的軌跡不存在．

平面內(nèi)與兩定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．探究新知雙曲線的定義追問4

平面內(nèi)到兩個定點的距離之差為零的點的軌跡是什么？答案：動點軌跡為線段的垂直平分線．

平面內(nèi)與兩定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．探究新知問題2回顧推導(dǎo)橢圓標準方程的步驟及方法，能否類比橢圓推導(dǎo)雙曲線的標準方程？

答案：根據(jù)橢圓的幾何特征建立適當?shù)闹苯亲鴺讼得鞔_橢圓上的點滿足的幾何條件將幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)表示列出方程化簡方程檢驗方程探究新知問題2追問1

如何建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?？答案：根?jù)雙曲線具有對稱性，類比橢圓，建立以點F1和F2所在直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸的平面直角坐標系Oxy．

回顧推導(dǎo)橢圓標準方程的步驟及方法，能否類比橢圓推導(dǎo)雙曲線的標準方程？探究新知問題2追問2

雙曲線上的點滿足什么條件呢？你能用集合語言表示出來嗎？答案：根據(jù)雙曲線的定義，雙曲線就是下列點的集合.回顧推導(dǎo)橢圓標準方程的步驟及方法，能否類比橢圓推導(dǎo)雙曲線的標準方程？探究新知問題2追問3

上面集合中的等式，如何用坐標表示？回顧推導(dǎo)橢圓標準方程的步驟及方法，能否類比橢圓推導(dǎo)雙曲線的標準方程？根據(jù)兩點間距離公式，得所以答案：設(shè)是雙曲線上任意一點，雙曲線的焦距為，那么焦點的坐標分別是．探究新知問題2追問4

如何化簡上述方程？答案：將上式絕對值去掉，變形為.①

類比橢圓標準方程的化簡過程，將①式移項，然后左右同時平方得化簡得回顧推導(dǎo)橢圓標準方程的步驟及方法，能否類比橢圓推導(dǎo)雙曲線的標準方程？探究新知問題2兩邊同除以

，得類比橢圓標準方程的建立過程，令，其中，代入上式，得②探究新知問題2②從上述過程可以看到，雙曲線上任意一點的坐標(x，y)都是上述方程②的解，反過來，以上述方程②的解為坐標的點(x，y)與雙曲線的兩個焦點，的距離之差的絕對值為2a，即以方程②的解為坐標的點都在雙曲線上，我們稱方程②是雙曲線的方程，這個方程叫做雙曲線的標準方程．它表示焦點在x軸，焦點分別是的雙曲線，這里．探究新知問題2追問5

類比焦點在y軸上的橢圓標準方程，焦點在y軸上的雙曲線的標準方程是什么？答案：以的中垂線為x軸，所在直線為y軸建系．類比橢圓，我們可得焦點在y軸上的雙曲線的標準方程：

其中．

回顧推導(dǎo)橢圓標準方程的步驟及方法，能否類比橢圓推導(dǎo)雙曲線的標準方程？探究新知問題2回顧推導(dǎo)橢圓標準方程的步驟及方法，能否類比橢圓推導(dǎo)雙曲線的標準方程？追問6

從焦點位置和方程中x，y與a，b的對應(yīng)位置兩方面，比較和你發(fā)現(xiàn)了什么？答案：若項的系數(shù)是正數(shù)，則雙曲線的焦點在x軸上；若項的系數(shù)是正數(shù)，則雙曲線的焦點在y軸上．探究新知問題2回顧推導(dǎo)橢圓標準方程的步驟及方法，能否類比橢圓推導(dǎo)雙曲線的標準方程？追問7

雙曲線中a一定比b大嗎？還能通過比較分母大小判斷焦點在哪一條坐標軸上嗎？答案：對于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣通過比較分母的大小判斷焦點在哪一條坐標軸上．知識應(yīng)用例1設(shè)雙曲線的兩個焦點分別為F1(5，0)，F(xiàn)2(5，0)，雙曲線上一點P與F1，F(xiàn)2距離差的絕對值等于6，求雙曲線標準方程．解：因為雙曲線的焦點在x軸上，所以設(shè)它的標準方程為，由2c=10，2a=6，得c=5，a=3．因此，．所以，雙曲線的標準方程為．

知識應(yīng)用例2已知A，B兩地相距800m，在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2s，且聲速為340m/s，求炮彈爆炸點的軌跡方程．解：如圖，建立平面直角坐標系Oxy，使A，B兩點在x軸上，并且原點O與線段AB的中點重合．設(shè)炮彈爆炸點P的坐標為(x，y)，則，即．知識應(yīng)用例2已知A，B兩地相距800m，在A地聽到炮彈爆炸聲