高數(shù)考研試題1

高數(shù)考研試題1一、填空題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上)￡(1)若X—>0時(shí)，(1~ax)4-1與》sinx是等價(jià)無窮小，則a=3【分析】根據(jù)等價(jià)無窮小量的定義，相當(dāng)于已知“°xsinx ，反過來求a.注意在計(jì)算過程中應(yīng)盡可能地應(yīng)用無窮小量的等價(jià)代換進(jìn)行化簡(jiǎn).TOC\o"1-5"\h\z,11 ,(1—ax~)4—1 ax~ ,【詳解】當(dāng)x->0時(shí)， 4 ,xsinx~? _12r(1-辦2)4 ~4^ 1 .lim =lim-——=——a=1于是，根據(jù)題設(shè)有1°xsinx-。x24 ,故a=-4.【評(píng)注】 本題屬常規(guī)題型，完全類似例題見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》P.38【例1.62】.(2)設(shè)函數(shù)戶f(x)由方程孫+21nx=y，所確定，則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,1)處的切線方程是xy=O.【分析】先求出在點(diǎn)(1,1)處的導(dǎo)數(shù)，然后利用點(diǎn)斜式寫出切線方程即可.【詳解】等式砂+21nx=y4兩邊直接對(duì)*求導(dǎo)，得2y+盯，+—=4力，將x=l,y=l代入上式，有y'(D=L故過點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y-1=1?(%-1),即x-y=0.【評(píng)注】本題屬常規(guī)題型，綜合考查了隱函數(shù)求導(dǎo)與求切線方程兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)，類似例題見《數(shù)學(xué)莫習(xí)指南》P.551例2.13】和【例2.14】.(In2)”(3)丁=2"的麥克勞林公式中x”項(xiàng)的系數(shù)是 〃！.【分析】本題相當(dāng)于先求y=f(x)在點(diǎn)x=0處的n階導(dǎo)數(shù)值/⑺(°),則麥克勞林公式/⑺(0)中/項(xiàng)的系數(shù)是m'［詳解］因?yàn)閥'=2'ln2,y〃=2'(ln2),…,=2'(ln2)",于是有/)(0)=(In2)"'⑺(°)=(ln2)”,故麥克勞林公式中x"項(xiàng)的系數(shù)是〃！一〃！,【評(píng)注】本題屬常規(guī)題型，在一般教材中都可找到答案.(4)設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為「=6""(。>°),則該曲線上相應(yīng)于。從0變到2萬的一］(64加_1\段弧與極軸所圍成的圖形的面積為4^一.s=-fp2we【分析】利用極坐標(biāo)下的面積計(jì)算公式 2& 即可.【詳解】所求面積為

1c2aB21 1/八4mix—e =—(e -1)=4。 04a.【評(píng)注】本題考查極坐標(biāo)下平面圖形的面積計(jì)算，也可化為參數(shù)方程求面積，但計(jì)算過程比較復(fù)雜.完全類似例題見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》P.2001例7.38】.1-11ccot'=-1 1 —1(5)設(shè)a為3維列向量，是a的轉(zhuǎn)置.若 L1-I1」，則【分析】本題的關(guān)鍵是矩陣aa，的秩為1,必可分解為一列乘一行的形式，而行向量一般可選第一行(或任一非零行)，列向量的元素則為各行與選定行的倍數(shù)構(gòu)成.aaT【詳aaT【詳解】由1aTa=[1-11]-1=3.1A=也b2…h(huán)n\【評(píng)注】一般地，若n階矩陣A的秩為1,則必有Lan.完全類似例題見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》P.389【例2.11】和《考研數(shù)學(xué)大串講》P.162【例13].(6)設(shè)三階方陣A,B滿足A2b-A-B=E,其中E為三階單位矩陣，若101A=020 [-201](則|同=2【分析】先化簡(jiǎn)分解出矩陣B,再取行列式即可.【詳解】由—8=E知,(A2-E)B=A+Et即(A+E)(A-E)B=A+Et易知矩陣A+E可逆，于是有 (A-E)B=E.再兩邊取行列式，得 同怛|=1,001|A-E|=0 10=2 [因?yàn)?-2。0 ，所以網(wǎng)=2.【評(píng)注】本題屬基本題型，綜合考查了矩陣運(yùn)算與方陣的行列式，此類問題?般都應(yīng)先化簡(jiǎn)再計(jì)算.完全類似例題見《考研數(shù)學(xué)大串講》P.160【例1。.

二、選擇題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))(1)設(shè){%*—均為非負(fù)數(shù)列，且忸(A)an<2對(duì)任意n成立. (B)bn<cn對(duì)任意n成立.limtz,c .limbc(C)極限〃T9 不存在. (D)極限〃T8 "不存在. [D]【分析】本題考查極限概念，極限值與數(shù)列前面有限項(xiàng)的大小無關(guān)，可立即排除(A),(B)；而極限[史""的是0.00型未定式，可能存在也可能不存在，舉反例說明即可；極限!即屬>00型，必為無窮大量，即不存在.1, ,C、an-—,jc”=—〃(〃=1,2,???)【詳解】用舉反例法，取〃，2=1, 2 ,則可立即排除(A),(B),(C),因此正確選項(xiàng)為(D).【評(píng)注】對(duì)于不便直接證明的問題，經(jīng)?？煽紤]用反例，通過排除法找到正確選項(xiàng).完全類似方法見《數(shù)學(xué)最后沖刺》P.179.limna?,則極限"T8等于an=-pxn-'yl\+limna?,則極限"T8等于3(l+e~'y3(l+e~'y-13(l+ep-1(A)(l+e)2+l. (B)3(C)(1+el+l (D)【分析】先用換元法計(jì)算積分，再求極限.【詳解】因?yàn)閝n qn =|p'x"Tgx"dxy-F1Jl+x"d(l+x")_l(l+x")5,」{□+(')『]}_n 0nn+1—>3廣hmnalim{[l+(--)"]2-1}=(1+^')2-1.可見c="T8n+1【評(píng)注】本題屬常規(guī)題型，綜合考查了定積分計(jì)算與求數(shù)列的極限兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)，但定積分和數(shù)列極限的計(jì)算均是最基礎(chǔ)的問題，一般教材中均可找到其計(jì)算方法.TOC\o"1-5"\h\zy= y'=2+e(_) °(一)(3)已知.Inx是微分方程 xy的解，則y的表達(dá)式為2 2_y_ y_(A)x2, (B)x2,2 2X X-F* -2**(C)y- (D)y (aiXy= 【分析】將，Inx代入微分方程，再令。的中間變量為u,求出。(〃)的表達(dá)式，進(jìn),x、以一)而可計(jì)算出y.

y=，- y,=—+^(—)【詳解】將.Inx代入微分方程 Xy,得TOC\o"1-5"\h\zInx-1 1 八、 八、 1——z-= +0(lnx) ftj(lnx)= -In-xInx ，即 In-x.(P(U)=--y 9(土)令lnx=u,有 “，故 =x2應(yīng)選(A).【評(píng)注】本題巧妙地將微分方程的解與求函數(shù)關(guān)系結(jié)合起來，具有一定的綜合性，但問題本身并不復(fù)雜，只要仔細(xì)計(jì)算應(yīng)該可以找到正確選項(xiàng).(4)設(shè)函數(shù)f(x)在(-8,+8)內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示，則f(X)有(A)一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn).(B)兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn).(C)兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn).(D)三個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn). [C]【分析】 與極值4個(gè)數(shù)有關(guān)，而可能的極值點(diǎn)應(yīng)是導(dǎo)數(shù)為零或?qū)?shù)不存在的點(diǎn),共4個(gè)，是極大值點(diǎn)還是極小值可進(jìn)一步由取極值的第一或第二充分條件判定.【詳解】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖形可知，一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)有3個(gè)，而x=0則是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).三個(gè)一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)不一致，必為極值點(diǎn)，且兩個(gè)極小值點(diǎn)，一個(gè)極大值點(diǎn)；在x=0左側(cè)一階導(dǎo)數(shù)為正，右側(cè)一階導(dǎo)數(shù)為負(fù)，可見x=0為極大值點(diǎn)，故f(x)共有兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)，應(yīng)選(C).【評(píng)注】本題屬新題型，類似考題2001年數(shù)學(xué)一、二中曾出現(xiàn)過，當(dāng)時(shí)考查的是已知f(x)的圖象去推導(dǎo)了'(X)的圖象，本題是其逆問題.完全類似例題在文登學(xué)校經(jīng)濟(jì)類申講班上介紹過.I(5)設(shè)I(5)設(shè)4tanx,4 dx)x(A) >L (B)1>(C)，2>L>L (D)1>，2>/「【分析】直接計(jì)算人，“是困難的，可應(yīng)用不等式tanx>x,x>0.tanx.x, >1 <1【詳解】因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，【詳解】因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，有tanx>x,于是I〈土可見有且2 4,可排除(A),(C),(D),故應(yīng)選(B).【評(píng)注】本題沒有必要去證明人<1,因?yàn)橛门懦ǎ?A),(C),(D)均不正確，剩下的(B)一定為正確選項(xiàng).(6)設(shè)向量組I:一。2,…，%可由向量組II:4，62,…，一線性表示,則(A)當(dāng)r<s時(shí)，向量組II必線性相關(guān).(B)當(dāng)r>s時(shí)，向量組II必線性相關(guān).

(C)當(dāng)r<s時(shí)，向量組I必線性相關(guān).(D)當(dāng)r>s時(shí)，向量組I必線性相關(guān).[D]【分析】本題為一般教材上均有的比較兩組向量個(gè)數(shù)的定理:若向量組I：。1，&2,…,巴可由向量組H：四，尸2,…，民線性表示，則當(dāng)r>s時(shí)，向量組I必線性相關(guān).或其逆否命題：若向量組I：%,。2,…,明可由向量組H：4,夕2,…，氏線性表示，且向量組I線性無關(guān)，則必有r?s.可見正確選項(xiàng)為(D).本題也可通過舉反例用排除法找到答案.a=【詳解】用排除法：如10、0,、1=ro1V1，則%=。￡1+0血，但綜尸2線性無關(guān)，排除(A)；10、平\=°A則以，。2可由夕?a=【詳解】用排除法：如10、0,、1=ro1V1，則%=?！?+0血，但綜尸2線性無關(guān)，排除(A)；10、平\=°A則以，。2可由夕?線性表示，但4線，B\性無關(guān)，排除(B)；關(guān)，排除(C).故正確選項(xiàng)為(D).，/2=%可由回，力2線性表示，但四線性無【評(píng)注】本題將一已知定理改造成選擇題，如果考生熟知此定理應(yīng)該可直接找到答案,若記不清楚，也可通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)姆蠢业秸_選項(xiàng)。此定理見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》P.409定理11.三、(本題滿分10分)/(x)=<ln(l+ax3)

x—arcsinx'6,€aX+廠一dX—1x<0,x=0,x>0,設(shè)函數(shù)xsin4問a為何值時(shí)，f(x)在x=0處連續(xù)；a為何值時(shí)，x=0是f(x)的可去間斷點(diǎn)？【分析】分段函數(shù)在分段點(diǎn)x=0連續(xù)，要求既是左連續(xù)又是右連續(xù)，即/(0-0)=/(0)=/(0+0).【詳解】/(0-0)=lim/(x)=limx->0-ln(l+ax3)xtO-X-arcsinxT? CIX'=11H1 :——s°-x-arcsinxTOC\o"1-5"\h\z3ax2 3ax211m =lim/ ——io-1_] —o-71-x2-1

1-x2「 3。廠 ,lim =—ba..1er12 X2/(0+0)=limf(x)-lim/(0+0)=limf(x)-limx->0+x->0+e“'+廠—ux—1,xxsin4”,,e4lim—

x-K)++X--axx2.ctea'+2x—a2“=4hm =2a+4.XT2x令/(0-0)=/(O+O),有一6〃=2〃-+4,得。=一1或〃=—2.當(dāng)a=-l時(shí)，螞”")=6="。)即在x=0處連續(xù).當(dāng)a=-2時(shí)，5"x)=12"”0),因而x=0是f(x)的可去間斷點(diǎn).【評(píng)注】本題為基本題型，考查了極限、連續(xù)與間斷等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，其中左右極限的計(jì)算有一定難度，在計(jì)算過程中應(yīng)盡量利用無窮小量的等價(jià)代換進(jìn)行簡(jiǎn)化.完全類似例題見《數(shù)學(xué)題型集粹與練習(xí)題集》P.22【例1.38-39】，《考研數(shù)學(xué)大串講》P.15【例23】，《文登數(shù)學(xué)全真模擬試卷》數(shù)學(xué)二P.3第四題.四、(本題滿分9分)x=1+2/2,'r+2ln，e",(r>l) d2yy=I—au ———設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程I」u 所確定，求di戶9【分析】本題為參數(shù)方程求二階導(dǎo)數(shù)，按參數(shù)方程求導(dǎo)的公式進(jìn)行計(jì)算即可.注意當(dāng)x=9時(shí)，可相應(yīng)地確定參數(shù)t的取值.2etdx =4t1+21nr2etdx =4t1+21nr,dt2et囊>加-山d

-力一公J2et囊>加-山d

-力一公J2V得l+2lnr=g

4r-2(l+2lnr)dx2dJdx，蟲e-1 21所以 dt=20+2lnr)2t4t4r2(l+21nr)2當(dāng)x=9時(shí)，由x=l+2J及t>l得t=2,故d2y_e _e芯H4產(chǎn)(l+21nr)2716(1+21n2>.【評(píng)注】完全類似例題見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》P.53【例2.9】，《考研數(shù)學(xué)大串講》P.15【例23]五、(本題滿分9分)arctanx———計(jì)算不定積分(1+X?【分析】被積函數(shù)含有根號(hào)J1+1,典型地應(yīng)作代換：x=tant,或被積函數(shù)含有反三角函數(shù)arctanx,同樣可考慮作變換：arctanx=t,即x=tant.【詳解】設(shè)x=tanf,則■dxe1tant(1+tan2/)^■dxe1tant(1+tan2/)^sec2tdt,sinrdf.cosr乂sintdt=-~(e'cost—|e'cosrd/)—e'cost+e1sint-\e'sintdt卜sintdt=g"(sinf-cost)+C.因此 arctanxxe-dxJ.因此 arctanxxe-dxJ.earc,an'c2(x-l)earc,anx2J1+/+C.(1+x2y]l+X2arctanxarctan(1+x2y]l+X2arctanxarctanxarctanx (1+/)%【評(píng)注】本題也可用分布積分法:arctanx工6Qctanarctanx移項(xiàng)整理得arctanx(1+x2(1+x2)2J1+Y本題的關(guān)鍵是含有反三角函數(shù)，作代換arctanx=，或tant=x,完全類似例題見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》P.86【例3.23】以及P.90習(xí)題12.六、(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)y=y(x)在(-<?，+<?)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且>'H。,戈=x(y)是盧y(x)的反函數(shù).d2X/ 3—4-(y+sinx)(—)=0(1)試將x=x(y)所滿足的微分方程力 內(nèi) 變換為y=y(x)滿足的微分方程；3y(0)=0,y(0)=—(2)求變換后的微分方程滿足初始條件 2的解.dxdy dxdyyf【分析】將力轉(zhuǎn)化為區(qū)比較簡(jiǎn)單，dy=dx,關(guān)鍵是應(yīng)注意：d-xddxd\dx7)n1 ft-y1_y=77r.7(77.

然后再代入原方程化簡(jiǎn)即可.dx_\【詳解】(1)由反函數(shù)的求導(dǎo)公式知dyyr,于是有TOC\o"1-5"\h\zd?x_ddxJI dx-y-1_ y"dy2dydy=dxy'dy=y'2y' (y')'代入原微分方程得y"-y=sinx. (*)(2)方程(*)所對(duì)應(yīng)的齊次方程一y=°的通解為Y=C1ex+C2e~x.設(shè)方程(*)的特解為y*=Acosx+BsinxfA=0,B=--y*=--sinx“ .代入方程(*),求得 2,故,2 ,從而y-y=smx的通解是y=Y+y=Clex-vC2e~x-^sinx.3y(0)=0,y'(0)=- gigi由 2,得G=1，c2=-1.故所求初值問題的解為y=ex-e~x sinx.2【評(píng)注】本題的核心是第一步方程變換，完全類似例題見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》P.53的【例2.8]和P.59的【例2.22】.七、(本題滿分12分)討論曲線y=41nx+k與y=4x+In4x的交點(diǎn)個(gè)數(shù).【分析】問題等價(jià)于討論方程瓜4》-41111+4》一女=0有幾個(gè)不同的實(shí)根.本題相當(dāng)于一函數(shù)作圖題，通過單調(diào)性、極值的討論即可確定實(shí)根的個(gè)數(shù)(與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)).4-k當(dāng)x>1N7V(x)>0,即叭X)單調(diào)則有,4-k當(dāng)x>1N7V(x)>0,即叭X)單調(diào)則有,4(ln3x-l+x)<P(x)= 不難看出，x=l是9(x)的駐點(diǎn).當(dāng)0<x<l時(shí)，"(x)<0,即。(x)單調(diào)減少;增加，故。0)=4為函數(shù)0CO的最小值.當(dāng)k<4,即4-k>0時(shí)，。*)=°無實(shí)根，即兩條曲線無交點(diǎn)；當(dāng)k=4,即4-k=0時(shí)，。(*)=°有唯一實(shí)根，即兩條曲線只有一個(gè)交點(diǎn);當(dāng)k>4,即4*k<0時(shí)，由于lim<p(x)=lim[lnx(ln3x-4)+4x-燈=+oox->0+ x->0+ ;lim(p(x)=lim[lnx(ln3x-4)+4x-k]=+oo故3(x)=°有兩個(gè)實(shí)根，分別位于(0,1)與(1，+°。)內(nèi)，即兩條曲線有兩個(gè)交點(diǎn).【評(píng)注】討論曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，在構(gòu)造輔助函數(shù)時(shí)，應(yīng)盡量將待分析的參數(shù)分離開來，使得求導(dǎo)后不含參數(shù)，便于求駐點(diǎn)坐標(biāo).

完全類似例題見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》P.192的【例7.24］和《數(shù)學(xué)題型集粹與練習(xí)題集》P.89的【例6.18-19】以及《文登數(shù)學(xué)全真模擬試卷》數(shù)學(xué)二P.1第二大題第(2)小題.八、(本題滿分12分)(―1)設(shè)位于第一象限的曲線y=f(x)過點(diǎn)2'2,其上任一點(diǎn)P(x,y)處的法線與y軸的交點(diǎn)為Q,且線段PQ被x軸平分.(1)求曲線y=f(x)的方程：(2)已知曲線丫=疝皿在【°，1】上的弧長(zhǎng)為/,試用/表示曲線y=f(x)的弧長(zhǎng)s.【分析】(1)先求出法線方程與交點(diǎn)坐標(biāo)Q,再由題設(shè)線段PQ被x軸平分，可轉(zhuǎn)化為微分方程，求解此微分方程即可得曲線y=f(x)的方程.(2)將曲線y=f(x)化為參數(shù)方程，再利用弧長(zhǎng)公式,利用弧長(zhǎng)公式,=［J/?+y'-力進(jìn)行計(jì)算即可【詳解】(1)曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x,y)處的法線方程為丫_y=__-x)其中(X,Y)為法線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo).令X=0,則y=y+ry,x(°，y■,—；)?故q點(diǎn)的坐標(biāo)為 y由題設(shè)知—(y+y+—)=02. .yr，即2ydy+xdx=0.積分得x2+2y2=C(C為任意常數(shù)).積分得1>2 2知C=l,故曲線y=f(x)的方程為x2+2y2-1.曲線y=sinx在［0,)］上的弧長(zhǎng)為令2，則 n 令2，則 n /=￡-\/1+cos2xdx=2pJl+cos：xdx.曲線y=f(x)的參數(shù)方程為+cos2udu=gJ1+cos-〃(—du)=Iy/2.=麗=7【評(píng)注】注意只在第一象限考慮曲線y=f（x）的弧長(zhǎng)，所以積分限應(yīng)從0到2,而不是從0到2兀.完全類似例題見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》P.176的【例6.22］和《數(shù)學(xué)題型集粹與練習(xí)題集》P.174的【例12.18】以及P.172的【解題提示［另外還有《文登數(shù)學(xué)全真模擬試卷》數(shù)學(xué)二-P.74的第七題.九、（本題滿分10分）有一平底容器，其內(nèi)側(cè)壁是由曲線％=e（＞）（y2°）繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面（如圖），容器的底面圓的半徑為2m.根據(jù)設(shè)計(jì)要求，當(dāng)以3m3/min的速率向容器內(nèi)注入液體時(shí)，液面的面積將以勿/min的速率均勻擴(kuò)大（假設(shè)注入液體前，容器內(nèi)無液體）.（1）根據(jù)t時(shí)刻液面的面積，寫出t與火y）之間的關(guān)系式；（2）求曲線x=e（y）的方程.（注：m表示長(zhǎng)度單位米，min表示時(shí)間單位分.）【分析】液面的面積將以m7//min的速率均勻擴(kuò)大，因此t時(shí)刻液面面積應(yīng)為：72?+m,而液面為圓，其面積可直接計(jì)算出來，由此可導(dǎo)出t與。⑶）之間的關(guān)系式；又液體的體積可根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的體積公式用定積分計(jì)算，□,知t時(shí)刻的液體體積為3t,它們之間也可建立積分關(guān)系式，求導(dǎo)后轉(zhuǎn)化為微分方程求解即可.【詳解】（1）設(shè)在t時(shí)刻，液面的高度為y,則由題設(shè)知此時(shí)液面的面積為乃9"y）=4乃+m,從而f=/（y）-4.⑵液面的高度為y時(shí)，液體的體積為-12.上式兩邊對(duì)y求導(dǎo)，得神2（,）=60（），）8'（?。茨?（y）=60'（y）.解此微分方程，得*（p［y}=Ceb\其中c為任意常數(shù)，由。（°）=2知c=2,故所求曲線方程為x=2ei'.【評(píng)注】作為應(yīng)用題，本題比較好地綜合考查了定積分在幾何上的應(yīng)用與微分方程的求解。完全類似例題見《文登數(shù)學(xué)全真模擬沖刺試卷》數(shù)學(xué)一P.78的第四題（實(shí)際考題相當(dāng)于本題的特殊情形）和《數(shù)學(xué)最后沖刺》P.94的【例2】.十、（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間［a＞b］上連續(xù)，在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，且/（幻＞°?若極限lim衛(wèi)二ifx-a存在，證明：（1）在（a,b）內(nèi)f（x）＞0;(2)在(a,b)內(nèi)存在點(diǎn)使b2-a2_2^(f(x)dx/⑹(3)在(a,b)內(nèi)存在與(2)中&相異的點(diǎn)〃，使/(〃)(從一。2)=鳥打⑺匹彳-Q上【分析】⑴由，x-a存在知，f(a)=O,利用單調(diào)性即可證明f(x)>0.(2)要證的結(jié)論顯含f(a),f(b),應(yīng)將要證的結(jié)論寫為拉格朗日中值定理或柯西中值定理的形式進(jìn)行證明.(3)注意利用(2)的結(jié)論證明即可...f(2x-a)11nl 七t limf(2x-a)=f(a)=0.f(r\n【詳解】⑴因?yàn)閒*x-a存在，故I，' 又/(x)>。，于是f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增加，故/(x)>/(a)=0,xe(a,b).⑵設(shè)F(x)=x2,g(x)=f/⑺力貝i]g'(x)=/(x)>°,故尸(x),g(x)滿足柯西中值定理的條件，于是在(4b)內(nèi)存在點(diǎn)〈，使—3)一/(。) -2一.2 _ (一)，gS)-g(a)"⑺力⑺力b2-a2_2^(f(x)dx/C)(3)因/0=/0-"0)=/0-/(。)，在S，身上應(yīng)用拉格朗日中值定理，知在(a，G內(nèi)存在一點(diǎn)〃，使//)=/'①)(4一。)，從而由(2)的結(jié)論得.2_」2_2gJf(x)dx「⑺化-哈f\rj)(b2-a2)=^-(f(x)dx.即有 <-?A【評(píng)注】證明(3),關(guān)鍵是用(2)的結(jié)論：b2-a2= 2^/'(〃)(/-。2)=^^，/(工心0^f(x)dx/⑺C-a)o/C)=/'(〃)(>。) (根據(jù)(2)結(jié)論)=//)-/(>)=/⑺G-a),可見對(duì)f(x)在區(qū)間[。，身上應(yīng)用拉格朗日中值定理即可.完全類似的例題見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》P.120【例4.41]和《考研數(shù)學(xué)大串講》P.54【例18-19].十一、(本題滿分10分)

220A=82a若矩陣L°06」相似于對(duì)角陣八，試確定常數(shù)a的值；并求可逆矩陣P使P'AP=\.【分析】已知A相似于對(duì)角矩陣，應(yīng)先求出A的特征值，再根據(jù)特征值的重?cái)?shù)與線性無關(guān)特征向量的個(gè)數(shù)相同，轉(zhuǎn)化為特征矩陣的秩，進(jìn)而確定參數(shù)a.至于求P,則是常識(shí)問題.【詳解】矩陣A的特征多項(xiàng)式為A.—2,—2 0\AE-A\=-82-2-a=(1-6)[(2-2)2-16]0 0 2-6=(4-6)2(4+2),故A的特征值為4=4=6,4=-2.4-806E-A=由知a=0.由于A相似于對(duì)角矩陣A,故對(duì)應(yīng)4=4=6應(yīng)有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，即3-4-806E-A=由知a=0.于是對(duì)應(yīng)于4=4=6的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量可取為當(dāng)/=一2時(shí),-4-2E-A=-8-4-2E-A=-80-201 [21-40f000-8 002x}+x2=0, 舄=一2解方程組I *3=°，得對(duì)應(yīng)于4=—2的特征向量L0.01 1P=02-2令U°°」，則P可逆，并有pTap=a.【評(píng)注】完全類似的例題見《考研數(shù)學(xué)大串講》P.222【例18-19]和《文登數(shù)學(xué)全真模擬試卷》數(shù)學(xué)二P.36第十二題(幾乎完全一致).十二、(本題滿分8分)已知平面上三條不同直線的方程分別為

ex+lay+38=0試證這三條直線交于一點(diǎn)的充分必要條件為。+匕+c=0.【分析】三條直線相交于一點(diǎn)，相當(dāng)于對(duì)應(yīng)線性方程組有唯一解，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩均為2.【詳解】方法一：必要性設(shè)三條直線d’2，，3交于一點(diǎn)，則線性方程組ax+2by=-3c,<hx+2cy--3a.ex+lay--3b.由于2b2c2a-3c由于2b2c2a-3c-3ci-3b=