平面幾何基礎知識

平面幾何基礎知識教程（圓）幾個重要定義外心：三角形三邊中垂線恰好交于一點，此點稱為外心內心：三角形三內角平分線恰好交于一點，此點稱為內心垂心：三角形三邊上的高所在直線恰好交于一點，此點稱為垂心凸四邊形：四邊形的所有對角線都在四邊形ABCD內部的四邊形稱為凸四邊形折四邊形：有一雙對邊相交的四邊形叫做折四邊形（如下圖）（折四邊形）圓內重要定理：．四點共圓定義：若四邊形ABCD的四點同時共于一圓上，則稱A,B,C,D四點共圓基本性質：若凸四邊形ABCD是圓內接四邊形，則其對角互補證明：略判定方法：.定義法：若存在一點O使OA=OB=OC=OD，則A,B,C,D四點共圓.定理1:若凸四邊形ABCD的對角互補，則此凸四邊形ABCD有一外接圓證明：略特別地，當凸四邊形ABCD中有一雙對角都是90度時，此四邊形有一外接圓.視角定理：若折四邊形ABCD中,BADB?BACB，則A,B,C,D四點共圓

證明：如上圖，連CD,AB,設AC與BD交于點P因為■ADB■■ACB，所以PCPB所以有——■一PDPA■CPD■■BPA因CPDBPA因■PCD■■PBA■BCD■■BAD■■BCA■■PCD■■BAD■■BDA■■PBA■■BAD■0的內因，，，四點圓特別地，當■ADB■■ACB=90時，四邊形ABCD有一外接圓2．圓冪定理：圓冪定理是圓的相交弦定理、切割線定理、割線定理、切線長定理的統(tǒng)一形式。相交弦定理：P是圓內任一點，過P作圓的兩弦AB，CD，則PA?PB■PCUPD證明：連AC,BD,則?CAB■■CDB（對圓）而^kA.PC■■DPB（對頂相）因此PAPC即——■——，因此PAUPB■PCUPDPDPB（切）割線定理：P是圓外任意一點，過P任作圓的兩割（切）線PAB,PCD,PA■PB■PC■PD證明方法與相交弦定理完全一樣,可仿前。特別地，當C，D兩點重合成為一點C時，割線PCD變成為切線PC而由割線定理,PA■PB■PC■PD■PC'2,此時割線定理成為切割線定理而當B，A兩點亦重合為一點A時，由切割線定理PC'2■PAMPB■PA'2因此有PCPA此時切割線定理成為切線長定理現(xiàn)考慮割線與切線同時存在的情況,即切割線定理的情況：

如圖，PCD如圖，PCD是圓的割線，PE是圓的切線設圓心為。，連PO,OE,則由切割線定理有：PC"D■PE2而注意到黃色是，由勾股定理有：PE2■PO2■OE2，結合切割線定理，我們得到PC2D■PE2■PO2■OE2，這個結果表明，如果圓心O與P是確定的，那么PC與PD之積也是唯一確定的。以上是P在圓外的討論現(xiàn)在再重新考慮P在圓內的情形，如下圖，PCD是圓內的現(xiàn)，PAB是以P為中點的弦則由相交弦定理有PA■PB■PA（因為是弦中點）■PD連OP，OA，由垂徑定理，OPA是由勾股定理有PA2■OA2■OP2，結合相交弦定理，便得到

PA■PB■PA2（PA■PB■PA2（因為是弦中點）■PD■OA2■OP2這個結果同樣表明，當O與P是固定的時候PC與PD之積是定值以上是P在圓內的討論當P在圓上時，過P任作一弦交圓于A（即弦AP）,此時PO2■OA2■0也是定值綜上，我們可以把相交弦定理，切割線定理，割線定理，切線長定理統(tǒng)一起來，得到圓冪定理。圓冪定理：P是圓O所在平面上任意一點（可以在圓內，圓上，圓外），過點P任作一直線交圓O于A，B兩點（A，B兩點可以重合，也可以之一和P重合），圓O半徑為r則我們有：PA■PB■PO2■r2I由上面我們可以看到，當P點在圓內的時候，PO■r2■0，此時圓冪定理為相交弦定理當P在圓上的時候，PO2■r2■0當P在圓外的時候，PO■r2■0此時圓冪定理為切割線定理，割線定理，或切線長定理以下有很重要的概念和定理：根軸先來定義冪的概念：從一點A作一圓周上的任一割線，從A起到和圓周相交為止的兩線段之積，稱為點對于這圓周的冪對于已知兩圓有等冪的點的軌跡，是一條垂直于連心線的直線。根軸的定義：兩圓等冪點的軌跡是一條直線，這條直線稱為兩圓的根軸性質1若兩圓相交，其根軸就是公共弦所在直線由于兩圓交點對于兩圓的冪都是0，所以它們位于根軸上，而根軸是直線，所以根軸是兩交點的連線性質2若兩圓相切，其根軸就是過兩圓切點的公切線（即性質1的極限情況）性質3若三圓兩兩不同心，則其兩兩的根軸交于一點，或互相平行所交的這點稱為根心證明：若三圓心共線，則兩兩圓的根軸均垂直于連心線，因此此時兩兩的根軸互相平行若三圓心不共線，則必成一三角形，因此兩兩的根軸必垂直于兩兩的連心線。如圖，設CD與EF交于點O,連AO交圓分O2圓O3于BB貝’OABOB'■OEIOF■OCBCD■OABOB”其中前兩式是點O對圓02的冪，后二式是點0對圓03的冪，中間是圓0對圓01的冪進行轉化由此B與B重合，事實上它們就是點B（圓02與圓03的非A的交點），由此兩兩的根軸共點圓冪定理是對于圓適用的定理，今使用圓冪定理對圓內接四邊形判定方法的補充：

圓內接四邊形判定方法.相交弦定理逆定理：如果四邊形ABCD的對角線AC,BD交于點P，且滿足PA■PC■PB■PD，則四邊形ABCD有一外接圓.切割線定理逆定理：如果凸四邊形ABCD一雙對邊AB與DC交于點P且滿足PABPC■PBBPD，則四邊形ABCD有一外接圓這樣我們就補充了兩種判定方法例（射影定理）：MBC例（射影定理）：MBC中，BC是斜邊，AD是斜邊上的高(^)AD2■BDWD(2)AB2■BD^BC(3)AC2■CDBBC證明：如圖，延長AD至'使’連則■證明：如圖，延長AD至'使’連則■因此■BAC■■BA'C■180（1）因此ABCA'四點共圓由相交弦定理有：ADBDA'■AD2■BDBCD(2)(3)(2)(3)同理，現(xiàn)證(3)的圓圓心為的線的的圓圓心為的線中是的中點則■,是圓由切割線定理有2■CDBCB例2：垂心AABC中，三邊所在的高的所在的直線交于一點證明：設BE交于，連長交于證■為?BEC■■BFC■90,B,F,,點擷理，，，點共圓所■BHD■180m^AHF■■BHF■180■■AEF■■EHC■180■■B■■A■■CH,D,E,C點共圓■HDC■90之前1,2的重要定理都是討論關于點共圓的情況。那么反過來,圓共點的情況又如何？從最簡單的開始了解，在本文之后討論圓共點問題中，甚至其他類型的問題，Miquel定理都給予莫大的便利，我們將要不止一次地用到它。先看一個事實：如圖，ABCt,AD,BE,CF分別是三邊上的高，則分別以AEF,BDF,CDE作圓這三個圓共于一點，而且可以通過觀察，這個點就是垂心剛好是AD,BE,CF的交點在介紹Miquel定理之后，我們將會給這題與垂心一個闡釋Miquel定理：ABCt,X,Y,Z分別是直線AB,BC,AC上的點，則口板,口BXY,口CYZ共于一點0這樣的點O稱為X,Y,Z對于ABC的Miquel點證明：圖，設口AXZ口^XY于O,連，OK,OZ問題轉為證O,Z,Y,C點共圓為4X,,,,為兩組點圓則BAZO■180?BAXO■BXO■180?UBYO■■OYC■OZC■■OYC■180O,Z,Y,C點共圓事實上這個證明隱含著對一般證圓共點的方法在發(fā)掘Miquel定理的證明方法時可以得到一種更一般的證題方法注意這個證明只在X,Y,Z在AB,BC,AC邊上時可以當在直線AB,BC,AC上時需要改一下，這里略去了?，F(xiàn)在回到之前關于垂心的問題。為什么D,E,F關于ABC的Miquel"點就是ABC的垂心證明：圖,AD,BE,CF>AABC的，垂心為,貝UA,E,F,HB,D,F,HC,D,E,H共三組四點共圓可見口AEF,0BDFQCDE共于一點H就是垂心有了Miquel定理，我們可以對垂心有一個新的看法HD是口BDF與口CD石的軸對HE,HF同理MADB■■ADC■90此口F口連心線中線定理此,同理因此垂心可以被認為是這三圓的根軸的交點（根軸性質用同樣的方法可以對內心,外心以同樣的解釋：由此可見,共點圓與三角形的特殊點有很大的關系,上述3種只是最簡單的最容易發(fā)現(xiàn)的提起外心就會聯(lián)想到外接圓,這里不得不提一個常用定理：正弦定理正弦定理：AABC中，外接圓半徑R,則B^-A^-■AB-■2RsinAsinBsinC證明：

作直徑AOD，連BD^UABD■90,UADBUUACB此在RtABDABsin■此在RtABDABsin■ADBAB-sinCAD■2R其余同理想到三角函數(shù)里面的函數(shù)名,那么自然會想到余弦定理余弦定理：ABCa2■b2■c想到三角函數(shù)里面的函數(shù)名,那么自然會想到余弦定理余弦定理：ABCa2■b2■c2b2■a2■c2c2■b2■a2■2bccosA■2accosB■2abcosC證明：作BC邊的CD■ACBcosC■bcosCBD■BC■CD■a■bcosC此AB2■BD2■AC2■CD2即2■(a■bcosC)2■b2■(bcosC)2c2■a2■b2cos2C■2abcosC■b2■b2cos2C即c2■a2■b2■2abcosC其余同理接著便就是著名的費馬點,它也與共點圓有關系費馬點，即AB內一點，使其到三頂點距離之和最小的點當AB任一內角都＜120時，費馬點存在于內部，當有一內角＞=120時費馬點與此角頂點重合設ABC中任一內角均＜120，則費馬點F可以通過如下方法作出來：分別以AB,AC,BC向外作正，連接對著的頂點，則得事實上，點F是這3個正的外接圓所共的點而FA+FB+FC其實就是頂點到對著的正頂點的連線的長而且之后將會有一種方法計算FA+FB+FC的長度而這將會在之后進行討論.Simson定理Simson定理是常用而且著名的定理，多用于證明點共線，其逆定理也成立Simson定理：P是ABC外接圓上一點，過點P作PD垂直BC,PE垂直于AB,同理PF則D,E,F是共線的三點直線DEF稱為點P關于ABC的Simson線引理（完全四邊形的Miquel定理）：四條直線兩兩交于A，B，C，D，E，F(xiàn)六點貝I」口ABF口BCE口CDF口DAE共點從ABF對E,C,D三點運用定理，則口BCE.0CDF,CDAE共點DAE對B,C,F三點運用定理，則口ABF.OBCE,DCDF共點口ABF,QBCE,DCDF.ODAE共點其中所共的點叫做完全四邊形的Miquel點證明：這里運用Miquel定理作為證明設PD垂直BC,PE垂直AB,長DE交CA于F則問題于證明PF垂直4。連PF四邊形AFCDBE是完全四邊形所以完全四邊形的Miquel定理（引理）口ABC,nBDE,口AEF,nCDF共點至PEB■■PDB所以P,B,,四點痛所以口ABC口BDE交于點P完全四邊形MiqUel點則而，，是同一（線上三點,,,不可共是完全四邊形MiqUel點,,,四點I共則?今逆定理證略從這個證明我們看到Miquel定理的威力不僅在于圓共點而且對于共點圓也同樣適用在有了Simson定理之后，我們可以運用Simson定理來給予完全四邊形的Miquel

定理一個新的證明（即前面的引理）證明：定理一個新的證明（即前面的引理）證明：設口BCE與口CDFC的一個交點為，過作,,同理。為口BCE上，由Simson定理，PQR是線的點同理對運用定理，S線的是點,,,四點線P,Q,S是點對ADE邊的線定理定理，，，四點圓同理，，，四點圓口BCEQCDFQADE,DABF點于M由這個證明，我們可以知道完全四邊形的Miquel定理和Simson定理是等價的能夠運用Simson定理證明的必也可用完全四邊形的密克定理證明，反之亦然這樣，Simson定理便與密克定理產(chǎn)生了莫大的關聯(lián)例.如圖，P為外接圓上一點，作PA■BC交圓周于，作B■■AC交圓周于同理。求證：圓周于同理。求證：AA口BB口CC證明：設PA交BC于D,PB交AC于E,F同理，則由Simson定理知，DEF三點共線由圖形看來，題斷三條互相平行的線均與Simson線平行，因此可以試證連PB而注意到P，B，D，F(xiàn)四點共圓，因此■EDB■FDBB■PPAA■PPAA因此^與Simson線平行。其余同理事實上，Simson定理可以作推廣，成為Carnot定理Canot定理：通過ABC外接圓上的一點P，引與三邊BC，CA，AB分別成同向等角（即■PDB?UPEC■?PFB）的直線PD，PE，PF與三邊或其所在直線的交點分別為D，E，F(xiàn)則D，E，F(xiàn)是共線的三點可以仿照前面的證明（這里的證明也可以運用四點共圓的判定定理與性質，再證■DEF■）證明留給讀者，作為習題.Ptolemy定理本文主要介紹一些平面幾何圓中較為重要和常用的定理，而Ptolemy定理是一個

十分重要的定理，及其也有重要的推廣Ptolemy定理：若四邊形ABCD是圓內接四邊形，則AB?！鯝D?BC■AC?BD證明：圖，設口接圓為，連AC,過點DAABC邊的線分ABC,ACB,BCA,則定理，線的三點是此C'B'■B'A'■C'A'A,C醺點■CAD■■DBC,此AD是口AC'’的由正弦定理有C'B'■ADsin■C'DB'■ADsinIC'AB'sin■BAC■BC,2R2R理sin■BAC■BC,2R2R理B'A'?CD2RrCAA.ACmBD

2RADMBC2R.CDBAB

2R.ACmBD

2RADIBCICDIABIACIBD至此，我們重新把求費馬點至三頂點距離的長度和的問題提出，運用Ptolemy定理解決：四'點共圓如圖，設AB=c,AC=b,BC=a由bafc?12gbab‘C■60，有A,F,四'點共圓對■AFCB運用Ptolemy有FABB'C■FCBAB'■AC^FB'為ACB'邊FA■FC■FB'MFA'■CC'BCB,由BB'2■a2■b2■2abcos(60■C)a2■b2■2ab[cos60cosC■sin60sinC]a2■b2■ab[cosC■\3sinC]ABC,sinABC,sinC■2SABC

aba2■b2■c2cosC■式有2aba2■b2■c22二SABCBB2■a2■b2■ab[■]2abab■a2■b2■(a**3SABCa2a2■b2■c2■2*3SABCL,a2■b2■c2.FA■FB■FC■、'一一■2x3SABC2P(p(p■a)(p■b)(p■c),p■（這里我們用到著名的求積公式:?a■b■c-saBC■3(p■a)(p■b)(p?c)(p■2)，證略卜至此，本文平面幾何圓的基礎知識已經(jīng)全部介紹完畢，這里將以著名的Chapple定理結束(只做了解)這是與圓冪定理的應用有關的定理之一Chapple定理：設R是aabc的外接圓半徑，r是內切圓半徑,d是這兩圓的圓心距，則d2■R2■2Rr證明：連長外接圓，徑，連設內切圓與的切為，連，則與，■■■■此有AL■D,AI^BP?DI^PQ■2RrPQBP,■IBP■；(■A■■B)■BIP■■IAB■■IBA■2(.A■■B)此,此AIUBPAIIP■2Rr,圓冪定理AIIP■R2■OI2■R2■d2?2Rrd2■R2■2Rr事實上定理對旁心也有相應的公式，不過是等號右邊的符號-變+但對本文不提及旁心，因此略去習題第一部分（四點共圓的應用）1.如圖，在MBC中，人8=人匚任意延長CA到P，再延長AB到Q使AP=BQ.求證：△ABC的外心O與A,P,Q四點共圓.（1994年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽二試第1題）.如圖，在?ABC中，AB■AC,D是底邊BC上一點，E是線段AD上一點，且■BED■2?CED■■A.求證：BD■2CD.（1992年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽二試第2題）.如圖，設AB,CD為。。的兩直徑，過B作PB垂直于人8,并與CD延長線相交于點P,過P作直線與。0分別交于E,F兩點，連結AE,AF分別與CD交于G,H求證:OG=OH.（2002年我愛數(shù)學初中生夏令營一試第2題）.

第二部分（圓冪定理的應用）.如圖，等邊三角形ABC中，邊AB與。0相切于點H，邊BC,CA與。0交于點D,E,F,G。已知AG=2,GF=6,FC=1.貝UDE=.（第33屆美國中學生數(shù)學邀請賽試題改編）.如圖，。0和。。都經(jīng)過點A和B,PQ切。。于P，交。。于Q,M,交AB的延長線于N.求證：PN2■MN■NQ..如圖，已知點P是O外一點,PS,PT是O的兩條切線，過點P作O的割線PAB,1111交O于A.B兩點，并交ST于點^求證：—■1（—■—）.（2001年TI杯全國PC2PAPB初中數(shù)學競賽B卷第14題）第三部分（Ptolemy定理的應用）.已知a,b,x,y是正實數(shù)，且a2■b2■1,x2■y2-1,求證：ax■by■1..從銳角"BC的外心O向它的邊BC,CA,AB作垂線，垂足分別為D,E,E設MBC的外接圓和內切圓半徑分別為R,r.求證:OD+OE+OF=R+r..設MBC與叢B的三邊分別為a,b,c與a,b,且#=4/A+nA180■.試證:aa=bb+cc.第四部分（Simon定理的應用）10．證明Carnot定理11.如圖,4ABC的邊BC上的高AD的延長線交外接圓于P，作PE±AB于E,延長ED交AC的延長線于E求證：BC■EF■BF■CE■BE■CF.

設為外接圓圓周上一點在邊上的射影分別為令設為外接圓圓周上一點在邊上的射影分別為令求證m—9l■■■/?■（提示：應用張角定理設為4的邊上一點，N■一■則sin（???。?sin（??！）.sin■~"APAC.sin■AB，證略.習題解答:證明：圖，連QP,OP,OA,OQ,OB證A,,,點圓，慮視角定理，證IOPAHIOQA慮，證■AP■BQ,OB■OA,■OBQ■180HIOBA■180■■OAB■180HIOACHIOAP■,■OPA■■OQA證2.證明:□■AEBi^^AB□□Gw■1=■2TOC\o"1-5"\h\z1—1”?=2(1800■■BED)■2(1800■■BAC)■■ABCG,E,D,Bqqqd.■2■■3.^GBD^^^^^^.F□BD][],連GF,則■6■■7□G□□□口BC,叫AC^^H,連HD.□□AG■AH□□AG■AB■AE■AD■AHlACE,D,C,H0口口□.□□■4■■5■5■■6□□?GBF??HCD□BF■CD,□□BD■2CD.4.4.解:證明：ABDAEE11點共圓■OPC■■DFCABDAEE11點共圓■OPC■■DFC111TOC\o"1-5"\h\z1111則?OCP■■PBO■90OPCB11OPC■■OBCFDE口CD1111OBC■■DFC視11BFDC圓■FBA■■FCD■■FEA11DC口AE11慮AFEECFEFE1111這樣口GH1OG.AO.OHDEAD)DFOG■OH111188．證明：BD■x.CE■y.□OQQA□□□□□□□AH2■AG■AF■2■(2■6)■16■AH■4.lABC□□□□□AB■AC■9BH■5□,□□O□□□□□O□□□□□□□□□□□BD■BE■25■x(9■y)■25CE■CD■7■y(7■y)■711■<217■,,21□□x|廣沙l廣■DE■9■(x■y)■<215.證明：對口ON運圓幕2■NB小A證NB冰A■NM冰Q對口O'N運圓幕NBmNA■NMXQ6.證明：連PO交ST于點H,作OM■PB于點乂易知點M為AB中點.112(PA■PB)■2(2PA■2AM)■。川.即有11(PA■PB)■PM■■■(1):■CMO■■CHO■90。C,M,O,H四點共圓PC■PM■PH■PO■PS2又PS是口O切線，所以PS2■PA■PB從而有PC■PM■PA■PB■■■(2)將(1)帶入(2),整理即得111—■2(_■_)PCPAPB7．證明：題聯(lián)Ptolemy構圖邊?BAD■■BCD■90則題設ABCD圓Ptolemyax■by■ACmBD■BD2■1后一步是由于直徑是圓內最大的弦9.9.證明:設為連IAIBICOAOBOC設OD■x,OE■y,OF■z圓為