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PAGEPAGE8?？汲Ｐ碌臄?shù)列求和問題524500廣東省吳川市第一中學(xué)柯厚寶數(shù)列求和問題是歷年高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)之,也常是高考的“壓軸”之作.解決這類問題已有一套較為成熟的常規(guī)方法,但如何才能從常規(guī)中考出新意?是每年命題專家要思考的問題,而我們的問題是,如何抓住命題者的出新思路,尋求更對(duì)應(yīng)有效的解決方法?本文試探之.一、一般數(shù)列,設(shè)計(jì)出新,歸納對(duì)之例1(2009江西)數(shù)列的通項(xiàng),其前項(xiàng)和為,則為()A．470B．490分析:可得,依次取值周期為3,重組合并得解.解:由于,依次取值以3為周期,故==,故選A.點(diǎn)評(píng):本題以歸納為入口,用(其他項(xiàng)同理)拆項(xiàng)、再重組運(yùn)用公式求和,其中隱含的“歸納法”、“拆項(xiàng)求和法”和“公式法”,是常用的求和方法.跟蹤練習(xí)(2009重慶改編):設(shè),,,,數(shù)列的前項(xiàng)和為,則=．(答案:)二、基本數(shù)列,思路出新,整體決之例2(2009寧夏)等差數(shù)列前項(xiàng)和為.已知+－=0,=38,則m=_______分析:由,求出即可得.解:由得,而,∴或(舍去),于是,∴.點(diǎn)評(píng):由基本數(shù)列(等差數(shù)列與等比數(shù)列)的性質(zhì)結(jié)合整體運(yùn)算,回避了繁雜的“基本量”思路整體的解決了問題.平時(shí)多總結(jié)一些“中間”解題結(jié)論,可以有效提高解題效率.跟蹤練習(xí)(2009遼寧)設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若=3,則=(答案:)三、綜合問題,包裝出新,拆裝為本例3(2009遼寧)等比數(shù)列{}的前項(xiàng)和為,已知對(duì)任意的,點(diǎn)均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.(1)求的值;(2)當(dāng)b=2時(shí),記求數(shù)列的前項(xiàng)和.分析:由“點(diǎn)在曲線上”,建立與的關(guān)系,再由“與法”求,也合適得;接著求,用“錯(cuò)位相減法”可求得.解:(1)∵點(diǎn)在函數(shù)的圖像上.∴,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,因?yàn)閧}為等比數(shù)列,所以,公比為,所以;(2)當(dāng)b=2時(shí),,,則相減,得=所以.點(diǎn)評(píng):本題經(jīng)拆裝后,問題回歸到我們熟悉的數(shù)列問題,用上常用的“錯(cuò)位相減法”即可求其和.跟蹤練習(xí):已知為二次函數(shù),不等式的解集為,且對(duì)任意,,恒有,.數(shù)列滿足,.設(shè).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列的前項(xiàng)和為,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.(答案:(1);.提示:由題意得,令,出現(xiàn),確定的值,從關(guān)于的方程變形得關(guān)于的方程,可得,進(jìn)而得與)專題小訓(xùn)練一、選擇題1.若數(shù)列滿足,則數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”,已知數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”,且,則的最大值是()A.10B.100C2.設(shè)等比數(shù)列的公比為,前項(xiàng)和為,若成等差數(shù)列,則的值為()A.B.2 C.D.3.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為,設(shè)其前n項(xiàng)和為Sn,則使Sn<－5成立的自然數(shù)n有()A.最小值63 B.最大值63 C.最小值31 D.最大值314.在等差數(shù)列中,設(shè)為其前項(xiàng)和,已知,則等于()A.B.C.D.5.已知數(shù)列的前項(xiàng)和,是等比數(shù)列的充要條件是()A.B.C.D.6.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,+則下列結(jié)論中正確的是()A.B.C.D.二、填空題7.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且則8.已知在等差數(shù)列中,若,則n的最小值為.9.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S2=10,S5=55,則過點(diǎn)P(n,an),Q(n+2,an+2)(n∈N*)的直線的斜率為.10.對(duì)于集合N={1,2,3,…,n}的每一個(gè)非空子集,定義一個(gè)“交替和”如下:按照遞減的次序重新排列該子集,然后從最大數(shù)開始交替地減、加后繼的數(shù).例如集合{1,2,4,6,9}的交替和是9–6＋4–2＋1＝6,集合{5}的交替和為5.當(dāng)集合N中的n=2時(shí),集合N={1,2}的所有非空子集為{1},{2},{1,2},則它的“交替和”的總和=1+2+(2–1)=4,則當(dāng)時(shí),=______________;根據(jù)、、,猜想集合N={1,2,3,…,n}的每一個(gè)非空子集的“交替和”的總和=.三、解答題11.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且(c是常數(shù),N*),.(1)求c的值及的通項(xiàng)公式;(2)證明:.12.已知數(shù)列中,,令.(1)證明:數(shù)列是等比數(shù)列;(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和為,求使成立的正整數(shù)的最小值.13.已知且,數(shù)列的前項(xiàng)的和,數(shù)列滿足,.(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列;(2)若對(duì)于區(qū)間上的任意實(shí)數(shù),總存在不小于2的自然數(shù),當(dāng)時(shí),恒成立,求的最小值.14.在平面上有一系列的點(diǎn),對(duì)于正整數(shù),點(diǎn)位于函數(shù)的圖像上,以點(diǎn)為圓心的與軸相切,且與又彼此外切,若,且(1)則數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)的面積為,比較與的大小.參考答案1.B∵為“調(diào)和數(shù)列”,∴,即為等差數(shù)列,有,∴,得.2.D由題意,得,即,故,即.3.A,由,得,∴.4.C可得,∴.5.D是等比數(shù)列,得,,公比,由,∴.反之也成立.6.A.由條件知,,有,從而;∴.又,,得.故選A.7.,∵,得.8.62由已知得,解得.9.4由,得,消去得,∴,∴.10.12;當(dāng)時(shí),所有非空子集為{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},;同理得,,∴.11.(1)解:因?yàn)?所以當(dāng)時(shí),,解得,當(dāng)時(shí),,即,解得,所以,解得;則,數(shù)列的公差,所以.(2)因?yàn)?因?yàn)?所以.12.(1)證明:由,得,兩式相減有,而,∴,又.∴是以2為首項(xiàng),公比為2的等比數(shù)列.(2)解:由(1)得,即,∴==.得,∴=.令=1\*GB3①,則=2\*GB3②.=1\*GB3①－=2\*GB3②得=∴,于是.由,得,即.∵當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,.∴正整數(shù)的最小值為5.13.解:(1)當(dāng)時(shí),,得.由,得,∴恒有,從而,故數(shù)列是以為首項(xiàng),