2022年湖南省長沙市岳麓區(qū)湖南師大附中高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學試卷含解析

2022年高考數(shù)學模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，則p是q的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．已知復數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則在復平面內(nèi)復數(shù)z對應(yīng)的點位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．的展開式中的系數(shù)是-10，則實數(shù)()A．2 B．1 C．-1 D．-24．框圖與程序是解決數(shù)學問題的重要手段，實際生活中的一些問題在抽象為數(shù)學模型之后，可以制作框圖，編寫程序，得到解決，例如，為了計算一組數(shù)據(jù)的方差，設(shè)計了如圖所示的程序框圖，其中輸入，，，，，，，則圖中空白框中應(yīng)填入（）A．， B． C．， D．，5．已知F是雙曲線（k為常數(shù)）的一個焦點，則點F到雙曲線C的一條漸近線的距離為（）A．2k B．4k C．4 D．26．若的展開式中含有常數(shù)項，且的最小值為，則（）A． B． C． D．7．a(chǎn)為正實數(shù)，i為虛數(shù)單位，，則a=（）A．2 B． C． D．18．已知拋物線的焦點與雙曲線的一個焦點重合，且拋物線的準線被雙曲線截得的線段長為，那么該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．9．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果為11，則圖中的判斷條件可以為（）A． B． C． D．10．設(shè)為的兩個零點，且的最小值為1，則（）A． B． C． D．11．直線與圓的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．相交或相切12．若實數(shù)滿足不等式組，則的最大值為（）A． B． C．3 D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面直角坐標系中，點在單位圓上，設(shè)，且．若，則的值為________________.14．已知復數(shù)（為虛數(shù)單位），則的模為____．15．在中，內(nèi)角的對邊分別是，若，，則____.16．已知向量，且，則實數(shù)的值是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，，為等邊三角形，平面平面ABCD，M，N分別是線段PD和BC的中點.（1）求直線CM與平面PAB所成角的正弦值；（2）求二面角D-AP-B的余弦值；（3）試判斷直線MN與平面PAB的位置關(guān)系，并給出證明.18．（12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間（2）記函數(shù)的圖象為曲線，設(shè)點是曲線上不同兩點，如果在曲線上存在點，使得①；②曲線在點M處的切線平行于直線AB，則稱函數(shù)存在“中值和諧切線”，當時，函數(shù)是否存在“中值和諧切線”請說明理由19．（12分）在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）設(shè)直線與曲線相交于兩點，的頂點也在曲線上運動，求面積的最大值.20．（12分）在直角坐標系中，圓C的參數(shù)方程（為參數(shù)），以O(shè)為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.（1）求圓C的極坐標方程；（2）直線l的極坐標方程是，射線與圓C的交點為O、P，與直線l的交點為Q，求線段的長.21．（12分）在極坐標系中，曲線的極坐標方程為（1）求曲線與極軸所在直線圍成圖形的面積；（2）設(shè)曲線與曲線交于，兩點，求.22．（10分）為了拓展城市的旅游業(yè)，實現(xiàn)不同市區(qū)間的物資交流，政府決定在市與市之間建一條直達公路，中間設(shè)有至少8個的偶數(shù)個十字路口，記為，現(xiàn)規(guī)劃在每個路口處種植一顆楊樹或者木棉樹，且種植每種樹木的概率均為.（1）現(xiàn)征求兩市居民的種植意見，看看哪一種植物更受歡迎，得到的數(shù)據(jù)如下所示：A市居民B市居民喜歡楊樹300200喜歡木棉樹250250是否有的把握認為喜歡樹木的種類與居民所在的城市具有相關(guān)性；（2）若從所有的路口中隨機抽取4個路口，恰有個路口種植楊樹，求的分布列以及數(shù)學期望；（3）在所有的路口種植完成后，選取3個種植同一種樹的路口，記總的選取方法數(shù)為，求證：.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

根據(jù)誘導公式化簡再分析即可.【詳解】因為,所以q成立可以推出p成立,但p成立得不到q成立,例如,而,所以p是q的必要而不充分條件.故選：B【點睛】本題考查充分與必要條件的判定以及誘導公式的運用,屬于基礎(chǔ)題.2．D【解析】

根據(jù)復數(shù)運算，求得，再求其對應(yīng)點即可判斷.【詳解】，故其對應(yīng)點的坐標為.其位于第四象限.故選：D.【點睛】本題考查復數(shù)的運算，以及復數(shù)對應(yīng)點的坐標，屬綜合基礎(chǔ)題.3．C【解析】

利用通項公式找到的系數(shù)，令其等于-10即可.【詳解】二項式展開式的通項為，令，得，則，所以，解得.故選：C【點睛】本題考查求二項展開式中特定項的系數(shù)，考查學生的運算求解能力，是一道容易題.4．A【解析】

依題意問題是，然后按直到型驗證即可.【詳解】根據(jù)題意為了計算7個數(shù)的方差，即輸出的，觀察程序框圖可知，應(yīng)填入，，故選：A.【點睛】本題考查算法與程序框圖，考查推理論證能力以及轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于基礎(chǔ)題.5．D【解析】

分析可得,再去絕對值化簡成標準形式,進而根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求解即可.【詳解】當時,等式不是雙曲線的方程；當時,,可化為,可得虛半軸長,所以點F到雙曲線C的一條漸近線的距離為2.故選：D【點睛】本題考查雙曲線的方程與點到直線的距離.屬于基礎(chǔ)題.6．C【解析】展開式的通項為，因為展開式中含有常數(shù)項，所以，即為整數(shù)，故n的最小值為1．所以.故選C點睛：求二項展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第項，再由特定項的特點求出值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項，再由通項寫出第項，由特定項得出值，最后求出其參數(shù).7．B【解析】

，選B.8．A【解析】

由拋物線的焦點得雙曲線的焦點，求出，由拋物線準線方程被曲線截得的線段長為，由焦半徑公式，聯(lián)立求解.【詳解】解：由拋物線，可得，則，故其準線方程為，拋物線的準線過雙曲線的左焦點，．拋物線的準線被雙曲線截得的線段長為，，又，，則雙曲線的離心率為．故選：．【點睛】本題考查拋物線的性質(zhì)及利用過雙曲線的焦點的弦長求離心率.弦過焦點時，可結(jié)合焦半徑公式求解弦長．9．B【解析】

根據(jù)程序框圖知當時，循環(huán)終止，此時，即可得答案.【詳解】，.運行第一次，，不成立，運行第二次，，不成立，運行第三次，，不成立，運行第四次，，不成立，運行第五次，，成立，輸出i的值為11，結(jié)束.故選：B.【點睛】本題考查補充程序框圖判斷框的條件，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意模擬程序一步一步執(zhí)行的求解策略.10．A【解析】

先化簡已知得,再根據(jù)題意得出f（x）的最小值正周期T為1×2，再求出ω的值．【詳解】由題得,設(shè)x1，x2為f（x）=2sin（ωx﹣）（ω＞0）的兩個零點，且的最小值為1，∴=1，解得T=2；∴=2，解得ω=π．故選A．【點睛】本題考查了三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．11．D【解析】

由幾何法求出圓心到直線的距離，再與半徑作比較，由此可得出結(jié)論．【詳解】解：由題意，圓的圓心為，半徑，∵圓心到直線的距離為，，，故選：D．【點睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．12．C【解析】

作出可行域，直線目標函數(shù)對應(yīng)的直線，平移該直線可得最優(yōu)解．【詳解】作出可行域，如圖由射線，線段，射線圍成的陰影部分（含邊界），作直線，平移直線，當過點時，取得最大值1．故選：C．【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，解題關(guān)鍵是作出可行域，本題要注意可行域不是一個封閉圖形．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

根據(jù)三角函數(shù)定義表示出，由同角三角函數(shù)關(guān)系式結(jié)合求得，而，展開后即可由余弦差角公式求得的值.【詳解】點在單位圓上，設(shè)，由三角函數(shù)定義可知，因為，則，所以由同角三角函數(shù)關(guān)系式可得，所以故答案為：.【點睛】本題考查了三角函數(shù)定義，同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，余弦差角公式的應(yīng)用，屬于中檔題.14．【解析】，所以．15．【解析】

由，根據(jù)正弦定理“邊化角”，可得，根據(jù)余弦定理，結(jié)合已知聯(lián)立方程組，即可求得角.【詳解】根據(jù)正弦定理：可得根據(jù)余弦定理：由已知可得：故可聯(lián)立方程：解得：.由故答案為：.【點睛】本題主要考查了求三角形的一個內(nèi)角，解題關(guān)鍵是掌握由正弦定理“邊化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.16．【解析】∵=（1，2），=（x，1），則=+2=（1，2）+2（x，1）=（1+2x，4），=2﹣=2（1，2）﹣（x，1）=（2﹣x，3），∵∴3（1+2x）﹣4（2﹣x）=1，解得：x=．點睛:由向量的數(shù)乘和坐標加減法運算求得，然后利用向量共線的坐標表示列式求解x的值．若=（a1，a2），=（b1，b2），則⊥?a1a2+b1b2=1，∥?a1b2﹣a2b1=1．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）（3）直線平面，證明見解析【解析】

取中點，連接，則，再由已知證明平面，以為坐標原點，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量．（1）求出的坐標，由與所成角的余弦值可得直線與平面所成角的正弦值；（2）求出平面的一個法向量，再由兩平面法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值；（3）求出的坐標，由，結(jié)合平面，可得直線平面．【詳解】底面是邊長為2的菱形，，為等邊三角形．取中點，連接，則，為等邊三角形，，又平面平面，且平面平面，平面．以為坐標原點，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系．則，，，，1，，，0，，，，，，0，，，，，，，．，，設(shè)平面的一個法向量為．由，取，得．（1）證明：設(shè)直線與平面所成角為，，則，即直線與平面所成角的正弦值為；（2）設(shè)平面的一個法向量為，由，得二面角的余弦值為；（3），，又平面，直線平面．【點睛】本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題．18．（1）見解析（2）不存在，見解析【解析】

（1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）求出函數(shù)的導數(shù)，結(jié)合導數(shù)的幾何意義，再令，轉(zhuǎn)化為方程有解問題，即可說明.【詳解】(1)函數(shù)的定義域為，所以當時，；，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增當時，①當時，函數(shù)在上遞增②，顯然無增區(qū)間；③當時，，函數(shù)在上遞增，綜上當函數(shù)在上單調(diào)遞增.當時函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時函數(shù)無單調(diào)遞增區(qū)間當時函數(shù)在上單調(diào)遞增(2)假設(shè)函數(shù)存在“中值相依切線”設(shè)是曲線上不同的兩個點，且則曲線在點處的切線的斜率為，.令，則，單調(diào)遞增，，故無解，假設(shè)不成立綜上，假設(shè)不成立，所以不存在“中值相依切線”【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，導數(shù)的幾何意義，考查導數(shù)的應(yīng)用以及分類討論和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．19．（1）：，：；（2）【解析】

（1）由直線參數(shù)方程消去參數(shù)即可得直線的普通方程，根據(jù)極坐標方程和直角坐標方程互化的公式即可得曲線的直角坐標方程；（2）由即可得的底，由點到直線的距離的最大值為即可得高的最大值，即可得解.【詳解】（1）由消去參數(shù)得直線的普通方程為，由得，曲線的直角坐標方程為；（2）曲線即，圓心到直線的距離，所以，又點到直線的距離的最大值為，所以面積的最大值為.【點睛】本題考查了參數(shù)方程、極坐標方程和直角坐標方程的互化，考查了直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.20．（1）；（2）2【解析】

（1）首先利用對圓C的參數(shù)方程（φ為參數(shù)）進行消參數(shù)運算，化為普通方程，再根據(jù)普通方程化極坐標方程的公式得到圓C的極坐標方程．（2）設(shè)，聯(lián)立直線與圓的極坐標方程，解得；設(shè)，聯(lián)立直線與直線的極坐標方程，解得，可得．【詳解】（1）圓C的普通方程為，又，所以圓C的極坐標方程為.（2）設(shè)，則由解得，，得；設(shè)，則由解得，，得；所以【點睛】本題考查圓的參數(shù)方程與普通方程的互化，考查圓的極坐標方程，考查極坐標方程的求解運算，考查了學生的計算能力以及轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.21．（1）；（2）【解析】

（1）利用互化公式，將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程，得出曲線與極軸所在直線圍成的圖形是一個半徑為1的圓周及一個兩直角邊分別為1與的直角三角形，即可求出面積；（2）聯(lián)立方程組，分別求出和的坐標，即可求出.【詳解】解：（1）由于的極坐標方程為，根據(jù)互化公式得，曲線的直角坐標方程