七上實數(shù)經(jīng)典例題及習題

.z.知識點總結(jié)及題型考點一、實數(shù)的概念及分類〔3分〕1、實數(shù)的分類正有理數(shù)有理數(shù)零有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)實數(shù)負有理數(shù)正無理數(shù)無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)負無理數(shù)整數(shù)包括正整數(shù)、零、負整數(shù)。正整數(shù)又叫自然數(shù)。正整數(shù)、零、負整數(shù)、正分數(shù)、負分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。2、無理數(shù)在理解無理數(shù)時，要抓住"無限不循環(huán)〞這一實質(zhì)，歸納起來有四類：〔1〕開方開不盡的數(shù)，如等；〔2〕有特定意義的數(shù)，如圓周率π，或化簡后含有π的數(shù)，如+8等；〔3〕有特定構(gòu)造的數(shù)，如0.1010010001…等；〔4〕*些三角函數(shù)，如sin60o等考點二、實數(shù)的倒數(shù)、相反數(shù)和絕對值〔3分〕1、相反數(shù)實數(shù)與它的相反數(shù)時一對數(shù)〔只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零〕，從數(shù)軸上看，互為相反數(shù)的兩個數(shù)所對應的點關(guān)于原點對稱，如果a與b互為相反數(shù)，則有a+b=0，a=—b，反之亦成立。2、絕對值一個數(shù)的絕對值就是表示這個數(shù)的點與原點的距離，|a|≥0。零的絕對值時它本身，也可看成它的相反數(shù)，假設|a|=a，則a≥0；假設|a|=-a，則a≤0。正數(shù)大于零，負數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負數(shù)，兩個負數(shù)，絕對值大的反而小。3、倒數(shù)如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=1，反之亦成立。倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和-1。零沒有倒數(shù)?？键c三、平方根、算數(shù)平方根和立方根〔3—10分〕1、平方根如果一個數(shù)的平方等于a，則這個數(shù)就叫做a的平方根〔或二次方跟〕。一個數(shù)有兩個平方根，他們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負數(shù)沒有平方根。正數(shù)a的平方根記做"〞。2、算術(shù)平方根正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根，記作"〞。正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個，零的算術(shù)平方根是零?！?〕；注意的雙重非負性：-〔<0〕03、立方根如果一個數(shù)的立方等于a，則這個數(shù)就叫做a的立方根〔或a的三次方根〕。一個正數(shù)有一個正的立方根；一個負數(shù)有一個負的立方根；零的立方根是零。注意：，這說明三次根號內(nèi)的負號可以移到根號外面?？键c四、科學記數(shù)法和近似數(shù)〔3—6分〕1、有效數(shù)字一個近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說它準確到哪一位，這時，從左邊第一個不是零的數(shù)字起到右邊準確的數(shù)位止的所有數(shù)字，都叫做這個數(shù)的有效數(shù)字。2、科學記數(shù)法把一個數(shù)寫做的形式，其中，n是整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學記數(shù)法?？键c五、實數(shù)大小的比擬〔3分〕1、數(shù)軸規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸〔畫數(shù)軸時，要注意上述規(guī)定的三要素缺一不可〕。解題時要真正掌握數(shù)形結(jié)合的思想，理解實數(shù)與數(shù)軸的點是一一對應的，并能靈活運用。2、實數(shù)大小比擬的幾種常用方法〔1〕數(shù)軸比擬：在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。〔2〕求差比擬：設a、b是實數(shù)，〔3〕求商比擬法：設a、b是兩正實數(shù)，〔4〕絕對值比擬法：設a、b是兩負實數(shù)，則。〔5〕平方法：設a、b是兩負實數(shù)，則?？键c六、實數(shù)的運算〔做題的根底，分值相當大〕1、加法交換律2、加法結(jié)合律3、乘法交換律4、乘法結(jié)合律5、乘法對加法的分配律6、實數(shù)混合運算時，對于運算順序有什么規(guī)定？實數(shù)混合運算時，將運算分為三級，加減為一級運算，乘除為二能為運算，乘方為三級運算。同級運算時，從左到右依次進展；不是同級的混合運算，先算乘方，再算乘除，而后才算加減；運算中如有括號時，先做括號內(nèi)的運算，按小括號、中括號、大括號的順序進展。7、有理數(shù)除法運算法則就什么？兩有理數(shù)除法運算法則可用兩種方式來表述：第一，除以一個不等于零的數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)；第二，兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。零除以任何一個不為零的數(shù)，商都是零。8、什么叫有理數(shù)的乘方？冪？底數(shù)？指數(shù)？一樣因數(shù)相乘積的運算叫乘方，乘方的結(jié)果叫冪，一樣因數(shù)的個數(shù)叫指數(shù)，這個因數(shù)叫底數(shù)。記作:an9、有理數(shù)乘方運算的法則是什么？負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)。正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)。零的任何正整數(shù)冪都是零。10、加括號和去括號時各項的符號的變化規(guī)律是什么？去〔加〕括號時如果括號外的因數(shù)是正數(shù)，去〔加〕括號后式子各項的符號與原括號內(nèi)的式子相應各項的符號一樣；括號外的因數(shù)是負數(shù)去〔加〕括號后式子各項的符號與原括號內(nèi)式子相應各項的符號相反。經(jīng)典例題類型一．有關(guān)概念的識別1．下面幾個數(shù)：0.23，1.010010001…，，3π，，，其中，無理數(shù)的個數(shù)有〔〕

A、1B、2C、3D、4

解析：此題主要考察對無理數(shù)概念的理解和應用，其中，1.010010001…，3π，是無理數(shù)

應選C

舉一反三：

【變式1】以下說法中正確的選項是〔〕

A、的平方根是±3B、1的立方根是±1C、=±1D、是5的平方根的相反數(shù)

【答案】此題主要考察平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念，

∵=9，9的平方根是±3，∴A正確．

∵1的立方根是1，=1，是5的平方根，∴B、C、D都不正確．

【變式2】如圖，以數(shù)軸的單位長線段為邊做一個正方形，以數(shù)軸的原點為圓心，正方形對角線長為半徑畫弧，交數(shù)軸正半軸于點A，則點A表示的數(shù)是〔〕

A、1B、1.4C、D、

【答案】此題考察了數(shù)軸上的點與全體實數(shù)的一一對應的關(guān)系．∵正方形的邊長為1，對角線為，由圓的定義知|AO|=，∴A表示數(shù)為，應選C．

【變式3】

【答案】∵π=3.1415…，∴9＜3π＜10

因此3π-9＞0，3π-10＜0

∴類型二．計算類型題2．設，則以下結(jié)論正確的選項是〔〕

A.B.

C.D.

解析：〔估算〕因為，所以選B

舉一反三：

【變式1】1〕1.25的算術(shù)平方根是__________；平方根是__________.2〕-27立方根是__________.3〕___________，___________，___________.

【答案】1〕；.2〕-3.3〕，，

【變式2】求以下各式中的

〔1〕〔2〕〔3〕

【答案】〔1〕〔2〕*=4或*=-2〔3〕*=-4

類型三．數(shù)形結(jié)合3.點A在數(shù)軸上表示的數(shù)為，點B在數(shù)軸上表示的數(shù)為，則A，B兩點的距離為______

解析：在數(shù)軸上找到A、B兩點，舉一反三：

【變式1】如圖，數(shù)軸上表示1，的對應點分別為A，B，點B關(guān)于點A的對稱點為C，則點C表示的數(shù)是〔〕．

A．－1B．1－C．2－D．－2

【答案】選C

[變式2]實數(shù)、、在數(shù)軸上的位置如下圖：

化簡

【答案】：類型四．實數(shù)絕對值的應用4．化簡以下各式：

(1)|-1.4|(2)|π-3.142|

(3)|-|(4)|*-|*-3||(*≤3)

(5)|*2+6*+10|

分析：要正確去掉絕對值符號，就要弄清絕對值符號內(nèi)的數(shù)是正數(shù)、負數(shù)還是零，然后根據(jù)絕對值的定義正確去掉絕對值。

解：(1)∵=1.414…＜1.4∴|-1.4|=1.4-

(2)∵π=3.14159…＜3.142

∴|π-3.142|=3.142-π

(3)∵＜,∴|-|=-(4)∵*≤3,∴*-3≤0,

∴|*-|*-3||=|*-(3-*)|

=|2*-3|=

說明：這里對|2*-3|的結(jié)果采取了分類討論的方法，我們對這個絕對值的根本概念要有清楚的認識，并能靈活運用。

(5)|*2+6*+10|=|*2+6*+9+1|=|(*+3)2+1|

∵(*+3)2≥0,∴(*+3)2+1＞0

∴|*2+6*+10|=*2+6*+10

舉一反三：

【變式1】化簡：

【答案】=+-=類型五．實數(shù)非負性的應用5．：=0，**數(shù)a,b的值。

分析：等式左邊分母不能為0，只能有＞0，則要求a+7＞0，分子+|a2-49|=0，由非負數(shù)的和的性質(zhì)知：3a-b=0且a2-49=0，由此得不等式組從而求出a,b的值。

解：由題意得

由(2)得a2=49∴a=±7

由(3)得a>-7，∴a=-7不合題意舍去。

∴只取a=7

把a=7代入(1)得b=3a=21

∴a=7,b=21為所求。

舉一反三：

【變式1】(*-6)2++|y+2z|=0，求(*-y)3-z3的值。

解：∵(*-6)2++|y+2z|=0

且(*-6)2≥0,≥0,|y+2z|≥0,

幾個非負數(shù)的和等于零，則必有每個加數(shù)都為0。

∴解這個方程組得∴(*-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65

【變式2】則a+b-c的值為___________

【答案】初中階段的三個非負數(shù)：，

a=2,b=-5,c=-1;a+b-c=-2

類型六．實數(shù)應用題6．有一個邊長為11cm的正方形和一個長為13cm，寬為8cm的矩形，要作一個面積為這兩個圖形的面積之和的正方形，問邊長應為多少cm。

解：設新正方形邊長為*cm，

根據(jù)題意得*2=112+13×8

∴*2=225

∴*=±15

∵邊長為正，∴*=-15不合題意舍去，

∴只取*=15(cm)

答：新的正方形邊長應取15cm。

舉一反三：

【變式1】拼一拼，畫一畫：請你用4個長為a，寬為b的矩形拼成一個大正方形，并且正中間留下的空白區(qū)域恰好是一個小正方形?！?個長方形拼圖時不重疊〕

〔1〕計算中間的小正方形的面積，聰明的你能發(fā)現(xiàn)什么？

〔2〕當拼成的這個大正方形邊長比中間小正方形邊長多3cm時，大正方形的面積就比小正方形的面積

多24cm2，求中間小正方形的邊長.

解析：〔1〕如圖，中間小正方形的邊長是：

，所以面積為=

大正方形的面積=，

一個長方形的面積=。

所以，

答：中間的小正方形的面積，

發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是：〔或〕

(2)大正方形的邊長：，小正方形的邊長：，即，

又大正方形的面積比小正方形的面積多24cm2

所以有，

化簡得：

將代入，得：cm

答：中間小正方形的邊長2.5cm。

類型七．易錯題7．判斷以下說法是否正確

〔1〕的算術(shù)平方根是-3；〔2〕的平方根是±15.

〔3〕當*=0或2時，〔4〕是分數(shù)

解析：〔1〕錯在對算術(shù)平方根的理解有誤，算術(shù)平方根是非負數(shù).故

〔2〕表示225的算術(shù)平方根，即=15.實際上，此題是求15的平方根，

故的平方根是.

〔3〕注意到，當*=0時，=，顯然此式無意義，

發(fā)生錯誤的原因是無視了"負數(shù)沒有平方根〞，故*≠0，所以當*=2時，*=0.

〔4〕錯在對實數(shù)的概念理解不清.形如分數(shù)，但不是分數(shù)，它是無理數(shù).

類型八．引申提高8．〔1〕的整數(shù)局部為a，小數(shù)局部為b，求a2-b2的值.

〔2〕把以下無限循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)：①②③

〔1〕分析：確定算術(shù)平方根的整數(shù)局部與小數(shù)局部，首先判斷這個算術(shù)平方根在哪兩個整數(shù)之間，則較小的整數(shù)即為算術(shù)平方根的整數(shù)局部，算術(shù)平方根減去整數(shù)局部的差即為小數(shù)局部．

解：由得

的整數(shù)局部a=5,的小數(shù)局部，

∴

〔2〕解：(1)設*=①

則②②-①得

9*=6

∴.

(2)設①

則②②-①，得

99*=23

∴.

(3)設①

則②②-①，得

999*=107，

∴.學習成果測評：A組〔根底〕

一、細心選一選

1．以下各式中正確的選項是〔〕

A．B.C.D.

2.的平方根是()

A．4B.C.2D.

3.以下說法中①無限小數(shù)都是無理數(shù)②無理數(shù)都是無限小數(shù)③-2是4的平方根④帶根號的數(shù)都是

無理數(shù)。其中正確的說法有〔〕

A．3個B.2個C.1個D.0個

4．和數(shù)軸上的點一一對應的是〔〕

A．整數(shù)B.有理數(shù)C.無理數(shù)D.實數(shù)

5．對于來說〔〕

A．有平方根B．只有算術(shù)平方根C.沒有平方根D.不能確定

6．在〔兩個"1〞之間依次多1個"0〞〕中，無理數(shù)

的個數(shù)有〔〕

A．3個B.4個C.5個D.6個

7．面積為11的正方形邊長為*，則*的范圍是〔〕

A．B.C.D.

8．以下各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是〔〕

A．-2與B.∣-∣與C.與D.與

9．-8的立方根與4的平方根之和是〔〕

A．0B.4C.0或-4D.0或4

10．一個自然數(shù)的算術(shù)平方根是a，則該自然數(shù)的下一個自然數(shù)的算術(shù)平方根是〔〕

A．B.C.D.

二、耐心填一填

11．的相反數(shù)是________，絕對值等于的數(shù)是________，∣∣=_______。

12．的算術(shù)平方根是_______，=______。

13．____的平方根等于它本身，____的立方根等于它本身，____的算術(shù)平方根等于它本身。

14．∣*∣的算術(shù)平方根是8，則*的立方根是_____。

15．填入兩個和為6的無理數(shù)，使等式成立：___+___=6。

16．大于，小于的整數(shù)有______個。

17．假設∣2a-5∣與互為相反數(shù)，則a=______，b=_____。

18．假設∣a∣=6，=3，且ab0，則a-b=______。

19．數(shù)軸上點A，點B分別表示實數(shù)則A、B兩點間的距離為______。

20．一個正數(shù)*的兩個平方根分別是a+2和a-4，則a=_____，*=_____。

三、認真解一解

21．計算

⑴⑵⑶⑷∣∣+∣∣⑸×+×⑹4×[9+2×〔〕]〔結(jié)果保存3個有效數(shù)字〕

22．在數(shù)軸上表示以下各數(shù)和它們的相反數(shù)，并把這些數(shù)和它們的相反數(shù)按從小到大的順序排列，用"〞號連接：參考答案：

一:1、B2、D3、B4、D5、C6、A7、B8、C9、C10、D

二：11、，π-312、3，

13、0；0，；0，114、15、答案不唯一如：16、5

17、18、-1519、220、1，9

三：

21、⑴⑵-17⑶-9⑷2⑸-36⑹37.9

22、B組〔提高〕一、選擇題：

1．的算術(shù)平方根是〔〕

A．0.14B．0.014C．D．

2．的平方根是〔〕

A．－6B．36C．±6D．±

3．以下計算或判斷：①±3都是27的立方根；②；③的立方根是2；④，

其中正確的個數(shù)有〔〕

A．1個B．2個C．3個D．4個

4．在以下各式中，正確的選項是〔〕

A．;B．;C．;D．

5．以下說法正確的選項是〔〕

A．有理數(shù)只是有限小數(shù)B．無理數(shù)是無限小數(shù)C．無限小數(shù)是無理數(shù)D．是分數(shù)

6．以下說法錯誤的選項是〔〕

A．B．C．2的平方根是D．

7．假設，且，則的值為〔〕

A．B．C．D．

8．以下結(jié)論中正確的選項是〔〕

A．數(shù)軸上任一點都表示唯一的有理數(shù);B．數(shù)軸上任一點都表示唯一的無理數(shù);

C.兩個無理數(shù)之和一定是無理數(shù);D.數(shù)軸上任意兩點之間還有無數(shù)個點

9．-27的立方根與的平方根之和是〔〕

A．0B．6C．0或-6D．-12或6

10．以下計算結(jié)果正確的選項是〔〕

A．B．C．D．二．填空題:

11．以下各數(shù)：①3.141、②0.33333……、③、④π、⑤、⑥、

⑦0.3030003000003……〔相鄰兩個3之間0的個