計算,發(fā)現(xiàn),猜想,證實

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王金坤

前面，我們學習了有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方運算，經(jīng)歷了從特別的、具體的運算入手，摸索、歸納普遍適用的運算法則的過程。

譬如，學習有理數(shù)的加法時，教材提出了這樣一個問題：

甲、乙兩隊進行足球比賽。假如甲隊在主場贏3球，在客場輸2球，那么兩場比賽后甲隊凈勝1球。上述比賽的過程和結(jié)果怎么用算式表示？我們可以用算式（+3）+（-2）=+1表示。若改變主場、客場贏球數(shù)，類似地，我們可以列出算式（-3）+（+2）=-1，3+2=5，（-3）+（-2）=-5，3+0=3，0+（-3）=-3，（+3）+（-3）=0等。

觀測上述算式，請思考：當兩個有理數(shù)相加時，和的符號、和的絕對值是怎樣確定的？經(jīng)過對比，我們可以很簡單歸納出有理數(shù)加法法則。

冪的運算的基礎(chǔ)是有理數(shù)的運算。我們可以嘗試借鑒已有經(jīng)驗來學習與摸索。

根據(jù)乘方的意義，我們可以計算：

102×103=100×1000=100000=105，

102×105=100×100000=10000000

=107，

104×105=10000×100000

=1000000000=109。

那么，怎么計算10m×10n（m、n是正整數(shù)）呢？

10m×10n

=（[10×10×…×10m個10]）×（[10×10×…×10n個10]）

=[10×10×…×10（m+n）個10]

=10m+n。

假如將底數(shù)10換成3或者[13]，我們還可以用類似的方法計算，發(fā)現(xiàn)：

3m·3n=3m+n，（[13]）m·（[13]）n=（[13]）m+n。

觀測上述算式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

上述算式給了我們直觀的、感性的認識。經(jīng)過對比、思考，我們不難發(fā)現(xiàn)：am·an=am+n。那么，這個猜想是否成立呢？接下來，我們進行證明。

am·an=（[a·a·…·am個a]）·（[a·a·…·an個a]）

=[a·a·…·a（m+n）個a]=am+n。

這就告訴我們，對于任意的底數(shù)a，當m、n為正整數(shù)時，am·an=am+n。也就是說，同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。這就是同底數(shù)冪的乘法運算性質(zhì)。

上述過程，是我們應(yīng)用已有的知識“做〞數(shù)學的過程。我們的摸索活動大致分為3個層次：一是冪的底數(shù)和指數(shù)都是具體的數(shù);二是冪的底數(shù)是具體的數(shù)，指數(shù)是用字母表示的數(shù);三是冪的底數(shù)和指數(shù)都是用字母表示的數(shù)。摸索這3個活動的過程是逐步由具體到抽象，由特別到一般的過程。

再如，計算：

（32）3=32·32·32=3×3×3×3×3×3=36，

[（-10）4]2=（-10）4×（-10）4=（-10）8，

[（[12]）3]4=（[12]）3×（[12]）3×（[12]）3×（[12]）3=（[12]）12，

……

于是，我們發(fā)現(xiàn)：

（32）3=36，

[（-10）4]2=（-10）8，

[（[12]）3]4=（[12]）12。

從這些特別的計算中，我們猜想：（am）n=amn。接下來，我們進行驗證：

（am）n=[am·am……amn個am]=a[m+…+mn個m]=amn。

這樣就證明了我們的猜想是正確的。于是，歸納得出：對于任意的底數(shù)a，當m、n為正整數(shù)時，（am）n=amn。也就是說，冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。這就是冪的乘方運算性質(zhì)。

對于上面兩特性質(zhì)的摸索過程，我們都是在具體的運算中首先發(fā)現(xiàn)了結(jié)論，這是一種感性的認識，是一種合情推理，然后通過一般推演來驗證發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，從而形成理性的認識。這樣，我們不僅加強了解決問題的能力，而且感受了證明的樂趣。

同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方運算性質(zhì)的摸索過程是一致的，思路都是通過具體的數(shù)字運算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，提出猜想，再用字母代替數(shù)字，運用已學的運