固體物理-習(xí)題課

電子論相比1.布洛赫理論作了哪些基本近似？它與金屬有哪些改進(jìn)？答：布洛赫理論作了3條基本假設(shè)，即①認(rèn)為離子實固定在其瞬時位置上，可把電子的運動與離子實的運動分開來處理，這就是絕熱近似

；②認(rèn)為一個電子在離子實和其它電子所形成的勢場中運動，這就是單電子近似

；③假設(shè)所有電子及離子實產(chǎn)生的場都具有晶格周期性，這就是周期場近似

。布洛赫電子論相比于金屬 電子論，考慮了電子和離子實之間的相互作用，也考慮了電子與電子的相互作用。2.周期場對能帶形成是必要條件嗎？答：周期場對能帶的形成是必要條件，這是由于在周期場中運動的電子的波函數(shù)是一個周期性調(diào)幅的平面波，即是一個布洛赫波。由此使能量本征值也稱為波矢的周期函數(shù)，從而形成了一系列的能帶。3.一個能帶有N個準(zhǔn)連續(xù)能級的物理原因是什么？答：這是由于晶體中含有的總原胞數(shù)N通常都是很大的，所以k的取值是十分密集的，相應(yīng)的能級也同樣十分密集，因而便形成了準(zhǔn)連續(xù)的能級。4.禁帶形成的原因如何？您能否用一物理圖像來描述？答：對于在倒格矢Kh中垂面及其附近的波矢k，即布里淵區(qū)OABCDkE(k)Δ>0Δ<0界面附近的波矢k，由于采用簡并微擾計算，致使能級間產(chǎn)生排斥作用，從而使

E(K)函數(shù)在布里淵區(qū)界面處“斷開”，即發(fā)生突變，從而產(chǎn)生了禁帶。模型各有何特點？它們有相同解：所謂近 電子模型就是認(rèn)為電子接近于 電子狀態(tài)的情況，而緊 模型則認(rèn)為電子在一個原子附近時，將主要受到該原子場的作用，把其它原子場的作用看成微擾作用。這兩種模型的相同之處是：選取一個適當(dāng)?shù)木哂姓恍院屯陚湫缘牟悸搴詹ㄐ问降暮瘮?shù)集，然后將電子的波函數(shù)在所選取的函數(shù)集中展開，其展開式中有一組特定的展開系數(shù)，將展開后的電子的波函數(shù)代入薛定諤方程，利用函數(shù)集中各基函數(shù)間的正交性，可以得到一組各展開系數(shù)滿足的久期方程。這個久期方程組是一組齊次方程組，由齊次方程組有解條件可求出電子能量的本征值，由此便揭示出了系統(tǒng)中電子的能帶結(jié)構(gòu)。5.近 電子模型與緊之處？6.試述晶體中的電子作準(zhǔn)經(jīng)典運動的條件和準(zhǔn)經(jīng)典運動的基本公式。解：在實際問題中，只有當(dāng)波包的尺寸遠(yuǎn)大于原胞的尺寸，才能把晶體中的電子看做準(zhǔn)經(jīng)典粒子。準(zhǔn)經(jīng)典運動的基本公式有：晶體電子的準(zhǔn)動量為:晶體電子受到的外力為:晶體電子的速度為:在外加電磁場作用下，晶體電子的狀態(tài)變化滿足：1v

E(k)

kdtp

kF

dkk

k晶體電子的倒有效質(zhì)量張量為:1

1

2

E(k)m*

2dk

e

(Ε

v

B)dt

m*dtdv

e

(Ε

v

B)解：有效質(zhì)量實際上是包含了晶體周期勢場作用的電子質(zhì)量，它的引入使得晶體中電子準(zhǔn)經(jīng)典運動的加速度與外力直接聯(lián)系起來了，就像經(jīng)典力學(xué)中牛頓第二定律一樣，這樣便于處理外力作用下晶體電子的動力學(xué)問題。當(dāng)滿帶頂附近有空狀態(tài)k時，整個能帶中的電流，以及電流在外電磁場作用下的變化，完全如同存在一個帶正電荷e和具有正質(zhì)量|m*|、速度v(k)的粒子的情況一樣，這樣一個假想的粒子稱為空穴?？昭ǖ囊胧沟脻M帶頂附近缺少一些電子的問題和導(dǎo)帶底有少數(shù)電子的問題十分相似，給研究半導(dǎo)體和某些金屬的導(dǎo)電性能帶來了很大的方便。7.試述有效質(zhì)量、空穴的意義。引入它們有何用處？答：在導(dǎo)體中，除去完全充滿的一系列能帶外，還有只是部分地被電子填充的能帶，后者可以起導(dǎo)電作用，稱為導(dǎo)帶。在半導(dǎo)體中，由于存在一定的雜質(zhì)，或由于熱激發(fā)使導(dǎo)帶中存有少數(shù)電子，或滿帶中缺了少數(shù)電子，從而導(dǎo)致一定的導(dǎo)電性。在絕緣體中，電子恰好填滿了最低的一系列能帶，再高的各帶全部都是空的，由于滿帶不產(chǎn)生電流，所以盡管存在很多電子，并不導(dǎo)電。8.試述導(dǎo)體、半導(dǎo)體和絕緣體能帶結(jié)構(gòu)的基本特征。格常數(shù)為a，電子的波函數(shù)為：；；ak

(x)

sin

xa3

k

(x)

i

cos

xi試求電子在這些狀態(tài)的波矢。解：布洛赫函數(shù)可寫成：

k

(x)

e

uk

(x)ikx其中

uk

(x

a)

uk

(x)

或?qū)懗?/p>

k

(x

a)

e

(x)ikak(1)aakk

(x

a)

sin

x

a

sin

x

(x)9.一維周期場中電子的波函數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足布洛赫定理。若晶（1）（2）（3）

k

(x)

f

(x

ia)（其中為f某個確定的函數(shù)）。

1eikak

ae

sin

xakai

xaak

e u

(x)

(x)

ei x

i

xuk

(x

a)

uk

(x)顯然有：aka故

(x)

sin

x

的波矢是

。(2)kk

(x

a)

i

cos

3(x

a)

i

cos

3x

(x)a

a

1eikak

aa3xi

cosa

e

a

uk

(x)

i

x

k

(x)

e

a

ei x

i

xuk

(x

a)

uk

(x)顯然有：故。ax

的波矢是ak3

(x)

i

cos(3)

(x

a)

f

(x

a

ia)

f

[x

(i

1)a]

f

(x

ma)

(x)k

k

i

i

meika

1k

0ki

0

xi

0ak

e u

(x)f

(

x

ia)

i

(x)

e故

k

(x)

f

(x

ia)的波矢是0。i要說明的是，上述所確定的波矢k并不是唯一的，這些k

值加上任一倒格矢都是所需的解。因為k空間中相差任一倒格矢的兩個k

值所描述的狀態(tài)是一樣的。10.已知電子在周期場中的勢能為：xb

na

b時2(xbmxU)2

]，當(dāng)nana，當(dāng)

1)(0)(

xbanxaUb時2(

)

1

2

[其中：a

4b

，為常數(shù)。畫出勢能曲線，并求出其平均值；用近 電子模型求出此晶體的第1及第2個禁帶寬度。解：(1)該周期場的勢能曲線如下所示：7b

5b3bbO

b3b5b21

m

2b2xU64bb

1

1

m

2b2m

2

(b2

x

2

)dxU

b

dxbU

(x)dx3b3b

b2

dx其勢能平均值為：U

(x)dx

(2)根據(jù)近電子模型，此晶體的第1及第2個禁帶寬度為:E1

2U1

E2

2U

23211

14mb

22b其中U1和U2表示周期場U(x)展開成傅立葉級數(shù)的第一和第二個傅立葉系數(shù)。于是有:b

meb2d2(2)

()

U1

eUd

4b4b

bi

214b4b

3bi

2122112m

2b

2b4bb

m

2(b2

2

)d

U

(

)d

eU

2

e4b

bi

2

2

14b

3bi

2

2

4b故此晶體的第1及第2個禁帶寬度為:8m

2b2

3E1

2U1

m

2b2

2E2

2U

2

式中a是晶格常數(shù)。試求（1）能帶的寬度；87

1ma

2

8E(k)

(

cos

ka

cos

2ka)

2電子在波矢k的狀態(tài)時的速度；能帶底部和頂部電子的有效質(zhì)量。解：（1）在能帶底k=0處，電子能量為：在能帶頂k=/a處，電子能量為:故能帶寬度為:E(0)

0E( )

a

ma

2

2

2ma

2a2

2E

E( )

E(0)

11.已知一維晶體的電子能帶可寫成：（2）電子在波矢k的狀態(tài)時的速度為v(k)

1

dE

(sin

ka

1

sin

2ka)

dk

ma

4（3）電子的有效質(zhì)量為:在能帶頂部電子的有效質(zhì)量為:2于是有在能帶底部電子的有效質(zhì)量為:dk

2d

2

E

mcos

ka

1

cos

2kam*

2

/1m*

2m32*2m

m12.設(shè)二維正三角形晶格中原子間距為a，試根據(jù)緊近似的結(jié)果，求出s能帶E(k)的表達(dá)式，并求出相應(yīng)的電子速度v(k)和有效質(zhì)量的各個分量m。解：當(dāng)只計及最近鄰格點的相互作用時，根據(jù)緊近似可得該晶格由原子s態(tài)的形成的能帶表達(dá)式為：sR

s

近鄰kRJ

(R

)es

0

sE(k)

J

(1)上式中:2J

0

i

(ξ)

[U

(ξ)

V

(ξ)]dξ

0*ξ

dξ

(0i

s

isJ

(R

)

(ξ

R

)[U

ξ

V(()ξ)](其中U

(ξ)表示晶體中的周期性勢場，也即各格點原子勢場之和。V

(ξ)為某格點的原子勢場）在此二維晶格中，取原點為參考點，則其六個近鄰格點坐標(biāo)值為:223

a）2222（

1

a

，3

a） （

1

a

，23

a

） （

1

a，2（a，0） （

-a，0）

（

1

a

，

3

a

），2

2x

yxe

1

ak

3

ak

1

ak

把近鄰格式代入（1）式，并考慮到s態(tài)波函數(shù)的球?qū)ΨQ性:E(

s

J0

J

e2

s

J

0

2J1[(2)上式中J1表示原點所處格點與任一最近鄰格點的波函數(shù)的積分的負(fù)值，并有J1

>0。由此可知相應(yīng)的電子速度為:kv(k)

1

E(k)21yyx

x3

ak

)j]3

cos

ak

sin2

x3

ak

)i

(

2J1a

[(sin

ak

sin

1

ak

cos

2

2xy選取k

，k

軸沿張量主軸方向，則有*xy

yxm

m*

0

，而:232

21

12yx1

x2xak

)mxx2J

a

2(cos

ak

cos

ak

cosk

2

E

2*

/yakmyy23213J

a

2

cos

ak

cos1

x2y*2

2k

2

E

/13.用緊 方法處理面心立方的s態(tài)電子，若只計及最近鄰相互作用，試導(dǎo)出其能帶為:2

2

2

2

2

20E(k)

E

A

4J

(cos

kx

a

cos

ky

a

cos

ky

a

cos

kz

a

cos

kz

a

cos

kx

a

)近似方法并求能帶底部電子的有效質(zhì)量。解：當(dāng)只計及最近鄰格點的相互作用時，用緊處理晶體的s態(tài)電子，其能帶

E(k

)

的表達(dá)式可寫為0E(k)

E

A

JekRsRs

近鄰上式中:2A

i

(ξ)

[U

(ξ)

V

(ξ)]dξ

0*i

siJ

(ξ

R

)[U

(ξ)

V

(ξ)]

(ξ)dξ

0(a/2,-a/2,0),

(-a/2,a/2,0),

(-a/2,-a/2,0)(a/2,a/2,0),(a/2,

0,

a/2),(0,

a/2,

a/2),(a/2,

0,

-a/2),(0,

-a/2,

a/2),(-a/2,

0,

a/2),(0,

a/2,

-a/2),(-a/2,

0,

-a/2)(0,

-a/2,

-a/2)(其中U

(ξ)表示晶體中的周期性勢場，也即各格點原子勢場之和。V

(ξ)為最近鄰格點的原子勢場；R

s

為最近鄰格點的位矢）對面心立方晶格，取原點為參考點，則其最近鄰的12個格點的位矢坐標(biāo)值為：將上述的12套坐標(biāo)值代入上述的E(k)表達(dá)式，可得:0a

ai

a

(k

k

)

i

a

(k

k

)

e

2

x

y

e

2

x

y

]i

(k

k

)

e

2

x

yi

(k

k

)E(k)

E

A

J{[e

2

x

yaaa

aaaaai

(k

k

)

e

2

x z

]i

(k

k

)

e

2

y z

]}i

(k

k

)

e

2

x

zi

(k

k

)

e

2

y

zi

(k

k

)

e

2

x

zi

(k

k

)

e

2

y

zi

(k

k

)[e

2

x

zi

(k

k

)[e

2

y

z2220zxyxyx

k

)

cos

a

(k

k

)

k

)

cos

a

(k

E

A

2J[cosa

(ka

a

a

cos

(kx

kz

)

cos

(ky

kz

)

cos

(ky

kz

)]2

2

22

2

2

2

2

20

E

A

4J

(cos

kx

a

cos

ky

a

cos

ky

a

cos

kz

a

cos

kz

a

cos

kx

a

)

ky

kz由于J

0

，所以當(dāng)kx

0時，E(k

)有最小值:Emin

E0

A

12J即為能帶底部。選取kx

,ky

,kx軸沿張量主軸方向，則有:而在能帶底部有:xy

m*

m*

m*

m*

m*

0yx

xz

zx

yz

zym*2*)2cos

cos22k

ak

ak

axzy2xmxx

22

k

a

2Ja

2

cos

Ja

2

(cos

x

cos2k

2

E

/2*)2cos

cos22k

ak

ak

azyy2ymyy22

k

a

2Ja2

cos

Ja2

(cos

x

cos2k

2

E

/2*2cos

cos

)222k

ak

ak

axzzy2zmzz22

k

a

2Ja2

cos

Ja

2

(cos

cosk

2

E

/的電子在外場作用下不產(chǎn)生電流的原因。答：導(dǎo)帶中只有部分狀態(tài)被電子填充，外場的作用會使布里淵區(qū)的狀態(tài)分布發(fā)生變化。所有的電子狀態(tài)以相同的速度沿著電場的反方向運動，但由于能帶是不滿帶，逆電場方向上運動的電子較多，因此產(chǎn)生電流。有外場E時，所有的電子狀態(tài)以相同的速度沿著電場的反方向運動。在滿帶的情形中，電子的運動不改變布里淵區(qū)中電子的分布。所以在有外場作用的情形時，滿帶中的電子不產(chǎn)生宏觀的電流。14.

簡述導(dǎo)帶中的電子在外場作用下產(chǎn)生電流的原因和滿帶中對于絕緣體：價電子剛好填滿了的能帶，形成滿帶。導(dǎo)帶和價帶之間存在一個很寬的禁帶，所以在電場的作用下沒有電

生。對于半導(dǎo)體：從能帶結(jié)構(gòu)來看與絕緣體的相似，但半導(dǎo)體禁帶寬度較絕緣體的窄，依靠熱激發(fā)即可以將滿帶中的電子激發(fā)到導(dǎo)帶中，因而具有導(dǎo)電能力。15.

根據(jù)能帶理論簡述金屬、半導(dǎo)體和絕緣體的導(dǎo)電性。

答：對于金屬：電子在能帶中的填充可以形成不滿帶，即導(dǎo)帶，因此它們一般是導(dǎo)體。16.

當(dāng)電子的波矢落在布里淵區(qū)邊界上時，其有效質(zhì)量何以與真實質(zhì)量有顯著差別?答：晶體中的電子除受外場力的作用外,還和晶格相互作用.設(shè)外場力為F,晶格對電子的作用力為Fl,電子的加速度為：lma

1

(F

F

)但Fl的具體形式是難以得知的。要使上式中不顯含F(xiàn)l,又要保持上式左右恒等，則只有：m*a

F顯然,晶格對電子的作用越弱,有效質(zhì)量m*與真實質(zhì)量m的差別就越小.相反,晶格對電子的作用越強,有效質(zhì)量m*與真實質(zhì)量m的差別就越大。當(dāng)電子的波矢落在布里淵區(qū)邊界上時,與布里淵區(qū)邊界平行的晶面族對電子的散射作用最強烈。在晶面族的反射方向上,各格點的散射波相位相同,迭加形成很強的反射波