浙教版八年級上冊 全等三角形的多種模型

全等三角形的多種模型題型一：手拉手模型“手拉手”數(shù)學模型：BB例1.如圖，AADC與厶EDC都為等腰直角三角形，連接AG、CE，相交于點H,問:AG與CE是否相等？AG與CE之間的夾角為多少度?例2.如圖，直線AB的同一側作△ABD和厶BCE都為等邊三角形，連接AE、CD，二者交點為H。求證:("△ABE9ADBC；AE=DC；ZDHA=60°；AAGB9^DFB；AEGB9ACFB；連接GF，GF〃AC；連接HB，HB平分ZAHCo典題精練典題精練1.如圖，等邊三角形AABC與等邊ADEC共頂點于C點.求證：AE=BD.AECAEC2、如圖，正方形BAFE與正方形ACGD共點于A，連接BD、CF，求證：BD=CF并求出ZDOH的G度數(shù).G3、如圖，等邊三角形ABE與等邊三角形AFC共點于A，連接BF、CE，求證：BF=CE并求出ZEOB的度數(shù).4、如圖，在△ABC外面作正方形ABEF與ACGH，AD為氐ABC的高，其反向延長線交FH于M,求證：(1)BH=CF(2)MF=MHM

M題型二：垂直+角平分線模型模型介紹：⑴如圖1：DA平分ZEAF,根據(jù)角平分線的性質，可得DE二DF；DE,DF是兩條常用的輔助線.⑵如圖2：DA平分ZEAF,易得△ADF9AADE；DE是一條常用的輔助線.⑶如圖3：DA平分ZEAF,易得△ADF9AADE；這是角分線常構的一組全等.例仁如圖，在AABC中，ZA=90°,AB=AC,BD是ZABC的平分線.求證：BC=AB+AD.例2.在△ABC中，ZBAC=90°,AD丄BC于D,BF平分ZABC交AD于E,交AC于F.求證：AE=AF.1.如圖，已知AABC中，ZACB=90°,CD丄AB于D,ZABC的角平分線BE交CD于G,交AC于E,GF〃AB交AC于F.DB求證：AF=CG.

DB2、已知：如圖，△ABC中，ZABC=45°,CD丄AB于D,BE平分ZABC,且BE丄AC于E,與CD相交于點F,H是BC邊的中點，連結DH與BE相交于點G。(1)BF=AC(2)CE=2BF⑶CE與BC的大小關系如何。題型三：半角模型例1.如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD上一點，ZEAF=45°，求證：BE+DF=EF.例2.如圖，AABC是邊長為3cm的等邊三角形，ABDC是等腰三角形，且ZBDC=120°，以D為頂點做一個60°角，使其兩邊分別交AB于點M,交AC于點N,連接MN,求AAMN的周長.

典題精練*寸打典題精練*寸打屮1、在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB=ZD=90°,E、F分別是BC、CD上的點，且ZEAF是ZBAD的一半，例題1中結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.思考：若ZB、ZD都不是直角，那么當ZB與ZD滿足什么等量關系時，仍可得出結論EF=BE+DF?DD2、如圖，△ABC是等邊三角形，ABDC是頂角ZBDC=120°的等腰三角形，點M是AB延長線上一點，點N是CA延長線上一點，且ZMDN=60°，試探究BM,MN,CN之間的數(shù)量關系，并給出證明.3、已知：正方形ABCD中,ZMAN=45。，ZMAN繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別交線段CB、DC于點M、N?求證BM+DN=MN.6、在正方形ABCD中，點E是BC上的一動點(不與點B、C重合)，點F是CD上的一動點(不與點B、C重合).如圖1,若AE=AF，求證：CE=CF.如圖2,若ZBAE=30°,ZDAF=15°，試猜想EF、BE、DF之間的數(shù)量關系，并給出證明.

7、(1)如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB=ZD=90°,E、F分別是邊BC、CD上的點，且DZEAF=1ZBAD.求證：EF=BE+FD；D2D⑵如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E、F分別是邊BC、CD上的點，且ZDEAF=2"AD⑴中的結論是否仍然成立？不用證明.⑶如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB+ZADC=180°,E、F分別是邊BC、CD延長線上的

點，且ZEAF=1ZBAD,(1)中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們2之間的數(shù)量關系，并證明．8、等腰直角三角形ABC,ZABC=90。,AB=a,O為AC中點，ZEOF=45。，試猜想，BE、BF、EF三者的關系．BFC題型四：三垂直模型E例3.如圖，在△ABC中，ZABC=ZBAC=45°,長線于點E.求證：CDE例3.如圖，在△ABC中，ZABC=ZBAC=45°,長線于點E.求證：CD二BE.例1.把等腰直角三角形ABC按如圖所示的方式立在桌子上，頂點A頂著桌面，若另外兩個頂點分別距離桌面5cm和3cm,則過另外兩個頂點向桌面作垂線,例2、已知AB丄BD,EDIBD,AB=CD,BC=DE,⑴求證：AC丄CE；⑵若將△CDE沿CB方向平移得到①②③④等不同情形，ABC]D，其余條件不變，試判斷AC丄C]E這一結論是否成立？若成立，給予證明；若不成立，請說明理由.典題精練典題精練1、已知：如圖，在△ABC中，ZC=90°，點E在AC上，且AE=BC,ED丄AB于點D,過點A作AC的垂線，交ED的垂線，交ED的延長線于點F.求證：AB=FE.2、如圖，在△ABC中，AB=AC,DE是過點A的直線，BD丄DE于點D，CE丄DE于E.若BC在DE的同側(如圖①)且AD=CE，求證：BA丄AC;若BC在DE的兩側(如圖②)其他條件不變，問AB與AC仍垂直嗎？若是請予證明，若不是請說明理由EE3、如圖所示，在直角梯形ABCD中，ZABC=90。，AD〃BC，AB=BC，E是AB的中點，CE丄BD.⑴求證：BE=AD；⑵求證：AC是線段ED的垂直平分線；E⑶△DBC是等腰三角形嗎？請說明理由.E4、(1)如圖1,已知：在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC，直線m經過點A,BD丄直線m,CE丄直線m,垂足分別為點D,E.證明：DE=BD+CE；如圖2,將第(1)題中的條件改為：在AABC中，AB=AC,D,A,E三點都在直線m上，并且有ZBDA=ZAEC=ZBAC=a，其中a為任意銳角或鈍角.請問結論DE=BD+CE是否依然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；拓展與應用：如圖3,D,E是D,A,E三點所在的直線m上的兩個動點(D,A,E三點互不重合)，點F為ZBAC平分線上的一點，且AABF和AACF均為等邊三角形，連接BD,CE，若ZBDA=ZAEC=ZBAC，試判斷ADEF的形狀.題型五：倍長中線模型例題精講1.如圖，在△ABC中，AB=5,例題精講1.如圖，在△ABC中，AB=5,AC=3，求中線AD的取值范圍.2.在厶ABC中，AD平分ZBAC