浙教版八年級(jí)上冊 全等三角形的多種模型

全等三角形的多種模型題型一：手拉手模型“手拉手”數(shù)學(xué)模型：BB例1.如圖，AADC與厶EDC都為等腰直角三角形，連接AG、CE，相交于點(diǎn)H,問:AG與CE是否相等？AG與CE之間的夾角為多少度?例2.如圖，直線AB的同一側(cè)作△ABD和厶BCE都為等邊三角形，連接AE、CD，二者交點(diǎn)為H。求證:("△ABE9ADBC；AE=DC；ZDHA=60°；AAGB9^DFB；AEGB9ACFB；連接GF，GF〃AC；連接HB，HB平分ZAHCo典題精練典題精練1.如圖，等邊三角形AABC與等邊ADEC共頂點(diǎn)于C點(diǎn).求證：AE=BD.AECAEC2、如圖，正方形BAFE與正方形ACGD共點(diǎn)于A，連接BD、CF，求證：BD=CF并求出ZDOH的G度數(shù).G3、如圖，等邊三角形ABE與等邊三角形AFC共點(diǎn)于A，連接BF、CE，求證：BF=CE并求出ZEOB的度數(shù).4、如圖，在△ABC外面作正方形ABEF與ACGH，AD為氐A(chǔ)BC的高，其反向延長線交FH于M,求證：(1)BH=CF(2)MF=MHM

M題型二：垂直+角平分線模型模型介紹：⑴如圖1：DA平分ZEAF,根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得DE二DF；DE,DF是兩條常用的輔助線.⑵如圖2：DA平分ZEAF,易得△ADF9AADE；DE是一條常用的輔助線.⑶如圖3：DA平分ZEAF,易得△ADF9AADE；這是角分線常構(gòu)的一組全等.例仁如圖，在AABC中，ZA=90°,AB=AC,BD是ZABC的平分線.求證：BC=AB+AD.例2.在△ABC中，ZBAC=90°,AD丄BC于D,BF平分ZABC交AD于E,交AC于F.求證：AE=AF.1.如圖，已知AABC中，ZACB=90°,CD丄AB于D,ZABC的角平分線BE交CD于G,交AC于E,GF〃AB交AC于F.DB求證：AF=CG.

DB2、已知：如圖，△ABC中，ZABC=45°,CD丄AB于D,BE平分ZABC,且BE丄AC于E,與CD相交于點(diǎn)F,H是BC邊的中點(diǎn)，連結(jié)DH與BE相交于點(diǎn)G。(1)BF=AC(2)CE=2BF⑶CE與BC的大小關(guān)系如何。題型三：半角模型例1.如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD上一點(diǎn)，ZEAF=45°，求證：BE+DF=EF.例2.如圖，AABC是邊長為3cm的等邊三角形，ABDC是等腰三角形，且ZBDC=120°，以D為頂點(diǎn)做一個(gè)60°角，使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M,交AC于點(diǎn)N,連接MN,求AAMN的周長.

典題精練*寸打典題精練*寸打屮1、在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB=ZD=90°,E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且ZEAF是ZBAD的一半，例題1中結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由.思考：若ZB、ZD都不是直角，那么當(dāng)ZB與ZD滿足什么等量關(guān)系時(shí)，仍可得出結(jié)論EF=BE+DF?DD2、如圖，△ABC是等邊三角形，ABDC是頂角ZBDC=120°的等腰三角形，點(diǎn)M是AB延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)N是CA延長線上一點(diǎn)，且ZMDN=60°，試探究BM,MN,CN之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明.3、已知：正方形ABCD中,ZMAN=45。，ZMAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交線段CB、DC于點(diǎn)M、N?求證BM+DN=MN.6、在正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC上的一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B、C重合)，點(diǎn)F是CD上的一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B、C重合).如圖1,若AE=AF，求證：CE=CF.如圖2,若ZBAE=30°,ZDAF=15°，試猜想EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明.

7、(1)如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB=ZD=90°,E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且DZEAF=1ZBAD.求證：EF=BE+FD；D2D⑵如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且ZDEAF=2"AD⑴中的結(jié)論是否仍然成立？不用證明.⑶如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB+ZADC=180°,E、F分別是邊BC、CD延長線上的

點(diǎn)，且ZEAF=1ZBAD,(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫出它們2之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．8、等腰直角三角形ABC,ZABC=90。,AB=a,O為AC中點(diǎn)，ZEOF=45。，試猜想，BE、BF、EF三者的關(guān)系．BFC題型四：三垂直模型E例3.如圖，在△ABC中，ZABC=ZBAC=45°,長線于點(diǎn)E.求證：CDE例3.如圖，在△ABC中，ZABC=ZBAC=45°,長線于點(diǎn)E.求證：CD二BE.例1.把等腰直角三角形ABC按如圖所示的方式立在桌子上，頂點(diǎn)A頂著桌面，若另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別距離桌面5cm和3cm,則過另外兩個(gè)頂點(diǎn)向桌面作垂線,例2、已知AB丄BD,EDIBD,AB=CD,BC=DE,⑴求證：AC丄CE；⑵若將△CDE沿CB方向平移得到①②③④等不同情形，ABC]D，其余條件不變，試判斷AC丄C]E這一結(jié)論是否成立？若成立，給予證明；若不成立，請(qǐng)說明理由.典題精練典題精練1、已知：如圖，在△ABC中，ZC=90°，點(diǎn)E在AC上，且AE=BC,ED丄AB于點(diǎn)D,過點(diǎn)A作AC的垂線，交ED的垂線，交ED的延長線于點(diǎn)F.求證：AB=FE.2、如圖，在△ABC中，AB=AC,DE是過點(diǎn)A的直線，BD丄DE于點(diǎn)D，CE丄DE于E.若BC在DE的同側(cè)(如圖①)且AD=CE，求證：BA丄AC;若BC在DE的兩側(cè)(如圖②)其他條件不變，問AB與AC仍垂直嗎？若是請(qǐng)予證明，若不是請(qǐng)說明理由EE3、如圖所示，在直角梯形ABCD中，ZABC=90。，AD〃BC，AB=BC，E是AB的中點(diǎn)，CE丄BD.⑴求證：BE=AD；⑵求證：AC是線段ED的垂直平分線；E⑶△DBC是等腰三角形嗎？請(qǐng)說明理由.E4、(1)如圖1,已知：在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A,BD丄直線m,CE丄直線m,垂足分別為點(diǎn)D,E.證明：DE=BD+CE；如圖2,將第(1)題中的條件改為：在AABC中，AB=AC,D,A,E三點(diǎn)都在直線m上，并且有ZBDA=ZAEC=ZBAC=a，其中a為任意銳角或鈍角.請(qǐng)問結(jié)論DE=BD+CE是否依然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；拓展與應(yīng)用：如圖3,D,E是D,A,E三點(diǎn)所在的直線m上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(D,A,E三點(diǎn)互不重合)，點(diǎn)F為ZBAC平分線上的一點(diǎn)，且AABF和AACF均為等邊三角形，連接BD,CE，若ZBDA=ZAEC=ZBAC，試判斷ADEF的形狀.題型五：倍長中線模型例題精講1.如圖，在△ABC中，AB=5,例題精講1.如圖，在△ABC中，AB=5,AC=3，求中線AD的取值范圍.2.在厶ABC中，AD平分ZBAC