第2標量衍射理論一

第二章光的標量衍射理論光波作為標量的條件是：衍射孔徑較光波波長大得多；在遠離孔徑外觀察衍射場。2.1

衍射理論光的衍射效應(yīng)最早是由弗朗西斯科·格里馬第（Francesco

Grimaldi）于1665年發(fā)現(xiàn)并加以描述，他也是“衍射”一詞的創(chuàng)始人。這個詞源于拉丁語詞匯diffringere，意為“成為碎片”，即波原來的

方向被“打碎”、彎散至不同的方向。格里馬第觀察到的現(xiàn)象直到1665年才被

，這時他已經(jīng)。他提出“光不僅會沿直線

、折射和反射，還能夠以第四種方式傳播，即通過衍射的形式

。”2.1

衍射理論2.1.1

衍射的概念圖1惠更斯-菲涅耳定義：光波在

過中波面產(chǎn)生破缺的現(xiàn)象，稱為衍射現(xiàn)在一般認為：光波在

的過

中，不論任何原因?qū)е虏ㄇ暗膹?fù)振幅分布（包括振幅分布和相位分布）的改變，使 光場變?yōu)檠苌涔鈭龅默F(xiàn)象都稱為衍射。光源衍射物

~

a觀察屏衍射花樣圖2衍射與衍射一般是同時存在的波動固有的特性3.引起衍射的 物分振幅型—孔縫位相型—光學(xué)厚度不均勻的玻璃板只要以某種方式使波前或位相發(fā)生變化—引入空間不均勻性,這種不均勻性的特征限度與在一定范圍4.若/a趨于零→衍射現(xiàn)象

—幾何光學(xué)是/a趨于零的極限情況2.3.0

衍射屏與衍射系統(tǒng)0

00

0

0U

(x

,

y

)t(x

,

y

)

U0

(x0

,

y0

)0

x0

,U

x,

y

照明空間衍射屏tU0

U0觀察屏

x,

y

照明空間衍射空間或U0(x0

,

y0

)

t(x0

,

y0

)U0

(x0

,

y0

)(2.1.1)(2.1.2)2.

3

衍射理論圖3把子波源視為點光源（球面波），一個子波源在Σ后P點產(chǎn)生的振動為Σ上一點的子波源為U(P0

)dSexp(

jkr)rdU

(P)

CU

(P0

)dSK

(

)0rU

(P

)K

(

)

exp(

jkr)

dSU

(P)

CΣ上所有子波源在P點產(chǎn)生的總振動為rnU

(

0dSΣP0U

(P)

P2.3.1

惠更斯-菲涅耳原理圖4波面Σ在P點的復(fù)振幅(2.3.1)是傾斜因子式中K

(

)2.3.1衍射公式根據(jù)菲涅耳的衍射理論，推出了比較完善的數(shù)學(xué)公式。他

，惠更斯—菲涅耳原理可以看作是某種積分定理的近似形式。這種積分定理將齊次波動方

在場中任一點P的解，用P點周圍任一閉合面上所有各點的解及其一次微商來表示?；舅悸罚簭暮ツ坊羝澐?/p>

出發(fā)利用格林公式導(dǎo)出亥姆霍茲—積分公式推出菲涅耳—-衍射公式。通過解決小孔衍射問題1、亥姆霍茲---

積分公式Ⅰ）設(shè)在空間某點P，時刻t

的單色光波為：V

p,

t

U在無源點，應(yīng)滿足波動方2c21

2V

t2

0V

將V式代入求導(dǎo)得：c2e

j

t

2U

p

1

U

p

j

2

e

j

t

0消去e

j

t得：22U

p

U

p

0c

2或?qū)懗桑?U

p

k

2U

p

0————亥姆霍茲方

ck

2

2

為波數(shù)(2.1.5)2、據(jù) 的衍射理論（積分定理），波動方在任一點P的解，可以用包圍這一點的任意封閉曲面上方 的解及其一階微商之值表示出來，如圖nPS為了確定任一點P的U

p

值，引入另一輔助函數(shù)Gp

，這兩個場量同時滿足波動方 即：(2

k

2

)U

p

0(2

k

2

)G

p

0根據(jù)格林公式：（體積分 面積分）VG2U

U2Gd

SG

U

U

G

dsn

n

因為左邊所以右邊3、設(shè)輔助函數(shù)G為由P點向外發(fā)散的球面波，即G

k

2U

Uk

2G

d

0VS

G

U

U

G

ds

0n

n

rG

p

1

e

jk

r這樣P點變成有源點，不符合使用格林公式的條件，必須把P點從積分區(qū)域中割開。為此做一小球面

S

將P點包圍住，這樣積分曲面變?yōu)镾

S

SnP1PSS將積分公式寫成：SS

G

U

U

G

ds

G

U

U

G

ds

0n

n

n

n

4、先求對于

S

表面的積分值，設(shè)P1為

S

上任一點，矢徑為

,

有：G

p1

r11

e

jk

jk

111

cos

n

rG

pnr代入積分式得：

很小，可看成常數(shù)SS

e

jkUU

G

1

e

jk

n

U

jk

ds

G

n

U

n

ds

e

jk

SU

jk

dsnU

1

e

jk

4

e

jk

U

4

jke

jkU

4

e

jkUn

ds

4S2為零，得：————亥姆霍茲—積分公式n令

0，而在P點U,

U

連續(xù)，則上式中一、二項ds

4UGS

UU

Gn

n

S5、代入3）式得：U

p

1

G

U

U

G

dsn

n

4

利用上式，當要求空間任一點P的波擾動時，可以用包圍這來，這樣可使問題的解變得容易。n一點的任意封閉曲面上波動的邊值U和一階導(dǎo)數(shù)

U

表示出BCAA、開孔AB、不透明部分BC、大球面C2、菲涅耳—積分公式通過小孔衍射問題積分公式

導(dǎo)出菲涅耳—I）設(shè)點光源S發(fā)出的球面單色波，照射到一個開有小孔A的光屏上，求光屏右邊某點P的光場，為了應(yīng)用亥一基積分公式圍繞P點作一閉合曲面

，由圖可知

由三部分組成：對P

點應(yīng)用亥一基積分公式1、在A上與不存在屏?xí)r的光場一樣，其實應(yīng)該有影響。n

n

dG

U

U

G

ABC

4U

p

1要求U

p，為此，n做了一些不十分嚴格的假定：U則必須先知A、B、C上的U和 ，但難于精確確定。U

nr

)r

1

0

jk

rjkr)exp(

nU

arjkr)exp(a02、在B上：U

0實際上孔的邊緣的場不會顯著地為零。3、至于表面C，可假定R

，這樣在計算光源

S在P點的擾動時，可忽略C上的光擾動對P

點的影響，即這一部分球面上的積分實際上等于零。這樣，求U

p

的積分式變?yōu)椋篣

0nU

p

n

n

G

U

dA

1

U

G4即屏幕后任一點的場完全由A上的光振動確定。II）設(shè)開孔A

由光源S照明，Q為A

上任一點，有：U

(Q)

a0

exp(

jkr)rjk

cos(n r

)

a0

exp(

jkr)U

(Q)0a

exp(

jkr

)rrn

jk

cos(n r

)r1

而（已設(shè)輔助函數(shù)G由P點向外發(fā)散的光照明）rGQ

1

e

jkrGQnrr

e

jkr

1

jk

cosn

r

re

jkr

jk

cosn

r

將上述關(guān)系代入U

p

式得：A

e

jkre

jkr

jk

cos

n

r

djk

cos

n

r

1jkra0

erjkra0

erU

p

4

rAjkrjkrrr

ja

e

er

cosn

r

d

cosn r

02——菲涅耳—衍射公式或?qū)懗桑?/p>

dsr2

rcos

,

cos

,

nnejrkrrjkr

1

AeU

P

jrejkrjU

P0

K

ds

1

與菲涅耳原理一致(2.1.6)通過上述演算得：

A

e

jkrjkra0

erjk

cos

n

r

re

jkr

jk

cos

n

r

d1jkra0

erU

p

4

rAjkrjkr

drr

ja

e

e

cos

n

r

cosn r

02——菲涅耳—衍射公式或?qū)懗桑?/p>

dsr2

rcos

,

cos

,

nnejrkrrjkr

1

AeU

P

jrejkrjU

P0

K

ds

1

與菲涅耳原理一致(2.3.7)(2.3.5)2.3.2

衍射的線性性質(zhì)令代入上式得：或?qū)懗桑?/p>

U

P

dsre

1jjkr

U

P0

K

j

K

rh

P,

P0jkr

1

eU

P

U

P0

h

P,

P0

dsU

x,

y

U

x0

,

y0

h

x,

y;

x0

,

y0

dx0dy0

(2.3.13)對于近軸有：則：K

1z

2

x

x0

y

y

2

20r

j

K

rhx,

y;

x0

,

y0jkr

1

e2020z

2

y

y

j

x

x

2020z

2exp

jk

y

y

x

x

hx

x0

,

y

y0

(2.3.16)故有：即：觀察平面上光場的復(fù)振幅分布，等于孔經(jīng)平面上透射光場的復(fù)振幅U

x0

,

y0

與脈沖響應(yīng)

hx

x0

,

y

y0

的卷積因此，衍射系統(tǒng)可以等效于一個線性空不變系統(tǒng)，故可用線性系統(tǒng)理論分析衍射現(xiàn)象這一結(jié)論是傅立葉變換與光學(xué)互相結(jié)合的紐帶之一。-----卷積U

x,

y

U

x0

,

y0

h

x

x0

,

y

y0

dx0dy0(2.3.17)2.5.1.

菲涅耳近似條件和菲涅耳區(qū)參看圖5,由 衍射疊加積分公式(2.3.17)，觀察屏上復(fù)振幅分布為圖5(2.3.17)00jrh(x

x

,

y

y

)

1

exp(

jkr)(2.3.16)U

(x,

y)

U

(x0

,

y0

)h(x

x0

,

y

y0

)dx0dy0式中2.5

菲涅耳衍射和夫瑯禾費衍射衍射區(qū)的劃分圖在衍射問題中，為了方便觀測、分析計算及應(yīng)用，可以把衍射光場分為三個區(qū)域：幾何投影區(qū)、菲涅耳衍射區(qū)和夫瑯禾費衍射區(qū)。在幾何投影區(qū)，衍射現(xiàn)象不明顯，光場的可以看作直線；從開始出現(xiàn)衍射現(xiàn)象至無限遠的區(qū)域，被劃分為菲涅耳衍射區(qū)；當觀察屏至衍射屏的距離足夠遠，以至衍射場的分布不隨距離的增加而明顯變化，只是衍射花樣的尺寸隨距離增加而增大時，稱為夫瑯禾費衍射區(qū)。圖6由圖2.3.2知

220

0z2r

x

x

y

yzz

x

x

2

y

y

2

z

1

0

0

(2.3.18)zz

x

x

2

y

y

2

近軸條件下，

0

和

0

都是小量,將(2.3.18)式作二項式展開，略去高階項得1

x

x

2

1

y

y

2

0

0

2

z2

zr

z

1

(2.3.20)這種近似稱為菲涅耳近似或傍軸近似。2z2

8z4

(x

x

)2

(

y

y

)2

[(x

x

)2

(

y

y

)2

]2r

z

1

0

0

0

0

(2.5.2)表示的條件稱為菲涅耳衍射條件。滿足這個條件時，觀察屏所在的區(qū)域稱為菲涅耳區(qū)。(2.5.2)以展開式中第三項所貢獻的位相變化

2

作估計，即223<<2oo

max8z2

k[(x-x

)

(y-y

)2

]28z3

1[(x-x

)2

(y-y

)2

]o

o

max所以疊加積分(2.1.15)式可改寫為U

(x,

y)

U0

(x0

,

y0

)h(x

x0

,

y

y0

)dx0dy0(2.1.17)(2.1.17)式表明：孔徑平面上投射光場U0(x0,y0)之間存在一個卷積積分所描述的關(guān)系。忽略傾斜因子的變化后，就可以把光波在衍射孔徑后的

過 看成是光波通過一個線性不變系統(tǒng)。系統(tǒng)在空間域的特性唯一地由其空不變脈沖響應(yīng)(2.1.16)式所確定。0

00

0exp(

jkz)

U

(x,

y,

z)

U

(x

,

y

)

exp

jkdx

dy2z(x

x

)2

(

y

y

)2

0

0jz

2.5.2.

菲涅耳衍射公式將式(2.3.21)代入式(2.3.17)，可得菲涅耳衍射計算公式(2.3.22)2.5.2.1.空間域中的表述將式(2.3.20)代入式(2.3.16)，于是脈沖響應(yīng)exp

jk

0

0

h(x

x0,

y

y0

)

exp(

jkz)jz2z(x

x

)2

(

y

y

)2

(2.3.21)2.5.2.2

菲涅耳衍射與傅里葉變換的關(guān)系2.5.2.2.1、一般情況：指數(shù)項展開得代入上式整理得：

20

00

00

01jzU

x,

y

exp

jkzU x

,

y

exp

jdx

dy2zk

2

x

x

y

y

000

02

x

y

2

x2

y

2

2xx

yy

2

20

0x

x

y

y

(2.5.14)-----菲涅耳衍射公式的傅里葉變換表達式可見：觀察平面上的復(fù)振幅分布正比于U

x,

y

y

2

2zexp

jkzexp

j

k

x21jz

220

000000

0expU

x

,

y

exp

j2x

y

jk

2z

z

xx

yy

dx

dy

2

2x

y

F2z1

jk

exp

jkzexpjz

2x0

,

y0

exp0

02z

jkUx2

y

的2

20

0x

y

2zU

x0

,

y0

exp傅里葉變換，觀察平面上光場的函數(shù)分布隨著z

增大會發(fā)生變化----即沿z

軸亮暗交替jk2.5.2.2.2

會聚球面波照明的情況為了消除菲氏衍射中用會聚球面波照明的方法如圖：的影響，可以采2020yexp

x

2zjk得孔徑平面x,y上的復(fù)振幅為：

0

1

0

1

2z

x

x

2

y

y

2

0

0

0a

exp(

jkz)

0

zU x

,

y

exp

jk(2.4.2)圖7孔徑后為：在觀察平面x,y上的復(fù)振幅為：U0

x0

,

y0

t

x0

,

y0

U0

x0

,

y0

U

x,

y

x2

2

2

0 0

00

0jk2

zx

,

y

e2z1

kj

zexp

jkz

exp

jx

yU

y2

F2za0j

z2exp

jkz

exp

j

k

x2

y2

0

00

00

0t x

,

y

expexpx2

0

02z

y2

exp

0

1

0

1

2z

x

x

2

y

y

2

jkjk

xx

yy

dx

dy

j2

z

(2.4.4)整理得：x

222

1

1

2zaj

z2U

(x,

y)

0

exp

jkz

expk2zj

x

y

y

2

exp

jk

0

0z

z

x

xy

y

t x

,

y

exp

j21

x0

1

y0

dx0dy0x

2x22z

2zj

z2a

y

2

y2

0

exp(

jkz)

exp

jkexp

jk

1 1

t

x0

,

y0

exp

j2

fx

x0

f

y

y0

dx0dy0t

x0

,

y0

(2.4.6)x2

x

22z2z

y2

y

2

c

exp(

jkz)

exp

jk

exp

jk

1 1

F即：觀察屏上的菲涅耳衍射圖樣的復(fù)振幅分布與衍射屏上的復(fù)振幅透過率的傅里葉變換成正比。式中：xfyf

z

z

x

x1

y

y1B光源物接收屏2.5.3.1

夫瑯和費衍射的近似條件和范圍當觀察屏至衍射屏的距離足夠遠，以至衍射場的分布不隨距離的增加而明顯變化，只是衍射花樣的尺寸隨距離增加而增大時，稱為夫瑯禾費衍射區(qū)。EAS圖82.5.3.2夫瑯和費衍射公式U

x,

y

U

x0

,

y0

hx

x0

,

y

y0

dx0

dy0式中：hx

x0

,

y

y0

e

jkr1j

r2120

y

y

20

x

xr

z

2

r的簡化：202z

2(xx

yy

)

x2

y0

0

0

z

1

x2

y21222r

z2

x

00

xy

yzz221

x

x

2

y

y

2

1

x

x

2

y

y

2

0

0

z

1

0

0

2

z

8

1

x

x

21

y

y

2

0

0

2

z2

z

z

1

122

2zz

y

y

x

x

z

1

0

0

x2

y2

xx

yy

0

0z2z

z

(2.5.2)

菲涅耳近似——夫瑯和費近似代入U(x,y)式得夫瑯和費衍射公式為：U

(x,

y)

exp

jkj

z2z

0

00j2

zU

x

,

y

exp

xx

yy0

dx0dy0

(2.5.20)------夫瑯和費衍射公式顯然夫瑯和費衍射是在菲涅耳衍射的基礎(chǔ)上進一步近似的結(jié)果2zj

zU

x,

y

1

exp(

jkz)

exp

當觀察平面離開孔徑平面的距離z進一步增大，使其不僅滿足菲涅耳近似條件，而且滿足0

0

max2zk

(x

2

y

2

)

1(2.5.1)即0

0

max2z

k

(x

2

y

2

)(2.5.2)這時，觀察平面所在的區(qū)域稱為夫瑯和費衍射區(qū)。一般情況下，滿足夫瑯和費衍射的距離，總是十分大的。當z→∞時，式(2.5.2)必定滿足。舉例：波長為500nm的平行光照明邊長為0.1cm的方形孔的夫瑯和費衍射距離。0

02z

10k

(x

2

y

2

)

令k(x

2

y

2

)z

0

0

max250010910

10

(m)10(x

2

y

2

)10

0.5106

0

0

0

02z(

k

(x

2

y

2

)

1

)已知:(x

2

y

2

)

(0.5103

)2＋(0.5103

)2＝0.5106

(m2

)0

0

max

500109

m代入得2.5.3.3

夫瑯和費衍射與傅里葉變換的關(guān)系U

x,

y

2zexp(

jkz)

exp

j

k

x

2

y

2

1jz將積分部分改寫為：

0

0000

0y dx

dy

xU

x

,

y

exp

y

z

zj2

x

f

y

dx

dyy

0

0

0

U

x

,

y

exp

j2

f

x0

0

x

0

F

U

x0

,

y0

0

000

0

xy

z

zx

y dx

dy

U x

,

y

exp

j20

(2.6.1)代入式得：2zj

zU

x,

y

1

exp(jkz)

exp

(2.6.4)特殊地：當用單位振幅平面波垂直照明衍射物時衍射屏平面上透射光場的復(fù)振幅為：Ux0

,

y0

1

tx0

,

y0

tx0

,

y0

2zj

zU

x,

y

1

exp(jkz)

exp

(2.6.7)表明：觀察屏上光場復(fù)振幅分布正比于衍射屏上透射

振幅分布的傅里葉變換。2.6.

簡單孔徑的夫瑯和費衍射2.6.1

矩形孔的衍射矩形孔的復(fù)振幅透過率為：

y0

x0

0

0tx

,

y

rect

rect

a

b

0

00

0F

t

x

,

y

0

0x

yrectrectedx

dy

j

2

f

x

f

y

x

y

a

b

x

0

j

2bf

y

/b

j

2

a

f

x

/a

x

x

y

y

y

0

d

0

a

a

b

b

a

rect

0

ed

0

b

rect

0

e1

12

2

ab

1

e

j

2

a

fx

xdx

1

e

j

2

bfy

ydy

12

121212e

j

2

bfy

ye

j

2

afx

x2121a

j2

a

fxb

j2

b

f

yx2

j

sin

a

f

x

j2

a

fa

j2

a

fy2

j

sin

b

f

yb

a

sin

a

fx

by

a

sin

c

afx

bsin

c

bfy

根據(jù)夫瑯和費衍射公式得：U

x,

y

0

0U

(x

,

y

)2z1j

z

exp(

jkz)

exp

j

k

x2

y2

F

21j

z2zexp(

jkz)

exp

j

k

x2

yxy

ab

sin

c

a

f

sin

c

b

f

z

z

jz2z

ab

exp(

jkz)

exp

j

k

x

2

y

2

sin

c

ax

sin

c

by

(2.6.1)得衍射平面的光強度為光強在方向的分布如圖：

ab

2

ax

by

I

x,

y

sin

c2

sin

c2

z

z

z

(2.6.2)（0級）最大光強為：當

x

0,

y

0時，sin

c(0)

1有：I

0,0

ab

2

z

由函數(shù)的定義知：sin

c(x)

0當

x

1

，

2時，，

3因此：當，時，亮斑的寬度為：U

,I

有零值，故得x

2

zaxa

1zy

2

zb(2.6.3)2.6.2

單縫的衍射因為：單縫的復(fù)幅透過率為：

00xt

x

rect

a

U

x

0t(x

)1j

z2zexp(

jkz)

exp

j

k

x2

F

ax

z

j

k

x

a

sin

c2zexp(

jkz)

exp1jz2得強度分布為：

a 2

ax

ax

I

x