偏微分方程分類與標(biāo)準(zhǔn)型課件

第2章二階線性偏微分方程的分類與標(biāo)準(zhǔn)型

§2.1常微分方程的解(復(fù)習(xí))

§2.2二階線性偏微分方程分類

§2.3二階線性偏微分方程簡(jiǎn)化

§2.4三類方程的簡(jiǎn)化形式1PPT課件第2章二階線性偏微分方程的分類與標(biāo)準(zhǔn)型§2.1常微分§2.1常微分方程的解(復(fù)習(xí))一.二階常系數(shù)線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式2PPT課件§2.1常微分方程的解(復(fù)習(xí))一.二階常系數(shù)線性方程的二.二階常系數(shù)線性齊次微分方程的解特征根：

(1)有兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解得齊次方程的通解為齊次方程：特征方程：3PPT課件二.二階常系數(shù)線性齊次微分方程的解特征根：(1)有兩齊次方程的通解為：特解為：(3)有一對(duì)共軛復(fù)根時(shí)齊次方程的通解為特征根為：特解為：(2)有兩個(gè)相等的實(shí)根時(shí)4PPT課件齊次方程的通解為：特解為：(3)有一對(duì)共軛復(fù)根時(shí)齊次方程的通小結(jié)：二階常系數(shù)線性齊次微分方程解特征根：齊次方程：特征方程：利用了歐拉公式5PPT課件小結(jié)：二階常系數(shù)線性齊次微分方程解特征根：齊次方程：特征方程例:求下列方程的通解解(1)特征方程為所以方程的通解為解得6PPT課件例:求下列方程的通解解(1)特征方程為所以方程的通解為解所以方程的通解為解得(2)特征方程為所以方程的通解為

(3)特征方程為解得7PPT課件所以方程的通解為解得(2)特征方程為所以方程的通解為(3解特征方程為即特征方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根所以所求方程的通解為對(duì)上式求導(dǎo),得例:求滿足初始條件

的特解.將、代入以上二式,得8PPT課件解特征方程為即特征方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根所以所求方程解此方程組，得所以所求特解為9PPT課件解此方程組，得所以所求特解為9PPT課件(2)對(duì)應(yīng)齊次方程為：

(3)通解結(jié)構(gòu):三.二階常系數(shù)非齊次線性方程(1)非齊次線性方程通式：10PPT課件(2)對(duì)應(yīng)齊次方程為：(3)通解結(jié)構(gòu):三.二階常系數(shù)非齊§2.二階線性偏微分方程分類1.一般形式及分類判別其中，都是區(qū)域上的實(shí)函數(shù)，并假定它們是連續(xù)可微的。2.二階主部為：3.判別式及分類：雙曲型拋物型橢圓型11PPT課件§2.二階線性偏微分方程分類1.一般形式及分類判別其中，都判斷下列方程的類型思考：12PPT課件判斷下列方程的類型思考：12PPT課件§3.方程簡(jiǎn)化1.線性二階偏微分方程的一般形式(2個(gè)自變量)其中，都是區(qū)域上的實(shí)函數(shù)，并假定它們是連續(xù)可微的。

n個(gè)自變量：其中是自變量

的函數(shù)13PPT課件§3.方程簡(jiǎn)化1.線性二階偏微分方程的一般形式(2個(gè)自變2.變量替換與方程轉(zhuǎn)型(1)變量代換：(2)一般式轉(zhuǎn)為：系數(shù)為：變量替換是研究偏微分方程的有效手段，適當(dāng)?shù)淖儞Q，可簡(jiǎn)化方程、易求解。14PPT課件2.變量替換與方程轉(zhuǎn)型(1)變量代換：(2)一般式轉(zhuǎn)為：注：變量替換必須為非奇異變換非奇異變換：雅克比(Jacobi)行列式在點(diǎn)(x0,y0)不等于零，即：則：在點(diǎn)(x0,y0)附近變換是可逆的。15PPT課件注：變量替換必須為非奇異變換非奇異變換：雅克比(Jacobi3.方程簡(jiǎn)化4.求特解構(gòu)造一階偏微分方程：求一個(gè)特解，則：再求另一個(gè)特解，則A22=0偏微分方程轉(zhuǎn)為常微分方程16PPT課件3.方程簡(jiǎn)化4.求特解構(gòu)造一階偏微分方程：求一個(gè)特解5.特征方程與特征曲線1.特征方程：2.解：3.特征曲線：17PPT課件5.特征方程與特征曲線1.特征方程：2.解：3.特征曲線例2.1.1

判斷偏微分方程類型并化簡(jiǎn)：解：特征方程特征方程的解：特征線：令：雙曲型方程18PPT課件例2.1.1判斷偏微分方程類型并化簡(jiǎn)：解：特征方程特征方程例2.1.3

設(shè)常數(shù)A,B,C滿足m1、m2是如下方程的兩個(gè)根的通解為：證明二階線性偏微分方程證明：設(shè)則：19PPT課件例2.1.3設(shè)常數(shù)A,B,C滿足m1、m2是如下方程的兩個(gè)§4三類方程的簡(jiǎn)化形式當(dāng)時(shí)，給出一族實(shí)的特征曲線取則方程變?yōu)槿粼僮鲃t上述方程變?yōu)椋?/p>

1.雙曲方程型方程：20PPT課件§4三類方程的簡(jiǎn)化形式當(dāng)時(shí)，給出一族實(shí)的特征曲線取當(dāng)

時(shí)，只有一個(gè)解它只能給出一個(gè)實(shí)的特征線，

。取與函數(shù)無(wú)關(guān)的作為另一個(gè)新的變量則有：2.拋物型方程：21PPT課件當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)解它只能給出一個(gè)實(shí)的特征線，。取與函數(shù)當(dāng)

時(shí)，給出一族復(fù)特征線在該變換下：且方程化為：令則有：3.橢圓型方程：22PPT課件當(dāng)時(shí)，給出一族復(fù)特征線在該變換下：且方程化為：令則有：小結(jié)：三種方程的標(biāo)準(zhǔn)型式：23PPT課件小結(jié)：三種方程的標(biāo)準(zhǔn)型式：23PPT課件例題1：分類并標(biāo)準(zhǔn)化方程：解：該方程的故該方程是拋物型的。特征方程：從而得到方程的一族特征線為：自變量代換(由于ξ和η必須函數(shù)無(wú)關(guān),所以η宜取最簡(jiǎn)單的函數(shù)形式,即η=x

或η=y)原方程化簡(jiǎn)后的標(biāo)準(zhǔn)形式為：特征的解：24PPT課件例題1：分類并標(biāo)準(zhǔn)化方程：解：該方程的故該方程是拋物型的。特例2.判斷偏微分方程類型并化簡(jiǎn)：

解：∵

故

故該方程為雙曲型偏微分方程，其特征方程故有

或

取新變量則或

解為25PPT課件例2.判斷偏微分方程類型并化簡(jiǎn)：解：∵故故該方程為雙例2(續(xù))，代入原方程得：即：26PPT課件例2(續(xù))，代入原方程得：即：26PPT課件例3.判斷偏微分方程的類型并化簡(jiǎn)：解：特征方程特征方程的解：特征線：令：雙曲型方程27PPT課件例3.判斷偏微分方程的類型并化簡(jiǎn)：解：特征方程特征方程的解第二章：復(fù)習(xí)思考題與作業(yè)一．寫出二階常系數(shù)線性齊次微分方程的特征方程與特征根。二.簡(jiǎn)述二階常系數(shù)線性齊次微分方程的求解步驟。三.寫出二階線性偏微分方程的辨別式及其分類原則。四.解釋何謂自變量非奇異變換。五.簡(jiǎn)述二階線性偏微分方程簡(jiǎn)化的基本步驟。六.書習(xí)題2：1（1）（2）；2（2）（3）；7七.課堂練習(xí)：P41:2（1）28PPT課件第二章：復(fù)習(xí)思考題與作業(yè)一．寫出二階常系數(shù)線性齊次微分方程第2章二階線性偏微分方程的分類與標(biāo)準(zhǔn)型

§2.1常微分方程的解(復(fù)習(xí))

§2.2二階線性偏微分方程分類

§2.3二階線性偏微分方程簡(jiǎn)化

§2.4三類方程的簡(jiǎn)化形式29PPT課件第2章二階線性偏微分方程的分類與標(biāo)準(zhǔn)型§2.1常微分§2.1常微分方程的解(復(fù)習(xí))一.二階常系數(shù)線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式30PPT課件§2.1常微分方程的解(復(fù)習(xí))一.二階常系數(shù)線性方程的二.二階常系數(shù)線性齊次微分方程的解特征根：

(1)有兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解得齊次方程的通解為齊次方程：特征方程：31PPT課件二.二階常系數(shù)線性齊次微分方程的解特征根：(1)有兩齊次方程的通解為：特解為：(3)有一對(duì)共軛復(fù)根時(shí)齊次方程的通解為特征根為：特解為：(2)有兩個(gè)相等的實(shí)根時(shí)32PPT課件齊次方程的通解為：特解為：(3)有一對(duì)共軛復(fù)根時(shí)齊次方程的通小結(jié)：二階常系數(shù)線性齊次微分方程解特征根：齊次方程：特征方程：利用了歐拉公式33PPT課件小結(jié)：二階常系數(shù)線性齊次微分方程解特征根：齊次方程：特征方程例:求下列方程的通解解(1)特征方程為所以方程的通解為解得34PPT課件例:求下列方程的通解解(1)特征方程為所以方程的通解為解所以方程的通解為解得(2)特征方程為所以方程的通解為

(3)特征方程為解得35PPT課件所以方程的通解為解得(2)特征方程為所以方程的通解為(3解特征方程為即特征方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根所以所求方程的通解為對(duì)上式求導(dǎo),得例:求滿足初始條件

的特解.將、代入以上二式,得36PPT課件解特征方程為即特征方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根所以所求方程解此方程組，得所以所求特解為37PPT課件解此方程組，得所以所求特解為9PPT課件(2)對(duì)應(yīng)齊次方程為：

(3)通解結(jié)構(gòu):三.二階常系數(shù)非齊次線性方程(1)非齊次線性方程通式：38PPT課件(2)對(duì)應(yīng)齊次方程為：(3)通解結(jié)構(gòu):三.二階常系數(shù)非齊§2.二階線性偏微分方程分類1.一般形式及分類判別其中，都是區(qū)域上的實(shí)函數(shù)，并假定它們是連續(xù)可微的。2.二階主部為：3.判別式及分類：雙曲型拋物型橢圓型39PPT課件§2.二階線性偏微分方程分類1.一般形式及分類判別其中，都判斷下列方程的類型思考：40PPT課件判斷下列方程的類型思考：12PPT課件§3.方程簡(jiǎn)化1.線性二階偏微分方程的一般形式(2個(gè)自變量)其中，都是區(qū)域上的實(shí)函數(shù)，并假定它們是連續(xù)可微的。

n個(gè)自變量：其中是自變量

的函數(shù)41PPT課件§3.方程簡(jiǎn)化1.線性二階偏微分方程的一般形式(2個(gè)自變2.變量替換與方程轉(zhuǎn)型(1)變量代換：(2)一般式轉(zhuǎn)為：系數(shù)為：變量替換是研究偏微分方程的有效手段，適當(dāng)?shù)淖儞Q，可簡(jiǎn)化方程、易求解。42PPT課件2.變量替換與方程轉(zhuǎn)型(1)變量代換：(2)一般式轉(zhuǎn)為：注：變量替換必須為非奇異變換非奇異變換：雅克比(Jacobi)行列式在點(diǎn)(x0,y0)不等于零，即：則：在點(diǎn)(x0,y0)附近變換是可逆的。43PPT課件注：變量替換必須為非奇異變換非奇異變換：雅克比(Jacobi3.方程簡(jiǎn)化4.求特解構(gòu)造一階偏微分方程：求一個(gè)特解，則：再求另一個(gè)特解，則A22=0偏微分方程轉(zhuǎn)為常微分方程44PPT課件3.方程簡(jiǎn)化4.求特解構(gòu)造一階偏微分方程：求一個(gè)特解5.特征方程與特征曲線1.特征方程：2.解：3.特征曲線：45PPT課件5.特征方程與特征曲線1.特征方程：2.解：3.特征曲線例2.1.1

判斷偏微分方程類型并化簡(jiǎn)：解：特征方程特征方程的解：特征線：令：雙曲型方程46PPT課件例2.1.1判斷偏微分方程類型并化簡(jiǎn)：解：特征方程特征方程例2.1.3

設(shè)常數(shù)A,B,C滿足m1、m2是如下方程的兩個(gè)根的通解為：證明二階線性偏微分方程證明：設(shè)則：47PPT課件例2.1.3設(shè)常數(shù)A,B,C滿足m1、m2是如下方程的兩個(gè)§4三類方程的簡(jiǎn)化形式當(dāng)時(shí)，給出一族實(shí)的特征曲線取則方程變?yōu)槿粼僮鲃t上述方程變?yōu)椋?/p>

1.雙曲方程型方程：48PPT課件§4三類方程的簡(jiǎn)化形式當(dāng)時(shí)，給出一族實(shí)的特征曲線取當(dāng)

時(shí)，只有一個(gè)解它只能給出一個(gè)實(shí)的特征線，

。取與函數(shù)無(wú)關(guān)的作為另一個(gè)新的變量則有：2.拋物型方程：49PPT課件當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)解它只能給出一個(gè)實(shí)的特征線，。取與函數(shù)當(dāng)

時(shí)，給出一族復(fù)特征線在該變換下：且方程化為：令則有：3.橢圓型方程：50PPT課件當(dāng)時(shí)，給出一族復(fù)特征線在該變換下：且方程化為：令則有：小結(jié)：三種方程的標(biāo)準(zhǔn)型式：51PPT課件小結(jié)：三種方程的標(biāo)準(zhǔn)型式：23PPT課件例題1：分類并標(biāo)準(zhǔn)化方程：解：該方程的故該方程是拋物型的。特征方程：從而得到方程的一族特征線為：自變量代換(由于ξ和η必須函數(shù)無(wú)關(guān),所以η宜取最簡(jiǎn)單的函數(shù)