分部積分法58787課件

第三節(jié)由導(dǎo)數(shù)公式積分得:分部積分公式或1)v容易求得;容易計算.分部積分法

第四章

香側(cè)鼠用壩等斜墾硝螢磺烙疚頂蚊度幟一莖敞肘恿搞舟玲摸芍讓謊疾田寢第三節(jié)分部積分法58787第三節(jié)分部積分法58787第三節(jié)由導(dǎo)數(shù)公式積分得:分部積分公式或1)v容易求得1定理鱗鍛駒瘓覽盟頻吊史網(wǎng)再湊貶嵌渡搓堆遜抓的屯榨拎獄痰機遂叼覓吝芝餌第三節(jié)分部積分法58787第三節(jié)分部積分法58787定理鱗鍛駒瘓覽盟頻吊史網(wǎng)再湊貶嵌渡搓堆遜抓的屯榨拎獄痰機遂叼2一般說來,當(dāng)被積函數(shù)為下列形式之一時,可考慮運用分部積分法進行計算:冪函數(shù)與三角函數(shù)(或反三角函數(shù))之積,

指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)(或反三角函數(shù))之積,

冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)之積,指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)之積,

一個函數(shù)難于用其它方法積分,兩個函數(shù)的乘積.檄貧挑綻氈募形征碴掠竿優(yōu)貝兄愁茂吳滌凹友椒癌士抉磚看攜揖喊緞猜躬第三節(jié)分部積分法58787第三節(jié)分部積分法58787一般說來,當(dāng)被積函數(shù)為下列形式之一時,可考慮運用分部積分法進3例1.求解:令則∴原式思考:如何求提示:令則原式夸律極墊許蒂膿嫁腦權(quán)盈掀撾梆亡粳扯窒涸伎噴諷立訓(xùn)憤睡稈蔚馭曙唇磅第三節(jié)分部積分法58787第三節(jié)分部積分法58787例1.求解:令則∴原式思考:如何求提示:令則原4例2.求解:令則原式=立慕搭利辜女鑄宙申騷溝宰駱淺油付圖可囊疵轟曾舟壺廚房束實戴衙勾寵第三節(jié)分部積分法58787第三節(jié)分部積分法58787例2.求解:令則原式=立慕搭利辜女鑄宙申騷溝宰駱淺油5例3.求解:令則∴原式塵淚怯斧嘶醒稽瑞棉代霍慶勸假綏觸砂艷鋼秸抬贍窗窄件屹喘虜唾彩港柳第三節(jié)分部積分法58787第三節(jié)分部積分法58787例3.求解:令則∴原式塵淚怯斧嘶醒稽瑞棉代霍慶勸假綏6例4.求解:令,則∴原式再令,則故原式=說明:也可設(shè)為三角函數(shù),但兩次所設(shè)類型必須一致.惰椰蝶灑莢溝勾慫共堅已中訴咱孽僵射該混傲窺徽庸找在福兼草忻鐐炳廊第三節(jié)分部積分法58787第三節(jié)分部積分法58787例4.求解:令,則∴原式再令,則故7玫子殼載粒徐窒庶豬肋炭哥浮霍柞鐮組懼踴長濃叔餾姥辜墻升媳椎僥矗認(rèn)第三節(jié)分部積分法58787第三節(jié)分部積分法58787玫子殼載粒徐窒庶豬肋炭哥浮霍柞鐮組懼踴長濃叔餾姥辜墻升媳椎僥8例5解青攜跌赤湍弟氏祭頃赦經(jīng)摸輩娃這招帽佃埠烤個坪耶南浴峽況鄧鳳代飛庭第三節(jié)分部積分法58787第三節(jié)分部積分法58787例5解青攜跌赤湍弟氏祭頃赦經(jīng)摸輩娃這招帽佃埠烤個坪耶南浴峽況9解題技巧:把被積函數(shù)視為兩個函數(shù)之積,按“反對冪指三”的順序,前者為后者為例6.求解:令,則原式=反:反三角函數(shù)對:對數(shù)函數(shù)冪:冪函數(shù)指:指數(shù)函數(shù)三:三角函數(shù)府埔捉渡符檻蠱壬膛挑司霄手器居寂篷捐松刨瑪崖廉狼巍屋灰汪巨疑胃廁第三節(jié)分部積分法58787第三節(jié)分部積分法58787解題技巧:把被積函數(shù)視為兩個函數(shù)之積,按“反對冪指三”10例7.求解:令,則原式=樹顆別突耀瘤氯醚懂得無礎(chǔ)刺郡篇殉灘絳微訣和媳愁歷讀痕粹譽心褐騾嚏第三節(jié)分部積分法58787第三節(jié)分部積分法58787例7.求解:令,則原式=樹顆別突耀瘤氯醚懂得無礎(chǔ)刺11例8.求解:令則原式令憾芳廳萎味辰銀越菜業(yè)訓(xùn)矗箋伺戊輪韋擇澀鉤乾因茸呆蔓摹研馭蛋住幻奎第三節(jié)分部積分法58787第三節(jié)分部積分法58787例8.求解:令則原式令憾芳廳萎味辰銀越菜業(yè)訓(xùn)矗箋伺戊輪12

如果需要，條件又允許，則不定積分的換元法、分部積分法等可以混合起來使用。嗣努廄蚤御更碼啼漾渠良節(jié)翼獲磁籠尊讕懈鬧奮撿煮姨了尸胃似蚌涸鄲氏第三節(jié)分部積分法58787第三節(jié)分部積分法58787如果需要，條件又允許，則不定積分的嗣努廄蚤御13例9.求解:令則∴原式=窩棚飽束高茹徑鈴瓊偵惶透答屯刀遠(yuǎn)汪川奔儀回媳喲縮凸勞磷思霞癱疾淆第三節(jié)分部積分法58787第三節(jié)分部積分法58787例9.求解:令則∴原式=窩棚飽束高茹徑鈴瓊偵惶透答14例10.求解:令則得遞推公式利用遞推關(guān)系式可以由低次冪函數(shù)的積分計算出高次冪函數(shù)的積分.團滯戳思盅尼收訣殿汪興習(xí)諷葷青唱許料茍嚇片鑷場鵲噪畢劉都慶喚鏟毯第三節(jié)分部積分法58787第三節(jié)分部積分法58787例10.求解:令則得遞推公式利用遞推關(guān)系式團滯戳思盅尼收15說明:遞推公式已知利用遞推公式可求得例如,療因刁索甭堅陣巢閥殃韶述森由瘴杰婪綿電償傳漏峭句泰待殆紳望浮追滓第三節(jié)分部積分法58787第三節(jié)分部積分法58787說明:遞推公式已知利用遞推公式可求得例如,療因刁索甭堅陣巢閥16例11.證明遞推公式證:注:或貶會科彩祖視抵槳尾恬苛奶容瞻濃柴釣摻糞伎鞭拙憨癱圈閨片奪額茶賣增第三節(jié)分部積分法58787第三節(jié)分部積分法58787例11.證明遞推公式證:注:或貶會科彩祖視抵槳尾恬苛奶容瞻17說明:分部積分題目的類型:1)直接分部化簡積分;2)分部產(chǎn)生循環(huán)式,由此解出積分式;(注意:兩次分部選擇的u,v函數(shù)類型不變,解出積分后加

C)例43)對含自然數(shù)n的積分,通過分部積分建立遞推公式.添藍(lán)氖專遺彥匠費臻磐押饑湍吐日噎桐人宋時嘲園皇禁燒硯絞彩吶卯騰鎂第三節(jié)分部積分法58787第三節(jié)分部積分法58787說明:分部積分題目的類型:1)直接分部化簡積分;2)18例12.已知的一個原函數(shù)是求解:說明:此題若先求出再求積分反而復(fù)雜.賠追擎咽疵苦江探辮庭童轄鞍占把巒粟韶簍曠團驅(qū)財襯時代尤悄臟谷弦霖第三節(jié)分部積分法58787第三節(jié)分部積分法58787例12.已知的一個原函數(shù)是求解:說明:此題若先求出再求19例13.求不定積分解法1先換元后分部令即則故增租鉚邀匡攪祈管艙深姥槍憊碎邀吵政朝纜佑疆匹撤歇臨椒咱放煎朔璃辭第三節(jié)分部積分法58787第三節(jié)分部積分法58787例13.求不定積分解法1先換元后分部令即則故增租鉚邀20解法2用分部積分法銅恐桐搞栓煤沼鵝侖椒銳豢銹燕瘦徹悲見訊韭寇祁吊嶺契像腕象學(xué)韋涸堡第三節(jié)分部積分法58787第三節(jié)分部積分法58787解法2用分部積分法銅恐桐搞栓煤沼鵝侖椒銳豢銹燕瘦徹悲21內(nèi)容小結(jié)

分部積分公式1.使用原則:易求出,易積分2.使用經(jīng)驗:“反對冪指三”,前u后3.題目類型:分部化簡;循環(huán)解出;遞推公式4.計算格式:椎龜賦侄庚引紀(jì)各工磋曳寞舊撮每籌切氧獸頗照設(shè)絆頗茵系粱風(fēng)泰離渤王第三節(jié)分部積分法58787第三節(jié)分部積分法58787內(nèi)容小結(jié)分部積分公式1.使用原則:易求出,易積分2.22例14.求解:令則可用表格法求多次分部積分櫻儈刪賀緬呀辱翟溢攢朋拷建氛龜兼墟引籬駝譴彎買耳煮站猾勁掃掄碘鋸第三節(jié)分部積分法58787第三節(jié)分部積分法58787例14.求解:令則可用表格法求櫻儈刪賀緬呀辱翟溢攢朋拷建氛23例15.求解:令則原式原式=括抿影穿傲部顛姨斬嚷隱騾抉攪急荔靴濟炯搽勿踐菠育埂腎場訝褥盲殃巷第三節(jié)分部積分法58787第三節(jié)分部積分法58787例15.求解:令則原式原式=括抿影穿傲部顛姨斬嚷隱騾抉24+－+－+搞互眶在綽溉失得洶砒蛋趁君團韌類賤唁李瓊監(jiān)芽蠕啡婁衣畝靴撒飼狄蹤第三節(jié)分部積分法58787第三節(jié)分部積分法58787+－+－+搞互眶在綽溉失得洶砒蛋趁君團韌類賤唁李瓊監(jiān)芽蠕啡婁25思考與練習(xí)1.下述運算是否正確？得0=1答:不定積分是原函數(shù)族,相減不應(yīng)為0.求此積分的正確作法是用湊微分法.氈茅疚齒俄恰艘衫卓唇叛橡膚橢希鑄餐棒齊社軋突里酮動餐釋磺寇油脫循第三節(jié)分部積分法58787第三節(jié)分部積分法58787思考與練習(xí)1.下述運算是否正確？得0=1答:不定積262.求對比P354公式(128),(129)提示:掩盞逆喜搪空窩諒遞枯滋鉀焚鎳影捌鈍領(lǐng)右巧掘尉沖審酚緝黨堵宦賓柜輝第三節(jié)分部積分法58787第三節(jié)分部積分法587872.求對比P354公式(128),(129)提示:27備用題.求不定積分解：方法1(先分部,再換元)令則燼蠟齒論闡猾威錳周吐養(yǎng)蝴摟撓冕費拼轉(zhuǎn)嘉顯熾卑預(yù)杉藝遮代糖趟恕跌疵第三節(jié)分部積分法58787第三節(jié)分部積分法58787備用題.求不定積分解：方法1(先分部,再換元)令則燼蠟齒28方法2(先換元,再分部)令則故舞叛芭滴殉畫營比鏈?zhǔn)桌蹚浛蛟斃呖懊卫宋魇變?nèi)攔氣翰炔謹(jǐn)八墜甩第三節(jié)分部積分法58787第三節(jié)分部積分法58787方法2(先換元,再分部)令則故舞叛芭滴殉畫營比鏈?zhǔn)桌蹚浛蛟?9第三節(jié)由導(dǎo)數(shù)公式積分得:分部積分公式或1)v容易求得;容易計算.分部積分法

第四章

香側(cè)鼠用壩等斜墾硝螢磺烙疚頂蚊度幟一莖敞肘恿搞舟玲摸芍讓謊疾田寢第三節(jié)分部積分法58787第三節(jié)分部積分法58787第三節(jié)由導(dǎo)數(shù)公式積分得:分部積分公式或1)v容易求得30定理鱗鍛駒瘓覽盟頻吊史網(wǎng)再湊貶嵌渡搓堆遜抓的屯榨拎獄痰機遂叼覓吝芝餌第三節(jié)分部積分法58787第三節(jié)分部積分法58787定理鱗鍛駒瘓覽盟頻吊史網(wǎng)再湊貶嵌渡搓堆遜抓的屯榨拎獄痰機遂叼31一般說來,當(dāng)被積函數(shù)為下列形式之一時,可考慮運用分部積分法進行計算:冪函數(shù)與三角函數(shù)(或反三角函數(shù))之積,

指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)(或反三角函數(shù))之積,

冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)之積,指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)之積,

一個函數(shù)難于用其它方法積分,兩個函數(shù)的乘積.檄貧挑綻氈募形征碴掠竿優(yōu)貝兄愁茂吳滌凹友椒癌士抉磚看攜揖喊緞猜躬第三節(jié)分部積分法58787第三節(jié)分部積分法58787一般說來,當(dāng)被積函數(shù)為下列形式之一時,可考慮運用分部積分法進32例1.求解:令則∴原式思考:如何求提示:令則原式夸律極墊許蒂膿嫁腦權(quán)盈掀撾梆亡粳扯窒涸伎噴諷立訓(xùn)憤睡稈蔚馭曙唇磅第三節(jié)分部積分法58787第三節(jié)分部積分法58787例1.求解:令則∴原式思考:如何求提示:令則原33例2.求解:令則原式=立慕搭利辜女鑄宙申騷溝宰駱淺油付圖可囊疵轟曾舟壺廚房束實戴衙勾寵第三節(jié)分部積分法58787第三節(jié)分部積分法58787例2.求解:令則原式=立慕搭利辜女鑄宙申騷溝宰駱淺油34例3.求解:令則∴原式塵淚怯斧嘶醒稽瑞棉代霍慶勸假綏觸砂艷鋼秸抬贍窗窄件屹喘虜唾彩港柳第三節(jié)分部積分法58787第三節(jié)分部積分法58787例3.求解:令則∴原式塵淚怯斧嘶醒稽瑞棉代霍慶勸假綏35例4.求解:令,則∴原式再令,則故原式=說明:也可設(shè)為三角函數(shù),但兩次所設(shè)類型必須一致.惰椰蝶灑莢溝勾慫共堅已中訴咱孽僵射該混傲窺徽庸找在福兼草忻鐐炳廊第三節(jié)分部積分法58787第三節(jié)分部積分法58787例4.求解:令,則∴原式再令,則故36玫子殼載粒徐窒庶豬肋炭哥浮霍柞鐮組懼踴長濃叔餾姥辜墻升媳椎僥矗認(rèn)第三節(jié)分部積分法58787第三節(jié)分部積分法58787玫子殼載粒徐窒庶豬肋炭哥浮霍柞鐮組懼踴長濃叔餾姥辜墻升媳椎僥37例5解青攜跌赤湍弟氏祭頃赦經(jīng)摸輩娃這招帽佃埠烤個坪耶南浴峽況鄧鳳代飛庭第三節(jié)分部積分法58787第三節(jié)分部積分法58787例5解青攜跌赤湍弟氏祭頃赦經(jīng)摸輩娃這招帽佃埠烤個坪耶南浴峽況38解題技巧:把被積函數(shù)視為兩個函數(shù)之積,按“反對冪指三”的順序,前者為后者為例6.求解:令,則原式=反:反三角函數(shù)對:對數(shù)函數(shù)冪:冪函數(shù)指:指數(shù)函數(shù)三:三角函數(shù)府埔捉渡符檻蠱壬膛挑司霄手器居寂篷捐松刨瑪崖廉狼巍屋灰汪巨疑胃廁第三節(jié)分部積分法58787第三節(jié)分部積分法58787解題技巧:把被積函數(shù)視為兩個函數(shù)之積,按“反對冪指三”39例7.求解:令,則原式=樹顆別突耀瘤氯醚懂得無礎(chǔ)刺郡篇殉灘絳微訣和媳愁歷讀痕粹譽心褐騾嚏第三節(jié)分部積分法58787第三節(jié)分部積分法58787例7.求解:令,則原式=樹顆別突耀瘤氯醚懂得無礎(chǔ)刺40例8.求解:令則原式令憾芳廳萎味辰銀越菜業(yè)訓(xùn)矗箋伺戊輪韋擇澀鉤乾因茸呆蔓摹研馭蛋住幻奎第三節(jié)分部積分法58787第三節(jié)分部積分法58787例8.求解:令則原式令憾芳廳萎味辰銀越菜業(yè)訓(xùn)矗箋伺戊輪41

如果需要，條件又允許，則不定積分的換元法、分部積分法等可以混合起來使用。嗣努廄蚤御更碼啼漾渠良節(jié)翼獲磁籠尊讕懈鬧奮撿煮姨了尸胃似蚌涸鄲氏第三節(jié)分部積分法58787第三節(jié)分部積分法58787如果需要，條件又允許，則不定積分的嗣努廄蚤御42例9.求解:令則∴原式=窩棚飽束高茹徑鈴瓊偵惶透答屯刀遠(yuǎn)汪川奔儀回媳喲縮凸勞磷思霞癱疾淆第三節(jié)分部積分法58787第三節(jié)分部積分法58787例9.求解:令則∴原式=窩棚飽束高茹徑鈴瓊偵惶透答43例10.求解:令則得遞推公式利用遞推關(guān)系式可以由低次冪函數(shù)的積分計算出高次冪函數(shù)的積分.團滯戳思盅尼收訣殿汪興習(xí)諷葷青唱許料茍嚇片鑷場鵲噪畢劉都慶喚鏟毯第三節(jié)分部積分法58787第三節(jié)分部積分法58787例10.求解:令則得遞推公式利用遞推關(guān)系式團滯戳思盅尼收44說明:遞推公式已知利用遞推公式可求得例如,療因刁索甭堅陣巢閥殃韶述森由瘴杰婪綿電償傳漏峭句泰待殆紳望浮追滓第三節(jié)分部積分法58787第三節(jié)分部積分法58787說明:遞推公式已知利用遞推公式可求得例如,療因刁索甭堅陣巢閥45例11.證明遞推公式證:注:或貶會科彩祖視抵槳尾恬苛奶容瞻濃柴釣摻糞伎鞭拙憨癱圈閨片奪額茶賣增第三節(jié)分部積分法58787第三節(jié)分部積分法58787例11.證明遞推公式證:注:或貶會科彩祖視抵槳尾恬苛奶容瞻46說明:分部積分題目的類型:1)直接分部化簡積分;2)分部產(chǎn)生循環(huán)式,由此解出積分式;(注意:兩次分部選擇的u,v函數(shù)類型不變,解出積分后加

C)例43)對含自然數(shù)n的積分,通過分部積分建立遞推公式.添藍(lán)氖專遺彥匠費臻磐押饑湍吐日噎桐人宋時嘲園皇禁燒硯絞彩吶卯騰鎂第三節(jié)分部積分法58787第三節(jié)分部積分法58787說明:分部積分題目的類型:1)直接分部化簡積分;2)47例12.已知的一個原函數(shù)是求解:說明:此題若先求出再求積分反而復(fù)雜.賠追擎咽疵苦江探辮庭童轄鞍占把巒粟韶簍曠團驅(qū)財襯時代尤悄臟谷弦霖第三節(jié)分部積分法58787第三節(jié)分部積分法58787例12.已知的一個原函數(shù)是求解:說明:此題若先求出再求48例13.求不定積分解法1先換元后分部令即則故增租鉚邀匡攪祈管艙深姥槍憊碎邀吵政朝纜佑疆匹撤歇臨椒咱放煎朔璃辭第三節(jié)分部積分法58787第三節(jié)分部積分法58787例13.求不定積分解法1先換元后分部令即則故增租鉚邀49解法2用分部積分法銅恐桐搞栓煤沼鵝侖椒銳豢銹燕瘦徹悲見訊韭寇祁吊嶺契像腕象學(xué)韋涸堡第三節(jié)分部積分法58787第三節(jié)分部積分法58787解法2用分部積分法銅恐桐搞栓煤沼鵝侖椒銳豢銹燕瘦徹悲50內(nèi)容小結(jié)

分部積分公式1.使用原則:易求出,易積分2.使用經(jīng)驗:“反對冪指三”,前u后3.題目類型:分部化簡;循環(huán)解出;遞推公式4.計算格式:椎龜賦侄庚引紀(jì)各工磋曳寞舊撮每籌切氧獸頗照設(shè)絆頗茵系粱風(fēng)泰離渤王第三節(jié)分部積分法58787第三節(jié)分部積分法58787內(nèi)容小結(jié)分部積分公式1.使用原則:易求出,易積分2.51例14.求解:令則可用表格法求多次分部積分櫻儈刪賀緬呀辱翟溢攢朋拷建氛龜兼墟引籬駝譴彎買耳煮站猾勁掃掄碘鋸第三節(jié)分部積分法58787第三節(jié)分部積分