容斥原理萬能解法之圖示法

容斥原之示法濟(jì)南華圖

楊東時(shí)為了使廣大考生更好的準(zhǔn)備年山東省公務(wù)員考試們?yōu)榇蠹覝?zhǔn)備了數(shù)學(xué)運(yùn)算中的一些解題技巧。數(shù)學(xué)運(yùn)算作為行測(cè)中的重要模塊，數(shù)學(xué)運(yùn)算中涉及到多種題型，但每種題型的出現(xiàn)頻率有所差異其中容斥原理相對(duì)來說出現(xiàn)的頻率還是比較高的但容斥原理中會(huì)出現(xiàn)各種不同的公式不僅增加了學(xué)習(xí)的負(fù)擔(dān)更重要的是如果不能透徹的理解公式的適用條件很可能用錯(cuò)時(shí)費(fèi)力所以容斥原理重在理解！容斥原理其實(shí)就是我們中學(xué)時(shí)所學(xué)的集合問題。主要包括兩集合問題和三集合問題容斥原理理解到位的話必須借助圖示并且我們所推導(dǎo)出來的公式也是來源于圖示所以容斥原理的理解關(guān)鍵在于圖示的理解！一、兩合問題：公式：滿足條件A+滿足條件B－兩者都滿足=總個(gè)數(shù)-兩者都不滿足兩集合的問題公式就是通過上圖得到的:A,B所覆蓋的面=集合A+集合B-兩集合重復(fù)的部分（即兩者都滿足的）=總個(gè)數(shù)-都不滿足【真題】某科研單位共有名科研人員，其中人具有碩士以上學(xué)歷，30人具有高級(jí)職稱，人兼而有之。沒有高級(jí)職稱也沒有碩士以上學(xué)歷的科研人員是多少人？（）13B.10C.8D.5【解析】首先判定這是關(guān)于學(xué)歷和職稱的兩集合問題。解法這道題給出的量完全符合兩集合的公式，所以可以直接代入公式計(jì)算即：

解出解法2圖示法，根據(jù)圖示A,B對(duì)應(yīng)的數(shù)值分別為，重復(fù)的部分為12則AB不滿足的為68-）=5二、三合問題：三集合問題較兩集合的問題復(fù)雜，所以理解更為重要！對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)公式：BCA|C|-|-B|-A|AB|個(gè)數(shù)三者都不滿足的個(gè)數(shù)公式對(duì)應(yīng)的意義為ABC所覆蓋的面積為個(gè)面積-復(fù)部分（A∩∩）這時(shí)最中間的部分多減了次，再加上即為ABC所覆蓋的面積?！菊骖}】某專業(yè)有學(xué)生人，現(xiàn)開設(shè)有甲、乙、丙三門選修課。有40選修甲課程，人選修乙課程30選修丙課程，兼選甲、乙兩門課程的28人，兼選甲、丙兩門課程的有人，兼選乙、丙兩門課程的有人，甲、乙、丙三門課程均選的有人，問三門課程均未選的有多少人？（）A.1人C.3人

B.2人D.4人【解析】這個(gè)題目為三集合問題，通過分析題目給出的條件和問題都符合公式所以可以直接代入公式：40+36+30-28-26-24+20=50－x

解得這里需要注意的是滿足條件AB和只滿足條件AB區(qū)別。公式中AB表示的是滿足條件AB，而只滿足條件AB的為下圖右邊所示的部分紅色部分

滿足條

只滿足件AB如果三集合題目中的條件不能完全滿足公式時(shí)，我們就需要借助圖示來解題根據(jù)上圖我們可以得出ABC所覆蓋面積為三個(gè)集合的面積-重復(fù)1次的部分（即紅，藍(lán)，綠三部分）-重復(fù)2（黑色部分）【真題】某鄉(xiāng)鎮(zhèn)對(duì)集貿(mào)市場(chǎng)種食品進(jìn)行檢查，發(fā)現(xiàn)超過保質(zhì)期的種，防腐添加劑不合格的9種產(chǎn)品外包裝標(biāo)識(shí)不規(guī)范的6其中兩項(xiàng)同時(shí)不合格的5，三項(xiàng)同時(shí)不合格的2種。問三項(xiàng)全部合格的食品有多少種）14C.23

B.21D.32【解析這個(gè)題目為三集合問題通過分析題目給出的條件和問題不完全符合公式所以需要借助圖示來分析題目題目給出的是兩項(xiàng)同時(shí)不合格即為只滿足2項(xiàng)的有5（為上圖中紅，藍(lán)，綠三部分）三項(xiàng)同時(shí)不合格為種（黑色部分）所以36（6+7+9－5－2×2）=23通過以上幾個(gè)