麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù)形式課件

第五章

時(shí)變電磁場(chǎng)

第五章

時(shí)變電磁場(chǎng)

1主要內(nèi)容：

本章在介紹法拉第電磁感應(yīng)定律及位移電流假說(shuō)之后，導(dǎo)出麥克斯韋方程組和它在電磁邊界上的形式，再由麥克斯韋方程組的限定形式，導(dǎo)出坡印廷定理及波動(dòng)方程；在引入動(dòng)態(tài)位的概念之后，導(dǎo)出動(dòng)態(tài)位所滿足的達(dá)朗貝爾方程，并通過(guò)其解的物理意義，引入滯后位；在介紹時(shí)諧場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示之后,介紹麥克斯韋方程組、坡印廷定理、波動(dòng)方程及達(dá)朗貝爾方程的復(fù)數(shù)形式。最后，介紹電與磁的對(duì)偶性。主要內(nèi)容：25.1法拉第電磁感應(yīng)定律一、法拉第電磁感應(yīng)定律感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)：法拉第發(fā)現(xiàn)當(dāng)穿過(guò)導(dǎo)體回路的磁通量發(fā)生變化時(shí)，回路中就會(huì)出現(xiàn)感應(yīng)電流，表明此時(shí)回路中存在電動(dòng)勢(shì)，這就是感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。

著名的法拉第電磁感應(yīng)定律：法拉第發(fā)現(xiàn)進(jìn)一步的研究發(fā)現(xiàn)，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小和方向與磁通量的變化有密切關(guān)系。

當(dāng)通過(guò)導(dǎo)體回路所圍面積的磁通量發(fā)生變化時(shí)回路中就會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，其大小等于磁通量的時(shí)間變化率的負(fù)值，方向是要阻止回路中磁通量5.1法拉第電磁感應(yīng)定律一、法拉第電磁感應(yīng)定律3

的改變，即

(5-2)式中負(fù)號(hào)即表示回路中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的作用總是要阻止回路中磁通量的變化。這里已規(guī)定：感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的正方向和磁力線的正方向之間存在右手螺旋系。設(shè)任意導(dǎo)體回路圍成的曲面為，其單位法向矢量為，如圖5.1所示。圖5-1感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的正方向和磁通的方向的改變，即4回路附近的磁感應(yīng)強(qiáng)度為，穿過(guò)回路的磁通于是（5-2）可以寫(xiě)成（5-3）二、法拉第電磁感應(yīng)定律的積分與微分形式

從一般意義上講，電流是電荷的定向運(yùn)動(dòng)形成的，而電荷的定向運(yùn)動(dòng)往往是電場(chǎng)力對(duì)其作用的結(jié)果。所以，當(dāng)磁通量發(fā)生變化時(shí)導(dǎo)體回路中產(chǎn)生感應(yīng)電流，這一定預(yù)示著空間中存在電場(chǎng)。這個(gè)電場(chǎng)不是電荷激發(fā)的，而是由于回路的磁通量發(fā)生變化而引起的，它不同于靜電場(chǎng)。當(dāng)一個(gè)單位正電荷在電場(chǎng)力的作用下繞回路c一周時(shí)，電場(chǎng)力所做的功為它等效于電源對(duì)電荷所做的功，即電源電動(dòng)勢(shì)。此時(shí)電源電動(dòng)勢(shì)就是感應(yīng)電動(dòng)勢(shì),有

回路附近的磁感應(yīng)強(qiáng)度為，穿過(guò)回路的磁通5

（5-4）

式（5-3）右邊的表示穿過(guò)面積s的磁通量隨時(shí)間的變化率，而磁通量變化的原因可以歸結(jié)為兩個(gè)：回路靜止（既無(wú)移動(dòng)又無(wú)形變），磁場(chǎng)本身變化；磁場(chǎng)不變，回路運(yùn)動(dòng)（包括位移和形變）。1.法拉第電磁感應(yīng)定律的積分形式

當(dāng)回路靜止時(shí)，磁通量的變化是因磁場(chǎng)隨時(shí)間變化而引起的，時(shí)間導(dǎo)數(shù)可以換成時(shí)間偏導(dǎo)數(shù)，并且可以移到積分內(nèi)，故有

(5-5)

62.法拉第電磁感應(yīng)定律的微分形式

利用斯托克斯公式，并考慮到回路c(或面積s)的任意性，得

(5-6)這就是，是時(shí)變場(chǎng)的一個(gè)基本方程，同時(shí)也是麥克斯韋方程組中的一個(gè)方程。對(duì)法拉第電磁感應(yīng)定律的解釋?zhuān)?/p>

?式中的電場(chǎng)強(qiáng)度是因磁場(chǎng)隨時(shí)間變化而激發(fā)的，稱(chēng)為感應(yīng)電場(chǎng)。

?

感應(yīng)電場(chǎng)是有旋場(chǎng)，其旋渦源為，即磁場(chǎng)隨時(shí)間變化的地方一定會(huì)激發(fā)起電場(chǎng)，并形成旋渦狀2.法拉第電磁感應(yīng)定律的微分形式7的電場(chǎng)分布。故又稱(chēng)為渦旋電場(chǎng)。?

式（5-6）雖然是對(duì)導(dǎo)體回路得到的，但是它對(duì)任意回路（不一定有導(dǎo)體存在）同樣成立。?當(dāng)磁場(chǎng)隨時(shí)間的變化率為零時(shí)，有,這與靜電場(chǎng)所得的形式完全相同，因此靜電場(chǎng)實(shí)際上是時(shí)變電場(chǎng)的特殊情況。如果空間中還存在靜止電荷產(chǎn)生的庫(kù)侖電場(chǎng),則總電場(chǎng)為，這時(shí)

（5-7）

（5-8）

的電場(chǎng)分布。故又稱(chēng)為渦旋電場(chǎng)。8?當(dāng)導(dǎo)體回路以速度運(yùn)動(dòng)時(shí)，利用關(guān)系式和，可以得到

（5-9）等式右邊的兩個(gè)積分分別對(duì)應(yīng)著磁場(chǎng)變化和導(dǎo)體運(yùn)動(dòng)的貢獻(xiàn)。當(dāng)磁場(chǎng)不隨時(shí)間變化時(shí)，有

（5-10）

比較等式兩邊，。得當(dāng)導(dǎo)體在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，其內(nèi)部的電荷隨之運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)體中電荷受到的洛倫茲力為。顯然，導(dǎo)體中的感應(yīng)電場(chǎng)實(shí)際上是導(dǎo)體中單位電荷所受的洛侖茲力，同時(shí)也可以說(shuō)明，感應(yīng)電場(chǎng)是由于電荷在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)而形成的。?當(dāng)導(dǎo)體回路以速度運(yùn)動(dòng)時(shí)，利用關(guān)系式95.2位移電流矛盾分析:

★靜態(tài)下:，★★非靜態(tài)下:(法拉第電磁感應(yīng)定律所揭示的一個(gè)極為重要的電磁現(xiàn)象—變化的磁場(chǎng)可以激發(fā)電場(chǎng))。★靜態(tài)下，安培環(huán)路定律，★★非靜態(tài)下，安培環(huán)路定律是否也有所變化呢？如果發(fā)生變化，又會(huì)產(chǎn)生什么物理現(xiàn)象呢？★★非靜態(tài)情況下,再由電荷守恒定律得（這一個(gè)結(jié)果是由電荷守恒定律得到的，而電荷守恒定律是大量試驗(yàn)總結(jié)出的普遍規(guī)律，顯然這5.2位移電流矛盾分析:10顯然這個(gè)結(jié)果應(yīng)該是正確的）。假定非靜態(tài)情況下方程仍然成立，對(duì)此方程邊取散度，有。利用恒等式,得（一個(gè)結(jié)果是在假定靜態(tài)場(chǎng)的安培環(huán)路定律在非靜態(tài)時(shí)仍然成立的條件得出的）。解決矛盾的方法:必須對(duì)靜態(tài)情況下所得到的安培環(huán)路定律作相應(yīng)的修正。修正的思路：1.在方程的右邊加入一個(gè)附加項(xiàng),即有,且滿足;2.加入的應(yīng)該具有合理的物理意義。顯然這個(gè)結(jié)果應(yīng)該是正確的）。11對(duì)高斯定理的兩邊求時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)，得:

。如果令,可得:

（5-11）顯然，此時(shí)。式（5-11）就是時(shí)變場(chǎng)的安培環(huán)路定律的微分形式，是麥克斯韋方程組中的一個(gè)，其中的,即為位移電流密度。這里已經(jīng)解決了前面所述的矛盾，但是附加項(xiàng)位移電流密度的物理意義如何？是否符合物理事實(shí)？下面將進(jìn)一步討論。時(shí)變場(chǎng)的安培環(huán)路定律也具有積分形式，即:對(duì)高斯定理的兩邊求時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)，12

（5-12）式中，和分別為穿過(guò)回路所圍區(qū)域的真實(shí)電流（傳導(dǎo)電流和運(yùn)流電流）和位移電流。對(duì)安培環(huán)路定律和位移電流的詮釋?zhuān)?/p>

1.在時(shí)變電場(chǎng)情況下，磁場(chǎng)仍然是有旋場(chǎng)，但其旋渦源除了傳導(dǎo)電流外，還有位移電流。

2.位移電流代表的是電場(chǎng)隨時(shí)間的變化率,當(dāng)空間中電場(chǎng)發(fā)生變化時(shí)，就會(huì)形成磁場(chǎng)的旋渦源，從而激發(fā)起旋渦狀的磁場(chǎng)，即變化的電場(chǎng)會(huì)激發(fā)磁場(chǎng)這就是位移電流的物理意義，同時(shí)也是前面分析所期望的。

13

3.位移電流是一種假想的電流。麥克斯韋用數(shù)學(xué)方法引入了位移電流，深刻地提示了電場(chǎng)和磁場(chǎng)之間的相互聯(lián)系，并且由此建立了麥克斯韋方程組，從而奠定了電磁理論的基礎(chǔ)。赫茲實(shí)驗(yàn)和近代無(wú)線電技術(shù)的廣泛應(yīng)用，完全證實(shí)了麥克斯韋方程組的正確性，同時(shí)也證實(shí)了位移電流的假想。

4.將,代入位移電流的定義式中，得

,式中第一項(xiàng)為真空中的位移電流，僅表示電場(chǎng)隨時(shí)間的變化，并不對(duì)應(yīng)于任何帶電質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，而第二項(xiàng)表示介質(zhì)分子的電極化強(qiáng)度隨時(shí)間變化引起的極化電流。3.位移電流是一種假想的電流。麥克斯韋用數(shù)學(xué)方14【例5-1】

海水的電導(dǎo)率為，相對(duì)介電常數(shù)為81，求當(dāng)頻率為1時(shí)，位移電流與傳導(dǎo)電流的比值。

解:設(shè)電場(chǎng)是正弦變化的，表示為

則位移電流密度為

其振幅值為傳導(dǎo)電流密度的振幅值為故【例5-1】海水的電導(dǎo)率為，相對(duì)介電常數(shù)為81155.3麥克斯韋方程組一、非限定形式的麥克斯韋方程組

麥克斯韋方程組是整個(gè)宏觀電磁場(chǎng)理論的核心。用

四個(gè)場(chǎng)量寫(xiě)出的方程稱(chēng)為麥克斯韋方程的非限定形式。◆積分形式包括如下的四個(gè)方程

(5-13a)

(5-13b)(5-13c)

(5-13d)

5.3麥克斯韋方程組16◆

相應(yīng)的微分形式為

(5-14a)(5-14b)(5-14c)(5-14d)

式中，,為外部強(qiáng)加的電流源，為傳導(dǎo)電流。本書(shū)中若沒(méi)有特別說(shuō)明，將無(wú)外部強(qiáng)加的電流源時(shí)的記為

。

習(xí)慣上把上述四個(gè)方程稱(chēng)為麥克斯韋第一、二、三、四方程

。

關(guān)于麥克斯韋方程組的討論：?時(shí)變電場(chǎng)的激發(fā)源除了電荷以外，還有變化的磁場(chǎng)；而時(shí)變磁場(chǎng)的激發(fā)源除了傳導(dǎo)電流以外，還◆相應(yīng)的微分形式為17有變化的電場(chǎng)。電場(chǎng)和磁場(chǎng)互為激發(fā)源，相互激發(fā)

?

電場(chǎng)和磁場(chǎng)不再相互獨(dú)立，而是相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成一個(gè)整體——電磁場(chǎng)，電場(chǎng)和磁場(chǎng)分別為電磁場(chǎng)的兩個(gè)分量。

?在離開(kāi)輻射源（如天線）的無(wú)源空間中，電荷密度和電流密度為零，電場(chǎng)和磁場(chǎng)仍然可以相互激發(fā)，從而在空間形成電磁振蕩并傳播，這就是電磁波。所以，麥克斯韋方程組實(shí)際上已經(jīng)預(yù)言了電磁波的存在，而這個(gè)預(yù)言已被事實(shí)證明。

?在無(wú)源空間中，兩個(gè)旋度方程分別為和。可以看到兩個(gè)方程的右邊相差一個(gè)負(fù)號(hào)，而正是這個(gè)負(fù)號(hào)使得電場(chǎng)和磁場(chǎng)構(gòu)成一個(gè)相互有變化的電場(chǎng)。電場(chǎng)和磁場(chǎng)互為激發(fā)源，相互激發(fā)18

約束的關(guān)系，即當(dāng)磁場(chǎng)減小時(shí)，電場(chǎng)的旋渦源為正，電場(chǎng)將增大；而當(dāng)電場(chǎng)增大時(shí)，將使磁場(chǎng)增大，磁場(chǎng)增大反過(guò)來(lái)又使電場(chǎng)減小，……。但是，如果沒(méi)有這個(gè)負(fù)號(hào)的差別，電場(chǎng)和磁場(chǎng)之間就不會(huì)形成這種不斷繼續(xù)下去的激勵(lì)關(guān)系。

?麥克斯韋方程可以以不同的形式寫(xiě)出。用四個(gè)場(chǎng)量寫(xiě)出的方程稱(chēng)為麥克斯韋方程的非限定形式。因?yàn)樗鼪](méi)有限定與之間及與

之間的關(guān)系，故適用于任何媒質(zhì)。二、限定形式的麥克斯韋方程組用和兩個(gè)場(chǎng)量寫(xiě)出的麥克斯韋方程組，是麥克斯韋方程的限定形式。

約束的關(guān)系，即當(dāng)磁場(chǎng)減小時(shí)，電場(chǎng)的旋渦源為正，電場(chǎng)將增19

對(duì)于線性和各向同性媒質(zhì)，有

(5-15)

(5-16)(5-17)

這是媒介的本構(gòu)關(guān)系。利用本構(gòu)關(guān)系，麥克斯韋方程組可用和兩個(gè)場(chǎng)量寫(xiě)出

(5-18a)(5-18b)

(5-18c)

(5-18d)

麥克斯韋方程組是宏觀電磁現(xiàn)象的總規(guī)律，靜電場(chǎng)與恒定磁場(chǎng)的基本方程是麥克斯韋方程的特例。對(duì)于線性和各向同性媒質(zhì)，有205.4時(shí)變電磁場(chǎng)的邊界條件

在時(shí)變電磁場(chǎng)中,分析兩種不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件,與靜態(tài)電磁場(chǎng)一樣,必須應(yīng)用麥克斯韋方程的積分形式。

一、的切向分量邊界條件

圖5-2表示兩種媒質(zhì)的分界面，1區(qū)媒質(zhì)的參數(shù)為

、

;

2區(qū)媒質(zhì)的參數(shù)為:

、

、;設(shè)分界面上的面電流密度的

的方向垂直于紙面向內(nèi)，則磁場(chǎng)矢量在紙上。在分界面上取一個(gè)無(wú)限靠近分界面的無(wú)窮小閉合路圖5-2的邊界條件

5.4時(shí)變電磁場(chǎng)的邊界條件21徑，即長(zhǎng)為無(wú)窮小量，寬為高階無(wú)窮小量，把積分形式的麥克斯韋方程(5-13a)應(yīng)用于此閉合路徑，得

式中，的模是有限量。當(dāng)時(shí)，，

于是得（5-23）

表示為矢量形式

（5-24）

式中，為從媒質(zhì)2指向媒質(zhì)1的分界面法線方向的單位矢量。

若分界面上不存在傳導(dǎo)面電流，即，則有：徑，即長(zhǎng)為無(wú)窮小量，寬為高階無(wú)窮小量，22

（5-25）

（5-26）結(jié)論：在兩種媒質(zhì)分界面上存在傳導(dǎo)面電流時(shí)，的切向分量是不連續(xù)的，其不連續(xù)量就等于分界面上的面電流密度。若分界面上沒(méi)有面電流，則的切向分量是連續(xù)的。二、的切向分量邊界條件把積分形式的麥克斯韋方程(5-13b)應(yīng)用于圖5-3所示的閉合路徑，得式中，的模是有限量。當(dāng)時(shí)，,于是得

（5-27）

23圖5-3的邊界條件表示為矢量形式

（5-28）說(shuō)明，在分界面上的切向分量總是連續(xù)的。三、的法向分量邊界條件與恒定磁場(chǎng)相同，時(shí)變電磁場(chǎng)中的邊界條件為

（5-29）

麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù)形式課件24

（5-30）這說(shuō)明：在分界面上的法向分量總是連續(xù)的。四、的法向分量邊界條件

與靜電場(chǎng)相同，時(shí)變電磁場(chǎng)中的邊界條件為

（5-31）表示為矢量形式（5-32）這說(shuō)明，在分界面上的法向分量是不連續(xù)的，不連續(xù)量等于分界面上的自由電荷密度。若分界面上不存在自由電荷，則

（5-33）或（5-34）

25這說(shuō)明，若分界面上沒(méi)有自由面電荷，則的法向分量是連續(xù)的。在研究電磁場(chǎng)問(wèn)題時(shí)，常用到以下兩種重要的特殊情況：（1）兩種無(wú)損耗媒介的分界面此時(shí)兩種媒質(zhì)的電導(dǎo)率為零，在分界面上一般不存在自由電荷和面電流，即，，則邊界條件為或

（5-35）或（5-36）

或（5-37）

或（5-38）

（2）理想介質(zhì)和理想導(dǎo)體的分界面

這說(shuō)明，若分界面上沒(méi)有自由面電荷，則的法向分26

理想導(dǎo)體是指其電導(dǎo)率為無(wú)窮大的導(dǎo)體，理想導(dǎo)體中電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度均為零。理想介質(zhì)是指其電導(dǎo)率為零的導(dǎo)體。設(shè)1區(qū)為理想介質(zhì)（），2區(qū)為理想導(dǎo)體（），如圖5-4所示

圖5-4

理想導(dǎo)體是指其電導(dǎo)率為無(wú)窮大的導(dǎo)體，理想導(dǎo)27則得

、、。此時(shí)的邊界條件為或

（5-39）

或（5-40）

或（5-41）或（5-42）顯然：在理想導(dǎo)體表面上，電場(chǎng)始終垂直于導(dǎo)體表面，而磁場(chǎng)平行于導(dǎo)體表面。理想導(dǎo)體實(shí)際上是不存在的，但它卻是一個(gè)非常有用的概念。因?yàn)樵趯?shí)際問(wèn)題中常遇到金屬導(dǎo)體邊界的情形。電磁波投射到金屬表面時(shí)幾乎是產(chǎn)生全反射，進(jìn)入金屬的功率僅是入射波功率的很小部分。如果忽略此微小的則得、、。此時(shí)的邊28的功率，則金屬表面可以用理想導(dǎo)體表面代替，使邊界條件變得簡(jiǎn)單（變?yōu)榱悖?，從而?jiǎn)化邊值問(wèn)題的分析。

5.5坡印廷定理和坡印廷矢量時(shí)變電磁場(chǎng)中的一個(gè)重要現(xiàn)象就是電磁能量的流動(dòng)。因?yàn)殡妶?chǎng)能量密度隨電場(chǎng)強(qiáng)度變化；磁場(chǎng)能量密度隨磁場(chǎng)強(qiáng)度變化?？臻g各點(diǎn)能量密度的改變引起能量流動(dòng)。我們定義單位時(shí)間內(nèi)穿過(guò)與能量流動(dòng)方向垂直的單位表面的能量為能流矢量，其意義是電磁場(chǎng)中某點(diǎn)的功率密度，方向?yàn)樵擖c(diǎn)能量流動(dòng)的方向。的功率，則金屬表面可以用理想導(dǎo)體表面代替，使29電磁能量—如其他能量服從能量守恒原理。下面將從麥克斯韋方程出發(fā)，導(dǎo)出表征時(shí)變場(chǎng)中電磁能量守恒關(guān)系—坡印廷定理，并著重討論電磁能流矢量—坡印廷矢量。重新寫(xiě)麥克斯韋方程(5-14a)、(5-14b)由上二式得

電磁能量—如其他能量服從能量守恒原理。下面將30設(shè)線性且各向同性的媒質(zhì)內(nèi)無(wú)外加源，媒質(zhì)的參數(shù)

、、均不隨時(shí)間變化，則上式中式中，,分別是磁場(chǎng)與電場(chǎng)的能量密度，是單位體積內(nèi)的焦耳熱損耗。于是得

（5-43）

設(shè)線性且各向同性的媒質(zhì)內(nèi)無(wú)外加源，媒質(zhì)的參數(shù)31利用矢量恒等式故式（5-43）變?yōu)?/p>

（5-44）對(duì)上式取體積分

將散度定理用于上式左邊使體積分變?yōu)槊娣e分，同時(shí)改變等式兩邊的符號(hào)，得到坡印廷定理或能流定理利用矢量恒等式32

式中，,。式（5-45）右邊第一項(xiàng)是體積內(nèi)電場(chǎng)能量和磁場(chǎng)能量每秒鐘的增加量；而第二項(xiàng)是體積內(nèi)變?yōu)榻苟鸁岬墓β?。由于閉合面之內(nèi)沒(méi)有能量來(lái)源，根據(jù)能量守恒原理，這些能量的來(lái)源只能來(lái)自閉合面之外，因而式（5-45）左邊必是自外界流入的功率的凈流量。這就是能流定理的含義。

33

根據(jù)這個(gè)物理含義，式（5-45）左邊的被積函數(shù)

應(yīng)具有單位面積上流過(guò)的功率的量綱——單位為，把它定義為能流矢量(實(shí)為功率流密度矢量)，也稱(chēng)為坡印廷矢量，并用表示（5-46）

需特別說(shuō)明的是：坡印廷矢量與面積元中的是兩個(gè)不同的物理量，應(yīng)加以區(qū)別。坡印廷矢量是時(shí)變電磁場(chǎng)中一個(gè)重要的物理量。從式（5-45）可看出，只要知道空間任一點(diǎn)的和

就知道該點(diǎn)電磁能量流的大小和方向。

【例5-5】如圖5-8所示，理想的導(dǎo)電壁限定的區(qū)域

存在一個(gè)如下的電場(chǎng)。根據(jù)這個(gè)物理含義，式（5-45）左邊的被積函數(shù)34求這個(gè)區(qū)域中坡印廷矢量的瞬時(shí)值。

圖5-8無(wú)限大導(dǎo)體平行板之間的電磁場(chǎng)

【解】由得

得麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù)形式課件35故5.6波動(dòng)方程從限定形式的麥克斯韋方程式（5-18）可導(dǎo)出波動(dòng)方程。在均勻無(wú)損耗媒介的無(wú)源區(qū)域內(nèi)，，，麥克斯韋方程變?yōu)椋?-50a）

（5-50b）

（5-50c）

（5-50d）

麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù)形式課件36

為了用解析法求解，還需把和分離到兩個(gè)方程中。為此，對(duì)等式（5-50b）兩邊取旋度

應(yīng)用矢量恒等式，并將公式（5-50a）和式（5-50d）代入，得

（5-51）此即的波動(dòng)方程。式中的為矢量拉普拉斯算符。用同樣的方法可導(dǎo)出的波動(dòng)方程（5-52）

為了用解析法求解，還需把和分離到兩個(gè)方程中37無(wú)源區(qū)域中的或可以通過(guò)求解式（5-51）或式（5-52）的波動(dòng)方程得到。在直角坐標(biāo)系中，波動(dòng)方程可以分解為三個(gè)標(biāo)量方程，每個(gè)方程中只含一個(gè)未知函數(shù)。例如，式（5-52）可以分解為或(5-53a)

或(5-53b)

或(5-53c)

無(wú)源區(qū)域中的或可以通過(guò)求解式（5-51）或式38

而其他坐標(biāo)系中分解得到的三個(gè)標(biāo)量方程都具有復(fù)雜的形式。波動(dòng)方程的解是在空間中一個(gè)沿特定方向傳播的電磁波。研究電磁波的傳播問(wèn)題都可歸結(jié)為給定邊界條件和初始條件下求波動(dòng)方程的解。當(dāng)然，除最簡(jiǎn)單的情形外，求解波動(dòng)方程往往是很復(fù)雜的。5.7動(dòng)態(tài)位與滯后位

靜態(tài)位:靜態(tài)場(chǎng)的各種位函數(shù)動(dòng)態(tài)位:時(shí)變場(chǎng)的各種標(biāo)量位、矢量位(由于電場(chǎng)和磁場(chǎng)的不可分割，動(dòng)態(tài)位是成對(duì)的)。本節(jié)引出動(dòng)態(tài)標(biāo)量位和矢量位后，導(dǎo)出關(guān)于他們而其他坐標(biāo)系中分解得到的三個(gè)標(biāo)量方程都具有39他們的非齊次波動(dòng)方程—達(dá)朗貝爾方程，由其解引入滯后位的概念。一、動(dòng)態(tài)位-借助于輔助的位函數(shù)可以減少未知函數(shù)的數(shù)目，簡(jiǎn)化求解因?yàn)榈纳⒍群銥榱?可以令

（5-54）代式（5-14b），得

（5-55）式中，方括號(hào)部分以看成一個(gè)矢量。又由于無(wú)

他們的非齊次波動(dòng)方程—達(dá)朗貝爾方程，由其解引40旋的矢量可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度代替，令（5-56）則（5-57）式中，稱(chēng)為動(dòng)態(tài)矢量位，或簡(jiǎn)稱(chēng)為矢量位，單位是韋[伯]/米()。稱(chēng)為動(dòng)態(tài)標(biāo)量位，或簡(jiǎn)稱(chēng)標(biāo)量位，單位是伏()。和就是時(shí)變電磁場(chǎng)的一個(gè)動(dòng)態(tài)位對(duì)。二、達(dá)朗貝爾方程

引入，后，電磁場(chǎng)除了能用和描述，同時(shí)也可用矢量位和標(biāo)量位描述。這兩種描述是等價(jià)的。但，，，之間并不存在唯一的對(duì)應(yīng)關(guān)系,同旋的矢量可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度代替，令41樣的，對(duì)應(yīng)著多個(gè)，。也就是說(shuō)，，是不唯一的，均具有任意性，但由于存在規(guī)范不變性，并不影響電磁場(chǎng)的唯一性。而且，利用規(guī)范函數(shù)的任意性可以靈活地規(guī)定及之間的關(guān)系，以簡(jiǎn)化輔助位及的方程。為了唯一地確定及，需要規(guī)定其散度。將式(5-54)和式(5-57)代入式(5-14d)和式(5-14a)，得（5-58）及樣的，對(duì)應(yīng)著多個(gè)，。也就是說(shuō)，，是不42利用矢量恒等式,得

即

（5-59）根據(jù)亥姆霍茲定理，要唯一地確定矢量位,除規(guī)定它的旋度外，還必須規(guī)定它的散度。故令（5-60）代入式（5-59）和式（5-58），得麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù)形式課件43

（5-61）

和（5-62）式(5-60)稱(chēng)為洛倫茲條件。采用洛倫茲條件使和

分離在兩個(gè)方程里，式(5-61)和式(5-62)稱(chēng)為達(dá)朗貝爾方程(它是關(guān)于動(dòng)態(tài)位和的非齊次波動(dòng)方程,此方程顯示的源是,而的源是,這對(duì)求解方程是有利的)。當(dāng)然，在時(shí)變場(chǎng)中和是相互聯(lián)系的。洛倫茲條件是人為地規(guī)定的散度值，如果不采取洛倫茲條件而采取另外的值，得到的，和的方程將不同于式(5-61)和式(5-62)，會(huì)得到另一組和的解。但

44最后由和求出的和是不變的。求出的和是不變的。三、達(dá)朗貝爾方程的解式(5-61)和式(5-62)兩個(gè)非齊次波動(dòng)方程，實(shí)際上是四個(gè)相似的標(biāo)量方程的集合，故只需求解一個(gè)標(biāo)量方程。在這里我們不去嚴(yán)格求解，而是采用類(lèi)比方法求方程(5-62)的解，并把重點(diǎn)放在理解所得解答的物理意義上。設(shè)標(biāo)量位是由足夠小的體積內(nèi)的電荷元產(chǎn)生的，因此在之外不存在電荷，式(5-62)變?yōu)辇R次波動(dòng)方程。最后由和求出的和是不變的。求出的和是不變45

(5-63)

可把，視為點(diǎn)電荷。利用點(diǎn)電荷周?chē)臻g的場(chǎng)具有球?qū)ΨQ(chēng)性的特點(diǎn)，得知標(biāo)量位在球坐標(biāo)系中僅于有關(guān)，即，則式（5-63）可簡(jiǎn)化為（5-64）引入一個(gè)新的函數(shù)，使,則式（5-64）變?yōu)椋?-65）式中,式（5-65）是一維波動(dòng)方程。用直接代入法可證明任何以為宗量的二次可微分函數(shù)都是（5-65）的解，即

46

（5-66）

此式表示一個(gè)以速度沿+方向行進(jìn)的波。故標(biāo)量位函數(shù)為（5-67）為了求函數(shù)的特定形式，將式（5-67）與同樣位于坐標(biāo)原點(diǎn)的靜止點(diǎn)電荷元產(chǎn)生的標(biāo)量電位（5-68）類(lèi)比，可看出，時(shí)變場(chǎng)的標(biāo)量位應(yīng)取為

（5-69）

47對(duì)位于處的點(diǎn)電荷元，應(yīng)將上式右端的換成，即（5-70）式中，。因此，由體積內(nèi)分布的電荷產(chǎn)生的標(biāo)量位為

r'rzyx(r,t)VdVr'-r0r'rzyx(r,t)VdVr'-r048式中的代表響應(yīng)函數(shù)（在此即是與電荷相距為的位函數(shù)）與源（在此即是位于的時(shí)變電荷）之間的時(shí)延。即離開(kāi)源為處，在時(shí)刻的標(biāo)量位由稍早時(shí)刻,的電荷密度所決定。也就是說(shuō)，觀察點(diǎn)的位場(chǎng)變化滯后于源的變化，滯后的時(shí)間正好是源的變動(dòng)以速度,傳播距離所需的時(shí)間。故式(5-71)表示的標(biāo)量位,稱(chēng)為標(biāo)量滯后位。對(duì)于矢量位，可將其分解為三個(gè)分量，即

式中的代表響應(yīng)函數(shù)（在此即是與電荷相距49這時(shí)的矢量運(yùn)算可化為標(biāo)量運(yùn)算，故可仿照上述過(guò)程求出矢量滯后位的表達(dá)式

(5-72)求出和之后，就可由式（5-57）和式（5-54）求出電場(chǎng)和磁場(chǎng)。事實(shí)上，由于和之間關(guān)系已由洛倫茲條件,給出，所以不必把和都解出來(lái)，通常只需求出就可求得電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度。應(yīng)該指出，考慮“滯后”并非總是必需的?！皽蟆本烤故侵匾倪€是可以忽略的，取決于時(shí)間延遲

這時(shí)的矢量運(yùn)算可化為標(biāo)量運(yùn)算，故可仿照上50的長(zhǎng)短，這就要涉及到電磁現(xiàn)象本身的特性以及所需求的時(shí)間分辨率。如果延遲時(shí)間

足夠短，則在所討論的區(qū)域內(nèi)就可忽略“滯后”。對(duì)于研究電磁輻射問(wèn)題，滯后位是十分重要的。5.8時(shí)諧電磁場(chǎng)

正弦場(chǎng)或時(shí)諧場(chǎng):如果場(chǎng)源（電荷或電流）以一定的角頻率隨時(shí)間作正弦變化，則它所激發(fā)的電磁場(chǎng)也以相同的角頻率隨時(shí)間作正弦變化，這種以一定頻率作正弦變化的場(chǎng)。例如，廣播、電視、和通信的載波，都是正弦電磁波。的長(zhǎng)短，這就要涉及到電磁現(xiàn)象本身51

一般情況下，即使電磁場(chǎng)不是正弦場(chǎng)，也可以通過(guò)傅立葉變換展成正弦場(chǎng)來(lái)研究。所以，研究正弦場(chǎng)具有普遍的意義。

正弦場(chǎng)的變量可以用復(fù)數(shù)的形式來(lái)表示。在此情況下，電磁場(chǎng)所滿足的麥克斯韋方程、波動(dòng)方程、達(dá)朗貝爾方程等，形式上都會(huì)有所變化。用復(fù)數(shù)的形式來(lái)表示正弦場(chǎng)，是處理正弦問(wèn)題的重要方法。

兩種表示法的互換：雖然采用復(fù)數(shù)形式表示的場(chǎng)量使得大多數(shù)正弦場(chǎng)問(wèn)題簡(jiǎn)單化，但是有時(shí)仍需要用實(shí)數(shù)的形式(稱(chēng)為瞬時(shí)表示法)來(lái)表示場(chǎng)量，一般情況下，即使電磁場(chǎng)不是正弦場(chǎng)，也可以通過(guò)傅52

所以經(jīng)常會(huì)遇到兩種表示法的互換。另外，對(duì)于能量密度、能流密度等含有場(chǎng)量的平方關(guān)系的物理量，只能用瞬時(shí)的形式來(lái)表示。在遇到上述正弦場(chǎng)表示法的問(wèn)題時(shí)，初學(xué)者往往容易混淆和出錯(cuò)。下面就來(lái)討論這些問(wèn)題。一、正弦場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示地電磁場(chǎng)隨時(shí)間作正弦變化時(shí)，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，電場(chǎng)強(qiáng)度的三個(gè)分量可以余弦形式表示為（5-73a）

（5-73b）

所以經(jīng)常會(huì)遇到兩種表示法的互換。另外，對(duì)于53

（5-73c）將上述單一頻率的時(shí)諧場(chǎng)表示為復(fù)數(shù)形式，需基于歐拉公式（5-74）1．復(fù)數(shù)振幅用復(fù)數(shù)的實(shí)部表示為（5-75a）

（5-75b）（5-75c）式中（5-76a）

54

（5-76b）

（5-76c）稱(chēng)為復(fù)數(shù)振幅。顯然，對(duì)簡(jiǎn)諧變化的任何標(biāo)量，例如電荷分布，也應(yīng)用有（5-76d）

2．復(fù)矢量（5-77）

式中，稱(chēng)為電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量.

55同理可得，，，，的復(fù)數(shù)表示（5-78）（5-79）

（5-80）

（5-81）注:復(fù)矢量，顧名思義，是每個(gè)“分量”都是復(fù)數(shù)的“矢量”。它不能象實(shí)矢量一樣用三維空間中的箭矢表示，也不能象每個(gè)復(fù)數(shù)振幅用復(fù)平面上的一個(gè)復(fù)數(shù)來(lái)表示，而是二者的特點(diǎn)兼而有之。因此，它只是一記號(hào)。復(fù)矢量之間應(yīng)首先按矢量的規(guī)則運(yùn)算，然后還要按照復(fù)數(shù)的規(guī)則運(yùn)算。

同理可得，，，，的復(fù)數(shù)表示563.場(chǎng)量對(duì)時(shí)間微積分的復(fù)數(shù)表示

（5-82）

（5-83）

（5-84）場(chǎng)量為標(biāo)量時(shí)的運(yùn)算同此

（5-85）4.場(chǎng)量對(duì)空間求導(dǎo)的復(fù)數(shù)表示（5-86）（5-87）式中的“”是對(duì)空間坐標(biāo)的微分運(yùn)算，而“”是取

3.場(chǎng)量對(duì)時(shí)間微積分的復(fù)數(shù)表示57實(shí)部的符號(hào)，故兩者的運(yùn)算順序可調(diào)換.二、麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù)形式現(xiàn)在把時(shí)諧場(chǎng)的上述復(fù)數(shù)表示法代入麥克斯韋方程組。以(5-14a)為例，它可寫(xiě)為

一般來(lái)說(shuō)，僅實(shí)部相等并不意味著復(fù)數(shù)相等；但上式須在任意時(shí)刻都成立，于是就只有等式兩邊的復(fù)數(shù)相等。約掉時(shí)間因子,得（5-88）為了方便，約定不寫(xiě)出時(shí)間因子,去掉下標(biāo)與宗量且不再加點(diǎn)，即得麥克斯韋方程的復(fù)數(shù)形式實(shí)部的符號(hào)，故兩者的運(yùn)算順序可調(diào)換.58

（5-89a）同理可得（5-89b）（5-89c）（5-89d）由于麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù)形式?jīng)]有時(shí)間因子，所以方程變量也就減少了一個(gè)。把麥克斯韋方程組由四維維問(wèn)題簡(jiǎn)化為三維問(wèn)題，時(shí)域問(wèn)題變?yōu)轭l率域問(wèn)題?！纠?-6】把場(chǎng)矢量(1)~(4)式由瞬時(shí)值改為復(fù)數(shù),由復(fù)數(shù)改為瞬時(shí)值。

59(1)(2)(3)(4)【解】（1）因?yàn)椋?）(1)60（3）（4）三、復(fù)電容率復(fù)磁導(dǎo)率

1．復(fù)電容率與復(fù)磁導(dǎo)率無(wú)源區(qū)的麥克斯韋旋度方程可變?yōu)椴▌?dòng)方程來(lái)求解。而由有源區(qū)的麥克斯韋方程無(wú)法導(dǎo)出波動(dòng)方程,因而需要引入復(fù)電容率來(lái)解決：（3）61

（5-90）

為了讓上式中的復(fù)數(shù)湊成一個(gè)單項(xiàng)，現(xiàn)定義復(fù)電容率使下式成立,也就是說(shuō)：電容率（5-91）相對(duì)復(fù)電容率（5-92）由上可見(jiàn)，媒質(zhì)導(dǎo)電是復(fù)電容率虛部的一個(gè)來(lái)源，而即的虛部的存在則意味著電能的損耗。對(duì)于時(shí)諧場(chǎng)，損耗功率的周期平均值為。

62電能轉(zhuǎn)換為焦耳熱的過(guò)程是不可逆轉(zhuǎn)的。

復(fù)電容率虛部的另一個(gè)來(lái)源是介質(zhì)的色散。迄今為止，我們所討論的媒質(zhì)的，和都是實(shí)數(shù)。由可見(jiàn)，為實(shí)數(shù)意味著分子的極化與外加電場(chǎng)的變化“同步”。但對(duì)于迅變場(chǎng)，高頻下的電介質(zhì)分析表明是一個(gè)復(fù)數(shù)：

（5-93）在物理上這意味著分子極化強(qiáng)度的變化滯后于外加電場(chǎng)的變化。這是由介質(zhì)內(nèi)部的微觀結(jié)構(gòu)形成的阻尼所造成的。而且，頻率越高，介質(zhì)的極化越滯后，意

電能轉(zhuǎn)換為焦耳熱的過(guò)程是不可逆轉(zhuǎn)的。63味著隨變化，這稱(chēng)為的色散，這種介質(zhì)則稱(chēng)為色散介質(zhì)。凡是一個(gè)物理系統(tǒng)對(duì)輸入物理量的不同頻率成分有不同的響應(yīng)，往往就稱(chēng)為“色散”,這是借用光學(xué)術(shù)語(yǔ)。介質(zhì)的色散通?？偸前殡S著不可逆過(guò)程即伴隨著能量的損耗。除了伴隨著傳導(dǎo)電流發(fā)生的損耗外，對(duì)于色散介質(zhì)，即使,僅有位移電流也會(huì)發(fā)生不可逆過(guò)程。在電場(chǎng)變化的一個(gè)周期中，色散所造成的焦耳損耗的平均功率密度為

味著隨變化，這稱(chēng)為的色散，這種介質(zhì)則稱(chēng)為64

()

（5-94）它稱(chēng)為介質(zhì)損耗。如果介質(zhì)極化時(shí)無(wú)阻尼，則上式,。于是，介質(zhì)將如何同純電容，在電場(chǎng)變化的一個(gè)周期中，半周吸收（儲(chǔ)存）電能，另半周期又釋放電能，能量的變化過(guò)程是可逆的,并未被損耗掉。實(shí)際情況中，阻尼總是存在的,低頻時(shí)介質(zhì)損耗可以忽略，高頻時(shí)往往不能忽略。與電介質(zhì)相似，磁介質(zhì)在高頻下也表現(xiàn)出色散特性及磁能損耗，因而磁導(dǎo)率也是復(fù)數(shù)：（5-95）

65從（5-92b）式可以看出，介質(zhì)損耗與成正比。通常采用如下定義的損耗角正切來(lái)表征介質(zhì)損耗的程度

（5-96）同樣，對(duì)磁介質(zhì)也有（5-97）良好的損耗角正切在以下。由于介質(zhì)極化的滯后角度很小，故、總是正數(shù)。（2）有耗媒質(zhì)中麥克斯韋方程的復(fù)數(shù)形式一般情況下，媒介的導(dǎo)電和色散現(xiàn)象可能同時(shí)存在。如果我們定義如下的等效復(fù)電容率

從（5-92b）式可以看出，介質(zhì)損耗與成正66

（5-98）則可使有耗媒質(zhì)或有源區(qū)中的麥克斯韋方程（5-89a）變?yōu)闊o(wú)耗媒質(zhì)或無(wú)源區(qū)的方程形式，只需將代之以，并得到無(wú)源導(dǎo)電媒質(zhì)中的麥克斯韋方程組為，并得到無(wú)源導(dǎo)電媒質(zhì)中的麥克斯韋方程組為（5-99a）

（5-99b）

（5-99c）（5-99d）式（5-99b）中的為實(shí)數(shù)。

67理想的介質(zhì)也稱(chēng)完純介質(zhì)，是指的各向同性、線性介質(zhì)，因而完純介質(zhì)中不存在任何不可逆過(guò)程，故也稱(chēng)為無(wú)耗媒質(zhì)。（當(dāng)然，這只是一種假設(shè)，實(shí)際上介質(zhì)大都有色散現(xiàn)象。等效復(fù)電容率的引入，使得包括導(dǎo)體（導(dǎo)電媒質(zhì)）、色散介質(zhì)在內(nèi)的各種有耗媒質(zhì)都被視為一種等效的完純介質(zhì)，使得這些復(fù)雜媒質(zhì)中的問(wèn)題都變成了簡(jiǎn)單媒質(zhì)的同一數(shù)學(xué)問(wèn)題。這就是有耗媒質(zhì)中的場(chǎng)必須采用復(fù)數(shù)形式才能用解析方法求解的原因。

四、波動(dòng)方程的復(fù)數(shù)形式，亥姆霍茲方程對(duì)于時(shí)諧場(chǎng)，將復(fù)數(shù)開(kāi)幕的場(chǎng)量，代入式（5-51）

理想的介質(zhì)也稱(chēng)完純介質(zhì)，是指68與式（5-52）可直接得出波動(dòng)方程的復(fù)數(shù)形式，也稱(chēng)亥姆霍茲方程（5-100）（5-101）

式中（5-102）若空間為有耗媒質(zhì)，只須用換成復(fù)數(shù)形式。五、達(dá)朗貝爾方程的復(fù)數(shù)形式

由于場(chǎng)量隨時(shí)間按正弦規(guī)律變化，動(dòng)態(tài)矢量位與標(biāo)量位也應(yīng)該如此，也可以寫(xiě)成復(fù)數(shù)形式（5-103）

與式（5-52）可直接得出波動(dòng)方程的復(fù)數(shù)形式，也稱(chēng)亥姆69

（5-104）式中，，，，，，去掉下標(biāo)與宗量并不打點(diǎn)，則（5-105）將復(fù)數(shù)形式的動(dòng)態(tài)位代入達(dá)朗貝爾方程（5-61）與（5-62），得（5-106）

（5-107）這就是達(dá)朗貝爾方程的復(fù)數(shù)形式，實(shí)際上是非奇次的亥姆霍茲方程。

70

（5-107）這就是達(dá)朗貝爾方程的復(fù)數(shù)形式，實(shí)際上是非奇次的亥姆霍茲方程。另外，式（5-60）表示的洛侖茲規(guī)范條件也可以寫(xiě)成復(fù)數(shù)形式，即（5-108）六、坡印廷定理的復(fù)數(shù)形式在正弦電磁場(chǎng)的情況下，坡印廷定理可以用復(fù)數(shù)表示。由恒等式

由麥克斯韋方程組的第二和第四式，即

71和，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼?，得將上式在體積內(nèi)積分，并利用散度定理，得這就是坡印廷定理的復(fù)數(shù)形式。通常介質(zhì)的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率是實(shí)數(shù)，但對(duì)于色散介質(zhì)或有耗介質(zhì)，介電常數(shù)和磁導(dǎo)率為復(fù)數(shù)，由式（5-94）和（5-95），利用介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系，得和，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼恚?2

（5-109）

它表明體積V中消耗的有功功率（該式中右邊的實(shí)部）是由媒質(zhì)的導(dǎo)電和色散造成的；它們分別是與傳導(dǎo)電流相伴隨的平均焦耳損耗，介電損耗和磁損耗，而顯然，這是單位體積內(nèi)儲(chǔ)存的電場(chǎng)能量和磁場(chǎng)能量的時(shí)間平均值。由此可見(jiàn)，式（5-109）右端的第麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù)形式課件73一項(xiàng)和第二項(xiàng)分別對(duì)應(yīng)體積內(nèi)的有功功率和無(wú)功功率。那么，等式左端的面積分必然是流入閉合曲面的復(fù)功率，包括有功功率和無(wú)功功率兩部分。有功功率是其實(shí)部，即功率的時(shí)間平均值。所以，穿過(guò)單位面積的復(fù)功率，即坡印廷矢量的復(fù)數(shù)形式為（5-110）七、坡印廷矢量的平均值前面得出的坡印廷矢量是瞬時(shí)值，表示瞬時(shí)功率流密度矢量。在正弦電磁場(chǎng)中，計(jì)算平均功率流密度矢量更有意義。一項(xiàng)和第二項(xiàng)分別對(duì)應(yīng)體積內(nèi)的有功功率和無(wú)74

正弦電磁場(chǎng)的一般表示為求一個(gè)周期內(nèi)坡印廷矢量的分量的平均值

它表示方向的平均功率流密度。式中

正弦電磁場(chǎng)的一般表示為75

是的共軛值

是的共軛值同樣可導(dǎo)出則得坡印廷矢量的平均值（5-111）稱(chēng)為平均坡印廷矢量，為簡(jiǎn)便計(jì)，去掉“.”，上式可表示為是76

（5-112）式（5-112）正好是式（5-110）的實(shí)部。5.9電與磁的對(duì)偶性我們?cè)谘芯侩姶艌?chǎng)的過(guò)程中會(huì)發(fā)現(xiàn)，電與磁經(jīng)常是成對(duì)出現(xiàn)的，電場(chǎng)與磁場(chǎng)的分析方法也有相當(dāng)?shù)囊恢滦?。例如，在靜電場(chǎng)中，為了簡(jiǎn)化電場(chǎng)的計(jì)算而引入標(biāo)量電位，在恒定磁場(chǎng)中，也仿照靜電場(chǎng)，可以在無(wú)源區(qū)引入標(biāo)量磁位，并將靜電場(chǎng)標(biāo)量電位的解的形式直接套出來(lái)，因?yàn)樗鼈兙鶟M足拉普拉斯方程，因此解的形式也必完全相同。這樣做的理論依據(jù)是二重