麥克斯韋方程組課件

24十一月2022電磁場與電磁波主講：李龍FieldandWaveElectromagnetics11十月2022電磁場與電磁波FieldandWavL2Maxwell通過深入的分析，研究并創(chuàng)新地提出了位移電流，最后完成電磁大綜合，而且預(yù)言了電磁波的存在，其速度為光速c，給出了光和電磁統(tǒng)一學(xué)說：Maxwell方程組。Review微分形式積分形式全電流定律

法拉第電磁感應(yīng)定律

磁通連續(xù)性原理高斯定理L2L3Review左旋右旋“平衡”電磁波也正是這種“平衡”的產(chǎn)物

L3Review左旋L4麥克斯韋小傳麥克斯韋(JamesClerkMaxwell1831～1879)英國物理學(xué)家16歲進入愛丁堡大學(xué)，后轉(zhuǎn)入劍橋大學(xué)研習(xí)數(shù)學(xué)，畢業(yè)后留校任職。1871年受聘為劍橋大學(xué)的實驗物理學(xué)教授，負責(zé)籌建該校的第一所物理學(xué)實驗室——卡文迪許實驗室，1874年建成后擔任主任。1879年11月5日在劍橋逝世，終年只有49歲。愛因斯坦在自傳中說：“在我求學(xué)的時代，最吸引人的題目就是麥克斯韋的理論”，“狹義相對論起源于麥克斯韋的電磁場方程”。1931年，在紀念麥克斯韋誕生100周年時，愛因斯坦把麥克斯韋的電磁場貢獻評價為“自牛頓時代”以來物理學(xué)所經(jīng)歷的最深刻最有成效的變化。”一位著名的現(xiàn)代物理學(xué)家曾感嘆說：“麥克斯韋的思想是太不平常了，甚至像亥姆霍茲和波耳茲曼這樣有異常才能的人，為了理解它，也花了幾年的力氣?！盠4麥克斯韋小傳麥克L5第16講麥克斯韋方程組(II)Maxwell方程組的邏輯關(guān)系本構(gòu)關(guān)系時變電磁場的邊界條件坡印亭能量定理電磁位L5第16講麥克斯L6Maxwell方程組的邏輯關(guān)系麥克斯韋方程組并非相互獨立的四個方程只有三個獨立的方程L6Maxwell方L7Maxwell方程組的邏輯關(guān)系電流連續(xù)性方程隱含在麥克斯韋方程組中。麥克斯韋方程組的兩個旋度方程以及電流連續(xù)性方程可構(gòu)成時變電磁場一組獨立的方程，該組方程中共含有七個獨立的標量方程。L7Maxwell方L8麥克斯韋方程是描述電磁普遍規(guī)律的數(shù)學(xué)描述，已被證明適用于任何情況的電流連續(xù)性方程亦可通過Maxwell方程得到；場源J和ρ之間不是互相獨立。在實際工程中，通常采用給定場源J的條件下求解電磁場。Maxwell方程組的邏輯關(guān)系L8麥克斯韋方程是描L9Maxwell方程組的邏輯關(guān)系例1已知在無源的自由空間中 其中E0、β為常數(shù)，求。[解]區(qū)域無源，即所研究區(qū)域內(nèi)沒有場源電流和電荷：J=0,ρ=0L9Maxwell方L10本構(gòu)關(guān)系麥克斯韋方程組中含有5個矢量，1個標量，即一共16個標量獨立的標量方程只有7個麥克斯韋方程無法完全確定四個電磁場矢量需要另有9個獨立的標量方程來約束電磁場本構(gòu)方程描述電磁介質(zhì)與場矢量之間的本構(gòu)(constitutive)關(guān)系本構(gòu)方程與麥克斯韋方程構(gòu)成自身一致的方程組L10本構(gòu)關(guān)系麥克斯L11本構(gòu)關(guān)系表征媒質(zhì)宏觀電磁特性的本構(gòu)關(guān)系為對于各向同性的線性媒質(zhì)L11本構(gòu)關(guān)系表征媒L12本構(gòu)關(guān)系ε：介電常數(shù)μ：磁導(dǎo)率σ：電導(dǎo)率σ=0為理想介質(zhì)；σ=∞為理想導(dǎo)體；電導(dǎo)率介于二者之間稱為電介質(zhì)；真空中：ε=ε0，μ=μ0，σ=0介質(zhì)性質(zhì)：線性(linear)介質(zhì)：介質(zhì)參數(shù)與場強大小無關(guān)各向同性(isotropic)介質(zhì)：介質(zhì)參數(shù)與場強方向無關(guān)均勻(homogeneous)介質(zhì)：介質(zhì)參數(shù)與位置無關(guān)色散(dispersive)介質(zhì)：介質(zhì)參數(shù)與場強頻率有關(guān)L12本構(gòu)關(guān)系ε：介L13洛侖茲力電荷(運動或靜止)激發(fā)電磁場，電磁場反過來對電荷有作用力。當空間同時存在電場和磁場時，以恒速v運動的點電荷q所受的力為如果電荷是連續(xù)分布的，其密度為ρ，則電荷系統(tǒng)所受的電磁場力密度為洛侖茲力公式近代物理學(xué)實驗證實了洛侖茲力公式對任意運動速度的帶電粒子都是適用的。L13洛侖茲力電荷(L14時變電磁場邊界條件麥克斯韋方程組的微分形式只適用于場矢量的各個分量處處可微的區(qū)域?qū)τ趯嶋H的區(qū)域，會有很多結(jié)構(gòu)引起電磁場場量的不連續(xù)性，需要通過邊界條件來確定分界面上的電磁場特性：不同介質(zhì)的分界面上會存在束縛面電荷、面電流分界面上也可能存在自由面電荷、面電流在這些面電荷、面電流的影響下，場矢量在分界面可能不連續(xù)邊界條件是描述場矢量越過分界面時場量變化規(guī)律的一組方程，由積分方程形式的麥克斯韋方程組得到。L14時變電磁場邊界L15時變電磁場邊界條件矢量分解(I)取界面法向單位矢為n該點處場矢為

可以是任意一個場矢(E,D,H,B)第一項在法向方向，稱為法向分量第二項垂直于法向方向，稱為切向分量任意一個矢量都可以分解成為法向分量和切向分量的合成矢量L15時變電磁場邊界L16時變電磁場邊界條件矢量分解(II)L16時變電磁場邊界L17時變電磁場邊界條件法向分量邊界條件兩種相鄰介質(zhì)分界面的任一橫截面μ1ε1σ1μ2ε2σ2nF1F2△ShL17時變電磁場邊界L18時變電磁場邊界條件電場法向邊界條件電通量如果分界面的薄層內(nèi)有自由電荷，則圓柱面內(nèi)包圍的總電荷為由高斯定理L18時變電磁場邊界L19時變電磁場邊界條件若分界面上無自由面電荷分界面上有自由面電荷，電位移矢量D法向分量Dn不連續(xù)，有一等于面電荷密度ρS的突變；分界面上無自由面電荷，則電位移矢量D法向分量Dn連續(xù)；分界面兩側(cè)的電場強度矢量的法向分量En一般不連續(xù)。L19時變電磁場邊界L20時變電磁場邊界條件磁場法向邊界條件由磁通連續(xù)性原理由本構(gòu)關(guān)系可知L20時變電磁場邊界L21時變電磁場邊界條件切向分量邊界條件n：由媒質(zhì)2指向媒質(zhì)1的界面法向單位矢量l：Δl中點處分界面的切向單位矢量b：垂直于n且與矩形回路成右手螺旋關(guān)系的單位矢量μ1ε1σ1μ2ε2σ2nblh△lL21時變電磁場邊界L22時變電磁場邊界條件電場切向邊界條件考慮麥克斯韋方程組推廣的法拉第電磁感應(yīng)定律積分回路上的積分結(jié)果面積分結(jié)果切向邊界條件L22時變電磁場邊界L23時變電磁場邊界條件磁場切向邊界條件考慮麥克斯韋全電流定律：積分回路上的積分結(jié)果位移電流積分結(jié)果L23時變電磁場邊界L24時變電磁場邊界條件若分界面的薄層內(nèi)有自由電流，則在回路所圍的面積上因此切向邊界條件面電流密度方向為分界面的切向標量形式的邊界條件：L24時變電磁場邊界L25時變電磁場邊界條件若分界面上沒有自由面電流分界面上有自由面電流時，磁場強度切向分量不連續(xù)分界面上無自由面電流時，磁場強度切向分量連續(xù)磁感應(yīng)強度的切向分量一般不連續(xù)L25時變電磁場邊界L26時變電磁場邊界條件時變電磁場的邊界條件：L26時變電磁場邊界L27時變電磁場邊界條件理想介質(zhì)的邊界條件理想介質(zhì)：σ=0無歐姆損耗的簡單介質(zhì)理想介質(zhì)表面無自由面電荷和自由面電流矢量形式的邊界條件標量形式的邊界條件L27時變電磁場邊界L28時變電磁場邊界條件理想導(dǎo)體邊界條件理想導(dǎo)體：σ→∞理想導(dǎo)體內(nèi)部場為零理想導(dǎo)體表面的邊界條件電力線垂直導(dǎo)體表面磁力線平行導(dǎo)體表面L28時變電磁場邊界L29時變電磁場邊界條件例2設(shè)z=0的平面為空氣與理想導(dǎo)體的分界面，z<0一側(cè) 為理想導(dǎo)體，分界面處的磁場強度為試求理想導(dǎo)體表面上的電流分布、電荷分布以及分 界面處的電場強度。[解]

利用理想導(dǎo)體與空氣介質(zhì)分界面上的電流連續(xù)性原理L29時變電磁場邊界L30利用理想導(dǎo)體與空氣介質(zhì)分界面上的電流連續(xù)性原理若在初始時刻面電荷為零：t=0時，ρS=0由電場邊界條件：時變電磁場邊界條件L30利用理想導(dǎo)體與L31時變電磁場邊界條件例3設(shè)區(qū)域Ⅰ(z<0)的媒質(zhì)參數(shù)εr1=1,μr1=1,σ1=0；區(qū)域 Ⅱ(z>0)的媒質(zhì)參數(shù)εr2=5,μr2=20,σ2=0。區(qū)域Ⅰ中的電場強度為區(qū)域Ⅱ中的電場強度為試求：

(1)常數(shù)A；

(2)磁場強度H1和H2；

(3)證明在z=0處H1和H2滿足邊界條件L31時變電磁場邊界L32時變電磁場邊界條件[解](1)在介質(zhì)分界面上介質(zhì)I及介質(zhì)II中的電場強度為： 顯然，電場強度均在分界面的切向方向，應(yīng)用電 場強度切向連續(xù)邊界條件可得：

(2)由麥克斯韋方程組可知

(3)在介質(zhì)面上考察磁場強度的切向方向，可知L32時變電磁場邊界L33時變電磁場的能量與靜電場和恒定磁場一樣，時變電磁場也具有能量更重要的是特有的能量流動現(xiàn)象。當隨時間變化的電磁場以恒定的速度傳播時，必將伴隨著能量的傳播，形成電磁能流。在隨時間變化的電磁場的任一給定區(qū)域中，電磁場的能量不再是恒量。在自然界中，能量是守恒的作為物質(zhì)的一種特殊形態(tài)——電磁場，遵循自然界一切物質(zhì)運動過程的普遍法則——能量守恒和轉(zhuǎn)化定律電磁能量守恒——坡印亭定理L33時變電磁場的能L34表達時變電磁場中能量守恒和轉(zhuǎn)換關(guān)系的定理1884年由英國物理學(xué)家坡印亭(John.H.Poynting)提出假設(shè)電磁場存在于一有耗的導(dǎo)電媒質(zhì)中，媒質(zhì)電導(dǎo)率為σ，電場在此媒質(zhì)中引起傳導(dǎo)電流J=σE。由焦耳定理知,體積V內(nèi)由于傳導(dǎo)電流引起的功率損耗是Vσ電磁能量減少有外部能量流入坡印亭定理(Poynting’sTheorem)L34Vσ電磁能量減L35由麥克斯韋方程組全電流定律知：坡印亭定理L35由麥克斯韋方程L36時變電磁場的能量一般介質(zhì)中的坡印亭定理：矢量恒等式各向同性線性介質(zhì)的本構(gòu)方程L36時變電磁場的能L37時變電磁場的能量各向同性線性介質(zhì)的坡印亭定理Note1：為電場能量密度（J/m3）Note2：

為磁場能量密度（J/m3）Note3：體積分第一項表示了儲存在V中電磁能量隨 時間的增加率Note4：體積分第二項表示了體積V中的熱損耗功率 （單位時間以熱能形式損耗在體積V內(nèi)的能量）L37時變電磁場的能L38時變電磁場的能量根據(jù)能量守恒定理，上式中的面積分必定代表單位時間內(nèi)穿過體積V的表面S流入體積V的電磁能量。定義：Note1：坡印廷矢量，單位是W/m2Note2：通過S面上單位面積的電磁功率Note3：坡印亭矢量也稱為電磁功率流密度或能流密度其方向代表該點功率流方向其大小代表通過與能量流動方向垂直的單位面積的功率L38時變電磁場的能L39時變電磁場的能量空間任一點處能量密度變化實際上，坡印亭矢量并不一定代表真實的電磁功率流密度

表示了流出封閉面的總能流；有電磁場存在的地方就有，但這并不表示該處一定有能量的流動；真正表示空間任一點處能量密度變化的是.L39時變電磁場的能L40時變電磁場的能量靜電場和靜磁場中的坡印亭矢量電流為零

場中任何一點，單位時間流出包圍體積V表面的總能量為零，即沒有電磁能量流動在靜電場和靜磁場情況下，并不代表電磁功率流密度。L40時變電磁場的能L41時變電磁場的能量恒定電流場坡印亭矢量

恒定電流場中，

可代表通過單位面積的電磁功率流通過S面流入V內(nèi)的電磁功率等于V內(nèi)的損耗功率L41時變電磁場的能L42時變電磁場的能量時變電磁場中的坡印亭矢量

代表瞬時功率流密度坡印亭矢量通過任意截面積的面積分代表瞬時功率Lilongma