復(fù)變函數(shù)課件

復(fù)變函數(shù)與積分變換（復(fù)變函數(shù)＋積分變換）12020/12/27復(fù)變函數(shù)與積分變換12020/12/27序言復(fù)變函數(shù)研究的對象：自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)（在高等數(shù)學(xué)中，我們研究的是自變量和因變量均為實數(shù)的函數(shù)，因而也稱之為實變函數(shù)）。22020/12/27序言復(fù)變函數(shù)研究的對象：22020/12/27復(fù)數(shù)的引入及其發(fā)展過程：在16世紀(jì)中葉，意大利人Cardan在解代數(shù)方程時，首先產(chǎn)生了負(fù)數(shù)開平方的思想。例如，解簡單的方程x2+1=0時就會－1開平方的問題。為了使負(fù)數(shù)開平方有意義，也就是要使上述方程有解，我們需要再一次擴大數(shù)系，于是就引進了虛數(shù)，使實數(shù)域擴大到復(fù)數(shù)域。32020/12/27復(fù)數(shù)的引入及其發(fā)展過程：32020/12/27

然而，一開始人們對復(fù)數(shù)的認(rèn)識僅僅在于一種形式上的表示，對復(fù)數(shù)的概念及性質(zhì)了解的不清楚，用它們進行計算時就有一些矛盾的結(jié)果產(chǎn)生。例如：在萊布尼慈和貝努里的工作中就有因為輕易引進復(fù)對數(shù)而產(chǎn)生的悖論：42020/12/27然而，一開始人們對復(fù)數(shù)的認(rèn)識僅僅在于一

這樣取X=1，得矛盾！52020/12/27這樣取X=1，得矛盾！52020/12/27因為上述一些問題，復(fù)數(shù)在歷史上的很長一段時間內(nèi)被人們視為不可接受的虛數(shù)。直到十七、十八世紀(jì)，有兩個主要原因促使了這種狀況的改變：

關(guān)于復(fù)數(shù)理論最系統(tǒng)的敘述，是由瑞士數(shù)學(xué)家Euler（歐拉）作出的。他在1777年系統(tǒng)地建立了復(fù)數(shù)理論，發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)間的關(guān)系，創(chuàng)立了復(fù)變函數(shù)論的一些基本定理，用符號“”作為虛數(shù)單位，也是他首創(chuàng)的。1微積分的發(fā)展；

2復(fù)數(shù)與平面向量聯(lián)系起來解決實際問題。62020/12/27因為上述一些問題，復(fù)數(shù)在歷史上的很長一段關(guān)于復(fù)數(shù)復(fù)變函數(shù)理論的重要意義十九世紀(jì)，復(fù)變函數(shù)的理論經(jīng)過法國數(shù)學(xué)家Cauchy、德國數(shù)學(xué)家Rieman和Weierstrass的巨大努力，已經(jīng)形成了非常系統(tǒng)的理論，并且深刻地滲入到數(shù)學(xué)學(xué)科的許多分支，例如，著名的代數(shù)學(xué)基本定理：（其中系數(shù)都是復(fù)數(shù)），在復(fù)數(shù)域內(nèi)恒有n個解。用復(fù)變函數(shù)理論來證明是非常簡潔的。一元n次方程72020/12/27復(fù)變函數(shù)理論的重要意義（其中系數(shù)都是復(fù)數(shù)），在復(fù)數(shù)域內(nèi)恒有n

現(xiàn)在，復(fù)變函數(shù)理論及方法在數(shù)學(xué)及工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用。比如，在復(fù)變函數(shù)理論最先得到成功應(yīng)用的流體力學(xué)、電磁學(xué)、平面彈性力學(xué)這三個領(lǐng)域中，復(fù)變函數(shù)方法已經(jīng)發(fā)展成為解決有關(guān)問題的幾種經(jīng)典方法之一。82020/12/27現(xiàn)在，復(fù)變函數(shù)理論及方法在數(shù)學(xué)及工程技術(shù)1.復(fù)數(shù)的概念

§1復(fù)數(shù)及其代數(shù)運算第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)其中為虛數(shù)單位，滿足若，則稱為純虛數(shù)。注：１）兩個復(fù)數(shù)相等，是指二者實部、虛部分別相等；２）兩個復(fù)數(shù)之間無法比較大小，除非都是實數(shù)。

記號：稱復(fù)數(shù)記為為復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù),92020/12/271.復(fù)數(shù)的概念§1復(fù)數(shù)及其代數(shù)運算第一2.復(fù)數(shù)的代數(shù)運算記：

則定義運算如下:

加、減：乘法：

注:除法：運算：102020/12/272.復(fù)數(shù)的代數(shù)運算記：則定義運算如下:加、減：乘容易證明，復(fù)數(shù)的運算滿足分配律、交換律、結(jié)合律。此外，共軛復(fù)數(shù)具有下列性質(zhì)：1）2）3）例1112020/12/27容易證明，復(fù)數(shù)的運算滿足分配律、交換律、結(jié)合律。1）2）3）122020/12/27122020/12/27§2復(fù)數(shù)的幾種表示方法1.復(fù)平面坐標(biāo)（x,y)復(fù)數(shù)通過下列方式：直角坐標(biāo)平面中的點將平面直角坐標(biāo)系引入到復(fù)數(shù)中來,此時x軸稱為實軸，y軸稱為虛軸，兩軸所在的平面稱為復(fù)平面。借助于復(fù)平面，可以用幾何語言和方法研究復(fù)變函數(shù)的問題，也為復(fù)變函數(shù)的實際應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。1）復(fù)數(shù)的點表示(見圖1)

復(fù)數(shù)點z以后復(fù)數(shù)和點將不加區(qū)分132020/12/27§2復(fù)數(shù)的幾種表示方法1.復(fù)平面坐標(biāo)（x,y)復(fù)數(shù)通過o.p(x,y)xyxyor圖1圖22)復(fù)數(shù)的向量表示(見圖2)p142020/12/27o.p(x,y)xyxyor圖1圖22)復(fù)數(shù)的向量表示顯然有注:1.

任意非零復(fù)數(shù)有無窮多個輻角,

2.當(dāng)z＝0時,|z|=0,輻角規(guī)定為任意值.

把滿足的幅角稱為幅角主值.記為argz，這樣，我們有：輻角的主值：152020/12/27顯然有注:1.任意非零復(fù)數(shù)有無窮多個輻角,2.當(dāng)z＝0162020/12/27162020/12/27復(fù)數(shù)的向量表示的重要意義：能夠?qū)⒋鷶?shù)問題化為幾何問題，從而使問題變的直觀。比如：復(fù)數(shù)的加、減運算化為向量的運算，而由平行四邊形、三角形法則，立即得到下面不等式：還容易看出172020/12/27復(fù)數(shù)的向量表示的重要意義：還容易看出172020/12/273)復(fù)數(shù)的三角表示根據(jù)可以得到上式稱為復(fù)數(shù)的三角表示。4)復(fù)數(shù)的指數(shù)表示利用歐拉公式：182020/12/273)復(fù)數(shù)的三角表示根據(jù)可以得到上式稱為復(fù)數(shù)的三角表示。4可以得到復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式注：復(fù)數(shù)的各種表達(dá)式可以互相轉(zhuǎn)換，在討論具體問題時應(yīng)靈活選用192020/12/27可以得到復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式注：復(fù)數(shù)的各種表達(dá)式可以互相轉(zhuǎn)換，在2.復(fù)球面．zxyS

.o．NＰ．用如圖所示的方法可建立復(fù)平面上的點ｚ與球面上的點ｐ（Ｎ除外）之間的一種一一對應(yīng)的關(guān)系，即這樣我們就可以用球面上的點來表示復(fù)數(shù)。202020/12/272.復(fù)球面．zxyS.o．NＰ．用如圖所示的方問題：球面上的北極Ｎ如何與復(fù)平面內(nèi)的點對應(yīng)？我們規(guī)定：１）復(fù)平面上有唯一的“無窮遠(yuǎn)點”與球面上北極Ｎ對應(yīng)；２）復(fù)數(shù)中有一個唯一的“無窮大”與復(fù)平面上的無窮遠(yuǎn)點相對應(yīng)，并把它記為∞。這樣，球面上的每一個點，就有唯一一個復(fù)數(shù)與它對應(yīng)，這樣的球面稱為復(fù)球面我們把包括無窮遠(yuǎn)點在內(nèi)的復(fù)平面稱為擴充復(fù)平面，不包括無窮遠(yuǎn)點在內(nèi)的復(fù)平面稱為有限復(fù)平面，或就稱復(fù)平面對于復(fù)數(shù)∞來說,實部、虛部與輻角的概念均無意義，其模規(guī)定為｜∞｜＝＋∞，對于其它復(fù)數(shù)z,則有｜z｜<+∞212020/12/27問題：球面上的北極Ｎ如何與復(fù)平面內(nèi)的點對應(yīng)？我們規(guī)定：這樣，注：如不聲明，我們討論的都是有限復(fù)平面關(guān)于∞的運算，規(guī)定如下：仍然不確定。222020/12/27注：如不聲明，我們討論的都是有限復(fù)平面關(guān)于∞的運算，規(guī)定如下例3：下列方程各表示什么曲線？4）寫出直線的復(fù)數(shù)形式方程1）2）解：1)，2)的關(guān)鍵是知道的幾何意義是表示所以，1）表示圓周，2）表示直線。點到的距離。3）注：復(fù)數(shù)的各種表達(dá)式可以互相轉(zhuǎn)換，在討論具體問題時應(yīng)靈活選用.232020/12/27例3：下列方程各表示什么曲線？4）寫出直線的復(fù)數(shù)形式方3）化為實方程，為此代入，得化簡，得，表示一直線4）關(guān)鍵：由得，代入直線方程，得因而可記為，其中

為實數(shù)。242020/12/273）化為實方程，為此代入，得化簡，得，表示一直線4）關(guān)鍵：由252020/12/27252020/12/27

§3

復(fù)數(shù)的乘冪與方根運算1．乘積與商：設(shè)有兩個復(fù)數(shù)則262020/12/27§3復(fù)數(shù)的乘冪與方根運算1．乘積與商：結(jié)論：兩個復(fù)數(shù)乘積的模等于各自模的乘積，乘積的幅角等于各自幅角之和；兩個復(fù)數(shù)商的模等于各自模的商，商的幅角等于被除數(shù)與除數(shù)的幅角之差。Arg(z1z2)=Argz1+Argz2，Arg(z1/z2)=Argz1-Argz2，若記則有集合等式272020/12/27結(jié)論：Arg(z1z2)=Argz1+Argz2，Arg(zxyO判斷下列說法是否正確？乘法的幾何解釋(T)(F)282020/12/27xyO判斷下列說法是否正確？乘法的幾何解釋(T)(F)2822.冪與根定義z的n次冪：定義z的負(fù)整數(shù)次冪則有—棣美弗公式：定義z的n次根：若有wn=z,則稱w為z的n次根，記為如何求出z的n次根？292020/12/272.冪與根定義z的n次冪：定義z的負(fù)整數(shù)次冪則有—棣美弗公比較，得由此得到方根公式令則注：1．任一非零復(fù)數(shù)開n次方，有且僅有n個不同的根；

2．它們均勻分布在以原點為中心，r1/n為半徑的圓周上。

302020/12/27比較，得由此得到方根公式令則注：1．任一非零復(fù)數(shù)開n次方，例題：2.1.312020/12/27例題：2.1.312020/12/27322020/12/27322020/12/27§4復(fù)平面上的點集本節(jié)內(nèi)容：介紹復(fù)平面上的幾個常見概念與術(shù)語1.鄰域：平面上以z0為中心，半徑為δ的圓內(nèi)所有點的集合稱為z0的一個鄰域,記為2.內(nèi)點：設(shè)G為一平面點集，z0為G中一點，若存在z0的某個鄰域，該鄰域內(nèi)的所有點都屬于G，則稱z0為G的一個內(nèi)點。去心鄰域：由不等式0<|z-z0|<δ所確定的點集。注：離散的點集沒有內(nèi)點332020/12/27§4復(fù)平面上的點集本節(jié)內(nèi)容：介紹復(fù)平面上的幾

4.

連通集:如果點集D中任何兩點都可以用完全屬于D的一條折線連接起來。

3.

開集：如果G內(nèi)的每個點都是它的內(nèi)點，那么稱G為開集。5.區(qū)域:

連通的開集稱為區(qū)域。6.邊界點與邊界：設(shè)D為復(fù)平面內(nèi)的一個區(qū)域，如果點p

不屬于D，但p的任意小的鄰域內(nèi)總包含有D中的點，這樣的點p稱為D的邊界點。

D的所有邊界點組成D的邊界。區(qū)域的邊界可能是有幾條曲線和一些孤立的點組成。7.閉區(qū)域:區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域或閉域，記作。342020/12/274.連通集:如果點集D中任何兩點都可以用完全屬于D的一8.有界域：如果區(qū)域D可以包含在一個以原點為中心的圓里面，則稱D為有界的。否則稱為無界的。

有界性的數(shù)學(xué)描述:若存在正數(shù)M,使區(qū)域D的每個點z都滿足|z|<M,則稱D為有界的。9.連續(xù)曲線:如果實函數(shù)x=x(t).y=y(t),(a≤t≤b)連續(xù)，則稱曲線c:z(t)=x(t)+iy(t)為復(fù)平面上的一條連續(xù)曲線。z(a)與z(b)分別稱為c的起點和終點。在平面直角坐標(biāo)系中表示一條曲線，自然地，復(fù)數(shù)方程就表示復(fù)平面上的一條曲線。我們知道，實變量參數(shù)方程352020/12/278.有界域：如果區(qū)域D可以包含在一個以原點為中心的圓有11.簡單曲線與簡單閉曲線：連續(xù)但自身不相交的曲線稱為簡單曲線或若當(dāng)（Jardan)曲線。如果簡單曲線的起點與終點重合，即z(a)＝z(b)，則稱此曲線為簡單閉曲線。12.

簡單閉曲線的內(nèi)部與外部：復(fù)平面中的任一條簡單閉曲線c把整個平面唯一地分成三個部分，一個是有界區(qū)域，稱為c的內(nèi)部，另一個是無界區(qū)域，稱為c的外部，

c為它們的公共邊界。10.光滑曲線：若x(t)和y(t)的導(dǎo)數(shù)也是連續(xù)的，且滿足，稱此曲線為是光滑的。362020/12/2711.簡單曲線與簡單閉曲線：連續(xù)但自身不相交的曲線稱12.13.單連通、多連通區(qū)域：復(fù)平面上的一個區(qū)域D,如果在其中任作一條簡單閉曲線,而曲線的內(nèi)部仍屬于D，則稱D

為單連通域，不是單連通域的都叫多連通域。注：1.多連通區(qū)域的一個顯著特點：內(nèi)部含有洞或裂縫。

2.任一簡單閉曲線將復(fù)平面分為內(nèi)、外兩部分，內(nèi)部單連通，外部多連通。

3.屬于單連通域D內(nèi)的任何一條簡單閉曲線，在D內(nèi)可以經(jīng)過連續(xù)的變形而縮成一點，多聯(lián)通區(qū)域不具備這個特征。372020/12/2713.單連通、多連通區(qū)域：復(fù)平面上的一個區(qū)域D,如果在其注§5復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性1.復(fù)變函數(shù)的定義：設(shè)G是一個復(fù)數(shù)集合,如果對于集合G中的每一個數(shù)z,按照一定的法則，就有一個或幾個復(fù)數(shù)w與之對應(yīng)，那么就稱復(fù)變數(shù)w是復(fù)變數(shù)z的函數(shù)，簡稱復(fù)變函數(shù)。記作則復(fù)變函數(shù)又可表示為：注：若記即一個一元復(fù)變函數(shù)實際上對應(yīng)于兩個二元實變函數(shù)。幾個名詞：單值函數(shù)，多值函數(shù)，定義集合，函數(shù)值集合，定義域等。382020/12/27§5復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性1.復(fù)變函數(shù)的定義：設(shè)G是一個復(fù)如:2、映射：映射是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的一個常用概念A(yù)Bab。。

定義：若對集合A中的任一元素a，按照某種對應(yīng)關(guān)系f總有集B中的元素b相對應(yīng)，則稱f是集合

A到集合B的一個映射，記為f:a→b，a、b分別稱為映射的原象和象

392020/12/27如:2、映射：映射是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中于是，如果例題1：考察的映射性質(zhì)解：記原象點，則象點因此，象點與原象點相比，模是原來的平方，幅角是原來的二倍，這樣不難發(fā)現(xiàn)，這一映射有這樣的特性：將頂點在原點的角形域映成角形域，只不過夾角擴大為二倍。如：將z平面第一象限映成w平面一、二象限，將單位圓映成單位圓。用z平面上的點表示自變量z的值

用另一平面（w平面）上的點表示函數(shù)w的值，則函數(shù)w=f(z)就可以看作是從z平面上的點集G（定義值集合）到w平面上的一個點G*集（函數(shù)值集合）映射（或變換）。402020/12/27于是，如果例題1：考察的映射性質(zhì)解：記原象點，則象點因此，象例題2.函數(shù)把z平面上的曲線映成w平面什么曲線?解：原象曲線的復(fù)方程為：代入映射函數(shù)中，得到象曲線方程為：記則——這就是象曲線的實參數(shù)方程。消去參數(shù),得這是一圓周412020/12/27例題2.函數(shù)把z平面上的曲線映成w平面什么曲線?解：原象

假定函數(shù)ｗ＝f(z)的定義集合為z平面上的集合G，函數(shù)值集合為w平面上的集合G*，那么G*中的每一個點w必將對應(yīng)著G中的一個（或幾個）點。按照函數(shù)的定義，在G*上就確定了一個單值（或多值）函數(shù)z=g(w)，它稱為w=f(z)的反函數(shù)，也稱為映射w=f(z)逆映射。顯然，函數(shù)與其反函數(shù)之間有如下關(guān)系：對于任意w∈G*，有w=f[g(w)]；當(dāng)反函數(shù)為單值函數(shù)時，有z=g[f(z)],z∈G。

為了方便，我們以后不再區(qū)分函數(shù)與映射。如果映射與其逆映射都是單值的，我們稱此映射是一一對應(yīng)的。復(fù)變函數(shù)的的反函數(shù)：422020/12/27假定函數(shù)ｗ＝f(z)的定義集合為z平面上的集合3.函數(shù)的極限

定義：設(shè)函數(shù)w=f(z)在z0的去心鄰域內(nèi)有定義，如果對于任意給定的ε>0,相應(yīng)地總有δ>0存在，使得當(dāng)0<|z-z0|<δ時，恒有|f(z)-A|<ε成立，則稱A為f(z)當(dāng)z趨向于Z0時的極限。記作：或者注：從形式上來看，復(fù)變函數(shù)的極限定義與一元實函數(shù)是完全類似的，但實際上二者有很重要的區(qū)別。主要是因為在復(fù)平面上，變量z趨于z0的方式有無窮多種，可以從不同的方向，既可以沿直線，也可以沿曲線。這一點跟二元函數(shù)的極限又有相似之處。432020/12/273.函數(shù)的極限定義：設(shè)函數(shù)w=f(z)在z0的去心所以，如果僅憑某幾個特殊方向，還不能判斷極限存在。當(dāng)然了，如果方向不同，變化趨勢也不一樣，則極限一定不存在。相關(guān)性質(zhì)442020/12/27所以，如果僅憑某幾個特殊方向，還不能判斷極限存在。當(dāng)然了，如452020/12/27452020/12/27定理的重要意義在于將復(fù)變函數(shù)的極限問題轉(zhuǎn)化為兩個二元實函數(shù)的極限問題，這是在高等數(shù)學(xué)中已經(jīng)討論過的問題。4.函數(shù)的連續(xù)性

462020/12/27定理的重要意義在于將復(fù)變函數(shù)的極限問題轉(zhuǎn)化為兩個二元實函數(shù)的由此，復(fù)函數(shù)的連續(xù)性問題也轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的實問題本定理的證明可根據(jù)定理1立即得到相關(guān)性質(zhì)472020/12/27由此，復(fù)函數(shù)的連續(xù)性問題也轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的實問題本定理的證明可根根據(jù)定理2和定理3還可推得定理4.1)連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商仍是連續(xù)函數(shù)

2)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)還是連續(xù)函數(shù)2.在閉曲線或包括曲線端點在內(nèi)的曲線段上連續(xù)的函數(shù)f(z)在曲線上是有界的。即存在正數(shù)M，在曲線上恒有|f(z)|≤M。3.因一般復(fù)數(shù)不能比較大小，故實連續(xù)函數(shù)的最大、最小值定理，介值定理不再成立。注482020/12/27根據(jù)定理2和定理3還可推得定理4.1)連續(xù)函數(shù)的和、差、積課堂練習(xí)：因而是一橢圓492020/12/27課堂練習(xí)：因而是一橢圓492020/12/27解：共有n個證明根之和為0，直接相加不方便，簡單的方法為：然后呢？比較兩端n-1次冪的系數(shù)！由此還可看出，n個根的乘積為（-1)n+1502020/12/27解：共有n個證明根之和為0，直接相加不方便，簡單的方法為：然z1z2z3w1w2w3等式說明：所以表示二三角形相似！512020/12/27z1z2z3w1w2w3等式說明：所以表示二三角形相似！51

本章主要內(nèi)容：解析的概念，解析函數(shù)的判別，五類基本初等函數(shù)

復(fù)變函數(shù)的主要研究對象是解析函數(shù)，因為，一方面它具有比較良好的性質(zhì)，如能展成冪級數(shù)，具有任意階導(dǎo)數(shù)，實、虛部皆為調(diào)和函數(shù)，另一方面這也是實際問題中應(yīng)用較為廣泛的一類函數(shù)，如平面無旋流體的流函數(shù)與勢函數(shù)，靜電場中的電通量和電位，二者皆構(gòu)成復(fù)變的解析函數(shù)。第二章解析函數(shù)522020/12/27本章主要內(nèi)容：解析的概念，解析函數(shù)的判別，

§2.1解析函數(shù)的概念

1.復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1)導(dǎo)數(shù)概念：

532020/12/27§2.1解析函數(shù)的概念1.復(fù)變導(dǎo)數(shù)的幾種表達(dá)方式542020/12/27導(dǎo)數(shù)的幾種表達(dá)方式542020/12/27若上述極限不存在，則稱函數(shù)在z0點不可導(dǎo)；若函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)每一點處都可導(dǎo)，則稱其在區(qū)域D上可導(dǎo)，其結(jié)果與實函數(shù)結(jié)果一樣。注:與實函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義類似,復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義也有相應(yīng)的語言描述，這里省略。552020/12/27若上述極限不存在，則稱函數(shù)在z0點不可導(dǎo)；其結(jié)果與實函數(shù)結(jié)果2）可導(dǎo)與連續(xù)之間的關(guān)系容易看出,此極限不存在,即該函數(shù)處處不可導(dǎo)。與實函數(shù)一樣，可導(dǎo)一定連續(xù)，但反之不成立。處處連續(xù)但處處不可導(dǎo)，這樣的函數(shù)在復(fù)變函數(shù)中極易獲得，然而在實函數(shù)中要想得到一個處處連續(xù)但處處不可導(dǎo)的函數(shù)卻很不容易。562020/12/272）可導(dǎo)與連續(xù)之間的關(guān)系容易看出,此極限不存在,與實函數(shù)一樣可導(dǎo)必連續(xù)的證明，在形式上與一元實函數(shù)相關(guān)結(jié)論的證明完全相同。572020/12/27可導(dǎo)必連續(xù)的證明，在形式上與一元實函數(shù)相關(guān)結(jié)論的證明完全相同由于復(fù)函數(shù)與實函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義和極限運算法則在形式上完全一致，因而二者具有相同的求導(dǎo)法則：3）求導(dǎo)法則

582020/12/27由于復(fù)函數(shù)與實函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義和極限運算法則在3）求導(dǎo)法則（5）反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其中w=f(z)

與z=(w)互為單值的反函數(shù)，且(w)0.這樣，我們知道多項式處處可導(dǎo).例如，另外，有理分式在分母不為零的點處可導(dǎo).592020/12/27（5）反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)思考題結(jié)論：例如602020/12/27思考題結(jié)論：例如602020/12/27事實上612020/12/27事實上612020/12/272.解析函數(shù)的概念不解析的點稱為奇點。注：（1）可導(dǎo)與解析是兩個完全不同的概念，不解析的點可能可導(dǎo)，即解析的條件比可導(dǎo)要強，但我們卻有以下結(jié)論：定理：若函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo)，則D內(nèi)定解析。即在區(qū)域上，可導(dǎo)與解析是等價的。（為什么？）622020/12/272.解析函數(shù)的概念不解析的點稱為奇點。注：（1）可導(dǎo)與解即不可能存在離散的、孤立的解析點。例：研究下列函數(shù)的解析性632020/12/27即不可能存在離散的、孤立的解析點。例：研究下列函數(shù)的解析性65）有理分式，定義域內(nèi)解析，原因同上。注：由求導(dǎo)法則，不難看出：

解析函數(shù)的和、差、積、商仍為解析函數(shù)，解析函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍是解析函數(shù)。642020/12/275）有理分式，定義域內(nèi)解析，原因同上。注：由求導(dǎo)法則，不難看§2.2函數(shù)可導(dǎo)與解析的條件

當(dāng)一個復(fù)函數(shù)用其實部和虛部表示時,本節(jié)介紹一種判別函數(shù)可導(dǎo)性、解析性的非常有效的方法；建立函數(shù)的可導(dǎo)性與其實、虛部的偏導(dǎo)之間的關(guān)系.652020/12/27§2.2函數(shù)可導(dǎo)與解析的條件當(dāng)一個復(fù)函數(shù)用其實部和舉例嘗試容易求得觀察、尋找聯(lián)系后發(fā)現(xiàn)有662020/12/27舉例嘗試容易求得觀察、尋找聯(lián)系后發(fā)現(xiàn)有662020/12/2究竟是偶然的現(xiàn)象還是必然的規(guī)律？

？672020/12/27究竟是偶然的現(xiàn)象還是必然的規(guī)律？？672020/12/27定理1函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在點可導(dǎo)的充要條件是u(x,y)和v(x,y)在可微，且在該點滿足Cauchy-Riemann方程682020/12/27定理1函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在使用時:i)判別u(x,y)，v(x,y)偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性；

ii)驗證C-R條件.注：

可以看出可導(dǎo)函數(shù)的實部與虛部有密切的聯(lián)系.當(dāng)一個函數(shù)可導(dǎo)時,僅由其實部或虛部就可以求出導(dǎo)數(shù)來.692020/12/27使用時:i)判別u(x,y)，v(x,y)偏導(dǎo)定理2

函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D內(nèi)解析充要條件是u(x,y)和v(x,y)在D內(nèi)可微，且滿足Cauchy-Rieman方程702020/12/27定理2函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在例1

判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo)，在何處解析：712020/12/27例1判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo)，在何處解析：712020722020/12/27722020/12/27732020/12/27732020/12/27例2證明742020/12/27例2證明742020/12/27小結(jié)1、導(dǎo)數(shù)的概念，復(fù)變函數(shù)求導(dǎo)法則.2、解析的概念，解析與可導(dǎo)的關(guān)系.3、判別復(fù)變函數(shù)解析性的有效方法：

柯西—黎曼定理.f(z)在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析

f(z)在z0點解析

f(z)在z0點可導(dǎo)

f(z)在z0點連續(xù)752020/12/27小結(jié)1、導(dǎo)數(shù)的概念，復(fù)變函數(shù)求導(dǎo)法則.2、解析的概念，

練習(xí)：1、判別真、假：762020/12/27練習(xí)：1、判別真、假：762020/12/272、證明羅比達(dá)法則：提示：772020/12/272、證明羅比達(dá)法則：提示：772020/12/27

本節(jié)內(nèi)容：介紹幾類基本初等函數(shù)，應(yīng)注意各類函數(shù)的定義及特性。一、指數(shù)函數(shù)

思想：在復(fù)平面內(nèi)，定義一個類似于實函數(shù)中ex的函數(shù)，使它滿足下列條件§3五類初等解析函數(shù)782020/12/27本節(jié)內(nèi)容：介紹幾類基本初等函數(shù)，應(yīng)注意各類函數(shù)2.性質(zhì)：由定義，復(fù)指數(shù)函數(shù)有以下特性：注：這里ez沒有冪的含義，僅僅是一個記號，關(guān)于冪的意義后面再講。792020/12/272.性質(zhì)：由定義，復(fù)指數(shù)函數(shù)有以下特性：注：這里ez沒有以上三條性質(zhì)與實指數(shù)函數(shù)相同

這個性質(zhì)是實變指數(shù)函數(shù)所沒有的！容易得出如下結(jié)論802020/12/27以上三條性質(zhì)與實指數(shù)函數(shù)相同這個性質(zhì)是實變指數(shù)函數(shù)所xy(z)vu(w)帶形區(qū)域角形區(qū)域映射的幾何特點812020/12/27xy(z)vu(w)帶形區(qū)域角形區(qū)域映射的二、對數(shù)函數(shù)即對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。例題822020/12/27二、對數(shù)函數(shù)即對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。例題82202至此，我們得到對數(shù)函數(shù)的計算公式：832020/12/27至此，我們得到對數(shù)函數(shù)的計算公式：832020/12/27注:上式中，對于每一個固定的k，稱為Lnz的一個單值分支。842020/12/27注:上式中，對于每一個固定的k，稱為Lnz的一個單值分支?；蛘?52020/12/27或者852020/12/273、運算性質(zhì)（1）應(yīng)當(dāng)注意，由于對數(shù)函數(shù)的多值性，對于上述等式的理解應(yīng)與復(fù)數(shù)的乘積和商中關(guān)于輻角的等式一樣。（2）（3）可以證明，如下等式成立862020/12/273、運算性質(zhì)（1）應(yīng)當(dāng)注意，由于對數(shù)函數(shù)的多值性，對于上述等4、分析性質(zhì)考慮其主值分支容易看出，除去原點與負(fù)實軸外，lnz在其它點處處連續(xù)顯然，

lnz在除去原點與負(fù)實軸的復(fù)平面解析，Lnz的其它分支也是如此，且它們有相同的導(dǎo)數(shù)值。今后我們在應(yīng)用Lnz時，總是指它在除去原點和負(fù)實軸的平面內(nèi)的某一分支。872020/12/274、分析性質(zhì)考慮其主值分支容易看出，除去原點與負(fù)實軸外，ln2.計算公式：思考882020/12/272.計算公式：思考882020/12/27說明892020/12/27說明892020/12/27----n值函數(shù)902020/12/27----n值函數(shù)902020/12/273.冪函數(shù)及其性質(zhì)912020/12/273.冪函數(shù)及其性質(zhì)912020/12/27例題922020/12/27例題922020/12/27四、三角函數(shù)，雙曲函數(shù)據(jù)此，我們上述公式推廣到復(fù)三角函數(shù)如下：*****復(fù)三角函數(shù)是由指數(shù)函數(shù)定義的932020/12/27四、三角函數(shù)，雙曲函數(shù)據(jù)此，我們上述公式推廣到復(fù)三角函數(shù)如下2、三角函數(shù)性質(zhì)如此定義出來的復(fù)三角函數(shù)是否具有實三角函數(shù)的特性，如周期性、三角恒等式？答案是基本成立942020/12/272、三角函數(shù)性質(zhì)如此定義出來的復(fù)三角函數(shù)是否具有實三角函數(shù)的5）三角恒等式實三角函數(shù)恒等式對復(fù)三角函數(shù)也成立，如952020/12/275）三角恒等式實三角函數(shù)恒等式對復(fù)三角函數(shù)也成立，如9520證：代入驗證即可。962020/12/27證：代入驗證即可。962020/12/27972020/12/27972020/12/27五、反三角函數(shù)，反雙曲函數(shù)

需要指出的是，因三角函數(shù)、雙曲函數(shù)都是通過指數(shù)函數(shù)來表示的，故此，它們的反函數(shù)最終都可通過對數(shù)函數(shù)表示，且一般為多值函數(shù)。982020/12/27五、反三角函數(shù)，反雙曲函數(shù)需要指出的是，因992020/12/27992020/12/271002020/12/271002020/12/27

本章內(nèi)容小結(jié)：1、解析概念，與可導(dǎo)的關(guān)系2、解析的判別：C-R定理3、五類基本初等函數(shù)1012020/12/27本章內(nèi)容小結(jié)：1012020/12/P67習(xí)題9證明柯西-黎曼方程的極坐標(biāo)形式是證明：類似地可以證明上面第二個等式。1022020/12/27P67習(xí)題9證明柯西-黎曼方程的極坐標(biāo)形式是證明：類似1032020/12/271032020/12/27§1、復(fù)變函數(shù)積分的概念1.積分的定義第三章復(fù)變函數(shù)的積分有向曲線：規(guī)定了正方向的曲線c稱為有向曲線。設(shè)曲線c的兩個端點為A與B，如果把從A到B的方向作為c的正方向，那么從B到A的方向就是c的負(fù)方向，即為c—。簡單閉曲線的正方向:是指當(dāng)曲線上的點P順此方向沿該曲線前進時，臨近P點的曲線內(nèi)部始終位于P點的左方。注：這里關(guān)于簡單閉曲線正向的規(guī)定與以前區(qū)域的正向邊界的規(guī)定不同1042020/12/27§1、復(fù)變函數(shù)積分的概念1.積分的定義第三章復(fù)變

首先我們回憶一下高等數(shù)學(xué)中關(guān)于定積分的極限定義，主要分為如下幾個步驟：1052020/12/27首先我們回憶一下高等數(shù)學(xué)中關(guān)于定積分的極限定義，主要分類似的，我們定義復(fù)變函數(shù)的積分如下：ABczkZk-11062020/12/27類似的，我們定義復(fù)變函數(shù)的積分如下：ABczkZk-11062.積分存在的條件及其計算方法1072020/12/272.積分存在的條件及其計算方法1072020/12/27根據(jù)對坐標(biāo)的曲線積分的知識，我們知道，當(dāng)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)而C是光滑曲線時，上式右端的兩個和式的極限是存在的，因此有注：從形式上來看，上式可以看作是經(jīng)過如下的運算得到的，所以是容易記住的。1082020/12/27根據(jù)對坐標(biāo)的曲線積分的知識，我們知道，當(dāng)函數(shù)注：從形式上來看下面繼續(xù)討論積分的計算。記c的參數(shù)方程為：正方向為參數(shù)增加的方向，則根據(jù)曲線積分的計算方法，有1092020/12/27下面繼續(xù)討論積分的計算。記c的參數(shù)方程為：正方向為參數(shù)增加的3.積分的性質(zhì)1）線性性質(zhì)2）對積分曲線的可加性3）積分曲線具有方向性1102020/12/273.積分的性質(zhì)1）線性性質(zhì)2）對積分曲線的可加性3）積分此估計式是這樣導(dǎo)出的：4）積分估計式1112020/12/27此估計式是這樣導(dǎo)出的：4）積分估計式1112020/12/2(0,0)(1,1)Y=x21122020/12/27(0,0)(1,1)Y=x21122020/12/27實際上，原積分還可以寫成容易驗證，上式中兩個積分都是與路徑無關(guān)的。1132020/12/27實際上，原積分還可以寫成容易驗證，上式中兩個積分都是與路徑無03+4i34于是，1142020/12/2703+4i34于是，1142020/12/27可以看出，沿著不同的積分路徑，該積分有不同的值。1152020/12/27可以看出，沿著不同的積分路徑，該積分有不同的值。115202(0,0)(1,1)1162020/12/27(0,0)(1,1)1162020/12/27于是，1172020/12/27于是，1172020/12/27綜上所述，我們有

記住這一結(jié)果，后面經(jīng)常用到。注意該結(jié)果與圓心、圓的半徑?jīng)]有關(guān)系1182020/12/27綜上所述，我們有記住這一結(jié)果，后面經(jīng)常用到。注意該結(jié)果與圓1192020/12/271192020/12/271202020/12/271202020/12/271212020/12/271212020/12/27

那么我們的問題就是：在什么條件下復(fù)變函數(shù)的積分與積分路徑無關(guān)？此問題等價于沿任意的閉曲線積分是否等于零的問題，即

1.柯西-古薩基本定理討論的問題§2柯西-古薩基本定理

復(fù)變函數(shù)的積分在計算中實際上等同于對坐標(biāo)的曲線積分，這就很很自然地的引出積分與路徑無關(guān)的問題。下面我們從曲線積分的角度來考察這個問題。1222020/12/27那么我們的問題就是：在什么條件下復(fù)變函數(shù)的積分

回憶一下高等數(shù)學(xué)中關(guān)于曲線積分與路徑無關(guān)的條件：？1232020/12/27回憶一下高等數(shù)學(xué)中關(guān)于曲線積分與路徑無關(guān)的條件：？123這不就是柯西-黎曼方程嗎？根據(jù)上述，我們可以得到如下的結(jié)論：應(yīng)用上述結(jié)論，得到積分與路徑無關(guān)的條件為1242020/12/27這不就是柯西-黎曼方程嗎？根據(jù)上述，我們可以得到如下的結(jié)論：2.該定理的主要內(nèi)容是柯西在研究水波傳播問題時通過計算一些復(fù)積分而發(fā)現(xiàn)的（1825年），而古薩對其進行了改進并給出了嚴(yán)格證明(1900年）.實際上，我們有下列更一般的結(jié)論注1.定理中的曲線可以不是簡單曲線。2.柯西-古薩基本定理及其推論1252020/12/272.該定理的主要內(nèi)容是柯西在研究水波傳播問題時通過計算一些定理的推論注：利用這一結(jié)論，我們在計算某些積分只須檢查C內(nèi)及

C上是否有奇點即可，若沒有的話，積分一定為01262020/12/27定理的推論注：利用這一結(jié)論，我們在計算某些積分只須檢查C內(nèi)研究的問題：將單連通區(qū)域上的柯西基本定理推廣到多連通區(qū)域中?！?基本定理的推廣—復(fù)合閉路定理DccD圖1圖21272020/12/27研究的問題：將單連通區(qū)域上的柯西基本定理推廣到多連通區(qū)域中。對于情形2，我們有如下的結(jié)論：c1cDAA’B’BEE’FF’證明:連接C上點A到C1上點A’

以及C1上點B’到C上點B，則有：1282020/12/27對于情形2，我們有如下的結(jié)論：c1cDAA’B’BEE’FF將上面兩等式相加，并先展開后再重新組合，可以得到即或這說明一個解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不會因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值，只要在變形過程中不經(jīng)過函數(shù)f(z)的不解析的點?！]路變形原理1292020/12/27將上面兩等式相加，并先展開后再重新組合，可以得到即或這說明一

如果把如上兩條簡單閉曲線C及C1-看成是一條復(fù)合閉路г，且規(guī)定它的正向為：外面的閉曲線C按逆時針進行，里面的閉曲線C1按順時針進行，那么有同樣的方法，我們還可以證明更一般的結(jié)論：CC1C2C31302020/12/27如果把如上兩條簡單閉曲線C及C1-看成是一條復(fù)合該定理的證明方法同前面一樣，無非是多加幾條輔助線，最后輔助線上的積分仍然抵消。由上述定理，我們可以立即得到如下有用的結(jié)論：1312020/12/27該定理的證明方法同前面一樣，無非是多加幾條由上述定理，我們可解：根據(jù)前面的一些結(jié)論，首先首先確定被積函數(shù)在c內(nèi)的解析情況，為此，需分兩種情況討論：1322020/12/27解：根據(jù)前面的一些結(jié)論，首先首先確定被積函數(shù)1322020/。z0c1332020/12/27。z0c1332020/12/27解：根據(jù)被積函數(shù)的奇點與積分曲線c的位置關(guān)系，此題須分四種情況討論：1342020/12/27解：根據(jù)被積函數(shù)的奇點與積分曲線c的位置關(guān)系，此題須分四種。1。2此時還可以這樣求解：c1c21352020/12/27。。此時還可以這樣求解：c1c21352020/12/27§4原函數(shù)與不定積分

假設(shè)函數(shù)f(z)在單連通區(qū)域B內(nèi)解析，則對B內(nèi)以z0為起點，z為終點的任意曲線上的積分都相等，即積分只與起點、終點有關(guān)，因而可記為上式從形式上看類似于高等數(shù)學(xué)中的變上限積分，事實上不僅如此，而且性質(zhì)也一樣：當(dāng)終點z變化時，上式可視為變量z的函數(shù)，因而可得到1362020/12/27§4原函數(shù)與不定積分假設(shè)函數(shù)f(z)在單連z0zz+△z1372020/12/27z0zz+△z1372020/12/27根據(jù)積分估值性質(zhì)1382020/12/27根據(jù)積分估值性質(zhì)1382020/12/27注：1）容易證明，f(z)的任何兩個原函數(shù)相差一常數(shù)類似于牛頓-萊布尼茲公式，我們有以下結(jié)論：1392020/12/27注：1）容易證明，f(z)的任何兩個原函數(shù)相差一常數(shù)類似于牛注：有了原函數(shù)、不定積分和上述公式，許多復(fù)變函數(shù)的積分就可以用定積分的類似方法來計算了，需要指出的是要注意驗證是否滿足定理中的條件。1402020/12/27注：有了原函數(shù)、不定積分和上述公式，許多復(fù)變1402020/1412020/12/271412020/12/27研究的問題：分析：§5

柯西積分公式1422020/12/27研究的問題：分析：§5柯西積分公式1422020/1z0定理（柯西積分公式）.z0CK證明：D1432020/12/27z0定理（柯西積分公式）.z0CK證明：D14320201442020/12/271442020/12/271452020/12/271452020/12/27

柯西積分公式是本章的又一重要結(jié)論，它從理論上揭示了解析函數(shù)的又一特征：邊界上的函數(shù)值能唯一確定區(qū)域內(nèi)部點處的函數(shù)值。此外，柯西積分公式還是研究解析函數(shù)的有力工具1462020/12/27柯西積分公式是本章的又一重要結(jié)論，它從146202

另外，對我們來講，更重要的是這一公式提供了柯西型積分這就是說，一個解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的的平均值。1472020/12/27另外，對我們來講，更重要的是這一公式提供這就1482020/12/271482020/12/271492020/12/271492020/12/27故我們先圍繞兩個奇點各做一個小圓周，然后應(yīng)用復(fù)合閉路原理將原積分化為兩個積分，最后對每一積分便可應(yīng)用柯西積分公式了（如圖）。。i。-icc1c21502020/12/27故我們先圍繞兩個奇點各做一個小圓周，然后。i。-icc1c2練習(xí)：1512020/12/27練習(xí)：1512020/12/27§6

解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)

復(fù)變函數(shù)中的解析函數(shù)與一元實函數(shù)中的可導(dǎo)函數(shù)的一個很大的不同在于解析函數(shù)具有任意階的導(dǎo)數(shù)。具體說來，有

顯然，當(dāng)

n=1時即為柯西積分公式，所以該公式可視為柯西積分公式的推廣。1522020/12/27§6解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)復(fù)變函數(shù)中的解析關(guān)于本定理得嚴(yán)格證明可參看教材。1532020/12/27關(guān)于本定理得嚴(yán)格證明可參看教材。1532020/12/27注：1）定理說明，解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)仍未解析函數(shù)，它從理論上揭示了解析函數(shù)的又一重要特征。

2）定理中公式的重要實際應(yīng)用在于可以通過求導(dǎo)數(shù)來計算積分,即1542020/12/27注：1）定理說明，解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)仍未解析函數(shù)，它從理論上。-1。0cc1c2解：C內(nèi)有兩個奇點0,-1，故此先應(yīng)用復(fù)合閉路定理，化為兩個積分，然后再對每一積分應(yīng)用柯西積分公式或高階導(dǎo)數(shù)公式。1552020/12/27。。cc1c2解：C內(nèi)有兩個奇點0,-1，故此先15520

。i。-icc1c21562020/12/27。i。-icc1c21562020/12/271572020/12/271572020/12/271582020/12/271582020/12/271592020/12/271592020/12/271602020/12/271602020/12/27主要內(nèi)容：1、復(fù)常數(shù)項級數(shù)及其斂性2、冪級數(shù)及其收斂半徑3、函數(shù)的泰勒展開4、函數(shù)的羅朗展開第四章級數(shù)1612020/12/27主要內(nèi)容：1、復(fù)常數(shù)項級數(shù)及其斂性2、冪級數(shù)及其收斂半徑3、1.復(fù)數(shù)列的極限不收斂的數(shù)列稱為發(fā)散數(shù)列§1復(fù)數(shù)項級數(shù)定理一（復(fù)數(shù)列與實數(shù)列的收斂性關(guān)系）：1622020/12/271.復(fù)數(shù)列的極限不收斂的數(shù)列稱為發(fā)散數(shù)列§1復(fù)數(shù)項級數(shù)定即：一個復(fù)數(shù)列的收斂性等價于與其實部、虛部構(gòu)成的二個實數(shù)列的收斂性。1632020/12/27即：一個復(fù)數(shù)列的收斂性等價于與其實部、虛部1632020/11642020/12/271642020/12/272.級數(shù)概念1652020/12/272.級數(shù)概念1652020/12/27再由定理一關(guān)于數(shù)列極限存在的充要條件便可得到結(jié)論。1662020/12/27再由定理一關(guān)于數(shù)列極限存在的充要條件便可得到結(jié)論。16620定理二將復(fù)級數(shù)斂散性問題化為相應(yīng)的實級數(shù)問題，從而復(fù)級數(shù)斂散性問題得到間接解決。復(fù)習(xí)：常見實級數(shù)斂散性判別法：1）比較法，2）比值法（達(dá)朗貝爾判別法），3）交錯級數(shù)的萊布尼茲判別法即：收斂級數(shù)一般項極限為0。1672020/12/27定理二將復(fù)級數(shù)斂散性問題化為相應(yīng)的實級數(shù)問題，從而復(fù)級數(shù)斂散1682020/12/271682020/12/271692020/12/271692020/12/271702020/12/271702020/12/27對于原級數(shù)，分離一般項實、虛部，得1712020/12/27對于原級數(shù)，分離一般項實、虛部，得1712020/12/27§2冪級數(shù)1.冪級數(shù)概念1722020/12/27§2冪級數(shù)1.冪級數(shù)概念1722020/12/27關(guān)于冪級數(shù)的收斂性問題，我們有著名的阿貝爾定理：1732020/12/27關(guān)于冪級數(shù)的收斂性問題，我們有著名的阿貝爾定理：173202定理一（阿貝爾引理）級數(shù)皆收斂且絕對收斂。級數(shù)皆發(fā)散。。z0收斂點。z0發(fā)散點1742020/12/27定理一（阿貝爾引理）級數(shù)皆收斂且絕對收斂。級數(shù)皆發(fā)散。證明：1）（收斂數(shù)列必有界！）至此，有因右端收斂，由比較法，左端也收斂。1）證畢至于2），實際上為1）的逆否命題，也成立。1752020/12/27證明：1）（收斂數(shù)列必有界?。┲链耍幸蛴叶耸諗?，由比較法，阿貝爾定理說明：

以原點為心，過收斂點作圓周，則圓內(nèi)點皆收斂且絕對收斂。

以原點為心，過發(fā)散點作圓周，則圓外點皆發(fā)散。2.收斂圓與收斂半徑1762020/12/27阿貝爾定理說明：以原點為心，過收斂點作圓周，則圓內(nèi)點

根據(jù)阿貝爾引理，所有冪級數(shù)的收斂情況不外乎以下三種可能：1）處處收斂，即收斂點集為整個復(fù)平面。2）除z=0外處處發(fā)散。3）既存在使級數(shù)收斂的正實數(shù)，也存在使級數(shù)發(fā)散的正實數(shù)。下面對情況3）作進一步的分析。

我們考慮正實軸上的收斂點和發(fā)散點。

首先，收斂點和發(fā)散點不會相間分布，收斂點以左的為收斂點，發(fā)散點以右的為發(fā)散點。據(jù)此，動點從原點1772020/12/27根據(jù)阿貝爾引理，所有冪級數(shù)的收斂情況不外乎以下三種出發(fā)往右移動，首先進入的是收斂點區(qū)，然后會遇到發(fā)散點。收斂點集與發(fā)散點集有唯一的分界點，記為R，則

綜上所述，便得如下結(jié)論：冪級數(shù)的收斂范圍是以原點為中心的圓域。冪級數(shù)在圓內(nèi)收斂，在圓外發(fā)散。此圓稱為收斂圓，圓的半徑R稱為冪級數(shù)的收斂半徑。在圓周上是收斂還是發(fā)散不能作出一般的結(jié)論，要具體問題具體分析。1782020/12/27出發(fā)往右移動，首先進入的是收斂點區(qū)，然后會遇到發(fā)散點。收斂點解：級數(shù)的部分和：1792020/12/27解：級數(shù)的部分和：1792020/12/273.收斂半徑的求法1802020/12/273.收斂半徑的求法1802020/12/27例2：求下列冪級數(shù)的收斂半徑1812020/12/27例2：求下列冪級數(shù)的收斂半徑1812020/12/27練習(xí)：求下列冪級數(shù)的收斂半徑：1822020/12/27練習(xí)：求下列冪級數(shù)的收斂半徑：1822020/12/27（即用第一個冪級數(shù)的每一項乘第二個級數(shù)，然后合并同次冪系數(shù)）注：上面的運算在兩個級數(shù)中的較小的收斂圓內(nèi)成立。但這并不意味著運算后級數(shù)的收斂半徑就是上面兩個級數(shù)中的較小一個收斂半徑。4.冪級數(shù)運算和性質(zhì)冪級數(shù)的加、減、乘法運算規(guī)則：1832020/12/27（即用第一個冪級數(shù)的每一項乘第二個級數(shù)，然后合并同次冪系數(shù)）冪級數(shù)的分析性質(zhì)1842020/12/27冪級數(shù)的分析性質(zhì)1842020/12/272）s(z)在收斂內(nèi)可逐項求導(dǎo)，即注：性質(zhì)2）和3）為用間接法將函數(shù)展開成冪級數(shù)提供了極大的方便。3)s(z)在收斂圓盤內(nèi)可逐項積分，即1852020/12/272）s(z)在收斂內(nèi)可逐項求導(dǎo)，即注：性質(zhì)2）和3）為用間接§3泰勒級數(shù)

我們知道一個冪級數(shù)的和函數(shù)在他的收斂圓的是解析函數(shù)，現(xiàn)在我們考慮與此相反的問題：一個解析函數(shù)是否能用冪級數(shù)來表示？1.泰勒展開定理

對實函數(shù)而言，一個關(guān)鍵性條件是：應(yīng)在展開點處具有任意階導(dǎo)數(shù)。

對于復(fù)變函數(shù)來說，由于解析函數(shù)具有任意階的導(dǎo)數(shù)，所以這一條件是滿足的。下面給出關(guān)于這一問題的結(jié)論。1862020/12/27§3泰勒級數(shù)我們知道一個冪級數(shù)的和函。z0.zk1872020/12/27。.zk1872020/12/27將此式代入柯西積分公式，并將其寫為如下形式1882020/12/27將此式代入柯西積分公式，并將其寫為如下形式1882020/11892020/12/271892020/12/271902020/12/271902020/12/27證畢

定理中的公式稱為函數(shù)f(z)在z0的泰勒展開式，它右端的級數(shù)稱為f(z)在z0的泰勒級數(shù)，其形式與實變函數(shù)的情形完全一樣。1912020/12/27證畢定理中的公式稱為函數(shù)f(z)在z0的泰勒展開1922020/12/271922020/12/272.函數(shù)展開成冪級數(shù)（一）直接展開法1932020/12/272.函數(shù)展開成冪級數(shù)（一）直接展開法1932020/121942020/12/271942020/12/27注：以上幾個展式顯然與相應(yīng)的實函數(shù)展式一致。1952020/12/27注：以上幾個展式顯然與相應(yīng)的實函數(shù)展式一致。1952020/（二）間接展開法

通過對函數(shù)進行變形（如：加項、減項，同乘、同除，三角恒等式，有理式分解）；逐項積分；逐項求導(dǎo)等方法將要展開的函數(shù)化成上面已知展式的基本函數(shù)上去，然后展開的方法。逐項積分，得到1962020/12/27（二）間接展開法通過對函數(shù)進行變形（如：加項、減項，（逐項積分、求導(dǎo)，收斂半徑不變）1972020/12/27（逐項積分、求導(dǎo)，收斂半徑不變）1972020/12/27解：函數(shù)為有理分式，對此常見的處理方法為分解：收斂域呢？應(yīng)為二者的公共部分，即1982020/12/27解：函數(shù)為有理分式，對此常見的處理方法為分解：收斂域呢？應(yīng)為解：1992020/12/27解：1992020/12/27由冪級數(shù)乘法運算規(guī)則，2002020/12/27由冪級數(shù)乘法運算規(guī)則，2002020/12/272012020/12/272012020/12/27然后，合并、化簡，得2022020/12/27然后，合并、化簡，得2022020/12/27練習(xí)：1、冪級數(shù)展開，并求收斂半徑最后R=22032020/12/27練習(xí)：1、冪級數(shù)展開，并求收斂半徑最后R=22032020/應(yīng)用乘法運算乘開，得2042020/12/27應(yīng)用乘法運算乘開，得2042020/12/27比較系數(shù)，得2052020/12/27比較系數(shù)，得2052020/12/27解得：至此，我們得到2062020/12/27解得：至此，我們得到2062020/12/27本節(jié)內(nèi)容小結(jié)一、泰勒展開定理（函數(shù)展成冪級數(shù)的條件，系數(shù)計算公式，收斂半徑）二、幾個簡單函數(shù)的泰勒展式三、函數(shù)的間接展開2072020/12/27本節(jié)內(nèi)容小結(jié)一、泰勒展開定理（函數(shù)展成冪級數(shù)的條件，系數(shù)計算§4洛朗級數(shù)1.羅朗級數(shù)研究的問題

此級數(shù)不同于我們通?？紤]的冪級數(shù)，級數(shù)兩邊各無盡頭，沒有首項。我們規(guī)定如下：雙邊冪級數(shù)收斂當(dāng)且僅當(dāng)都收斂。2082020/12/27§4洛朗級數(shù)1.羅朗級數(shù)研究的問題此級數(shù)不同于

綜上所述，如果雙邊冪級數(shù)的收斂域存在，則應(yīng)為一圓環(huán)區(qū)域：下面考慮雙邊冪級數(shù)的收斂區(qū)域。2092020/12/27綜上所述，如果雙邊冪級數(shù)的收斂域存在，則應(yīng)為一圓環(huán)注：1、R1可能為0，R2可能為無窮。2、有時可能收斂域并不存在。3、同冪級數(shù)一樣，也可對雙邊冪級數(shù)進行加、減、乘法運算。結(jié)論：雙邊冪級數(shù)具有冪級數(shù)的所有性質(zhì)。例如，其和函數(shù)在收斂圓環(huán)內(nèi)解析，且可逐項積分、逐項求導(dǎo)。2.洛朗展式與洛朗級數(shù)

問題:在圓環(huán)內(nèi)解析的函數(shù)能否一定展成雙邊冪級數(shù)？2102020/12/27注：1、R1可能為0，R2可能為無窮。2、有時可能收斂域并不2112020/12/272112020/12/27.z0.zK1K22122020/12/27.z0.zK1K22122020/12/272132020/12/272132020/12/272142020/12/272142020/12/27證畢

定理中的展式稱為函數(shù)f(z)在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展式。展式右邊的級數(shù)稱為f(z)在此圓環(huán)域的洛朗級數(shù)。2152020/12/27證畢定理中的展式稱為函數(shù)f(z)在圓環(huán)域內(nèi)的洛注：

1、展式中的系數(shù)公式不能象泰勒公式一樣化為：2、展式中的正冪次部分和負(fù)冪次部分分別稱為洛朗級數(shù)的解析部分和主要部分。3、一個在某一圓環(huán)內(nèi)解析的函數(shù)展成含有正負(fù)冪項的級數(shù)是唯一的，就是洛朗級數(shù)。2162020/12/27注：不能象泰勒公式一樣化為：2、展式中的正冪次部分和負(fù)冪次部證畢2172020/12/27證畢2172020/12/273.函數(shù)展開成洛朗級數(shù)（1）直接展開法：利用系數(shù)公式計算積分展開；（2）間接展開法：利用一些已知的泰勒展式展開。解：要求將函數(shù)表示成一般項為cnzn級數(shù)形式，2182020/12/273.函數(shù)展開成洛朗級數(shù)（1）直接展開法：利用系數(shù)公式計算解：注意到展開的前提條件是圓環(huán)區(qū)域內(nèi)解析注：這里展式不含負(fù)冪次項，為羅朗展式的一個特例。2192020/12/27解：注意到展開的前提條件是圓環(huán)區(qū)域內(nèi)解析注：這里展式不含負(fù)冪為避免級數(shù)相乘，函數(shù)改寫為：下面的做法便跟上題一樣了：解題時注意展開域及展開點練習(xí)：2202020/12/27為避免級數(shù)相乘，函數(shù)改寫為：下面的做法便跟上題一樣了：解題時展開后檢查一下是否符合要求正確嗎？2212020/12/27展開后檢查一下是否符合要求正確嗎？2212020/12/27正確解法：2222020/12/27正確解法：2222020/12/27分析：與前面提法不同的是：這里只告訴展開點。因此首先要做的是：將以z=0為圓心，且使函數(shù)在其內(nèi)部解析的所有圓環(huán)區(qū)域找出來。尋找圓環(huán)區(qū)域的方法：以z=0為心，過函數(shù)的奇點做圓周，這些圓周將復(fù)平面分割成的若干圓環(huán)域便是所求區(qū)域。2232020/12/27分析：與前面提法不同的是：這里只告訴展開點。因此首先要做的是13由此，本題得到三個圓環(huán)域：這樣，需分三種情況討論：注意到因此：2242020/12/2713由此，本題得到三個圓環(huán)域：這樣，需分三種情況討論：注意到2252020/12/272252020/12/272262020/12/272262020/12/27本節(jié)內(nèi)容小結(jié)一、羅朗級數(shù)概念，收斂域，和函數(shù)性質(zhì)二、函數(shù)的羅朗展開定理（條件，系數(shù)公式）三、間接法將函數(shù)展成羅朗級數(shù)注意問題的兩種提法：

1）給出展開的圓環(huán)域2）給出展開點（此時需討論）2272020/12/27本節(jié)內(nèi)容小結(jié)一、羅朗級數(shù)概念，收斂域，和函數(shù)性質(zhì)二、函數(shù)的羅本章內(nèi)容小結(jié)一、常數(shù)項級數(shù)收斂概念及斂散性判別二、冪級數(shù)阿貝爾引理，收斂半徑，半徑公式，和函數(shù)性質(zhì)三、泰勒展開定理，將函數(shù)展成泰勒級數(shù)四、羅朗展開定理，將函數(shù)展成羅朗級數(shù)2282020/12/27本章內(nèi)容小結(jié)一、常數(shù)項級數(shù)收斂概念及斂散性判別二、冪級數(shù)阿貝第五章留數(shù)本章內(nèi)容：1、孤立奇點及其分類2、留數(shù)概念及其計算3、留數(shù)在計算定積分中的應(yīng)用2292020/12/27第五章留數(shù)本章內(nèi)容：1、孤立奇點及其分類22920§1孤立奇點1.孤立奇點概念注：2302020/12/27§1孤立奇點1.孤立奇點概念注：2302020/12皆為孤立奇點.(2)若函數(shù)的奇點個數(shù)有限，則每一奇點都是孤立奇點2.孤立奇點的分類分類原則：2312020/12/27皆為孤立奇點.(2)若函數(shù)的奇點個數(shù)有限，則每一奇點都是孤（1）可去奇點：展式中不含z-z0負(fù)冪次項，即2322020/12/27（1）可去奇點：展式中不含z-z0負(fù)冪次項，即2322020

即：補充函數(shù)在可去奇點的定義，此奇點就可以變?yōu)榻馕鳇c?！翱扇ァ币辉~的解釋：(2)極點:展式中只有有限多個負(fù)冪次項,即可去奇點處的極限：2332020/12/27即：補充函數(shù)在可去奇點的定義，此奇點就可以變?yōu)榻馕鳇c按定義，極點級數(shù)指展式中負(fù)冪次項的最高次數(shù)。2342020/12/27按定義，極點級數(shù)指展式中負(fù)冪次項的最高次數(shù)。2342020/由此結(jié)論成立證明2352020/12/27由此結(jié)論成立證明2352020/12/27（3）本性奇點：展式中含無窮多負(fù)冪次項。極點處的極限2362020/12/27（3）本性奇點：展式中含無窮多負(fù)冪次項。極點處的極限236函數(shù)在本性奇點處有如下性質(zhì)：2372020/12/27函數(shù)在本性奇點處有如下性質(zhì)：2372020/12/273.孤立奇點分類判別法(1)根據(jù)洛朗展式判別以上函數(shù)皆可在Z=0點很容易的展開，由此不難判斷出奇點類型(2)考察函數(shù)在奇點處的極限2382020/12/273.孤立奇點分類判別法(1)根據(jù)洛朗展式判別以上函數(shù)注：在求復(fù)變函數(shù)的極限時，也有同實函數(shù)類似的羅必塔法則。2392020/12/27注：在求復(fù)變函數(shù)的極限時，也有同實函數(shù)類似2392020/1同理，對于右端導(dǎo)數(shù)比值，我們有：2402020/12/27同理，對于右端導(dǎo)數(shù)2402020/12/27比較得：左=右因而結(jié)論成立。證畢2412020/12/27比較得：左=右2412020/12/274.函數(shù)的零點與極點的關(guān)系

在函數(shù)零點的級數(shù)判別時，下面的結(jié)論有時是很方便的。2422020/12/274.函數(shù)的零點與極點的關(guān)系在函數(shù)零點的級數(shù)判別時，下充分性由上面過程倒推易證。2432020/12/27充分性由上面過程倒推易證。2432020/12/27定理（極點與零點關(guān)系）結(jié)論：一個不恒為零的解析函數(shù)的零點是孤立的。2442020/12/27定理（極點與零點關(guān)系）結(jié)論：一個不恒為零的解析函數(shù)的零點是孤2452020/12/272452020/12/27上面定給出了一個判別極點階數(shù)的有效方法（怎樣看出是極點？）為了判斷極點級數(shù)，我們考察其倒函數(shù)2462020/12/27上面定給出了一個判別極點階數(shù)的有效方法（怎樣看出是極點？）為

注意在判斷孤立奇點類型時，不要一看到函數(shù)的表面形式就急于作出結(jié)論。例如

利用洛朗展式容易知道，z=0分別是它們的一級極點，可去奇點，二級極點。

在判斷函數(shù)的極點級數(shù)時，下列結(jié)論有時是非常有用的。2472020/12/27注意在判斷孤立奇點類型時，不要一看到函數(shù)的表面形式練習(xí)：求下列函數(shù)的孤立奇點及類型2482020/12/27練習(xí)：求下列函數(shù)的孤立奇點及類型2482020/12/275.函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點的性態(tài)現(xiàn)在我們在擴充復(fù)平面上討論問題。為什么？2492020/12/275.函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點的性態(tài)現(xiàn)在我們在擴充復(fù)平面上討論問題。無窮遠(yuǎn)點的研究方法：2502020/12/27無窮遠(yuǎn)點的研究方法：2502020/12/27

這樣無窮孤立奇點的分類問題就轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)的t=0點的類型問題。當(dāng)然，也可通過直接羅朗展開而判別類型：（1）若展式中不含z的正冪次項，則無窮為可去奇點；（2）若展式中含z的有限個正冪次項，則無窮為極點；（3）若展式中含z的無窮多正冪次項，則無窮為本性奇點。2512020/12/27這樣無窮孤立奇點的分類問題就轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)當(dāng)然，也可通過無窮為本性奇點的例子思考：無窮為孤立奇點時其類型與極限的關(guān)系如何？2522020/12/27無窮為本性奇點的例子思考：無窮為孤立奇點時其類型與極限的關(guān)系

§2留數(shù)1.留數(shù)的定義及留數(shù)定理.z0cr

上式兩端沿c積分，其中c為此去心鄰域內(nèi)圍繞z0的任一正向簡單閉曲線，得到2532020/12/27§2留數(shù)1.留數(shù)的定義及留數(shù)定理.z0cr特點：本來右端有無窮多項，積分后，結(jié)果只留下一項不為零。由此引出了留數(shù)的定義：定義：

由定義，函數(shù)在某一孤立奇點處的留數(shù)即函數(shù)在該點的去心鄰域內(nèi)的羅朗展式中負(fù)一次冪的系數(shù)c-1。2542020/12/27特點：本來右端有無窮多項，積分后，結(jié)果只留下定義：問題：可去奇點處的留數(shù)為多少？02552020/12/27問題：可去奇點處的留數(shù)為多少？025