高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試分類匯編立體幾何中的基本圖形位置關(guān)系蘇教版

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）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由題意易知為長方體，則異面直線與所成角為，由題設(shè)可得，即可求，進(jìn)而可得其余弦值.【詳解】由題意，為長方體，∴，且共線，即為體對角線，∴異面直線與所成角為，而，∴在△中，，故.故選：C2．（2021·江蘇·南京市建鄴高級中學(xué)高一期末）如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角為（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】D【解析】【分析】連接，由已知條件可證得平面，從而可得，由此可得答案【詳解】連接，則，因?yàn)槠矫?，在平面?nèi)，所以，因?yàn)?，所以平面，因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)，所以，所以異面直線與所成的角為，故選：D【點(diǎn)睛】此題考查求異面直線所成的角，屬于基礎(chǔ)題3．（2021·江蘇常州·高一期末）如圖，已知平面，，且，設(shè)梯形中，，且，，則下列結(jié)論一定正確的是（

）．A． B．直線與可能為異面直線C．直線與可能為異面直線 D．直線，，相交于一點(diǎn)【答案】D【解析】【分析】由梯形的定義、平面的基本性質(zhì)和異面直線的定義結(jié)合圖形可判斷ABC；設(shè)、交點(diǎn)為，可得在內(nèi)且在內(nèi)，則在平面的交線上可判斷D.【詳解】梯形中，，且，，則不一定成立，故A錯誤；因?yàn)?，所以在同一平面?nèi)，所以直線與不可能為異面直線，直線與不可能為異面直線，故BC錯誤；由、相交，設(shè)交點(diǎn)為，可得在上，又，可得在內(nèi)，同理可得在上，又，可得在內(nèi)，則在平面的交線上，即直線，，相交于一點(diǎn)，故D正確.故選：D.4．（2021·江蘇淮安·高一期末）已知m，n，l是不重合的三條直線，，，是不重合的三個平面，則（

）A．若，，則 B．若，，，則C．若，，，則 D．若，，，，則【答案】C【解析】【分析】利用空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系對四個選項(xiàng)逐一分析判斷，即可得到答案．【詳解】解：對于，若，，則或，故選項(xiàng)錯誤；對于，若，，，則或與相交，故選項(xiàng)錯誤；對于，若，，則平面內(nèi)各作一條直線，，且與相交，則，，又，則，，又與相交，，在平面，則，故選項(xiàng)正確；對于，若，，，，則或與相交，故選項(xiàng)錯誤．故選：．5．（2021·江蘇揚(yáng)州·高一期末）設(shè)是兩條不同的直線，是三個不同的平面.下列命題中正確的命題是（

）A．若，，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，，則【答案】D【解析】【分析】由兩平行平面中兩直線的位置關(guān)系判定；由垂直于同一平面的兩平面的位置關(guān)系判定；由平行于同一平面的兩直線的位置關(guān)系判定；由直線與平面垂直的性質(zhì)判斷．【詳解】解：若，，，則或與異面，故錯誤；若，，則或與相交，故錯誤；若，，則或與相交或與異面，故錯誤；若，，則，又，則，故正確．故選：．二、多選題6．（2021·江蘇蘇州·高一期末）設(shè)m，n是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題正確的有（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】AC【解析】【分析】結(jié)合空間中直線與平面的位置關(guān)系進(jìn)行判定，也可以通過舉例說明命題錯誤.【詳解】對于A，因?yàn)椋?，A正確；對于B，因?yàn)闀r，也可以平行，所以B錯誤；對于C，因?yàn)?，所以，C正確；對于D，因?yàn)闀r，直線也可能在平面內(nèi)，所以D錯誤；故選：AC.7．（2021·江蘇淮安·高一期末）如圖，點(diǎn)M是棱長為1的正方體的側(cè)面上的一個動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．二面角的大小為45°B．存在點(diǎn)，使得異面直線與所成的角為30°C．點(diǎn)M存在無數(shù)個位置滿足D．點(diǎn)M存在無數(shù)個位置滿足平面【答案】ACD【解析】【分析】結(jié)合選項(xiàng)逐個分析，選項(xiàng)A：二面角即為二面角,求出二面角的平面角即可判斷；選項(xiàng)B：由則為異面直線與所成角，即可判斷；選項(xiàng)C：連接,當(dāng)M在上時滿足條件，可判斷；選項(xiàng)D:可證明平面平面，從而可判斷.【詳解】選項(xiàng)A：二面角即為二面角在正方體中，所以為二面角的平面角，由所以二面角的大小為45°，故選項(xiàng)A正確.選項(xiàng)B：∵，∴為異面直線與所成角，平面,平面,所以在直角三角形中，當(dāng)M在線段上移動時，M取中點(diǎn)，的長最小為.此時最小，正切值為，所以選項(xiàng)B錯誤.選項(xiàng)C：連接,當(dāng)M在上時，滿足條件.∵，，∴平面,當(dāng)M在上時,平面,所以∵當(dāng)M在上時，滿足條件.

故選項(xiàng)C正確.選項(xiàng)D：連接，平面，平面∴平面，∵，平面，平面∴平面∵,∴平面平面當(dāng)M在時，平面∴平面，故選項(xiàng)D正確故選：ACD三、填空題8．（2021·江蘇淮安·高一期末）若一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是等腰梯形，且，，則該平面圖形的面積為__________.【答案】【解析】【分析】先在直觀圖求出的長，然后利用原圖與直觀圖的關(guān)系求出原圖的面積【詳解】作，，因?yàn)?，，所以?因此.又根據(jù)斜二測畫法的特征可得，在原圖中，，即原圖為直角梯形，且高為直觀圖中的2倍，所以該平面圖形的面積為.故答案為：四、解答題9．（2021·江蘇常州·高一期末）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面底面，為的中點(diǎn)，是棱的中點(diǎn)，，，．（1）若平面與平面的交線為，求證：；（2）求直線與平面所成角的正切值；（3）求直線與所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）利用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，結(jié)合線面角定義進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)，結(jié)合異面直線所成角的定義和余弦定理進(jìn)行求解即可.【詳解】證明：（1）∵、面、面，∴面,面，又∵面面，∴．（2）解：連結(jié)，取中點(diǎn)，連結(jié)，，∵是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，∴，∵，為的中點(diǎn)，∴，又∵平面平面，且平面平面，∴平面，∴平面，∴是在平面內(nèi)的射影，∴為與平面所成的角，∵，，為的中點(diǎn)，，∴四邊形為矩形，∴，，又∵，∴中，，∴直線與平面所成角的正切值為．（3）解：由（2）知，∴直線與所成角即為直線與所成角，連接，中，，中，，又，∴中，，∴直線與所成角的余弦值為．10．（2021·江蘇省響水中學(xué)高一期末）如圖所示，直三棱柱中，，，，、分別是、的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求線段的長度；（Ⅲ）求異面直線與的夾角余弦值．【答案】（Ⅰ）證明見詳解；（Ⅱ）；（Ⅲ）【解析】（Ⅰ）先由題中條件，根據(jù)線面垂直的判定定理，證明平面，進(jìn)而可得；（Ⅱ）根據(jù)題中條件，得到，再由勾股定理，即可得出結(jié)果；（Ⅲ）連接，取的中點(diǎn)為，取的中點(diǎn)為，連接，，，根據(jù)題中條件，得到即等于異面直線與所成的角或所成角的補(bǔ)角，再由題中數(shù)據(jù)，解三角形，即可得出結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)橹比庵?，，所以；又是的中點(diǎn)，所以；又直棱柱中，側(cè)棱與底面垂直，所以平面；又平面，所以；因?yàn)?，平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以；（Ⅱ）因?yàn)橹崩庵校瑐?cè)棱與底面垂直，所以平面；又分別是的中點(diǎn)，，則平面，；因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，，所以，因此；（Ⅲ）連接，取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，連接，，，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，，且，，所以即等于異面直線與所成的角或所成角的補(bǔ)角；取中點(diǎn)為，連接，，則，且，因此且，因此四邊形為平行四邊形，所以，因此，在中，，所以異面直線與的夾角余弦值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：立體幾何體中空間角的求法：（1）定義法：根據(jù)空間角（異面直線所成角、線面角、二面角）的定義，通過作輔助線，在幾何體中作出空間角，再解對應(yīng)三角形，即可得出結(jié)果；（2）空間向量的方法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量，平面的法向量，通過計(jì)算向量夾角（兩直線的方法向量夾角、直線的方向向量與平面的法向量夾角、兩平面的法向量夾角）的余弦值，來求空間角即可.一、單選題1．（2021·江蘇·泰州中學(xué)高一期末）已知空間三個平面下列判斷正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【解析】【分析】若，結(jié)合圖形可得與相交或平行，可知A、B均錯誤；根據(jù)面面平行的傳遞性可知C錯誤，D正確.【詳解】若，則與相交或平行；故A、B均錯誤；根據(jù)面面平行的傳遞性可知C錯誤，D正確.故選：D2．（2021·江蘇·高一期末）設(shè)，是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面，給出下列四個命題：①若，，則；②若，，，則；③若，，則．其中正確命題的序號是（

）A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①②③【答案】A【解析】【分析】根據(jù)線面平行性質(zhì)定理，結(jié)合線面垂直的定義，可得①是真命題；根據(jù)面面平行的性質(zhì)結(jié)合線面垂直的性質(zhì)，可得②是真命題；在正方體中舉出反例，可得平行于同一個平面的兩條直線不一定平行，垂直于同一個平面和兩個平面也不一定平行，可得③不正確．由此可得本題的答案．【詳解】對于①，因?yàn)?，所以?jīng)過作平面，使，可得，又因?yàn)?，，所以，結(jié)合得．由此可得①是真命題；對于②，因?yàn)榍遥?，結(jié)合，可得，故②是真命題；對于③，設(shè)直線、是位于正方體上底面所在平面內(nèi)的相交直線，而平面是正方體下底面所在的平面，則有且成立，但不能推出，故③不正確；故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：線面平行、面面平行的性質(zhì)和線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．二、多選題3．（2021·江蘇蘇州·高一期末）如圖，在棱長為4的正方體中，M，N分別是的中點(diǎn)，則（

）A．平面B．二面角的正切值為C．三棱錐的內(nèi)切球半徑為D．過直線與平面平行的平面截該正方體所得截面的面積為18【答案】BCD【解析】【分析】選項(xiàng)A中，連接A1C1，交MN于點(diǎn)P，連接AP，利用向量法證明AP與A1C不垂直，即A1C與平面AMN不垂直；選項(xiàng)B中，找出∠APA1是二面角A1﹣MN﹣A的平面角，計(jì)算tan∠APA1即可；選項(xiàng)C中，利用等體積法求出三棱錐A1﹣AMN的內(nèi)切球半徑長；選項(xiàng)D中，取B1C1的中點(diǎn)E，C1D1的中點(diǎn)F，連接BE、EF、DF，四邊形BEFD是過直線BD與平面AMN平行的截面，可求出四邊形的面積．【詳解】對于A，如圖1所示，連接A1C1，B1D1，則MNB1D1，由B1D1⊥平面A1C1C，得MN⊥平面A1C1C，所以MN⊥A1C；設(shè)MN交A1C1于點(diǎn)P，連接AP，以矩形ACC1A1的底邊AC為x軸，AA1為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2所示：則所以，則，所以與不垂直，即AP與A1C不垂直，所以A1C與平面AMN不垂直，選項(xiàng)A錯誤；對于B，由上有MN⊥平面A1C1C，則，且所以∠APA1是二面角的平面角，則tan∠APA1＝＝＝2，所以二面角的正切值為，選項(xiàng)B正確；對于C，設(shè)三棱錐A1﹣AMN的內(nèi)切球半徑為r，,,則所以又解得，所以三棱錐A1﹣AMN的內(nèi)切球半徑為，選項(xiàng)C正確；對于D，如圖3所示取B1C1的中點(diǎn)E，C1D1的中點(diǎn)F，連接BE、EF、DF，則,又，所以,所以四點(diǎn)共面.平面AMN平面BEFD，且平面平面,平面平面，所以,又，所以四邊形為平行四邊形.則,由，則則四邊形BEFD是過直線BD與平面AMN平行的截面，且四邊形BEFD是等腰梯形，梯形BEFD的面積為,所以選項(xiàng)D正確．故選：BCD．4．（2021·江蘇·高一期末）如圖，在長方體中，，，，分別為棱，的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．四點(diǎn)共面 B．平面平面C．直線與所成角的為 D．平面【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)線面的位置關(guān)系逐個判斷選項(xiàng)即可.【詳解】對于A，由圖顯然、是異面直線，故四點(diǎn)不共面，故A錯誤；對于B，由題意平面，故平面平面，故B正確；對于C，取的中點(diǎn)，連接、，可知三角形為等邊三角形，故C正確；對于D，平面，顯然與平面不平行，故D錯誤；故選：BC【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體的線面位置關(guān)系判定與證明：（1）對于異面直線的判定要熟記異面直線的概念：把既不平行也不相交的兩條直線稱為異面直線；（2）對于線面位置關(guān)系的判定中，熟記線面平行與垂直、面面平行與垂直的定理是關(guān)鍵.5．（2021·江蘇·南京市第一中學(xué)高一期末）點(diǎn)是正方體中側(cè)面正方形內(nèi)的一個動點(diǎn)，則下面結(jié)論正確的是（

）A．滿足的點(diǎn)的軌跡為線段B．點(diǎn)存在無數(shù)個位置滿足直線平面C．在線段上存在點(diǎn)，使異面直線與所成的角是D．若正方體的棱長為1，三棱錐的體積的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】對于A，由正方體的性質(zhì)和可得平面，從而可得點(diǎn)在線段上時，有；對于B，由正方體的性質(zhì)可得平面∥平面，所以當(dāng)點(diǎn)在上時，均有平面，從而可判斷；對于C，異面直線與所成的角是，當(dāng)在線段上運(yùn)動時，點(diǎn)取的中點(diǎn)時，最小，其正切值為，從而可判斷；對于D，由正方體的性質(zhì)得，平面，若正方體的棱長為1，則點(diǎn)與重合時，三棱錐的體積取得最大，從而可求出其體積【詳解】解：對于A，如圖，在正方體中，平面，平面，所以，因?yàn)?，，所以平面，所以?dāng)點(diǎn)在線段上時，有，所以點(diǎn)的軌跡為線段，所以A正確；對于B，在正方體中，因?yàn)椤?，平面，平面，所以∥平面，同理∥平面，而，所以平面∥平面，所以?dāng)點(diǎn)在上時，均有平面，所以點(diǎn)存在無數(shù)個位置滿足直線平面，所以B正確；對于C，異面直線與所成的角是，當(dāng)在線段上運(yùn)動時，點(diǎn)取的中點(diǎn)時，最小，其正切值為，所以不存在點(diǎn)，使異面直線與所成的角是，所以C錯誤；對于D，由正方體的性質(zhì)得，平面，若正方體的棱長為1，則點(diǎn)與重合時，三棱錐的體積取得最大，其值為，所以D正確，故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查以正方體為模型判斷線線垂直，線面平行，求異面直線所在的角等，解題的關(guān)鍵是正確利用正方體的性質(zhì)。6．（2021·江蘇·南京師大附中高一期末）正方體的棱長為分別為的中點(diǎn).則（

）A．直線與直線AF垂直B．直線與平面AEF平行C．平面AEF截正方體所得的截面面積為D．點(diǎn)和點(diǎn)D到平面AEF的距離相等【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)異面直線所成角的定義判斷A，由面面平行的性質(zhì)定理判斷B，作出完整的截面，判斷CD．【詳解】因?yàn)?，而與顯然不垂直，因此與不垂直，A錯；取中點(diǎn)，連接，，由分別是中點(diǎn)，得，又，，是平行四邊形，所以，，平面，所以平面，平面，而，平面，所以平面平面，又平面，所以平面．B正確；由正方體性質(zhì)，連接，則截面即為四邊形，它是等腰梯形，，，等腰梯形的高為，截面面積為，C正確，設(shè)，易知是的中點(diǎn)，所以兩點(diǎn)到平面的距離相等．D正確．故選：BCD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查正方體的性質(zhì)．考查異面直線所成角的定義，面面平行的性質(zhì)定理，考查正方體的截面問題．在證明面面平行時，注意判定定理的條件，對正方體的截面，解決問題的最好方法是作出完整的截面，然后根據(jù)正方體的性質(zhì)確定截面的性質(zhì)，從而完成求解．三、填空題7．（2021·江蘇徐州·高一期末）如圖，等邊三角形SAB為該圓錐的軸截面，點(diǎn)C為母線SB的中點(diǎn)，D為的中點(diǎn)，則異面直線SA與CD所成角為__________．【答案】【解析】【分析】取AB中點(diǎn)O，連接OC，OD，證明為異面直線SA與CD所成角即可得解.【詳解】取AB中點(diǎn)O，連接OC，OD，SO，如圖：因點(diǎn)C為母線SB的中點(diǎn)，則CO//SA，于是有異面直線SA與CD所成角是或其補(bǔ)角，又正為圓錐SO的軸截面，D為的中點(diǎn)，則，從而得平面，平面，則，因，平面，則平面，又平面，因此有，而，于是得，所以異面直線SA與CD所成角為.故答案為：四、解答題8．（2021·江蘇·南京市建鄴高級中學(xué)高一期末）如圖，是以為直徑的半圓上一點(diǎn)，垂直于圓所在的平面．（1）求證：平面；（2）若，，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)定理證得，直徑所對的圓周角為直角證得，再線面垂直的判定定理可證；（2）數(shù)形結(jié)合，證得即為二面角的平面角，然后在三角形中，利用邊角關(guān)系求解即可.【詳解】解析：（1）因?yàn)榇怪庇趫A所在的平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)槭且詾橹睆降陌雸A上一點(diǎn)，所以，又，平面，所以平面（2）連接，在半圓中，因?yàn)?，所以，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，在內(nèi)過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，連接，則面BCD，則為在面的投影，因?yàn)?，所以，所以即為二面角的平面角，其中，由得，算得，，所以，故二面角的余弦值為?．（2021·江蘇蘇州·高一期末）如圖1，在矩形中，已知，E為的中點(diǎn).將沿向上翻折，進(jìn)而得到多面體（如圖2）.（1）求證：；（2）在翻折過程中，求二面角的最大值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）在矩形中，可證明，則在翻折過程中，從而可證明平面，從而可證明.（2）過作，垂足為H，過H作，垂足