運籌學(xué)課件及課后答案-5目標(biāo)第一節(jié)數(shù)學(xué)模型

第五章目標(biāo)規(guī)劃第一

標(biāo)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型a.

問題的提出目標(biāo)規(guī)劃屬于決策分析中的多目標(biāo)規(guī)劃的范疇，而多目標(biāo)規(guī)劃的問題可以追溯到經(jīng)濟學(xué)上的

Pareto

最優(yōu)概念的闡述。隨著現(xiàn)代企業(yè)管理專業(yè)分工要求的細(xì)化，為了

協(xié)調(diào)企業(yè)的各個部門的工作，產(chǎn)生了目標(biāo)管理這種先進(jìn)的管理技術(shù)和方法。目標(biāo)規(guī)劃正是實現(xiàn)目標(biāo)管理的有效工具之一，它根據(jù)企業(yè)制定的多個經(jīng)營目標(biāo)以及這些目標(biāo)間的輕重緩急次序，在考慮現(xiàn)有資源約束的條件下，分析如何達(dá)到規(guī)定目標(biāo)或從總體上離規(guī)定目標(biāo)的差距最小。目標(biāo)規(guī)劃的有關(guān)模型最早在

1961

年由 學(xué)者

A.

Charnes和

W.

Cooper

在研究項目管理問題時在《管理模型和線性規(guī)劃的工業(yè)應(yīng)用》一書中 。其后，這種模型又經(jīng)過

.艾吉里、

基 和?！だ畈粩喔倪M(jìn)。1976

年 尼齊奧 了《目標(biāo)規(guī)劃其擴展》一書中，系統(tǒng)地總結(jié)了目標(biāo)規(guī)劃的理論和方法，使這項技術(shù)趨于成熟，并逐漸廣泛地應(yīng)用到項目管理和 管理之中。b.

目標(biāo)規(guī)劃的原理利用線性規(guī)劃的形式，對每個目標(biāo)確定一個基準(zhǔn)值，這個基準(zhǔn)值反映了決策者在這個目標(biāo)上想要達(dá)到的理想狀態(tài)或至少在此目標(biāo)上應(yīng)達(dá)到的水平。但由于資源限制以及目標(biāo) ，一

般不可能在每個目標(biāo)的實現(xiàn)上都 ，而必然存在與基準(zhǔn)值的偏差。于是可在每個目標(biāo)上用正負(fù)偏差

d＋，d－

來度量其程度，并希望我們厭惡的某些“正或負(fù)偏差”最小。此外，由于在目標(biāo)體系中，每個目標(biāo)的重要性等級不同， 這些信息都納入新的目標(biāo)函數(shù)之中，從而構(gòu)造出新的目標(biāo)規(guī)劃的模型。c.

目標(biāo)規(guī)劃的建模需確定：有哪些目標(biāo)目標(biāo)間的重要性等級的確定和等級間的遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于關(guān)系是否存在基準(zhǔn)值的確定當(dāng)基準(zhǔn)值確定后，還有一些專門的術(shù)語：不低于，不超過，充分利用（既不低于又不超過）需要注意。這些術(shù)語往往可從決策者處得到，或者用另外一些描述間接得到，作為決策支持者，應(yīng)該認(rèn)真體會其含義同時，在建立目標(biāo)規(guī)劃時，還要特別注意目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)建，這是目標(biāo)規(guī)劃建模中的難點。另一個要注意的地方是目標(biāo)規(guī)劃本身，只有在目標(biāo)重要性等級間的遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于關(guān)系存立是前提下，才能建立目標(biāo)規(guī)劃的模型。具

體

案

例例1

某工廠生產(chǎn)Ⅰ，Ⅱ兩種產(chǎn)品，已知有關(guān)數(shù)據(jù)見下表。試求獲利最大的生產(chǎn)方案。ⅠⅡ擁有量原材料(kg)設(shè)備(hr)21121110利潤(元/件)810解：這是求獲利最大的單目標(biāo)的規(guī)劃問題，用x1，x2分別表示Ⅰ，Ⅱ產(chǎn)品的產(chǎn)量，其線性規(guī)劃模型表述為：目標(biāo)函數(shù)：max

z

8

x1

10

x22

x1

x2

11

1

2

x

,

x

01

2滿足約束條件：

x

2

x

10

1

2

x

,

x

01

2滿足約束條件：

x

2

x

10目標(biāo)函數(shù)：max

z

8

x1

10

x22

x1

x2

11用圖解法求得最優(yōu)決策方案為：x1*=4,

x2*=3,

z*=62(元)。(4,3)實際上工廠在作決策時，要考慮市場等一系列其他條件（1)根據(jù)市場信息，產(chǎn)品Ⅰ的銷售量有下降的趨勢，故考慮產(chǎn)品Ⅰ的產(chǎn)量不大于產(chǎn)品Ⅱ。(2)超過計劃供應(yīng)的原材料時，需用高價采購，會使成本大幅度增加。(3)應(yīng)盡可能充分利用設(shè)備臺時，但不希望加班。(4)

應(yīng)盡可能達(dá)到并超過計劃利潤指標(biāo)56元。目標(biāo)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型有關(guān)的概念:1.設(shè)x1，x2為決策變量，此外，引進(jìn)正、負(fù)偏差變量d+，d-。正偏差變量d＋表示決策值超過目標(biāo)值的部分；負(fù)偏差變量d-表示決策值未達(dá)到目標(biāo)值的部分。因決策值不可能既超過目標(biāo)值同時又未達(dá)到目標(biāo)值，即恒有d+×d-=0。2.絕對約束和目標(biāo)約束絕對約束是指必須嚴(yán)格滿足的等式約束和不等式約

束；如線性規(guī)劃問題的所有約束條件，不能滿足這

些約束條件的解稱為非可行解，所以它們是硬約束。目標(biāo)約束是目標(biāo)規(guī)劃特有的，可把約束右端項看作要追求的目標(biāo)值。在達(dá)到此目標(biāo)值時允許發(fā)生正或負(fù)偏差，因此在這些約束中加入正、負(fù)偏差變量，它們是軟約束。線性規(guī)劃問題的目標(biāo)函數(shù)，在給定目標(biāo)值和加入正、負(fù)偏差變量后可變換為目標(biāo)約束。也可根據(jù)問題的

需要將絕對約束變換為目標(biāo)約束。如：例1的目標(biāo)函數(shù)z=8x1+10x2

可變換為目標(biāo)約束8x1+10x2+d1--d1+=56。約束條件2x1+x2≤11可變換為目標(biāo)約束

2x1+x2+d2-—d2+=11。3.優(yōu)先因子(優(yōu)先等級)與權(quán)系數(shù)一個規(guī)劃問題常常有若干目標(biāo)。但決策者在要求達(dá)到這些目標(biāo)時，是有主次或輕重緩急的不同。要求第一位達(dá)到的目標(biāo)賦予優(yōu)先因子P1，次位的目標(biāo)賦予優(yōu)先因子P2，…，并規(guī)定Pk>>Pk+1,k=1,2,…，K。表示Pk比Pk+1有更大的優(yōu)先權(quán)。即首先保證P1級目標(biāo)的實現(xiàn)，這時可不考慮次級目標(biāo)；而P2級目標(biāo)是在實現(xiàn)P1級目標(biāo)的基礎(chǔ)上考慮的；依此類推。若要區(qū)別具有相同優(yōu)先因子的兩個目標(biāo)的差別，這時可分別賦予它們不同的權(quán)系數(shù)ωj,這些都由決策者按具體情況而定。4.目標(biāo)規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)(準(zhǔn)則函數(shù))是按各目標(biāo)

約束的正、負(fù)偏差變量和賦予相應(yīng)的優(yōu)先因

子及權(quán)系數(shù)而構(gòu)造的。當(dāng)每一目標(biāo)值確定后，決策者的要求是盡可能縮小偏離目標(biāo)值。因

此目標(biāo)規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)只能是min

z=f(d+,d-)。其基本形式有三種：(1)要求恰好達(dá)到目標(biāo)值，即正、負(fù)偏差變量都要盡可能地小，這時min

z=f(d++d-)(2)要求不超過目標(biāo)值，即允許達(dá)不到目標(biāo)值，就是正偏差變量要盡可能地小。這時min

z=f(d+)(3)要求超過目標(biāo)值，即超過量不限，但必須是負(fù)偏差變量要盡可能地小，這時min

z=f(d-)對每一個具體目標(biāo)規(guī)劃問題，可根據(jù)決策者的要求和賦予各目標(biāo)的優(yōu)先因子來構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，以下用例子說明。例2

：例1的決策者在原材料供應(yīng)受嚴(yán)格限制的基礎(chǔ)上考慮：首先：產(chǎn)品Ⅱ的產(chǎn)量不低于產(chǎn)品Ⅰ的產(chǎn)量；其次：充分利用設(shè)備有效臺時，不加班；

再次：利潤額不小于56元。求決策方案。解按決策者所要求的，分別賦予這三個目標(biāo)

xP1，P2，P3優(yōu)先因子。這問題的數(shù)學(xué)模型是：目標(biāo)函數(shù)：

min

z

P

d

P

(d

d

)

P

d

1

1

2

2

2

3

32

x1

x2

11

x

d

d

02

1

1

1

23

3

0,

i

1,2,3x

,

x

,

d

,

d8

x

10

x

d

d

56

1

2

i

i1

2

2

2滿足約束條件：

x

2

x

d

d

101第二

標(biāo)規(guī)劃的圖解法圖解法的基本知識，高中階段已經(jīng)談到，同時，線性規(guī)劃部分也有論述。但在目標(biāo)規(guī)劃中必須注意以下幾點能避免出錯。首先按硬約束畫出可行域在可行域上，按目標(biāo)等級的優(yōu)先順序逐．級．進(jìn)行

。若進(jìn)行i到第

i

個等級，則畫出第

i

個目標(biāo)的軟約束在d

0

的等值線，并

等值線上下移動時，

d

,

d

的方向。再由目標(biāo)函數(shù)中對d

,

d

i

i

i

i的極小化要求，判斷合理的取值區(qū)域。如果第

i

個等級中有多個目標(biāo)，則分別依各自的權(quán)重大小同上做法依次

。例某電視機廠裝配黑白和彩色兩種電視機，每裝配一臺電視機需占用裝配線1小時，裝配線每周計劃開動40小時。預(yù)計市場每周彩色電視機的銷量是24臺，每臺可獲利80元；黑白電視機的銷量是30臺，每臺可獲利40元。該廠確定的目標(biāo)為：第一優(yōu)先級：充分利用裝配線每周計劃開動40小時；第二優(yōu)先級：允許裝配線加班；但加班時間每周盡量不超過10小時；第三優(yōu)先級：裝配電視機的數(shù)量盡量滿足市場需要。因彩色電視機的利潤高，取其權(quán)系數(shù)為2。試建立這問題的目標(biāo)規(guī)劃模型，并求解黑白和彩色電視機的產(chǎn)量。解

設(shè)x1，x2分別表示黑白和彩色電視機的產(chǎn)量。這個問題的目標(biāo)規(guī)劃模型為x

,

x

,

d

0,

i

1

2

i2d

d

4

4min

P1d1

P2d2

P

P(d)0102030405060102030405060(a)(b)(c)滿足P1,P2的可行域滿足P1,P2,P3(c)的可行域目標(biāo)規(guī)劃的最優(yōu)解1d

+d2+——+d41d

4(24,26)

d

2d3d3

d

例：某企業(yè)生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品，因市場需求量大，銷路均不成問題。生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品所需的設(shè)備臺時及材料消耗定額和單位產(chǎn)品的利潤如下表所示，產(chǎn)品消耗資源甲乙資源限制設(shè)備臺時2412材料3312利潤（萬元/單位）43.2現(xiàn)工廠根據(jù)

計劃及滿足市場需要等因素，在決定計劃期內(nèi)產(chǎn)品甲乙的生產(chǎn)數(shù)量時，按目標(biāo)重要性程度由高到低考慮如下三個目標(biāo)：目標(biāo)1：在計劃期內(nèi)因生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品所獲的利潤，要求達(dá)到12

萬元或12

萬元以上。目標(biāo)2：為滿足市場對產(chǎn)品品種的需求，要求產(chǎn)品甲的產(chǎn)量是產(chǎn)品乙的1.

5

倍。目標(biāo)3：為充分利用設(shè)備臺時，必須使設(shè)備的空閑盡可能的少。①試建立該問題的數(shù)學(xué)模型（注：對產(chǎn)量沒有取整要求）。②用圖解法求解該問題。解：①依題意，設(shè)x1,x2

分別表示甲乙兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量。建立數(shù)學(xué)模型如下：

3

322

21

1

P

d

dd

P

dmin

z=

P硬約束2x1＋

4x2≤12

①3x1＋

3x2≤12

②軟約束③④⑤x1－

1.5x2＋

d

d

2

22x1＋

4x2＋

d

d

3

3P1: 4x1＋

3.2x2＋

d

d

=121

1P2:

=0P3:

=12x1,

x2,

x3≥0,

d

0,i

1,2,,9.i②圖解法。33d

43643.753212

d

341d

1d

0x1x22d

d2硬約束圍成區(qū)域內(nèi)，滿足第一等級目標(biāo)的區(qū)域。5滿足第一、二等級目標(biāo)的區(qū)域內(nèi)，能盡可能地滿足第三等級目標(biāo)的區(qū)域。這個區(qū)域僅包含點(2.4,

1.6).滿足第一等級目標(biāo)的區(qū)域內(nèi)，還滿足第二等級目標(biāo)的區(qū)域。這個區(qū)域是一條線段。第3節(jié)解目標(biāo)規(guī)劃的單純形法目標(biāo)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)與線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)形式上沒有本質(zhì)的區(qū)別，所以可用單純形法求解。但要考慮目標(biāo)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型一些特點，作以下規(guī)定：(1)

因目標(biāo)規(guī)劃問題的目標(biāo)函數(shù)都是求最小化，所以以cj-zj≥0，j=1,2,…，n為最優(yōu)準(zhǔn)則。(2)

因非基變量的檢驗數(shù)中含有不同等級的優(yōu)先因子，即j

1,2,,

n;

k

1,2,,

Kc

j

z

j

akj

Pk因P1>>P2>>…>>PK；從每個檢驗數(shù)的整體來看：檢驗數(shù)的正、負(fù)首先決定于P1的系數(shù)α1j的正、負(fù)。若α1j=0，這時此檢驗數(shù)的正、負(fù)就決定于P2的系數(shù)α2j的正、負(fù)，下面可依此類推。解目標(biāo)規(guī)劃問題的單純形法的計算步驟：(1)建立初始單純形表，在表中將檢驗數(shù)行按優(yōu)先因子個數(shù)分別列成K行，置k=1。(2)檢查該行中是否存在負(fù)數(shù)，且對應(yīng)的前k-1行的系數(shù)是零。若有負(fù)數(shù)取其中最小者對應(yīng)的變量為換入變量，轉(zhuǎn)(3)。若無負(fù)數(shù)，則轉(zhuǎn)(5)。(3)按最小比值規(guī)則確定換出變量，當(dāng)存在兩個和兩個以上相同的最小比值時，選取具有較高優(yōu)先級別的變量為換出變量。(4)按單純形法進(jìn)行基變換運算，建立新的計算表，返回(2)。(5)當(dāng)k=K時，計算結(jié)束。表中的解即為滿意解。否則置k=k+1，返回到(2)。例:試用單純形法來求解例2。將例2的數(shù)學(xué)模型化為

：xxxdid,,,10,,,2,38

12233112221211112223310xxddxxdd2xxdd2

x1x2xs滿足約束條件：目標(biāo)函數(shù)：

min

zPdPdPdd

)(

1101056sii①取xs，d1-，d2-，d3-為初始基變量，列初始單純形表，見表。cjP1P2P2P3θCBXBbx1x2xsd1-d1+d2-d2+d3-d3+xs1121111/1d1-01-11-1/P2d2-101[2]1-110/2P3d3-568101-156/10P11cj-zjP2P3-1-8-2-1021②取k=1，檢查P1行的檢驗數(shù)，因該行無負(fù)檢驗數(shù)，故轉(zhuǎn)(5)。③因k(=1)＜K(=3)，置k=k+1=2，返回到(2)。④當(dāng)k=2時,查出P2行檢驗數(shù)中有-1、-2；取min(-1,-2)=-2。它對應(yīng)的變量x2為換入變量，轉(zhuǎn)入(3)。⑤在表上計算最小比值

min(

11

,0.

10

,

56)

101

2

10

2它對應(yīng)的變量d2-為換出變量，轉(zhuǎn)入(4)⑥即進(jìn)行基變換運算，計算結(jié)果見表cjP1P2P2P3θCBXBbx1x2xsd1-d1+d2-d2+d3-d3+xs63/21-1/21/24d1-53/21-11/2-1/210/3x251/211/2-1/210P3d3-6[3]-551-16/3P11cj-zjP2P3-3151-51返回到(2)，得到最終表cjP1P2P2P3θCBXBbx1x2xsd1-d1+d2-d2+d3-d3+xs312-2-1/21/26d1-21-13-3-1/21/24x2414/3-4/3-1/61/624x121-5/35/31/3-1/3P11cj-zjP2P3111最終表所示的解x1*=2，x2*=4為例1的滿意解。此解相當(dāng)于圖解中的G點。檢查最終表的檢驗數(shù)行，發(fā)現(xiàn)非基變量d3+的檢驗數(shù)為0，這表示存在多重解。以非基變量d3+為換入變量，

d1-為換出變量，經(jīng)迭代得到下表。cjP1P2P3P4θCBXBbx1x2xsd1-d1+d2-d2+d3-d3+xsd3+141-121-2-161-6-11x210/31-1/31/31/3-1/3x110/312/3-2/31/3-1/3P11cj-zjP2P3111由上表得到解x1*=10/3，x2*=10/3，此解相當(dāng)于圖解中的D點，G、D兩點的凸線性組合都是例2的滿意解第4節(jié)

靈敏度分析目標(biāo)規(guī)劃的靈敏度分析方法與線性規(guī)劃相似，只是除分析各項系數(shù)的變化外，還有優(yōu)先因子的變化問題，下面舉例說明。改變目標(biāo)優(yōu)先等級的分析。例

已知目標(biāo)規(guī)劃問題

3

x

d

d

562

3

3

d

d

42

2

x

d

d

102

1

1目標(biāo)函數(shù)：

min

z

P

(2d

3d

)

P

d

P

d

1

1

2

2

3

3

4

x

,

x

,

d

,

d24

4

0,

i

1,2,3,4

x

d

d

1211

x滿足約束條件：5

x11

x

xi1

2

i得到最終表表1。目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)先等級變化為：(1)

min

z=P1(2d1++3d2+)+P2d4++P3d3-(2)

min

z=

P1d3-+P2(2d1++3d3+)+P3d4+試分析原解有什么變化。表1CBXBbP2x2x1d3-d4-6418211-3

3-1

1cj-zjP1P2P332-323-21解分析(1)，實際是將原目標(biāo)函數(shù)中d4+，d3-的優(yōu)先因子對換了一下。這時將表1的檢驗數(shù)中的P2、P3和cj行的P2、P3對換即可。這時可見原解仍滿足最優(yōu)解條件(見表2)。cj2P13P1P3P2θCBXBbx1x2d1-d1+d2-d2+d3-d3+d4-d4+x2611-1-11P3x1d3-d4-41821-3-1-2311-2-121-11-1P123cj-zjP2P33-32-211表2分析(2)，將變化了的優(yōu)先等級直接反映到表1上。再計算檢驗數(shù)，得表3。然后進(jìn)行迭代（表4，5

），直到求得新的滿意解（表6）x1*=4，x2*=12為止。cj2P2P13P2P3θCBXBbx1x2d1-d1+d2-d2+d3-d3+d4-d4+x2611-1-11P1x1d3-d4-41821-3-1-2311-2-121-11-1P1-32-21cj-zjP2P3331表3cj2P2P13P2P3θCBXBbx1x2d1-d1+d2-d2+d3-d3+d4-d4+x261-111-1P1x1d3-4121-21-2-121-12-3-232P2d1+2-111-1P12-213-3cj-zjP2P323-221表4cj2P2P13P2P3θCBXBbx1x2d1-d1+d2-d2+d3-d3+d4-d4+x261-5/35/31/3-1/3x141-2-1/31/32/3-2/3P3d4+4-2/32/31/3-1/3-112P2d1+2-11-2/32/31/3-1/3P1+cj-zjP2P32++-4/3-2/3+++表5CBXBbP3x2x1d4+d2+642311-3/-3/23/2

-1cj-zjP1P2P3++表6第5節(jié) 應(yīng)

用

舉

例

例

某單位

在考慮本單位職工的升級調(diào)資方案時，依次遵守以下規(guī)定：(1)不超過年工資總額60000元；(2)每級的人數(shù)不超過定編規(guī)定的人數(shù)；(3)Ⅱ，Ⅲ級的升級面盡可能達(dá)到現(xiàn)有人數(shù)的20%，且無越級提升；(4)Ⅲ級不足編制的人數(shù)可錄用新職工，又Ⅰ級的職工中有10%要退休。有關(guān)資料匯總于表5.1中，問該

應(yīng)如何擬訂一個滿意的方案。表5.1等級工資額(元/年)現(xiàn)有人數(shù)編制人數(shù)Ⅰ20001012Ⅱ15001215Ⅲ10001515合計3742解設(shè)x1、x2、x3分別表示提升到Ⅰ、Ⅱ級和錄用到Ⅲ級的新職工人數(shù)。對各目標(biāo)確定的優(yōu)先因子為：P1——不超過年工資總額60000元；P2——每級的人數(shù)不超過定編規(guī)定的人數(shù)；P3——Ⅱ、Ⅲ級的升級面盡可能達(dá)到現(xiàn)有人數(shù)的20%。先分別建立各目標(biāo)約束。P1:年工資總額不超過60000元2000(10-10×0.1+x1)+1500(12-x1+x2)d1—-d1+=60000(15-x2+x3)+P2：每級的人數(shù)不超過定編規(guī)定的人數(shù)：對Ⅰ級有對Ⅱ級有對Ⅲ級有10(1-0.1)+x1+d2-—d2+=1212-x1+x2+d3-—d3+=1515-x2+x3+d4-—d4+=15P3：Ⅱ，Ⅲ級的升級面不大于現(xiàn)有人數(shù)的20%，但盡可能多提；對Ⅱ級有對Ⅲ級有x1+d5-—d5+=12×0.2x2+d6-—d6+=15×0.2目標(biāo)函數(shù)：min

z=P1d1++P2(d2++d3++d4+)+P3(d5-+d6-)以上目標(biāo)規(guī)劃模型可用單純形法求解，得到多重解?，F(xiàn)將這些解匯總于表5.2，這單位的

再按具體情況，從表5.2中選一個執(zhí)行方案表5.2變量含1解2解3解4x1晉升到Ⅰ級的人數(shù)2.42.433x2晉升到Ⅱ級的人數(shù)3335x3新招收Ⅲ級的人數(shù)0335d

-1工資總額的結(jié)余額6300330030000d

-2Ⅰ級缺編人數(shù)0.60.600d

-3Ⅱ級缺編人數(shù)2.42.431d

-4Ⅲ級缺編人數(shù)300.60d

+5Ⅱ級超編人數(shù)0000.6d

+6Ⅲ級超編人數(shù)0002例

已知三個產(chǎn)地給四個銷地供應(yīng)某種產(chǎn)品，產(chǎn)銷地之間的供需量和單位運價見表5.3。有關(guān)部門在研究調(diào)運方案時依次考慮以下七項目標(biāo)，規(guī)定其相應(yīng)的優(yōu)先等級：P1——B4是重點保證單位，必須全部滿足其需要；P2——A3向B1提供的產(chǎn)量不少于100；P3——每個銷地的供應(yīng)量不小于其需要量的80%；P4——所定調(diào)運方案的總運費不超過最小運費調(diào)運方案的10%；P5——因路段的問題，盡量避免安排將A2的產(chǎn)品往B4；P6——給B1和B3的供應(yīng)率要相同；P7——力求總運費最省。試求滿意的調(diào)運方案。表5.3銷地產(chǎn)地B1B2B3B4產(chǎn)量A15267300A23546200A34523400銷量200100450250900/1000解表上作業(yè)法求得最小運費的調(diào)運方案見表