教學(xué)第三章可靠性概率分布課件

可靠性的概率分布可靠性的概率分布1學(xué)習(xí)要求1.了解二項(xiàng)分布、泊松分布的含義和計(jì)算

2.掌握指數(shù)分布、正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布和威布爾分布的特性以及特征值的獲取

3.會(huì)查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表學(xué)習(xí)要求1.了解二項(xiàng)分布、泊松分布的含義和計(jì)算

2.2主要內(nèi)容

離散型隨機(jī)變量的幾種常見分布兩點(diǎn)分布二項(xiàng)分布泊松分布幾何分布和負(fù)二項(xiàng)分布超幾何分布連續(xù)型隨機(jī)變量的幾種常見分布正態(tài)分布截尾正態(tài)分布對(duì)數(shù)正態(tài)分布指數(shù)分布伽瑪分布威布爾分布主要內(nèi)容離散型隨機(jī)變量的幾種常見分布3可靠性的概率分布

可靠性工程以產(chǎn)品的壽命特征為主要研究對(duì)象。產(chǎn)品的壽命特征一般是連續(xù)的隨機(jī)變量，例如產(chǎn)品故障時(shí)間和維修時(shí)間等。處理這種問題可利用概率統(tǒng)計(jì)方法，找出它們的概率分布和概率密度函數(shù)，有了確定的分布就可以求出該分布特征統(tǒng)計(jì)量，如正態(tài)分布的均值及標(biāo)準(zhǔn)差。即使不知道具體的分布函數(shù)，也可以通過對(duì)分布的參數(shù)估計(jì)求得某些特征量的估計(jì)值。這些分布及概率密度函數(shù)，不僅描述了壽命的內(nèi)在規(guī)律，而且分布的參數(shù)還決定了產(chǎn)品的壽命特征。因此必須對(duì)失效分布作較深入的研究

可靠性的概率分布可靠性工程以產(chǎn)品的壽命特征為主4離散型隨機(jī)變量的幾種常見分布

可靠性抽樣試驗(yàn)以及產(chǎn)品質(zhì)量保證等大量工程實(shí)際問題需要用到離散模型。主要有兩點(diǎn)分布二項(xiàng)分布泊松分布幾何分布與負(fù)二項(xiàng)分布超幾何分布離散型隨機(jī)變量的幾種常見分布可靠性抽樣試5兩點(diǎn)分布又稱（0，1）分布數(shù)學(xué)模型的隨機(jī)試驗(yàn)只可能有兩種試驗(yàn)結(jié)果兩點(diǎn)分布的分布列或分布律也可寫成:

也可表示為:兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布又稱（0，1）分布兩點(diǎn)分布6兩點(diǎn)分布數(shù)字特征:兩點(diǎn)分布可以作為描繪從一批產(chǎn)品中任意抽取一件得到的“合格品”或“不合格品”的概率分布模型

兩點(diǎn)分布數(shù)字特征:7二項(xiàng)分布又稱貝努里分布。二項(xiàng)分布滿足以下基本假定：試驗(yàn)次數(shù)n是一定的；每次試驗(yàn)的結(jié)果只有兩種，成功或失?。幻看卧囼?yàn)的成功概率和失敗概率相同，即p和q是常數(shù)；所有試驗(yàn)是獨(dú)立的。

所謂獨(dú)立試驗(yàn)是指將試驗(yàn)A重復(fù)做n次，若各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響，即每次試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的概率都與其他各次試驗(yàn)結(jié)果無關(guān)，則稱這n次試驗(yàn)是獨(dú)立的，并稱它們構(gòu)成一個(gè)序列二項(xiàng)分布

二項(xiàng)分布又稱貝努里分布。二項(xiàng)分布滿足以下基本假定：二項(xiàng)分布8

在二項(xiàng)分布中，若一次試驗(yàn)中，,則在n次獨(dú)立地重復(fù)試驗(yàn)中，試驗(yàn)A發(fā)生的概率為:上式為二項(xiàng)概率公式。若用X表示在n次重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，顯然，X是一個(gè)隨機(jī)變量，X的可能取值為0,1,2,…n，則隨機(jī)變量X的分布律為：此時(shí)，稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B（n,p）。當(dāng)n=1時(shí)，二項(xiàng)分布簡化為兩點(diǎn)分布即：二項(xiàng)分布

在二項(xiàng)分布中，若一次試驗(yàn)中，9隨機(jī)變量X取值不大于k的累積分布函數(shù)為:

X的數(shù)學(xué)期望與方差分別為:

二項(xiàng)分布用來計(jì)算冗余系統(tǒng)的可靠度，也可用于計(jì)算一次性使用裝置或系統(tǒng)的可靠度估計(jì)比如汽車上的雙管路制動(dòng)系統(tǒng)二項(xiàng)分布

隨機(jī)變量X取值不大于k的累積分布函數(shù)為:二項(xiàng)分布10在二項(xiàng)分布中，如果（常數(shù)），則二項(xiàng)分布可表示為：

此時(shí)，稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布。泊松分布可認(rèn)為是當(dāng)n無限大時(shí)二項(xiàng)分布的推廣。當(dāng)n很大、p很小時(shí)，可用泊松分布近似代替二項(xiàng)分布。一般地，當(dāng)n≥20,p≤0.05時(shí)，近似程度較好。隨機(jī)變量X取值不大于k次的累積分布函數(shù)為：

X的期望與方差分別為：

泊松分布

在二項(xiàng)分布中，如果（常數(shù)），11泊松分布，經(jīng)過適當(dāng)?shù)奶幚砜沙蔀橹笖?shù)分布。假定：在互不相交的時(shí)間區(qū)間內(nèi)所發(fā)生的失效是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的；單位時(shí)間內(nèi)的平均失效次數(shù)為常數(shù)，而與所考慮的時(shí)間區(qū)間無關(guān)。泊松過程有下面兩個(gè)重要性質(zhì):

(1)設(shè)t是時(shí)間區(qū)間的長度，則在此區(qū)間內(nèi)發(fā)生失效的次數(shù)X是一個(gè)整數(shù)型的隨機(jī)變量，在此時(shí)間區(qū)間內(nèi)，發(fā)生k次失效的概率服從一個(gè)均值為λt的泊松分布:

(2)在任意兩次相鄰的失效之間的時(shí)間T是獨(dú)立的連續(xù)型的隨機(jī)變量，服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布:

泊松分布

泊松分布，經(jīng)過適當(dāng)?shù)奶幚砜沙蔀橹笖?shù)分布。假定：泊松分布12

兩次失效的平均時(shí)間為,泊松過程適合于建模有較多的元件傾向于失效，而每個(gè)元件失效的概率比較小的情況泊松分布

兩次失效的平均時(shí)間為,泊松過程13例：有人打靶，每次命中率均為0.7，現(xiàn)獨(dú)立射擊5次，求恰好命中2次的概率？解：每次射擊有“擊中”和“未擊中”兩個(gè)可能，設(shè)，“恰好有兩次幾種”的情況有

二項(xiàng)分布實(shí)例如果要求命中不少于2次的概率？例：有人打靶，每次命中率均為0.7，現(xiàn)獨(dú)立射擊5次，求恰好命14例：一架飛機(jī)有三個(gè)著陸輪胎，若不多于一個(gè)輪胎爆破，飛機(jī)便能安全著陸。試驗(yàn)表明，每一千次著陸發(fā)生一次輪胎爆破。求飛機(jī)安全著陸的概率？解：

二項(xiàng)分布實(shí)例思考：假如只有兩個(gè)輪胎，安全著陸的概率？例：一架飛機(jī)有三個(gè)著陸輪胎，若不多于一個(gè)輪胎爆破，飛機(jī)便能安15正態(tài)分布對(duì)數(shù)正態(tài)分布指數(shù)分布伽瑪分布威布爾分布連續(xù)型隨機(jī)變量的幾種常見分布正態(tài)分布連續(xù)型隨機(jī)變量的幾種常見分布16指數(shù)分布1.指數(shù)分布在數(shù)學(xué)上易處理成直觀的曲線失效率反映了特征參數(shù)單參數(shù)分布最基本最常用的分布若產(chǎn)品的壽命或某一特征值t的故障密度為則稱t服從參數(shù)λ的指數(shù)分布指數(shù)分布1.指數(shù)分布17指數(shù)分布的特征量函數(shù):不可靠度（失效）函數(shù)可靠度函數(shù)平均壽命

指數(shù)分布指數(shù)分布的特征量函數(shù):指數(shù)分布18中位壽命：r=0.5特征壽命：壽命方差：標(biāo)準(zhǔn)差：

中位壽命：r=0.519指數(shù)分布性質(zhì)

指數(shù)分布性質(zhì)指數(shù)分布的一個(gè)重要性質(zhì)是無記憶性。無記憶性是產(chǎn)品在經(jīng)過一段時(shí)間t0工作之后的剩余壽命仍然具有原來工作壽命相同的分布，而與t無關(guān)。這個(gè)性質(zhì)說明，壽命分布為指數(shù)分布的產(chǎn)品，過去工作了多久對(duì)現(xiàn)在和將來的壽命分布不發(fā)生影響在“浴盆曲線”中，它是屬于偶發(fā)期這一時(shí)段的

指數(shù)分布性質(zhì)指數(shù)分布性質(zhì)20指數(shù)分布的特點(diǎn)只含單一參數(shù)，形式簡單平均壽命、特征壽命、標(biāo)準(zhǔn)離差相等，為故障率越小，平均壽命越大，但越大，分布越分散平均壽命大于中位壽命指數(shù)分布的特點(diǎn)21發(fā)動(dòng)機(jī)中有四種故障的壽命概率分布屬于指數(shù)分布受隨機(jī)性沖擊時(shí)產(chǎn)生的故障：故障與使用時(shí)間無關(guān)，僅與外界超強(qiáng)度的沖擊力隨機(jī)到來和內(nèi)部潛伏的隱患偶然爆發(fā)有關(guān)，它們是隨機(jī)性偶然發(fā)生故障，如內(nèi)燃機(jī)超載下工作或過熱造成的故障正常使用下的突發(fā)故障：常載下往復(fù)運(yùn)動(dòng)零件損傷，或人為失誤造成的故障，或偶然性操作不當(dāng)浴盆曲線的Ⅱ階段（使用壽命期）發(fā)動(dòng)機(jī)返復(fù)多次維修期間所發(fā)生的故障可考慮為指數(shù)分布故障發(fā)動(dòng)機(jī)中有四種故障的壽命概率分布屬于指數(shù)分布22例：內(nèi)燃機(jī)增壓器處于使用壽命期中工作，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)知，壽命服從指數(shù)分布，在100小時(shí)工作內(nèi)有1%發(fā)生故障，求可靠度R（2000），的使用壽命？解：先求λF（100）=0.01

例：內(nèi)燃機(jī)增壓器處于使用壽命期中工作，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)知，壽命服23指數(shù)分布例題例：一元件壽命服從指數(shù)分布，其平均壽命(θ)為2000小時(shí)，求故障率λ及求可靠度R

(100)=?R(1000)=?解：

此元件在100小時(shí)時(shí)的可靠度為0.95，而在1000小時(shí)時(shí)的可靠度為0.60

指數(shù)分布例題例：一元件壽命服從指數(shù)分布，其平均壽命(θ)為224正態(tài)分布

正態(tài)分布在機(jī)械可靠性設(shè)計(jì)中大量應(yīng)用，如材料強(qiáng)度、磨損壽命、齒輪輪齒彎曲、疲勞強(qiáng)度以及難以判斷其分布的場(chǎng)合。屬于遞增型故障率的概率分布。它的分布曲線處于浴盆曲線的耗損階段若產(chǎn)品壽命或某特征值有故障密度

正態(tài)分布正態(tài)分布在機(jī)械可靠性設(shè)計(jì)中大量應(yīng)用，如材料強(qiáng)度、磨25正態(tài)分布正態(tài)分布26正態(tài)分布的特征量函數(shù):不可靠度

查附表2可靠度

故障率

平均壽命

E=μ正態(tài)分布的特征量函數(shù):27可靠壽命

特征壽命

中位壽命

可靠壽命28第三章可靠性概率分布課件29在柴油機(jī)或機(jī)械系統(tǒng)中，有些零件故障是由幾種相對(duì)獨(dú)立的微小主導(dǎo)因素迭加而成的如氣缸、活塞、齒輪和軸類零件因磨損引起的故障，以及管、閥系統(tǒng)的腐蝕性故障，燃油傳給系統(tǒng)沉淀性故障都屬正態(tài)分布正態(tài)分布在柴油機(jī)或機(jī)械系統(tǒng)中，有些零件故障是由幾種相對(duì)獨(dú)立的微小主導(dǎo)30例：有兩種內(nèi)燃機(jī)配套機(jī)構(gòu)，A種壽命分布是指數(shù)型，其平均壽命為1000h；B種壽命分布是正態(tài)型，其平均壽命為900h，標(biāo)準(zhǔn)離差σ=400h，求：在100小時(shí)使用期內(nèi)，盡量不發(fā)生故障，求哪種設(shè)計(jì)為好？

解：A：B：例：有兩種內(nèi)燃機(jī)配套機(jī)構(gòu)，A種壽命分布是指數(shù)型，其平均壽命為31對(duì)數(shù)正態(tài)分布是自變量取對(duì)數(shù)時(shí)，其故障密度函數(shù)符合正態(tài)分布的一種偏態(tài)性概率分布。它的故障率其本屬于遞增型的，但遞增的速度是變化的，先快后慢然后趨于平穩(wěn)

μ—對(duì)數(shù)均值，σ—對(duì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)離差對(duì)數(shù)正態(tài)分布對(duì)數(shù)正態(tài)分布是自變量取對(duì)數(shù)時(shí)，其故障密度函數(shù)符合正態(tài)分布的一32對(duì)數(shù)正態(tài)分布的特征量不可靠度函數(shù)

可靠度函數(shù)

故障率函數(shù)

對(duì)數(shù)正態(tài)分布的特征量33平均壽命E

特征壽命

平均壽命E34第三章可靠性概率分布課件35對(duì)數(shù)變換可將較大的數(shù)縮小為較小的數(shù)，且愈大的數(shù)縮小得愈多，這一特性可以使較為分散的數(shù)據(jù)通過對(duì)數(shù)變換相對(duì)的集中起來，所以常把跨幾個(gè)數(shù)量級(jí)的數(shù)據(jù)用對(duì)數(shù)正態(tài)分布去擬合。在機(jī)械零件及材料的疲勞壽命中，對(duì)數(shù)正態(tài)分布應(yīng)用得較多。對(duì)數(shù)正態(tài)分布對(duì)數(shù)變換可將較大的數(shù)縮小為較小的數(shù)，且愈大的數(shù)縮小得愈多，這36

例：一般氣動(dòng)彈簧承載次后要更換，已知服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，系數(shù)μ=25,σ=1.4問：①更換彈簧前，故障的可能性多大？解：①內(nèi)燃機(jī)在次后，氣動(dòng)彈簧的不可靠度:

即次更換前，故障的可能性為7.9%。

例：一般氣動(dòng)彈簧承載次后要更換，已知服從對(duì)數(shù)正態(tài)37威布爾分布應(yīng)用比較廣泛，常用來描述材料疲勞失效、軸承失效等壽命分布的。分布包括了產(chǎn)品壽命周期三個(gè)階段的失效分布特征。威布爾分布是遞增型、恒定型、遞減型多種故障概率分布，威布爾分布是從考慮鏈?zhǔn)綇?qiáng)度模型提出來的，當(dāng)“鏈條”中“環(huán)”的強(qiáng)度低于隨機(jī)應(yīng)力時(shí)，某一“環(huán)”便可能發(fā)生斷裂，只要某一薄弱環(huán)發(fā)生故障則會(huì)整體失效，因此最弱“環(huán)”的壽命即是產(chǎn)品的壽命。威布爾分布是用三個(gè)參數(shù)來描述，這三個(gè)參數(shù)分別是尺度參數(shù)η，形狀參數(shù)m、位置參數(shù)γ，其概率密度函數(shù)為：

威布爾分布威布爾分布應(yīng)用比較廣泛，常用來描述材料疲勞失效、軸承失效等壽38不同m值的威布爾分布（η=1，γ=0）m=3m=1/2m=2m=1f(t)t形狀參數(shù)m的大小決定威布爾分布的形狀，當(dāng)m>1，密度函數(shù)曲線呈單峰型，且隨m的減小峰高逐漸降低，當(dāng)m=3.5時(shí)，接近正態(tài)分布；當(dāng)m=1時(shí)，密度函數(shù)曲線就是指數(shù)分布的密度函數(shù)曲線；當(dāng)m<1時(shí)，密度函數(shù)曲線漸進(jìn)直線t=γ不同m值的威布爾分布（η=1，γ=0）m=3m=1/239不同η值的威布爾分布（β=2，γ=0）η=1/3η=1/2η=2η=1f(t)t隨著尺度參數(shù)η的減小，曲線由同一原點(diǎn)向右擴(kuò)展，最大值減小。不同η值的威布爾分布（β=2，γ=0）η=1/3η=1/240不同γ值的威布爾分布（α=1，β=2）γ=0γ=0.5γ=-0.5γ=1f(t)t位置參數(shù)γ的大小反映了密度函數(shù)曲線起始點(diǎn)的位置在橫坐標(biāo)上的變化不同γ值的威布爾分布（α=1，β=2）γ=0γ41當(dāng)m和γ不變，威布爾分布曲線的形狀不變。隨著η的減小，曲線由同一原點(diǎn)向右擴(kuò)展，最大值減小。當(dāng)η和γ不變，m變化時(shí)，曲線形狀隨m而變化。當(dāng)m值約為3.5時(shí)，威布爾分布接近正態(tài)分布。當(dāng)η和m不變時(shí)，威布爾分布曲線的形狀和尺度都不變，它的位置隨γ的增加而向右移動(dòng)。威布爾分布其它一些特點(diǎn)，m＞1時(shí)，表示磨損失效；m=1時(shí)，表示恒定的隨機(jī)失效，這時(shí)λ為常數(shù)；m＜1時(shí)，表示早期失效。當(dāng)m=1，γ=0時(shí)，，為指數(shù)分布，式中為平均壽命

威布爾分布當(dāng)m和γ不變，威布爾分布曲線的形狀不變。隨著η的減小，曲線由42不可靠度函數(shù)

可靠度函數(shù)

故障率函數(shù)

平均壽命

函數(shù)，查表得到不可靠度函數(shù)43可靠壽命：

中位壽命

特征壽命即參數(shù)為特征壽命

壽命方差

函數(shù)由附表4中查出可靠壽命：44內(nèi)燃機(jī)設(shè)備中，有三種情況屬威布爾分布：①串聯(lián)結(jié)構(gòu)在較強(qiáng)外應(yīng)力隨機(jī)作用下所發(fā)生的故障。如內(nèi)燃機(jī)的水管、油管和常有故障發(fā)生的齒輪傳動(dòng)（系）、鏈條系統(tǒng)等零件，故障可考慮威布爾分布。②非串聯(lián)結(jié)構(gòu)中，由于各零件故障間相互關(guān)聯(lián)密切，有傳播蔓延而致故障的情況，滾動(dòng)軸承故障亦屬威布爾分布：滾珠軸承表面下的細(xì)小裂縫的表面?zhèn)鞑ヒ鸬钠?，然后由部分滾珠破裂導(dǎo)致其他滾珠過載所形成的軸承故障。③磨損期出現(xiàn)的故障，由磨損積累，疲勞積累和耗損積累，逐漸產(chǎn)生的故障，如活塞、缸體、齒輪箱以及軸承在磨損期出現(xiàn)的故障，很大部分屬于威布爾分布內(nèi)燃機(jī)設(shè)備中，有三種情況屬威布爾分布：45

例：已知某零件的疲勞壽命服從威布爾分布，由以前試驗(yàn)可知，m=2,η=200h,γ=0h,試求該零件得平均壽命，可靠度為95%時(shí)的可靠度壽命？解：

例：已知某零件的疲勞壽命服從威布爾分布，由以前試驗(yàn)可知46謝謝謝謝47可靠性的概率分布可靠性的概率分布48學(xué)習(xí)要求1.了解二項(xiàng)分布、泊松分布的含義和計(jì)算

2.掌握指數(shù)分布、正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布和威布爾分布的特性以及特征值的獲取

3.會(huì)查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表學(xué)習(xí)要求1.了解二項(xiàng)分布、泊松分布的含義和計(jì)算

2.49主要內(nèi)容

離散型隨機(jī)變量的幾種常見分布兩點(diǎn)分布二項(xiàng)分布泊松分布幾何分布和負(fù)二項(xiàng)分布超幾何分布連續(xù)型隨機(jī)變量的幾種常見分布正態(tài)分布截尾正態(tài)分布對(duì)數(shù)正態(tài)分布指數(shù)分布伽瑪分布威布爾分布主要內(nèi)容離散型隨機(jī)變量的幾種常見分布50可靠性的概率分布

可靠性工程以產(chǎn)品的壽命特征為主要研究對(duì)象。產(chǎn)品的壽命特征一般是連續(xù)的隨機(jī)變量，例如產(chǎn)品故障時(shí)間和維修時(shí)間等。處理這種問題可利用概率統(tǒng)計(jì)方法，找出它們的概率分布和概率密度函數(shù)，有了確定的分布就可以求出該分布特征統(tǒng)計(jì)量，如正態(tài)分布的均值及標(biāo)準(zhǔn)差。即使不知道具體的分布函數(shù)，也可以通過對(duì)分布的參數(shù)估計(jì)求得某些特征量的估計(jì)值。這些分布及概率密度函數(shù)，不僅描述了壽命的內(nèi)在規(guī)律，而且分布的參數(shù)還決定了產(chǎn)品的壽命特征。因此必須對(duì)失效分布作較深入的研究

可靠性的概率分布可靠性工程以產(chǎn)品的壽命特征為主51離散型隨機(jī)變量的幾種常見分布

可靠性抽樣試驗(yàn)以及產(chǎn)品質(zhì)量保證等大量工程實(shí)際問題需要用到離散模型。主要有兩點(diǎn)分布二項(xiàng)分布泊松分布幾何分布與負(fù)二項(xiàng)分布超幾何分布離散型隨機(jī)變量的幾種常見分布可靠性抽樣試52兩點(diǎn)分布又稱（0，1）分布數(shù)學(xué)模型的隨機(jī)試驗(yàn)只可能有兩種試驗(yàn)結(jié)果兩點(diǎn)分布的分布列或分布律也可寫成:

也可表示為:兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布又稱（0，1）分布兩點(diǎn)分布53兩點(diǎn)分布數(shù)字特征:兩點(diǎn)分布可以作為描繪從一批產(chǎn)品中任意抽取一件得到的“合格品”或“不合格品”的概率分布模型

兩點(diǎn)分布數(shù)字特征:54二項(xiàng)分布又稱貝努里分布。二項(xiàng)分布滿足以下基本假定：試驗(yàn)次數(shù)n是一定的；每次試驗(yàn)的結(jié)果只有兩種，成功或失??；每次試驗(yàn)的成功概率和失敗概率相同，即p和q是常數(shù)；所有試驗(yàn)是獨(dú)立的。

所謂獨(dú)立試驗(yàn)是指將試驗(yàn)A重復(fù)做n次，若各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響，即每次試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的概率都與其他各次試驗(yàn)結(jié)果無關(guān)，則稱這n次試驗(yàn)是獨(dú)立的，并稱它們構(gòu)成一個(gè)序列二項(xiàng)分布

二項(xiàng)分布又稱貝努里分布。二項(xiàng)分布滿足以下基本假定：二項(xiàng)分布55

在二項(xiàng)分布中，若一次試驗(yàn)中，,則在n次獨(dú)立地重復(fù)試驗(yàn)中，試驗(yàn)A發(fā)生的概率為:上式為二項(xiàng)概率公式。若用X表示在n次重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，顯然，X是一個(gè)隨機(jī)變量，X的可能取值為0,1,2,…n，則隨機(jī)變量X的分布律為：此時(shí)，稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B（n,p）。當(dāng)n=1時(shí)，二項(xiàng)分布簡化為兩點(diǎn)分布即：二項(xiàng)分布

在二項(xiàng)分布中，若一次試驗(yàn)中，56隨機(jī)變量X取值不大于k的累積分布函數(shù)為:

X的數(shù)學(xué)期望與方差分別為:

二項(xiàng)分布用來計(jì)算冗余系統(tǒng)的可靠度，也可用于計(jì)算一次性使用裝置或系統(tǒng)的可靠度估計(jì)比如汽車上的雙管路制動(dòng)系統(tǒng)二項(xiàng)分布

隨機(jī)變量X取值不大于k的累積分布函數(shù)為:二項(xiàng)分布57在二項(xiàng)分布中，如果（常數(shù)），則二項(xiàng)分布可表示為：

此時(shí)，稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布。泊松分布可認(rèn)為是當(dāng)n無限大時(shí)二項(xiàng)分布的推廣。當(dāng)n很大、p很小時(shí)，可用泊松分布近似代替二項(xiàng)分布。一般地，當(dāng)n≥20,p≤0.05時(shí)，近似程度較好。隨機(jī)變量X取值不大于k次的累積分布函數(shù)為：

X的期望與方差分別為：

泊松分布

在二項(xiàng)分布中，如果（常數(shù)），58泊松分布，經(jīng)過適當(dāng)?shù)奶幚砜沙蔀橹笖?shù)分布。假定：在互不相交的時(shí)間區(qū)間內(nèi)所發(fā)生的失效是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的；單位時(shí)間內(nèi)的平均失效次數(shù)為常數(shù)，而與所考慮的時(shí)間區(qū)間無關(guān)。泊松過程有下面兩個(gè)重要性質(zhì):

(1)設(shè)t是時(shí)間區(qū)間的長度，則在此區(qū)間內(nèi)發(fā)生失效的次數(shù)X是一個(gè)整數(shù)型的隨機(jī)變量，在此時(shí)間區(qū)間內(nèi)，發(fā)生k次失效的概率服從一個(gè)均值為λt的泊松分布:

(2)在任意兩次相鄰的失效之間的時(shí)間T是獨(dú)立的連續(xù)型的隨機(jī)變量，服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布:

泊松分布

泊松分布，經(jīng)過適當(dāng)?shù)奶幚砜沙蔀橹笖?shù)分布。假定：泊松分布59

兩次失效的平均時(shí)間為,泊松過程適合于建模有較多的元件傾向于失效，而每個(gè)元件失效的概率比較小的情況泊松分布

兩次失效的平均時(shí)間為,泊松過程60例：有人打靶，每次命中率均為0.7，現(xiàn)獨(dú)立射擊5次，求恰好命中2次的概率？解：每次射擊有“擊中”和“未擊中”兩個(gè)可能，設(shè)，“恰好有兩次幾種”的情況有

二項(xiàng)分布實(shí)例如果要求命中不少于2次的概率？例：有人打靶，每次命中率均為0.7，現(xiàn)獨(dú)立射擊5次，求恰好命61例：一架飛機(jī)有三個(gè)著陸輪胎，若不多于一個(gè)輪胎爆破，飛機(jī)便能安全著陸。試驗(yàn)表明，每一千次著陸發(fā)生一次輪胎爆破。求飛機(jī)安全著陸的概率？解：

二項(xiàng)分布實(shí)例思考：假如只有兩個(gè)輪胎，安全著陸的概率？例：一架飛機(jī)有三個(gè)著陸輪胎，若不多于一個(gè)輪胎爆破，飛機(jī)便能安62正態(tài)分布對(duì)數(shù)正態(tài)分布指數(shù)分布伽瑪分布威布爾分布連續(xù)型隨機(jī)變量的幾種常見分布正態(tài)分布連續(xù)型隨機(jī)變量的幾種常見分布63指數(shù)分布1.指數(shù)分布在數(shù)學(xué)上易處理成直觀的曲線失效率反映了特征參數(shù)單參數(shù)分布最基本最常用的分布若產(chǎn)品的壽命或某一特征值t的故障密度為則稱t服從參數(shù)λ的指數(shù)分布指數(shù)分布1.指數(shù)分布64指數(shù)分布的特征量函數(shù):不可靠度（失效）函數(shù)可靠度函數(shù)平均壽命

指數(shù)分布指數(shù)分布的特征量函數(shù):指數(shù)分布65中位壽命：r=0.5特征壽命：壽命方差：標(biāo)準(zhǔn)差：

中位壽命：r=0.566指數(shù)分布性質(zhì)

指數(shù)分布性質(zhì)指數(shù)分布的一個(gè)重要性質(zhì)是無記憶性。無記憶性是產(chǎn)品在經(jīng)過一段時(shí)間t0工作之后的剩余壽命仍然具有原來工作壽命相同的分布，而與t無關(guān)。這個(gè)性質(zhì)說明，壽命分布為指數(shù)分布的產(chǎn)品，過去工作了多久對(duì)現(xiàn)在和將來的壽命分布不發(fā)生影響在“浴盆曲線”中，它是屬于偶發(fā)期這一時(shí)段的

指數(shù)分布性質(zhì)指數(shù)分布性質(zhì)67指數(shù)分布的特點(diǎn)只含單一參數(shù)，形式簡單平均壽命、特征壽命、標(biāo)準(zhǔn)離差相等，為故障率越小，平均壽命越大，但越大，分布越分散平均壽命大于中位壽命指數(shù)分布的特點(diǎn)68發(fā)動(dòng)機(jī)中有四種故障的壽命概率分布屬于指數(shù)分布受隨機(jī)性沖擊時(shí)產(chǎn)生的故障：故障與使用時(shí)間無關(guān)，僅與外界超強(qiáng)度的沖擊力隨機(jī)到來和內(nèi)部潛伏的隱患偶然爆發(fā)有關(guān)，它們是隨機(jī)性偶然發(fā)生故障，如內(nèi)燃機(jī)超載下工作或過熱造成的故障正常使用下的突發(fā)故障：常載下往復(fù)運(yùn)動(dòng)零件損傷，或人為失誤造成的故障，或偶然性操作不當(dāng)浴盆曲線的Ⅱ階段（使用壽命期）發(fā)動(dòng)機(jī)返復(fù)多次維修期間所發(fā)生的故障可考慮為指數(shù)分布故障發(fā)動(dòng)機(jī)中有四種故障的壽命概率分布屬于指數(shù)分布69例：內(nèi)燃機(jī)增壓器處于使用壽命期中工作，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)知，壽命服從指數(shù)分布，在100小時(shí)工作內(nèi)有1%發(fā)生故障，求可靠度R（2000），的使用壽命？解：先求λF（100）=0.01

例：內(nèi)燃機(jī)增壓器處于使用壽命期中工作，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)知，壽命服70指數(shù)分布例題例：一元件壽命服從指數(shù)分布，其平均壽命(θ)為2000小時(shí)，求故障率λ及求可靠度R

(100)=?R(1000)=?解：

此元件在100小時(shí)時(shí)的可靠度為0.95，而在1000小時(shí)時(shí)的可靠度為0.60

指數(shù)分布例題例：一元件壽命服從指數(shù)分布，其平均壽命(θ)為271正態(tài)分布

正態(tài)分布在機(jī)械可靠性設(shè)計(jì)中大量應(yīng)用，如材料強(qiáng)度、磨損壽命、齒輪輪齒彎曲、疲勞強(qiáng)度以及難以判斷其分布的場(chǎng)合。屬于遞增型故障率的概率分布。它的分布曲線處于浴盆曲線的耗損階段若產(chǎn)品壽命或某特征值有故障密度

正態(tài)分布正態(tài)分布在機(jī)械可靠性設(shè)計(jì)中大量應(yīng)用，如材料強(qiáng)度、磨72正態(tài)分布正態(tài)分布73正態(tài)分布的特征量函數(shù):不可靠度

查附表2可靠度

故障率

平均壽命

E=μ正態(tài)分布的特征量函數(shù):74可靠壽命

特征壽命

中位壽命

可靠壽命75第三章可靠性概率分布課件76在柴油機(jī)或機(jī)械系統(tǒng)中，有些零件故障是由幾種相對(duì)獨(dú)立的微小主導(dǎo)因素迭加而成的如氣缸、活塞、齒輪和軸類零件因磨損引起的故障，以及管、閥系統(tǒng)的腐蝕性故障，燃油傳給系統(tǒng)沉淀性故障都屬正態(tài)分布正態(tài)分布在柴油機(jī)或機(jī)械系統(tǒng)中，有些零件故障是由幾種相對(duì)獨(dú)立的微小主導(dǎo)77例：有兩種內(nèi)燃機(jī)配套機(jī)構(gòu)，A種壽命分布是指數(shù)型，其平均壽命為1000h；B種壽命分布是正態(tài)型，其平均壽命為900h，標(biāo)準(zhǔn)離差σ=400h，求：在100小時(shí)使用期內(nèi)，盡量不發(fā)生故障，求哪種設(shè)計(jì)為好？

解：A：B：例：有兩種內(nèi)燃機(jī)配套機(jī)構(gòu)，A種壽命分布是指數(shù)型，其平均壽命為78對(duì)數(shù)正態(tài)分布是自變量取對(duì)數(shù)時(shí)，其故障密度函數(shù)符合正態(tài)分布的一種偏態(tài)性概率分布。它的故障率其本屬于遞增型的，但遞增的速度是變化的，先快后慢然后趨于平穩(wěn)

μ—對(duì)數(shù)均值，σ—對(duì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)離差對(duì)數(shù)正態(tài)分布對(duì)數(shù)正態(tài)分布是自變量取對(duì)數(shù)時(shí)，其故障密度函數(shù)符合正態(tài)分布的一79對(duì)數(shù)正態(tài)分布的特征量不可靠度函數(shù)

可靠度函數(shù)

故障率函數(shù)

對(duì)數(shù)正態(tài)分布的特征量80平均壽命E

特征壽命

平均壽命E81第三章可靠性概率分布課件82對(duì)數(shù)變換可將較大的數(shù)縮小為較小的數(shù)，且愈大的數(shù)縮小得愈多，這一特性可以使較為分散的數(shù)據(jù)通過對(duì)數(shù)變換相對(duì)的集中起來，所以常把跨幾個(gè)數(shù)量級(jí)的數(shù)據(jù)用對(duì)數(shù)正態(tài)分布去擬合。在機(jī)械零件及材料的疲勞壽命中，對(duì)數(shù)正態(tài)分布應(yīng)用得較多。對(duì)數(shù)正態(tài)分布對(duì)數(shù)變換可將較大的數(shù)縮小為較小的數(shù)，且愈大的數(shù)縮小得愈多，這83

例：一般氣動(dòng)彈簧承載次后要更換，已知服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，系數(shù)μ=25,σ=1.4問：①更換彈簧前，故障的可能性多大？解：①內(nèi)燃機(jī)在次后，氣動(dòng)彈簧的不可靠度:

即次更換前，故障的可能性為7.9%。

例：一般氣動(dòng)彈簧承載次后要更換，已知服從對(duì)數(shù)正態(tài)84威布爾分布應(yīng)用比較廣泛，常用來描述材料疲勞失效、軸承失效等壽命分布的。分布包括了產(chǎn)品壽命周期三個(gè)階段的失效分布特征。威布爾分布是遞增型、恒定型、遞減型多種故障概率分布，威布爾分布是從考慮鏈?zhǔn)綇?qiáng)度模型提出來的，當(dāng)“鏈條”中“環(huán)”的強(qiáng)度低于隨機(jī)應(yīng)力時(shí)，某一“環(huán)”便可能發(fā)生斷裂，只要某一薄弱環(huán)發(fā)生故障則會(huì)整體失效，因此最弱“環(huán)”的壽命即是產(chǎn)品的壽命。威布爾分布是用三個(gè)參數(shù)來描述，這三個(gè)參數(shù)分別是尺度參數(shù)η，形狀參數(shù)m、位置參數(shù)γ，其概率密度函數(shù)為：

威布爾分布威布爾分布應(yīng)用比較廣泛，常用來描述材料疲勞失效、軸承失效等壽85不同m值的威布爾分布（η=1，γ=0）m=3m=1/2m=2m=1f(t)t形狀參數(shù)m的大小決定威布爾分布的形狀，當(dāng)m>1，密度函數(shù)曲線呈單峰型，且隨m的減小峰高逐