2022橢圓標準方程教案

《橢圓及其標準方程》教學設計哈爾濱第三中學李艷潔課題：橢圓及其標準方程課型：講授課教學目標知識與技能：1理解橢圓的定義明確焦點、焦距的概念2能由橢圓定義推導橢圓的方程3培養(yǎng)學生抽象概括能力和邏輯思維能力過程與方法：通過橢圓的標準方程的推導，使學生進一步掌握求曲線方程一般方法，并滲透數形結合和等價轉化的思想方法情感態(tài)度價值觀：通過學生動手動腦，自主探索、辨析，鼓勵學生善于觀察，勤于思考，勇于創(chuàng)新，以形成良好的學習習慣，培養(yǎng)學生嚴謹的學習態(tài)度和科學精神。教學重點橢圓的定義和標準方程教學難點橢圓標準方程的推導教具多媒體、畫板、細繩、釘子等教學過程設計：一．情景設置昨天，中國的首位太空教師神舟十號航天員王亞平在天宮一號上給全國的中小學生上了一堂生動的科普課，大家對神州十號一定都非常好奇，那大家知道神州十號的發(fā)射初始軌道嗎？近地點約200公里、遠地點約330公里的橢圓軌道。橢圓軌道是普遍存在的一種之間相對運動所遵循的現(xiàn)象，其實就在現(xiàn)在我們正和地球一起在圍繞太陽的近似正圓的橢圓形軌道上運動呢!如果大家對浩瀚的宇宙感興趣就請同學們跟隨老師從本節(jié)課的橢圓及其標準方程學起吧！師：星體的軌道是我們所看不到摸不到的，那么在生活中還有哪些物體能給我們以橢圓的印象呢？學生：雞蛋，橄欖球，切片的黃瓜，陽光下圓盤在地面上的影子等（對學生舉的例子進行點評）其實橢圓真的是廣泛的存在于我們的生活中，請同學們看圖片。生活中的實例及多彩的多媒體圖片可激發(fā)學生的學習興趣，充分調動學生主動參與的積極性。二．合作交流，概念形成師：那么我們是如何確定這些圖形是橢圓而不是圓形或其它圖形的呢？數學中橢圓到底是如何定義的呢？首先我們先來看看圓。生：平面內到定點距離等于定長的點的軌跡。師：那么橢圓是如何定義的呢？為了弄清這個問題，就請同學們與老師共同來畫一畫吧！手工操作演示橢圓的形成：取一條沒有彈性的細繩，把它的兩端固定在畫圖板上的兩點，當繩長大于兩點間的距離時，用鉛筆把繩子拉緊，使筆尖在圖板上沿細繩慢慢移動，這樣我們就得到了一個新的曲線，數學中我們把這個曲線叫做橢圓。師：在這個運動過程中，什么是不變的？學生：兩個定點，繩長師：那體現(xiàn)在橢圓軌跡的動點上，它保持了怎樣的幾何特征。即不論運動到何處，繩長不變（即軌跡上與兩個定點距離之和不變）通過畫圖過程，揭示橢圓上的點所要滿足的條件．在此基礎上，引導學生概括橢圓定義定義：（平面內）與兩個定點、的距離的和等于常數（）的點軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距．學生開始只強調橢圓的幾何特征——到兩個定點、的距離的和等于常數．這時教師在演示中再從兩方面加以強調：將穿有鉛筆的細繩拉到圖板平面外，得到的不是橢圓，而是橢球形．使學生認識到必須限制：“在平面內”；②這里的常數為什么要大于？教師邊演示邊提示學生注意：在同樣的繩長下，兩定點間距離較長，則所畫出的橢圓較扁（線段）在同樣的繩長下，兩定點間距離較短，則所畫出的橢圓較圓（圓）由此，橢圓的形狀與兩定點間距離、繩長有關(為下面離心率概念作鋪墊)若常數，則點的軌跡是線段；若常數，則軌跡不存在．所以要使軌跡是橢圓，必須加上限制條件：“常數大于”．學生在探究過程中，滲透分類討論的思想。培養(yǎng)了學生動手的實踐能力，通過討論交流以及發(fā)現(xiàn)的種種問題，因勢利導，在學生體驗成功快樂的同時，提煉總結能力。三．探索發(fā)現(xiàn)，方程推導由橢圓的定義，可以知道它的基本幾何特征（用教具演示橢圓是軸對稱圖形），但對橢圓還具有哪些性質則一無所知，為了進一步了解橢圓的性質，需要用坐標法先建立橢圓的方程．師：求曲線方程的一般步驟建系設點，寫出滿足條件的點的集合，列式，化簡，證明師：建系是求曲線方程重要而關鍵的一步。如何建立坐標系，能使求出的方程最簡單？學生：會有多種建系方式師：任何一種方式都能得到橢圓方程，為使得到的方程簡單，應遵循對稱性原則，使坐標、幾何量的表達式都盡量的簡單?？紤]到橢圓本身對稱性，大家有哪些建系方式呢？即使兩點關于原點對稱，從而可有以下兩種建系方式我們以第一種建系方式為例來推導橢圓方程（1）建系設點：以F1、F2所在的直線為軸，F(xiàn)1F2的中點為原點建立直角坐標系。設為橢圓上任意一點，焦距為，則；則（2）寫出點集：由橢圓定義，橢圓就是集合（3）列式：（4）化簡：師：化簡含有根號的式子時，我們通常有什么方法？學生：可以兩邊平方。師：對于本式是直接平方好呢還是恰當整理后再平方？學生通過實踐，發(fā)現(xiàn)對于這個方程，直接平方不利于化簡，而整理后再平方，最后能得到圓滿的結果。這樣，橢圓方程的化簡這一難點也就迎刃而解了。通過此種提示分析使學生在化簡過程中首先掃除心理障礙，能敢于去探究、嘗試，從而化解難點移項：平方：再平方：同除得為了使方程簡單對稱和諧，引入〉0，使，得到方程．形式多么簡單美麗，大家很有成就感吧！其實之所以它如此簡單美麗是與我們利用對稱性建直角坐標系有關的，也正因為它的簡單美麗我們把以這種建系方式得到的這個方程叫做焦點在軸的橢圓的標準方程。類似的如果橢圓的焦點在軸上（選取方式不同，調換軸）焦點則變成,只要將方程中調換得與都叫做橢圓的標準方程所謂橢圓標準方程，一定指的是焦點在坐標軸上，且兩焦點的中點為坐標原點我們得到的兩個方程在形式上有何共同點，有何不同點？共同點：（1）型：平方和為1（2）要區(qū)別與習慣思維下的勾股定理（3），，、大小不確定有這么多共同點那么具體給出一個橢圓的標準方程，如何具體判斷焦點在哪個軸上呢？我們說在哪，焦點就在哪個軸上，即看分母的大小，誰的分母大焦點就在誰的軸上。四．例題講解例1：求適合下列條件的橢圓的標準方程兩個焦點的坐標分別是橢圓上一點P到兩焦點距離的和等于10兩焦點坐標分別是并且橢圓經過點（1）解：由題意焦點在軸上，所以設它的標準方程為．，∴，∴所以所求橢圓的標準方程為．（2）解：因為橢圓的焦點在軸上，所以設它的標準方程為．由橢圓的定義知：∴，又∴所求橢圓的標準方程為．另法：設所求的標準方程為依題意得解得橢圓的標準方程．點評：由已知條件求橢圓的標準方程的解題模式是：先確定焦點的位置，設出標準方程（若不能確定焦點的位置，則應分類討論），再用待定系數法確定、的值．五．課堂小結1．橢圓的定義：平面內與兩個定點、的距離