動量矩定理課件

第十一章動量矩定理TheoremofAngularMomentumLawofMomentofMomentum問題的提出：圖示定軸轉(zhuǎn)動剛體，質(zhì)心C過轉(zhuǎn)軸，恒有可見：動量只能反映剛體隨質(zhì)心運動的強弱，不能反映剛體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動運動強弱。本章基本內(nèi)容：1.質(zhì)點、質(zhì)點系對點和軸的的動量矩概念及計算；2.質(zhì)點、質(zhì)點系對于固定點、固定軸及質(zhì)心的動量矩定理；3.剛體定軸轉(zhuǎn)動、剛體平面運動的微分方程及其應用。4.轉(zhuǎn)動慣量概念及計算。C第十一章動量矩定理問題的提出：圖示定軸轉(zhuǎn)動剛體，§11–1動量矩(momentofmomentum,AngularMomentum)一、質(zhì)點的動量矩對點的動量矩OxzyAFBMO(F)rdα力對點O之矩：OxzyLO=MO(mv)rα質(zhì)點的動量對點O之矩（11-1）——質(zhì)點的動量對O點的動量矩AmvBd——固定矢量指向：按右手法則確定大小：方向：幾何表示：——度量質(zhì)點繞某一點轉(zhuǎn)動運動強弱的運動特征量§11–1動量矩(momentofmoment對軸的動量矩類似于力對點之矩與力對軸之矩的關系：質(zhì)點的動量mv對x軸之矩：質(zhì)點的動量mv對x軸之矩——代數(shù)量。其正負由右手法則確定。動量矩單位（SI）：對軸的動量矩類似于力對點之矩與力對軸之矩的關系：質(zhì)點的動量二、質(zhì)點系的動量矩對點O的動量矩質(zhì)點系各質(zhì)點的動量對某點O之矩的矢量和——質(zhì)點系對O點的動量矩對軸的動量矩質(zhì)點系各質(zhì)點的動量對某軸之矩的代數(shù)和——質(zhì)點系對某軸的動量矩二、質(zhì)點系的動量矩對點O的動量矩質(zhì)點系各質(zhì)點的動量對某點三、定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩取質(zhì)點Mi:質(zhì)點Mi對轉(zhuǎn)軸z的動量矩:剛體

對轉(zhuǎn)軸z的動量矩:記:（11-15）——稱為剛體對轉(zhuǎn)軸z的轉(zhuǎn)動慣量（11-16）

定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸z的動量矩等于其轉(zhuǎn)動慣量與角速度的乘積，轉(zhuǎn)向與角速度的轉(zhuǎn)向相同。三、定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩取質(zhì)點Mi:質(zhì)點Mi對§11–2轉(zhuǎn)動慣量(MassMomentofInertia)

剛體各質(zhì)點的質(zhì)量與它們到轉(zhuǎn)軸z垂直距離的平方的乘積之和一、轉(zhuǎn)動慣量的基本概念——稱為剛體對轉(zhuǎn)軸

z

的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量Jz的特點：Jz≥0——恒正的標量影響Jz的因素：與轉(zhuǎn)軸z的位置有關；與質(zhì)量mi的分布有關；改變Jz的方法：1.

改變質(zhì)量（密度）ρ；2.改變質(zhì)量分布情況。物體轉(zhuǎn)動運動慣性的度量.Jz的單位（SI）：§11–2轉(zhuǎn)動慣量(MassMomentofI轉(zhuǎn)動慣量改變的一個實例轉(zhuǎn)動慣量改變的一個實例二、轉(zhuǎn)動慣量的計算1.積分法由定義：可得——適用于質(zhì)量連續(xù)分布，幾何形狀簡單的物體。若已知密度函數(shù)：則有常見規(guī)則形狀的均質(zhì)物體，轉(zhuǎn)軸過質(zhì)心C的Jz由有關工程手冊查得。zC均質(zhì)桿：均質(zhì)圓盤（輪）：zrC（11-19）二、轉(zhuǎn)動慣量的計算1.積分法由定義：可得——適用于質(zhì)量2.組合法——代數(shù)和O桿圓盤如：xy孔1孔2短形板——適用于均質(zhì)、簡單形狀組合的物體3.實驗測定法——適用于任意不規(guī)則形狀，質(zhì)量分布不均勻的物體。①復擺測定法；②落體觀測法。（物理實驗）4.轉(zhuǎn)動慣量的工程實用計算公式(11-17)——m為剛體的質(zhì)量；ρz

為回轉(zhuǎn)半徑Radiusofgyration

。注意：①ρz——相當長度。（假想將剛體的質(zhì)量全部集中離轉(zhuǎn)軸距離ρz

的質(zhì)點上，而此質(zhì)點對軸z的轉(zhuǎn)動慣量Jz與原剛體對軸z

的轉(zhuǎn)動慣量Jz相同。）②——其中m、Jz

由計算或?qū)嶒灉y定，然后反算ρz

。（注意：ρz

并不是質(zhì)心C到轉(zhuǎn)軸的距離）2.組合法——代數(shù)和O桿圓盤如：xy孔1孔2短形板—三、轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理OxzyCMih

設z軸過剛體的質(zhì)心C，z′與z軸平行，兩軸間的距離為

h

，由轉(zhuǎn)動慣量的定義，有將代入，有mh2?由質(zhì)心坐標的計算公式，有(11-20)——轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理幾點說明：①軸z與軸z′必須平行；②z軸必須過質(zhì)心C；③過質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動慣量最小。三、轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理OxzyCMih設均質(zhì)桿，質(zhì)量mzC如：reOC均質(zhì)圓盤，質(zhì)量mω均質(zhì)桿，質(zhì)量mzC如：reOC均質(zhì)圓盤，質(zhì)量mωTheoremofAngularMomentumSampleProblem1massoflever:m1

massofplate:m2

Inthisinitialtime,angularvelocityequalsw,computeangularmomentumaboutaxispassthroughpointOperpendiculartothesurface.[solution]TheoremofAngularMomentumSammassofthehomogeneous

platewithyellowcolor:m

r=R/3

Compute

JATheoremofAngularMomentumSampleProblem2[solution]massofthehomogeneousplate§11–3質(zhì)點的動量矩定理一、對固定點的動量矩定理——

質(zhì)點動量對某固定點O的矩將上式兩邊對時間求導，有由于O點為固定點，r為絕對運動矢徑，有另一方面由質(zhì)點的動量定理：將上述關系代入，有（11-7）質(zhì)點的動量對任一固定點的矩隨時間的變化率，等于質(zhì)點所受的力對該固定點的矩?！|(zhì)點對固定點的動量矩定理§11–3質(zhì)點的動量矩定理一、對固定點的動量矩定理—二、對固定軸的動量矩定理xyz（11-7）將上式兩邊同時向坐標軸投影，有（11-8）質(zhì)點的動量對任一固定軸的矩隨時間的變化率，等于質(zhì)點所受的力對該固定軸的矩?！|(zhì)點對固定軸

的動量矩定理二、對固定軸的動量矩定理xyz（11-7）將上式兩邊同時向坐三、動量矩守恒定理(ConservationofMomentofMomentum)（1）若：（11-9）質(zhì)點的動量對該固定點的矩矢保持不變。質(zhì)點運動軌跡為平面曲線；質(zhì)點的矢徑單位時間內(nèi)掃過的面積相等，質(zhì)點運動軌跡為橢圓。有心力：力的作用線始終過某一固定點，該點稱為力心。有心力作用下的質(zhì)點，對力心的動量矩矢始終保持不變（大小、方向）。rmvFMOh三、動量矩守恒定理(ConservationofMom三、動量矩守恒定理(ConservationofMomentofMomentum)（2）若：（11-10）若作用于質(zhì)點的力對某固定點（或軸）的矩恒等于零，則質(zhì)點的動量對該固定點（或軸）的矩保持不變?！獎恿烤厥睾愣ɡ砣?、動量矩守恒定理(ConservationofMom§11–4質(zhì)點系的動量矩定理一、對固定點的動量矩定理質(zhì)點系：n個質(zhì)點質(zhì)點Mi：——外力——內(nèi)力由質(zhì)點對固定點的動量矩定理，有簡寫成：n個方程將上述方程組兩邊相加,得：考慮到：有：（11-11）（內(nèi)力系的主矩恒等于零）

質(zhì)點系對任一固定點的動量矩隨時間的變化率，等于質(zhì)點系所受外力對該固定點矩的矢量和（主矩）?！|(zhì)點系對固定點的動量矩定理§11–4質(zhì)點系的動量矩定理一、對固定點的動量矩定理質(zhì)二、對固定軸的動量矩定理將式（11-11）向固定坐標軸投影，得（11-12）

質(zhì)點系對任一固定軸的動量矩隨時間的變化率，等于質(zhì)點系所受外力對該固定軸矩的代數(shù)和（主矩）?！|(zhì)點系對固定軸的動量矩定理注：與動量定理類似，質(zhì)點系的內(nèi)力不影響質(zhì)點系總動量矩二、對固定軸的動量矩定理將式（11-11）向固定坐標軸投影，三、質(zhì)點系動量矩守恒（1）若：（11-13）（2）若：（11-14）（各力與z軸平行或相交）——質(zhì)點系動量矩守恒定理四、應用（1）有關轉(zhuǎn)動運動的動力學問題轉(zhuǎn)動碰撞問題；流體對葉輪的沖擊力矩計算。（2）動量矩守恒時，求剛體的轉(zhuǎn)動角速度或速度等注：定理中各運動量均為絕對運動量。三、質(zhì)點系動量矩守恒（1）若：（11-13）（2）若：（11例3：兩個轉(zhuǎn)子A和B分別以角速度ωA、ωB

繞同一軸線Ox、且同方向轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動慣量分別為JA

和JB

，現(xiàn)用離合器將兩轉(zhuǎn)子突然結合在一起，求結合后兩轉(zhuǎn)子的公共角速度。解：兩轉(zhuǎn)子A、B——受力：——質(zhì)點系對x軸的動量矩守恒計算結合前后系統(tǒng)對軸x

的動量矩：結合前：結合后：由質(zhì)點系對x軸的動量矩守恒，有（這里假定ω與ωA

、ωB轉(zhuǎn)向相同）例3：兩個轉(zhuǎn)子A和B分別以角速度ωA、ωB繞同一軸線例4：均質(zhì)圓盤，其繞軸O的轉(zhuǎn)動慣量為J

，可繞通過其中心的軸無摩擦地轉(zhuǎn)動，另一質(zhì)量為m2

的人由B點按規(guī)律沿距O軸半徑為r的圓周運動。初始時，圓盤與人均靜止。求圓盤的角速度與角加速度。解：圓盤與人一起——研究對象受力分析：動量矩關于z軸守恒計算質(zhì)點系的動量矩：初始時：任意瞬時：負號說明實際轉(zhuǎn)向與圖中相反例4：均質(zhì)圓盤，其繞軸O的轉(zhuǎn)動慣量為J，可繞通過其中心的軸例題5求：此時系統(tǒng)的角速度zaallABCDozABCD例題5求：此時系統(tǒng)的角速度zaallABCDozAB例題6均質(zhì)圓輪半徑為R、質(zhì)量為m，圓輪對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為JO。圓輪在重物P帶動下繞固定軸O轉(zhuǎn)動，已知重物重量為W。求：重物下落的加速度OPW例題6均質(zhì)圓輪半徑為R、質(zhì)量為m，圓輪對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量OPWmg解：取系統(tǒng)為研究對象FOxFOyv應用動量矩定理:OPWmg解：取系統(tǒng)為研究對象FOxFOyv應用動量矩定理:MassoftheChainWheel:M

MassoftheBlockAandB:

m1m2supposem1>m2ComputetheaccelerationofblockATheoremofAngularMomentumSampleProblem7[solution]

analyzetheforcesandkinematicsofthesystem,asthefigureshown:MassoftheChainWheel:M

MaTheoremofAngularMomentumSampleProblem7[solution]TheoremofAngularMomentumSam例8：高爐上運送礦料的卷揚機。半徑為R的卷筒可繞水平軸O轉(zhuǎn)動，它關于轉(zhuǎn)軸O

的轉(zhuǎn)動慣量為J。沿傾角為θ的斜軌被提升的重物A重W。作用在卷筒上主動轉(zhuǎn)矩為M。設繩重和摩擦均可不計。試求重物的加速度。解：(1)

研究對象——卷筒與重物A整個系統(tǒng)(2)

受力：（所有外力）(3)

分析運動，計算系統(tǒng)對軸O的動量矩：——以順時針方向為正(4)

外力對軸O的矩：s對重物A，有(5)

代入動量矩定理：方向與速度方向相同例8：高爐上運送礦料的卷揚機。半徑為R的卷筒可繞水平軸O例題9

水流通過固定導流葉片進入葉輪，入口和出口的流速分別為v1和v2，二者與葉輪外周邊和內(nèi)周邊切線之間的夾角分別為1和

2，水的體積流量為qV、密度為

，水流入口和出口處葉輪的半徑分別為r1和r2，葉輪水平放置。求：水流對葉輪的驅(qū)動力矩。abcd例題9水流通過固定導流葉片進入葉abcdabcd解：在dt

時間間隔內(nèi)，水流ABCD段的水流運動到abcd時，所受的力以及他們對O軸之矩：

重力

——由于水輪機水平放置，重力對O軸之矩等于0；

相鄰水流的壓力

——忽略不計；

葉輪的反作用力矩

——與水流對葉輪的驅(qū)動力矩大小相等，方向相反。abcd解：在dt時間間隔內(nèi)，水流重力——由abcd應用動量矩定理:Mzabcd應用動量矩定理:Mz§11–5剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程

設定軸轉(zhuǎn)動剛體作用有力：F1、F2、……、Fn，轉(zhuǎn)動角速度：ω，轉(zhuǎn)動慣量：Jz

，其繞軸的動量矩——其轉(zhuǎn)向與ω

相同代入動量矩定理，有（11-21a）（11-21b）（11-21c）——剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程（轉(zhuǎn)動定理）

剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與其角加速度的乘積，等于作用于剛體上的所有外力對轉(zhuǎn)軸矩的代數(shù)和?！?1–5剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程設定討論：（1）方程建立了α與Mz的瞬時關系（須在任意瞬時建立方程）（2）——勻變速轉(zhuǎn)動——勻速轉(zhuǎn)動——角速度ω取極值（3）則有——此時α取決于JzJz

大α

小——說明轉(zhuǎn)動運動狀態(tài)不易改變Jz

小α

大——說明轉(zhuǎn)動運動狀態(tài)容易改變——慣性大——慣性小Jz

是剛體轉(zhuǎn)動運動慣性的度量應用：（1）已知外力矩Mz，求α、ω、φ=φ(t)。（2）已知α、ω、φ=φ(t)，求與力矩Mz

有關的量（力、距離等）。注意事項：（1）不能求軸承反力；（須由質(zhì)心運動定理求）（2）方程兩邊α、ω、φ

與力矩Mz正轉(zhuǎn)向規(guī)定一致；（3）只適用于同一軸轉(zhuǎn)動的剛體。（一般適用于單個定軸轉(zhuǎn)動剛體）討論：（1）方程建立了α與Mz的瞬時關系（須在任意瞬時例10：復擺compoundpendulum（物理擺physicalpendulum）如圖。已知擺的重量為P，擺關于轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動慣量為JO，懸掛點（軸）O到質(zhì)心的距離為a，求：復擺作微幅擺動時的運動規(guī)律。解：復擺——運動分析：任意瞬時OC與x軸的夾角為φ（注：φ以增大方向為正轉(zhuǎn)向）建立定軸轉(zhuǎn)動微分方程，并求解（1）兩邊同除以JO，并整理得（2）當作微幅擺動（φ

很?。r，（3）其解為：（4）式中：常數(shù)A、α

由初始條件確定。擺動周期：（5）討論：——轉(zhuǎn)動慣量的復擺測定法原理注意：方程兩邊正轉(zhuǎn)向規(guī)定必須一致。例10：復擺compoundpendulum（物理擺ph0OFNF例題11求：

制動所需的時間。已知：

JO

，0，F(xiàn)N，f

。解：取飛輪為研究對象解得:0OFNF例題11求：制動所需的時間。已知：xy例12：高爐上運送礦料的卷揚機。均質(zhì)卷筒半徑為R，重量為G。沿傾角為θ的斜軌被提升的重物A重W。作用在卷筒上主動轉(zhuǎn)矩為M。斜面與重物間摩擦因素為μ，繩重可不計。試求重物的加速度。解：(1)

研究對象——卷筒OOM（1）A(2)

研究對象——重物A（2）（3）（4）(3)

運動學關系：（5）聯(lián)立求解，得如何求軸承反力？需對卷筒用質(zhì)心運動定理。討論：xy例12：高爐上運送礦料的卷揚機。均質(zhì)卷筒半徑為R，重量ⅠⅡM1M2例題13已知：

J1

，J2

，R1，R2

，

i12=

R2/R1，

M1

，

M2

。求：

軸Ⅰ的角加速度。ⅠⅡM1M2例題13已知：J1，J2，R1ⅠⅡM1M2M2M112FFnF′Fn′解：分別取軸Ⅰ和Ⅱ為研究對象解得：ⅠⅡM1M2M2M112FFnF′Fn′解：分別取軸Ⅰ和例14：

轉(zhuǎn)子Ⅰ對自身轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為J1=1kg·m2，轉(zhuǎn)子Ⅱ?qū)ζ滢D(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為J2=1.5kg·m2，兩軸的齒數(shù)之比k=z1/z2=1/2，如圖所示。設轉(zhuǎn)子Ⅰ上作用有轉(zhuǎn)矩為M的力偶，使轉(zhuǎn)子Ⅰ自靜止開始勻加速轉(zhuǎn)動，經(jīng)過10s

轉(zhuǎn)速達n1=1500r/min

。已知軸Ⅰ上齒輪的節(jié)圓半徑為r1=100mm，軸承摩擦不計。試計算轉(zhuǎn)矩M和齒輪的圓周力Ft

。解：運動分析：——轉(zhuǎn)向與M相同（1）軸Ⅱ——外嚙合，α1

與α2

轉(zhuǎn)向相反——兩邊都以逆時針為正（2）——兩邊都以順時針為正由傳動比概念，有軸Ⅰ——利用：聯(lián)立求解（1）（2）得幾點注意：（1）對每一軸分別列方程；（2）方程兩邊正轉(zhuǎn)向規(guī)定一致；（3）α1

與α2

轉(zhuǎn)向協(xié)調(diào)。例14：轉(zhuǎn)子Ⅰ對自身例15：圖示系統(tǒng)。均質(zhì)圓輪A：質(zhì)量m1，半徑r1，以角速度ω繞軸A轉(zhuǎn)動；均質(zhì)圓輪B：質(zhì)量m2，半徑r2，繞軸B轉(zhuǎn)動，初始靜止；現(xiàn)將輪A放置在輪B上，問自A輪放在B輪上到兩輪間無相對滑動為止，需用多少時間。設兩輪間的摩擦因素為μ

，略去軸承摩擦和桿OA的質(zhì)量。解：AB假設兩輪的角加速度分別為：轉(zhuǎn)向如圖輪A——（1）y（2）（3）求解得任意瞬時角速度：輪B——（4）（5）例15：圖示系統(tǒng)。均質(zhì)圓輪A：質(zhì)量m1，半徑r1，（6）無相對滑動的條件：將式（4）（6）代入得：ABy（4）其中：（6）無相對滑動的條件：將式（4）（6）代入得：ABy（4）OFOxFOyW=mgOFOyFOxW=mg解除約束前：

FOx=0,FOy=mg/2突然解除約束瞬時：

FOx=？,FOy=？

關于突然解除約束問題例16OFOxFOyW=mgOFOyFOxW=mg解除約束前：突然

突然解除約束瞬時，桿OA將繞O軸轉(zhuǎn)動，不再是靜力學問題。這時，0，0。需要先求出，再確定約束力。OFOxFOyW=mgAC應用定軸轉(zhuǎn)動微分方程應用質(zhì)心運動定理解除約束的前、后瞬時，速度與角速度連續(xù)，加速度與角加速度將發(fā)生突變。突然解除約束問題的特點系統(tǒng)的自由度一般會增加；突然解除約束瞬時，桿OA將繞OFOxFOyW=mgAC例17：均質(zhì)圓盤，質(zhì)量為m，半徑為R，不計軸承摩擦，圖示位置，OB處于水平。現(xiàn)將繩子BD突然切斷，求：切斷瞬時軸承O處的反力。BCOD解：分析：需先求圓盤角速度與角加速度：質(zhì)心的加速度：再求軸承反力。圓盤——mgnτ列寫定軸轉(zhuǎn)動微分方程：切斷瞬時圓盤的角速度為：質(zhì)心的加速度：——以順時針為正代入質(zhì)心運動定理：

實際方向與圖中相反例17：均質(zhì)圓盤，質(zhì)量為m，半徑為R，不計軸承摩擦，圖§11-6質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理miri′Oyxzriy′x′z′CvirC由質(zhì)心坐標公式，有一、質(zhì)點系對質(zhì)心的動量矩計算§11-6質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理miri′Oyxz§11-6質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理miri′Oyxzriy′x′z′CvirC二、質(zhì)點系對質(zhì)心的動量矩定理§11-6質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理miri′Oyxz動量矩定理課件

質(zhì)點系相對于質(zhì)心(平移系)的動量矩對時間的導數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的外力對質(zhì)心的主矩，這就是質(zhì)點系相對于質(zhì)心(平移系)的動量矩定理。

這一表達式只有將質(zhì)心取為定點才是正確的。

當外力對質(zhì)心的主矩為0時，質(zhì)點系相對于質(zhì)心(平移系)的動量矩對時間

例18

均質(zhì)圓盤質(zhì)量為2m，半徑為r。細桿OA質(zhì)量為m，長為l＝3r，繞軸O轉(zhuǎn)動的角速度為w、求下列三種情況下系統(tǒng)對軸O的動量矩：(a)圓盤與桿固結；(b)圓盤繞軸A相對桿OA以角速度w逆時針方向轉(zhuǎn)動；(c)圓盤繞軸A相對桿OA以角速度w順時針方向轉(zhuǎn)動。解：(a)圓盤與桿固結例18均質(zhì)圓盤質(zhì)量為2m，半徑為r。細桿OA質(zhì)量為m，長解：(b)圓盤繞軸A相對桿OA以角速度w逆時針方向轉(zhuǎn)動剛體的平面運動可以分解為隨質(zhì)心（以質(zhì)心為基點）的平動和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動。miri′Oyxzriy′x′z′CvirC先將前面質(zhì)系動量矩的計算應用到剛體平面運動中來：解：(b)圓盤繞軸A相對桿OA以角速度w逆時針方向轉(zhuǎn)動(b)(c)(b)(c)§11-7剛體的平面運動微分方程

由質(zhì)心運動定理和相對于質(zhì)心的動量矩定理，有：

F1F2FnOyxx′y′CD

§11-7剛體的平面運動微分方程由質(zhì)心運動定剛體平面運動微分方程剛體平面運動微分方程例題19已知：

m

，R,f

，。就下列各種情況分析圓盤的運動和受力。CFNmg(a)斜面光滑aC解：取圓輪為研究對象

圓盤作平動例題19已知：m，R,f，。就下列各種情C(b)斜面足夠粗糙F由

得：

滿足純滾的條件：FNmgaCC(b)斜面足夠粗糙F由(c)斜面介于上述兩者之間圓盤既滾又滑CFFNmgaC(c)斜面介于上述兩者之間圓盤既滾又滑CFFNmgaCFC例題20

平板質(zhì)量為m1，受水平力F作用而沿水平面運動，板與水平面間的動摩擦系數(shù)為f，平板上放一質(zhì)量為m2的均質(zhì)圓柱，它相對平板只滾動不滑動。

求平板的加速度。

FC例題20平板質(zhì)量為m1，受水平力FFCFCF1FN1FN2F2′FN2′F2m1gm2gaaCar解：取圓輪和板為研究對象對板：對圓輪：已知：m1,m2,R,f,F

。求：板的加速度。FCFCF1FN1FN2F2′FN2′F2m1gm2gaa例21

均質(zhì)圓柱體A和B質(zhì)量均為m，半徑均為r。圓柱A可繞固定軸O轉(zhuǎn)動。一繩繞在圓柱A上，繩的另一端繞在圓柱B上。求B下落時，質(zhì)心C點的加速度。摩擦不計。解：取A分析，受力如圖。A作定軸轉(zhuǎn)動，應用定軸轉(zhuǎn)動的微分方程有其中aAFTmgFOxFOyOAF'TmgaBCDBaC取B分析，受力如圖。B作平面運動。應用平面運動的微分方程有由運動學關系aD＝raA,，而由加速度合成定理有D例21均質(zhì)圓柱體A和B質(zhì)量均為m，半徑均為r。圓柱A可繞例22

均質(zhì)桿質(zhì)量為m，長為l，在鉛直平面內(nèi)一端沿著水平地面，另一端沿著鉛垂墻壁，從圖示位置無初速地滑下。不計摩擦，求開始滑動的瞬時，地面和墻壁對桿的約束反力。解：以桿AB為研究對象，分析受力。yBqCAmgxBqCAFAFB桿作平面運動，設質(zhì)心C的加速度為aCx、aCy，角加速度為a。aaCxaCy由剛體平面運動微分方程mg例22均質(zhì)桿質(zhì)量為m，長為l，在鉛直平面內(nèi)一端沿著水平地BqCAyx以C點為基點，則A點的加速度為再以C點為基點，則B點的加速度為aAaaBaCxaCyatBCatAC在運動開始時,w＝0,故,將上式投影到y(tǒng)

軸上，得an＝0AC同理， ，將上式投影到x軸上，得an＝0BCBqCAyx以C點為基點，則A點的加速度為再以C點為基點，則聯(lián)立求解(1)~(5)式，并注意到可得注：亦可由坐標法求出(4)、(5)式：運動開始時，，故BqCAxy聯(lián)立求解(1)~(5)式，并注意到可得注：亦可由坐標法jAxCB例23

如圖質(zhì)量為m的均質(zhì)桿AB用細繩吊住，已知兩繩與水平方向的夾角為j。求B端繩斷開瞬時，A端繩的張力。解：取桿分析，建立如圖坐標。有AB作平面運動，以A為基點，則jjABFT因為斷開初瞬時,vA＝0,w＝0,故,an＝0Aan＝0CA將上式投影到x軸上，得an

CAat

CAat

Aan

AajAxCBaaCxmgjAxCB例23如圖質(zhì)量為m的均質(zhì)桿AB用細繩吊住，已知例24

長l，質(zhì)量為m的均質(zhì)桿AB和BC用鉸鏈B聯(lián)接，并用鉸鏈A固定，位于平衡位置。今在C端作用一水平力F，求此瞬時，兩桿的角加速度。解：分別以AB和BC為研究對象，受力如圖。AB和BC分別作定軸轉(zhuǎn)動和平面運動。對AB由定軸轉(zhuǎn)動的微分方程得CBAFABFAxFBxFByaBWaABFAy例24長l，質(zhì)量為m的均質(zhì)桿AB和BC用鉸BC作平面運動，取B為基點，則將以上矢量式投影到水平方向，得(4)由(1)~(4)聯(lián)立解得對BC由剛體平面運動的微分方程得(2)(3)BGCaBCFWaGxaGyatGBF'ByF'BxBC作平面運動，取B為基點，則將以上矢量式投影到水平方向，得例25

行星齒輪機構的曲柄OO1受力矩M作用而繞固定鉛直軸O轉(zhuǎn)動，并帶動齒輪O1在固定水平齒輪O上滾動如圖所示。設曲柄OO1為均質(zhì)桿，長l、重P；齒輪O1為均質(zhì)圓盤，半徑r

、重Q。試求曲柄的角加速度及兩齒輪接觸處沿切線方向的力。

解：以曲柄為研究對象，曲柄作定軸轉(zhuǎn)動，列出定軸轉(zhuǎn)動微分方程OO1MO1OaFnFtRnRtM例25行星齒輪機構的曲柄OO1受力矩M作用而繞固定由運動學關系，有聯(lián)立求解(1)~(4)，得O1F'nF'tTNatana1取齒輪O1分析，齒輪O1作平面運動MO1OaFnFtRnRt由運動學關系，有聯(lián)立求解(1)~(4)，得O1F'nF'Thankyou！Thankyou！第十一章動量矩定理TheoremofAngularMomentumLawofMomentofMomentum問題的提出：圖示定軸轉(zhuǎn)動剛體，質(zhì)心C過轉(zhuǎn)軸，恒有可見：動量只能反映剛體隨質(zhì)心運動的強弱，不能反映剛體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動運動強弱。本章基本內(nèi)容：1.質(zhì)點、質(zhì)點系對點和軸的的動量矩概念及計算；2.質(zhì)點、質(zhì)點系對于固定點、固定軸及質(zhì)心的動量矩定理；3.剛體定軸轉(zhuǎn)動、剛體平面運動的微分方程及其應用。4.轉(zhuǎn)動慣量概念及計算。C第十一章動量矩定理問題的提出：圖示定軸轉(zhuǎn)動剛體，§11–1動量矩(momentofmomentum,AngularMomentum)一、質(zhì)點的動量矩對點的動量矩OxzyAFBMO(F)rdα力對點O之矩：OxzyLO=MO(mv)rα質(zhì)點的動量對點O之矩（11-1）——質(zhì)點的動量對O點的動量矩AmvBd——固定矢量指向：按右手法則確定大小：方向：幾何表示：——度量質(zhì)點繞某一點轉(zhuǎn)動運動強弱的運動特征量§11–1動量矩(momentofmoment對軸的動量矩類似于力對點之矩與力對軸之矩的關系：質(zhì)點的動量mv對x軸之矩：質(zhì)點的動量mv對x軸之矩——代數(shù)量。其正負由右手法則確定。動量矩單位（SI）：對軸的動量矩類似于力對點之矩與力對軸之矩的關系：質(zhì)點的動量二、質(zhì)點系的動量矩對點O的動量矩質(zhì)點系各質(zhì)點的動量對某點O之矩的矢量和——質(zhì)點系對O點的動量矩對軸的動量矩質(zhì)點系各質(zhì)點的動量對某軸之矩的代數(shù)和——質(zhì)點系對某軸的動量矩二、質(zhì)點系的動量矩對點O的動量矩質(zhì)點系各質(zhì)點的動量對某點三、定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩取質(zhì)點Mi:質(zhì)點Mi對轉(zhuǎn)軸z的動量矩:剛體

對轉(zhuǎn)軸z的動量矩:記:（11-15）——稱為剛體對轉(zhuǎn)軸z的轉(zhuǎn)動慣量（11-16）

定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸z的動量矩等于其轉(zhuǎn)動慣量與角速度的乘積，轉(zhuǎn)向與角速度的轉(zhuǎn)向相同。三、定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩取質(zhì)點Mi:質(zhì)點Mi對§11–2轉(zhuǎn)動慣量(MassMomentofInertia)

剛體各質(zhì)點的質(zhì)量與它們到轉(zhuǎn)軸z垂直距離的平方的乘積之和一、轉(zhuǎn)動慣量的基本概念——稱為剛體對轉(zhuǎn)軸

z

的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量Jz的特點：Jz≥0——恒正的標量影響Jz的因素：與轉(zhuǎn)軸z的位置有關；與質(zhì)量mi的分布有關；改變Jz的方法：1.

改變質(zhì)量（密度）ρ；2.改變質(zhì)量分布情況。物體轉(zhuǎn)動運動慣性的度量.Jz的單位（SI）：§11–2轉(zhuǎn)動慣量(MassMomentofI轉(zhuǎn)動慣量改變的一個實例轉(zhuǎn)動慣量改變的一個實例二、轉(zhuǎn)動慣量的計算1.積分法由定義：可得——適用于質(zhì)量連續(xù)分布，幾何形狀簡單的物體。若已知密度函數(shù)：則有常見規(guī)則形狀的均質(zhì)物體，轉(zhuǎn)軸過質(zhì)心C的Jz由有關工程手冊查得。zC均質(zhì)桿：均質(zhì)圓盤（輪）：zrC（11-19）二、轉(zhuǎn)動慣量的計算1.積分法由定義：可得——適用于質(zhì)量2.組合法——代數(shù)和O桿圓盤如：xy孔1孔2短形板——適用于均質(zhì)、簡單形狀組合的物體3.實驗測定法——適用于任意不規(guī)則形狀，質(zhì)量分布不均勻的物體。①復擺測定法；②落體觀測法。（物理實驗）4.轉(zhuǎn)動慣量的工程實用計算公式(11-17)——m為剛體的質(zhì)量；ρz

為回轉(zhuǎn)半徑Radiusofgyration

。注意：①ρz——相當長度。（假想將剛體的質(zhì)量全部集中離轉(zhuǎn)軸距離ρz

的質(zhì)點上，而此質(zhì)點對軸z的轉(zhuǎn)動慣量Jz與原剛體對軸z

的轉(zhuǎn)動慣量Jz相同。）②——其中m、Jz

由計算或?qū)嶒灉y定，然后反算ρz

。（注意：ρz

并不是質(zhì)心C到轉(zhuǎn)軸的距離）2.組合法——代數(shù)和O桿圓盤如：xy孔1孔2短形板—三、轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理OxzyCMih

設z軸過剛體的質(zhì)心C，z′與z軸平行，兩軸間的距離為

h

，由轉(zhuǎn)動慣量的定義，有將代入，有mh2?由質(zhì)心坐標的計算公式，有(11-20)——轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理幾點說明：①軸z與軸z′必須平行；②z軸必須過質(zhì)心C；③過質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動慣量最小。三、轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理OxzyCMih設均質(zhì)桿，質(zhì)量mzC如：reOC均質(zhì)圓盤，質(zhì)量mω均質(zhì)桿，質(zhì)量mzC如：reOC均質(zhì)圓盤，質(zhì)量mωTheoremofAngularMomentumSampleProblem1massoflever:m1

massofplate:m2

Inthisinitialtime,angularvelocityequalsw,computeangularmomentumaboutaxispassthroughpointOperpendiculartothesurface.[solution]TheoremofAngularMomentumSammassofthehomogeneous

platewithyellowcolor:m

r=R/3

Compute

JATheoremofAngularMomentumSampleProblem2[solution]massofthehomogeneousplate§11–3質(zhì)點的動量矩定理一、對固定點的動量矩定理——

質(zhì)點動量對某固定點O的矩將上式兩邊對時間求導，有由于O點為固定點，r為絕對運動矢徑，有另一方面由質(zhì)點的動量定理：將上述關系代入，有（11-7）質(zhì)點的動量對任一固定點的矩隨時間的變化率，等于質(zhì)點所受的力對該固定點的矩?！|(zhì)點對固定點的動量矩定理§11–3質(zhì)點的動量矩定理一、對固定點的動量矩定理—二、對固定軸的動量矩定理xyz（11-7）將上式兩邊同時向坐標軸投影，有（11-8）質(zhì)點的動量對任一固定軸的矩隨時間的變化率，等于質(zhì)點所受的力對該固定軸的矩?！|(zhì)點對固定軸

的動量矩定理二、對固定軸的動量矩定理xyz（11-7）將上式兩邊同時向坐三、動量矩守恒定理(ConservationofMomentofMomentum)（1）若：（11-9）質(zhì)點的動量對該固定點的矩矢保持不變。質(zhì)點運動軌跡為平面曲線；質(zhì)點的矢徑單位時間內(nèi)掃過的面積相等，質(zhì)點運動軌跡為橢圓。有心力：力的作用線始終過某一固定點，該點稱為力心。有心力作用下的質(zhì)點，對力心的動量矩矢始終保持不變（大小、方向）。rmvFMOh三、動量矩守恒定理(ConservationofMom三、動量矩守恒定理(ConservationofMomentofMomentum)（2）若：（11-10）若作用于質(zhì)點的力對某固定點（或軸）的矩恒等于零，則質(zhì)點的動量對該固定點（或軸）的矩保持不變?！獎恿烤厥睾愣ɡ砣恿烤厥睾愣ɡ?ConservationofMom§11–4質(zhì)點系的動量矩定理一、對固定點的動量矩定理質(zhì)點系：n個質(zhì)點質(zhì)點Mi：——外力——內(nèi)力由質(zhì)點對固定點的動量矩定理，有簡寫成：n個方程將上述方程組兩邊相加,得：考慮到：有：（11-11）（內(nèi)力系的主矩恒等于零）

質(zhì)點系對任一固定點的動量矩隨時間的變化率，等于質(zhì)點系所受外力對該固定點矩的矢量和（主矩）?！|(zhì)點系對固定點的動量矩定理§11–4質(zhì)點系的動量矩定理一、對固定點的動量矩定理質(zhì)二、對固定軸的動量矩定理將式（11-11）向固定坐標軸投影，得（11-12）

質(zhì)點系對任一固定軸的動量矩隨時間的變化率，等于質(zhì)點系所受外力對該固定軸矩的代數(shù)和（主矩）?！|(zhì)點系對固定軸的動量矩定理注：與動量定理類似，質(zhì)點系的內(nèi)力不影響質(zhì)點系總動量矩二、對固定軸的動量矩定理將式（11-11）向固定坐標軸投影，三、質(zhì)點系動量矩守恒（1）若：（11-13）（2）若：（11-14）（各力與z軸平行或相交）——質(zhì)點系動量矩守恒定理四、應用（1）有關轉(zhuǎn)動運動的動力學問題轉(zhuǎn)動碰撞問題；流體對葉輪的沖擊力矩計算。（2）動量矩守恒時，求剛體的轉(zhuǎn)動角速度或速度等注：定理中各運動量均為絕對運動量。三、質(zhì)點系動量矩守恒（1）若：（11-13）（2）若：（11例3：兩個轉(zhuǎn)子A和B分別以角速度ωA、ωB

繞同一軸線Ox、且同方向轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動慣量分別為JA

和JB

，現(xiàn)用離合器將兩轉(zhuǎn)子突然結合在一起，求結合后兩轉(zhuǎn)子的公共角速度。解：兩轉(zhuǎn)子A、B——受力：——質(zhì)點系對x軸的動量矩守恒計算結合前后系統(tǒng)對軸x

的動量矩：結合前：結合后：由質(zhì)點系對x軸的動量矩守恒，有（這里假定ω與ωA

、ωB轉(zhuǎn)向相同）例3：兩個轉(zhuǎn)子A和B分別以角速度ωA、ωB繞同一軸線例4：均質(zhì)圓盤，其繞軸O的轉(zhuǎn)動慣量為J

，可繞通過其中心的軸無摩擦地轉(zhuǎn)動，另一質(zhì)量為m2

的人由B點按規(guī)律沿距O軸半徑為r的圓周運動。初始時，圓盤與人均靜止。求圓盤的角速度與角加速度。解：圓盤與人一起——研究對象受力分析：動量矩關于z軸守恒計算質(zhì)點系的動量矩：初始時：任意瞬時：負號說明實際轉(zhuǎn)向與圖中相反例4：均質(zhì)圓盤，其繞軸O的轉(zhuǎn)動慣量為J，可繞通過其中心的軸例題5求：此時系統(tǒng)的角速度zaallABCDozABCD例題5求：此時系統(tǒng)的角速度zaallABCDozAB例題6均質(zhì)圓輪半徑為R、質(zhì)量為m，圓輪對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為JO。圓輪在重物P帶動下繞固定軸O轉(zhuǎn)動，已知重物重量為W。求：重物下落的加速度OPW例題6均質(zhì)圓輪半徑為R、質(zhì)量為m，圓輪對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量OPWmg解：取系統(tǒng)為研究對象FOxFOyv應用動量矩定理:OPWmg解：取系統(tǒng)為研究對象FOxFOyv應用動量矩定理:MassoftheChainWheel:M

MassoftheBlockAandB:

m1m2supposem1>m2ComputetheaccelerationofblockATheoremofAngularMomentumSampleProblem7[solution]

analyzetheforcesandkinematicsofthesystem,asthefigureshown:MassoftheChainWheel:M

MaTheoremofAngularMomentumSampleProblem7[solution]TheoremofAngularMomentumSam例8：高爐上運送礦料的卷揚機。半徑為R的卷筒可繞水平軸O轉(zhuǎn)動，它關于轉(zhuǎn)軸O

的轉(zhuǎn)動慣量為J。沿傾角為θ的斜軌被提升的重物A重W。作用在卷筒上主動轉(zhuǎn)矩為M。設繩重和摩擦均可不計。試求重物的加速度。解：(1)

研究對象——卷筒與重物A整個系統(tǒng)(2)

受力：（所有外力）(3)

分析運動，計算系統(tǒng)對軸O的動量矩：——以順時針方向為正(4)

外力對軸O的矩：s對重物A，有(5)

代入動量矩定理：方向與速度方向相同例8：高爐上運送礦料的卷揚機。半徑為R的卷筒可繞水平軸O例題9

水流通過固定導流葉片進入葉輪，入口和出口的流速分別為v1和v2，二者與葉輪外周邊和內(nèi)周邊切線之間的夾角分別為1和

2，水的體積流量為qV、密度為

，水流入口和出口處葉輪的半徑分別為r1和r2，葉輪水平放置。求：水流對葉輪的驅(qū)動力矩。abcd例題9水流通過固定導流葉片進入葉abcdabcd解：在dt

時間間隔內(nèi)，水流ABCD段的水流運動到abcd時，所受的力以及他們對O軸之矩：

重力

——由于水輪機水平放置，重力對O軸之矩等于0；

相鄰水流的壓力

——忽略不計；

葉輪的反作用力矩

——與水流對葉輪的驅(qū)動力矩大小相等，方向相反。abcd解：在dt時間間隔內(nèi)，水流重力——由abcd應用動量矩定理:Mzabcd應用動量矩定理:Mz§11–5剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程

設定軸轉(zhuǎn)動剛體作用有力：F1、F2、……、Fn，轉(zhuǎn)動角速度：ω，轉(zhuǎn)動慣量：Jz

，其繞軸的動量矩——其轉(zhuǎn)向與ω

相同代入動量矩定理，有（11-21a）（11-21b）（11-21c）——剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程（轉(zhuǎn)動定理）

剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與其角加速度的乘積，等于作用于剛體上的所有外力對轉(zhuǎn)軸矩的代數(shù)和?！?1–5剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程設定討論：（1）方程建立了α與Mz的瞬時關系（須在任意瞬時建立方程）（2）——勻變速轉(zhuǎn)動——勻速轉(zhuǎn)動——角速度ω取極值（3）則有——此時α取決于JzJz

大α

小——說明轉(zhuǎn)動運動狀態(tài)不易改變Jz

小α

大——說明轉(zhuǎn)動運動狀態(tài)容易改變——慣性大——慣性小Jz

是剛體轉(zhuǎn)動運動慣性的度量應用：（1）已知外力矩Mz，求α、ω、φ=φ(t)。（2）已知α、ω、φ=φ(t)，求與力矩Mz

有關的量（力、距離等）。注意事項：（1）不能求軸承反力；（須由質(zhì)心運動定理求）（2）方程兩邊α、ω、φ

與力矩Mz正轉(zhuǎn)向規(guī)定一致；（3）只適用于同一軸轉(zhuǎn)動的剛體。（一般適用于單個定軸轉(zhuǎn)動剛體）討論：（1）方程建立了α與Mz的瞬時關系（須在任意瞬時例10：復擺compoundpendulum（物理擺physicalpendulum）如圖。已知擺的重量為P，擺關于轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動慣量為JO，懸掛點（軸）O到質(zhì)心的距離為a，求：復擺作微幅擺動時的運動規(guī)律。解：復擺——運動分析：任意瞬時OC與x軸的夾角為φ（注：φ以增大方向為正轉(zhuǎn)向）建立定軸轉(zhuǎn)動微分方程，并求解（1）兩邊同除以JO，并整理得（2）當作微幅擺動（φ

很小）時，（3）其解為：（4）式中：常數(shù)A、α

由初始條件確定。擺動周期：（5）討論：——轉(zhuǎn)動慣量的復擺測定法原理注意：方程兩邊正轉(zhuǎn)向規(guī)定必須一致。例10：復擺compoundpendulum（物理擺ph0OFNF例題11求：

制動所需的時間。已知：

JO

，0，F(xiàn)N，f

。解：取飛輪為研究對象解得:0OFNF例題11求：制動所需的時間。已知：xy例12：高爐上運送礦料的卷揚機。均質(zhì)卷筒半徑為R，重量為G。沿傾角為θ的斜軌被提升的重物A重W。作用在卷筒上主動轉(zhuǎn)矩為M。斜面與重物間摩擦因素為μ，繩重可不計。試求重物的加速度。解：(1)

研究對象——卷筒OOM（1）A(2)

研究對象——重物A（2）（3）（4）(3)

運動學關系：（5）聯(lián)立求解，得如何求軸承反力？需對卷筒用質(zhì)心運動定理。討論：xy例12：高爐上運送礦料的卷揚機。均質(zhì)卷筒半徑為R，重量ⅠⅡM1M2例題13已知：

J1

，J2

，R1，R2

，

i12=

R2/R1，

M1

，

M2

。求：

軸Ⅰ的角加速度。ⅠⅡM1M2例題13已知：J1，J2，R1ⅠⅡM1M2M2M112FFnF′Fn′解：分別取軸Ⅰ和Ⅱ為研究對象解得：ⅠⅡM1M2M2M112FFnF′Fn′解：分別取軸Ⅰ和例14：

轉(zhuǎn)子Ⅰ對自身轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為J1=1kg·m2，轉(zhuǎn)子Ⅱ?qū)ζ滢D(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為J2=1.5kg·m2，兩軸的齒數(shù)之比k=z1/z2=1/2，如圖所示。設轉(zhuǎn)子Ⅰ上作用有轉(zhuǎn)矩為M的力偶，使轉(zhuǎn)子Ⅰ自靜止開始勻加速轉(zhuǎn)動，經(jīng)過10s

轉(zhuǎn)速達n1=1500r/min

。已知軸Ⅰ上齒輪的節(jié)圓半徑為r1=100mm，軸承摩擦不計。試計算轉(zhuǎn)矩M和齒輪的圓周力Ft

。解：運動分析：——轉(zhuǎn)向與M相同（1）軸Ⅱ——外嚙合，α1

與α2

轉(zhuǎn)向相反——兩邊都以逆時針為正（2）——兩邊都以順時針為正由傳動比概念，有軸Ⅰ——利用：聯(lián)立求解（1）（2）得幾點注意：（1）對每一軸分別列方程；（2）方程兩邊正轉(zhuǎn)向規(guī)定一致；（3）α1

與α2

轉(zhuǎn)向協(xié)調(diào)。例14：轉(zhuǎn)子Ⅰ對自身例15：圖示系統(tǒng)。均質(zhì)圓輪A：質(zhì)量m1，半徑r1，以角速度ω繞軸A轉(zhuǎn)動；均質(zhì)圓輪B：質(zhì)量m2，半徑r2，繞軸B轉(zhuǎn)動，初始靜止；現(xiàn)將輪A放置在輪B上，問自A輪放在B輪上到兩輪間無相對滑動為止，需用多少時間。設兩輪間的摩擦因素為μ

，略去軸承摩擦和桿OA的質(zhì)量。解：AB假設兩輪的角加速度分別為：轉(zhuǎn)向如圖輪A——（1）y（2）（3）求解得任意瞬時角速度：輪B——（4）（5）例15：圖示系統(tǒng)。均質(zhì)圓輪A：質(zhì)量m1，半徑r1，（6）無相對滑動的條件：將式（4）（6）代入得：ABy（4）其中：（6）無相對滑動的條件：將式（4）（6）代入得：ABy（4）OFOxFOyW=mgOFOyFOxW=mg解除約束前：

FOx=0,FOy=mg/2突然解除約束瞬時：

FOx=？,FOy=？

關于突然解除約束問題例16OFOxFOyW=mgOFOyFOxW=mg解除約束前：突然

突然解除約束瞬時，桿OA將繞O軸轉(zhuǎn)動，不再是靜力學問題。這時，0，0。需要先求出，再確定約束力。OFOxFOyW=mgAC應用定軸轉(zhuǎn)動微分方程應用質(zhì)心運動定理解除約束的前、后瞬時，速度與角速度連續(xù)，加速度與角加速度將發(fā)生突變。突然解除約束問題的特點系統(tǒng)的自由度一般會增加；突然解除約束瞬時，桿OA將繞OFOxFOyW=mgAC例17：均質(zhì)圓盤，質(zhì)量為m，半徑為R，不計軸承摩擦，圖示位置，OB處于水平?，F(xiàn)將繩子BD突然切斷，求：切斷瞬時軸承O處的反力。BCOD解：分析：需先求圓盤角速度與角加速度：質(zhì)心的加速度：再求軸承反力。圓盤——mgnτ列寫定軸轉(zhuǎn)動微分方程：切斷瞬時圓盤的角速度為：質(zhì)心的加速度：——以順時針為正代入質(zhì)心運動定理：

實際方向與圖中相反例17：均質(zhì)圓盤，質(zhì)量為m，半徑為R，不計軸承摩擦，圖§11-6質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理miri′Oyxzriy′x′z′CvirC由質(zhì)心坐標公式，有一、質(zhì)點系對質(zhì)心的動量矩計算§11-6質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理miri′Oyxz§11-6質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理miri′Oyxzriy′x′z′CvirC二、質(zhì)點系對質(zhì)心的動量矩定理§11-6質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理miri′Oyxz動量矩定理課件

質(zhì)點系相對于質(zhì)心(平移系)的動量矩對時間的導數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的外力對質(zhì)心的主矩，這就是質(zhì)點系相對于質(zhì)心(平移系)的動量矩定理。

這一表達式只有將質(zhì)心取為定點才是正確的。

當外力對質(zhì)心的主矩為0時，質(zhì)點系相對于質(zhì)心(平移系)的動量矩對時間

例18

均質(zhì)圓盤質(zhì)量為2m，半徑為r。細桿OA質(zhì)量為m，長為l＝3r，繞軸O轉(zhuǎn)動的角速度為w、求下列三種情況下系統(tǒng)對軸O的動量矩：(a)圓盤與桿固結；(b)圓盤繞軸A相對桿OA以角速度w逆時針方向轉(zhuǎn)動；(c)圓盤繞軸A相對桿OA以角速度w順時針方向轉(zhuǎn)動。解：(a)圓盤與桿固結例18均質(zhì)圓盤質(zhì)量為2m，半徑為r。細桿OA質(zhì)量為m，長解：(b)圓盤繞軸A相對桿OA以角速度w逆時針方向轉(zhuǎn)動剛體的平面運動可以分解為隨質(zhì)心（以質(zhì)心為基點）的平動和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動。miri′Oyxzriy′x′z′CvirC先將前面質(zhì)系動量矩的計算應用到剛體平面運動中來：解：(b)圓盤繞軸A相對桿OA以角速度w逆時針方向轉(zhuǎn)動(b)(c)(b)(c)§11-7剛體的平面運動微分方程

由質(zhì)心運動定理和相對于質(zhì)心的動量矩定理，有：

F1F2FnOyxx′y′CD

§11-7剛體的平面運動微分方程由質(zhì)心運動定剛體平面運動微分方程剛體平面運動微分方程例題19已知：

m

，R,f

，。就下列各種情況分析圓盤的運動和受力。CFNmg(a)斜面光滑aC解：取圓輪為研究對象

圓盤作平動例題19已知：m，R